Livro_de_Elementos_deEconomia_e_Finan_as

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO – VRG
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – CEaD
Coleção Educação a Distância
Série Livro-Texto
Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil
2009
Marlene Köhler Dal Ri
ELEMENTOS 
DE ECONOMIA E FINANÇAS 
2ª Edição Revisada e Ampliada
 2009, Editora Unijuí
 Rua do Comércio, 1364
 98700-000 - Ijuí - RS - Brasil 
 Fone: (0__55) 3332-0217
 Fax: (0__55) 3332-0216
 E-mail: editora@unijui.edu.br
 Http://www.editoraunijui.com.br
Editor: Gilmar Antonio Bedin
Editor-adjunto: Joel Corso
Capa: Elias Ricardo Schüssler
Revisão: Véra Fischer
Designer Educacional: Jociane Dal Molin Berbaum
Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroeste
do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil)
Catalogação na Publicação:
Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques – Unijuí
D151e Dal Ri, Marlene Köhler.
Dal Ri. - 2. ed. rev. e ampl. – Ijuí : Ed. Unijuí, 2009. – 106 p. 
- (Coleção educação a distância. Série livro-texto).
 ISBN 978-85-7429-835-1 
 1. Economia. 2. Finanças. 3. Administração. I. Título. 
II. Série.
 CDU : 336
 336.7
Sumário
CONHECENDO A PROFESSORA ................................................................................................5
APRESENTAÇÃO ...........................................................................................................................7
UNIDADE 1 – JUROS SIMPLES .................................................................................................11
Seção 1.1 – Juros Simples ........................................................................................................12
1.1.1 – Montante de Juros Simples ....................................................................................13
1.1.2 – Taxa Proporcional ...................................................................................................14
1.1.3 – Juros Exatos .............................................................................................................20
1.1.4. – Método Hamburguês: aplicação do regime de juros simples ..............................21
Seção 1.2 – Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio ........................................................25
Seção 1.3 – Desconto Simples .................................................................................................30
1.3.1 – Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora ...........................................................31
1.3.2 – Desconto Racional ou Por Dentro ..........................................................................32
1.3.3 – Taxa de Juro Equivalente à Taxa de Desconto ou Taxa de Juros Efetiva .............34
Seção 1.4 – Equivalência de Capitais – Juros Simples .........................................................37
UNIDADE 2 – JUROS COMPOSTOS .........................................................................................41
Seção 2.1 – Juros Compostos ...................................................................................................41
2.1.1 – Capital ou Valor Presente ........................................................................................44
2.1.2 – Taxa ..........................................................................................................................45
2.1.3 – Tempo .......................................................................................................................46
Seção 2.2 – Taxas Efetiva e Nominal .......................................................................................53
2.2.1 – Taxa Simples ou Linear ...........................................................................................54
2.2.2 – Taxa Nominal ...........................................................................................................54
2.2.3 – Taxas Proporcionais .................................................................................................54
2.2.4 – Taxas Compostas ou Exponenciais .........................................................................54
2.2.5 – Taxa Efetiva ..............................................................................................................55
2.2.6 – Taxas Equivalentes ..................................................................................................55
2.2.7 – Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva ou Real ................................................55
u) ................................................................................................56
Seção 2.3 – Desconto Composto ..............................................................................................62
2.3.1 – Desconto Racional Composto e Desconto Comercial Composto .........................63
Seção 2.4 – Equivalência Composta de Capitais ....................................................................67
UNIDADE 3 – RENDAS CERTAS: Capitalização e amortização ...............................................73
Seção 3.1 – Capitalização de Séries Uniformes......................................................................75
3.1.1 – Rendas Imediatas ....................................................................................................76
3.1.2 – Rendas Antecipadas ................................................................................................77
Seção 3.2 – Amortização Séries Uniformes ............................................................................80
3.2.1 – Amortização: Imediata ............................................................................................81
3.2.2 – Amortização: Antecipada ........................................................................................82
3.2.3 – Amortização: Diferida ..............................................................................................83
Seção 3.3 – Planos de Financiamentos ...................................................................................86
REFERÊNCIAS ...........................................................................................................................103
AGRADECIMENTOS .................................................................................................................105
EaD
5
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Conhecendo a Professora
Marlene Köhler Dal Ri
Nasci em Arroio do Tigre/RS na década de 50, uma cidade bem 
pequena, aliás, naquela época era chamada Vila Arroio do Tigre e 
irmãos.
Fiz o primeiro grau na cidade onde nasci e o segundo grau – 
Técnico em Contabilidade – em Sobradinho. Cursei o nível superior 
primeiramente em Passo Fundo, concluindo o curso superior em 
Economia em Cruz Alta. Um ano após, como já era professora do 
em Santa Maria, na UFSM, e com isso fui credenciada pelo MEC 
com registro de professora de Estatística, o que me oportunizou le-
cionar essa disciplina, porém, sempre gostei muito da área em que 
me formei: Economia.
