Cálculo numérico computacional - Atividade A3

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações 
(Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
 Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
Pelo método gráfico substituímos 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30 por uma equação g(x) – h(x) = 0 
equivalente, ou seja, uma equação que tem as mesmas raízes de f(x) = 0. 
Para isso, após determinarmos as funções g(x) e h(x) construímos os gráficos de 𝑦1 = 𝑔(𝑥) e 
𝑦2 = ℎ(𝑥) e, se houver interseção entre esses gráficos, eles se interceptam em um ponto de abcissa 
𝑥 = 𝑥0. Consequentemente, podemos concluir que 𝑥 = 𝑥0 é uma raiz da equação f(x). 
Para solucionar 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30, utilizamos: 
 𝑔(𝑥) = 𝑥3 
 ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 − 30 simplificando: ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 − 15 
 Primeiramente analisando o gráfico da equação 𝑔(𝑥) = 𝑥3: 
 Observamos que g(x) = 0 apenas quando x = 0, então a única raiz de g(x) é o zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir, analisamos o gráfico da função ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 − 30: 
 Observamos que h(x) é uma equação de segundo grau, que pode ser simplificada para, 
 ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥 − 15 e, tem concavidade voltada para cima (x positivo) e corta o eixo das 
ordenadas em y = -15. 
 Desenvolvendo algebricamente as raízes da equação, obtemos: 
 
ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 − 30 
 𝑥 = 
−10 ± √102 −4(1)(15)
2(1)
 
𝑥 =
−10 ± √160
2
 
 𝑥1 = −5 − 2√10 𝑥2 = −5 + 2√10 
 ou, 𝑥1 ≈ −11,32456 ou, 𝑥2 ≈ 1,32456 
 
 Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentando ambos os gráficos em um mesmo plano cartesiano, observamos que as raízes 
da função estão determinadas no intervalo (-5,5), conforme ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo nas funções os valores do intervalo determinado, obtemos: 
 
 
 
 Analisando apenas os pontos da tabela, vemos que nos intervalos (-5, -4) e (4, 5) a função h(x) 
Assume valores maiores do que na função g(x), ou seja, para x nesses pontos, ocorre uma interseção 
entre as curvas traçadas. Do mesmo modo, no intervalo (1, 2) a função g(x) assume valores maiores que 
h(x), nos levando a mesma conclusão de interseção. Consequentemente, as raízes exatas pertencem 
aos intervalos (-4, -5), (1, 2) e (4, 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30 𝑔(𝑥) = 𝑥3 ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 + 30 
 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
 
 Analisando as funções g(x) e h(x) no Software GeoGebra, determinamos os pontos A, B e C 
como interseções entres duas funções, os quais correspondem aos intervalos obtidos pela análise 
gráfica do item 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) 
aproximação da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo 
[𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038086 0,031250 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com x29. 
 √10 = 3,16227766 
 Utilizando a calculadora, encontramos para √10 o mesmo valor calculado para x29 pelo método 
da bisseção, com exceção de algumas casa decimais devido ao arredondamento. 
 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
Primeiramente, utilizamos o método gráfico para determinarmos os possíveis intervalos de 
interseção das funções. Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − sin(𝑥) + 4, substituímos por f(x) = g(x) – h(x), 
sendo g(x) = 2x + 4 e h(x) = sen(x). 
Em uma representação gráfica, a função g(x) = 2x + 4 nos apresenta uma reta crescente, que 
corta o eixo das abscissas em (x) = -2, e para função h(x) = sen(x) temos uma curva senoidal e se 
tratando de uma função periódica ela apresenta imagem que varia no intervalo (y) = [-1, 1]. Isso 
significa que os valores que o seno pode assumir para qualquer valor de x variam apenas de -1 e 1. 
Com estas informações, podemos concluir que os possíveis intervalos de interseção para as 
funções g(x) e h(x) são (-3, -2) e (-2, -1). 
Dispondo estes intervalos em uma planilha e calculando as funções nos pontos, chegamos 
aos seguintes resultados: 
 
 
 
Analisando os dados obtidos, podemos determinar que os valores destacados nos fornecem 
como único intervalo de interseção sendo (-3, -2). 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 1 -2,378299446 -0,065294151 
10−4 3 -2,354242759 -1,94422E-09 
10−9 4 -2,354242758 0,0000000000 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, 
 
 
 
 
compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 Usando o Software GeoGebra, encontramos para f(x) = 2x – sen(x) + 4 o mesmo valor calculado 
para 𝑥4 pelo método de Newton, com exceção de algumas casas decimais devido ao arredondamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) e 𝑥0 = 0,5. 
Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. Neste caso, colocamos 𝑔(𝑥) = 𝑥3 e 𝑔(𝑥) =
cos(𝑥) construímosos gráficos em um mesmo sistema de eixos coordenados. 
 
 
Pelo esboço dos gráficos, podemos perceber que existe uma única interseção entre as funções, 
além disso, essa interseção ocorre para 𝑥 => 0, no intervalo (0, 1). De acordo com a informação 
estabelecida no enunciado do problema, podemos reduzir ainda mais o intervalo sabendo que 𝑥0 = 0,5. 
Com o intervalo determinado, podemos proceder e verificar se todas as hipóteses para aplicação 
do método de Iteração Linear são satisfeitas. De fato, a função F(x) é contínua no intervalo (0,5, 1) e 
possui um único zero nesse intervalo. 
Agora, devemos seguir e encontrar uma função de iteração 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥) : 
 
 Temos duas opções para isolar a variável x. Escolhendo o 𝑥3, temos: 
 𝑥 = √cos (𝑥)
3 
 Na segunda opção, isolamos a variável x através da parcela cos (𝑥): 
 𝑥 = cos−1(𝑥3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. 
No Excel, levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,866753875 0,865039927 0,0050688 
𝑥15 0,865474059 0,865474024 0,00000010095 
𝑥18 0,865474032 0,865474033 0,00000000393 
𝑥32 0,865474033 0,865474033 0 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas 
respostas para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
Utilizando o Software GeoGebra, encontramos para 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) o mesmo valor calculado 
para 𝑥32 pelo método da Iteração Linear, com exceção de algumas casas decimais devido ao 
arredondamento. 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com 
aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987