Após concluir a Licenciatura, sempre busquei estar em cons-
tante atualização. Logo casei e fui residir em Uruguaiana, onde atuei 
como professora universitária de Estatística, Matemática Financeira 
Política e Programação Econômica na PUC, em Porto Alegre. 
Dos seis anos que lá morei tenho gratas recordações dos colegas 
e alunos. Em 1985 vim morar em Ijuí/RS e continuei minha atividade 
Na busca de atualização dos conhecimentos, no início de 1990 
Economia, em Santa Maria. Algum tempo depois e após meus três 
Produção, na UFSC, no qual tive o privilégio de ter como coorientador 
o professor doutor Martinho Kelm, que na época estava terminando o 
Doutorado na UFSC, e como orientadora, a professora doutora Aline 
França de Abreu (Ph. D).
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
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Nestes últimos dez anos, sou Representante do Conselho Regio-
nal de Economia do RS na região, e também fui avaliadora dos cursos 
de Ciências Econômicas pelo Inep/MEC. 
Morandohá tantos anos em Ijuí, faço dela a minha cidade, em-
bora não esquecendo de minhas raízes, e da Unijuí a minha morada 
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Apresentação
A Revolução Industrial provocou uma mudança no mercado de trabalho e, com isso, aos 
poucos, foi sendo substituído o trabalho físico pelo intelectual, o que acarretou mudanças na 
natureza e na forma de mensurar essa força de trabalho, surgindo novos tipos de atividades 
dos recursos que administrariam essa situação. 
Com vistas a aumentar os índices de produtividade das empresas, foram sendo eliminadas 
de trabalhar, aumentando a produção com o mesmo número de trabalhadores ou até mesmo com 
um número reduzido destes.
tar estratégias que possam auxiliar a competir com preços, e, principalmente, pagar o capital 
investido na empresa. Essas estratégias atualmente são determinantes para manter a empresa 
em um mercado altamente competitivo.
As estratégias, políticas ou decisões a serem tomadas para manter a empresa no mercado 
técnicas de avaliação e seleção de diretrizes para a tomada de decisão e orientando, ainda, sobre 
os investimentos que poderão ser feitos para agregar valor às empresas. 
No caso da alocação de recursos, entretanto, é importante recorrer ao critério seriedade no 
momento de decidir sobre investimentos a serem feitos, pelo fato de que, depois de concretizada 
uma decisão, torna-se difícil alterá-la e a empresa poderá sofrer consequências não previstas 
no futuro. 
A partir do exposto, pode-se constatar que a magnitude e a composição qualitativa da 
poupança e do investimento impulsionam o desenvolvimento econômico, tanto em âmbito micro 
quanto macroeconômico, constituindo-se em ponto vulnerável, caso não lhe seja dada a devida 
importância. Dessa forma, a empresa depende, em qualquer programa de desenvolvimento, da 
análise das possibilidades de investimento, da sua instituição e controle, pois a formação de ca-
pital, assim como o investimento a ser feito, é de extrema importância para a sua sobrevivência 
e seu crescimento. 
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Marlene Köhler Dal Ri
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Por isso, determinadas políticas de investimentos passam por várias etapas até ser tomada 
que precisam ser discutidas antes da tomada de qualquer decisão e, dependendo do tamanho 
para outras atividades empresariais. Desse modo, as decisões, em sua grande maioria, partem das 
tomadas de decisão pertinentes a outras funções exercidas na empresa. Destaco ainda, conforme 
para se manterem no mercado.
liam nas tomadas de decisão da empresa e na sua aplicabilidade. Se bem feita, traz benefícios 
recursos mais atrativos em termos de custos e os que mais geram rentabilidade à empresa, quando 
A realidade evidencia que muitos gestores têm certa aversão quando se trata de análise 
para as tomadas de decisão das empresas, assim como é importante no dia-a-dia das pessoas, 
pois facilita sua vida quando da realização de algum negócio. Com o domínio dos instrumentos 
da Matemática Financeira é possível fazer os cálculos sobre todo e qualquer investimento que 
se pretende fazer e tomar, então, a decisão correta, sem ser passado para trás pelas pessoas que 
desejam vender-lhe um produto ou concretizar um negócio.
Então vamos adiante. Pense que você tem dinheiro em algum tipo de poupança/investi-
mento, ou em um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um eletrodoméstico. 
Você deve decidir se paga à vista, mediante saque da aplicação ou do capital de giro da empresa, 
vão indicar-lhe a melhor decisão. Com o domínio destes conhecimentos “aquele” vendedor nunca 
mais irá lhe “passar a perna” dizendo que tal produto é sem juros, sem acréscimo, mesmo que 
Em relação à área de Recursos Humanos, por exemplo, a Matemática Financeira é utilizada 
no controle do crescimento da folha, variação/evolução salarial, custo de benefícios, encargos 
qualquer setor de uma empresa. As decisões tomadas com base em dados contábeis aumentam 
os riscos, porque partem de dados passados; já as decisões tomadas com base em expectativas 
futuras são mais garantidas. 
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
a do risco e a do retorno. A avaliação do retorno de investimentos é um problema da Matemática 
Financeira e o risco, portanto, é da Estatística, podendo haver a possibilidade de perda. Trata-se 
da possibilidade de se obter um resultado diferente do que se esperava, mas isso faz parte do 
cotidiano das empresas e é preciso correr o risco para chegar a algum resultado.
O enfoque a ser adotado nesta disciplina pretende ser eminentemente prático. O texto traz 
consigo muitos conceitos, os quais são ilustrados com problemas de nosso cotidiano. A descrição 
eletrônicas (Excel) agilizam a resolução dos exercícios aqui apresentados.
Para tanto, antes de iniciarmos os conteúdos propostos, vamos conhecer a calculadora mais 
utilizada nesta área, a HP12C, embora existam outras que poderão ser utilizadas, mas aqui não 
( ... ) o novo é apenas o fruto de nossa imaginação. Levar a cabo um plano novo e agir de acordo com 
um plano habitual são coisas tão diferentes quanto fazer uma estrada e caminhar por ela. 
desenvolvido será também apresentado o procedimento de como utilizá-la, mas é necessário 
ressaltar que o conhecimento da fórmula é indispensável para melhor desenvolver os conteúdos 
deste componente:
1. ALGUNS PASSOS PARA CONHECER A HP 12
A maioria das calculadoras quando compradas não estão adequadas a nossa nomenclatura 
monetária, ou seja, no lugar do ponto tem vírgula e no lugar da vírgula tem ponto. Como todos 
nós sabemos, no Brasil utiliza-se a vírgula para separar a parte fracionária da parte inteira.
Exemplo: Digite o número 2.436,45, se apresentar 2,436.45, é sinal que não está adequada 
a nossa nomenclatura; precisamos transformar a tecla ponto em vírgula. Vamos adequá-la!
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Marlene Köhler Dal Ri
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1º. É feita da seguinte forma a operação de adequação: desligue a máquina (é só teclar ON), pres-
sione a tecla ON; mantendo-a pressionada; agora pressione a tecla de menos (-), mantendo-a 
também pressionada; devagar solte ON depois solte (-). Após fazer esta operação é necessário 
que no visor apareça “Pr Errar”. Caso isso não ocorrer, você deve repetir a operação.
2º. Agora desligue a máquina e ligue novamente, irá aparecer no visor “0.00”.
3º. Digite um número, por exemplo 2.436,45. No visor aparecerá 2,436.45. Esta notação é ame-
ricana, pois usam ponto (.) para separar a parte fracionária.
4º. Pressione f REG. Digite o número: 2.436,45. No visor vai aparecer 2,436.45. Agora novamente 
desligue a máquina. Pressione a tecla ON e mantendo-a pressionada, pressione a tecla ponto 
(.), mantendo-a também pressionada. Solte ON, solte (.).
Pronto. Agora sua máquina está adequada para resolver nossos cálculos com a nomencla-
tura utilizada no Brasil.
 
 Que legal, 
ficou dez! 
2. ALGUMAS OPERAÇÕES BÁSICAS DE COMO UTILIZAR AS TECLAS
 Assista ao vídeo que se encontra na biblioteca virtual.
Resolva:
1) Que dia da semana, com base na data de 21.10.2009, será daqui a 110 dias?
2) Que dia da semana, com base na data de 21.10.2003 foi há 110 dias?
3) Que dia da semana será 30.10.2010?
4) Que dia da semana você nasceu?
5) Troque o sinal do número 28. 
6) Calcule:
a) b) c) d) 
+ x 
e) 12% de 500
f) que percentual representa 28 para 300?
ram R$ 5.500,00, das quais R$ 3.250,00 foram de pagamentos à vista e o restante de vendas a 
prazo. Pergunta-se: que percentual representa as vendas à vista e a prazo?
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Unidade 1
JUROS SIMPLES
OBJETIVOS DESTA UNIDADE
• Ensinar como calcular juros simples e onde aplicar o cálculo destes juros.
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE
Seção 1.1 – Juros Simples
Seção 1.2 – Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio
Seção 1.3 – Desconto Simples
Seção 1.4 – Equivalência de Capitais – Juros Simples
1
1
Se por acaso você ou outra pessoa possuicerta 
quantia de dinheiro, que neste momento se encontra 
inteiramente livre, ou seja, não está destinada para 
nada, mas daqui a algum tempo este valor será utiliza-
do para algum investimento, o que será que qualquer 
pessoa faria?
rendimento sobre este capital disponível. Não esqueçam:
1 Disponível em: <http://www.artshopping.com.br/lojavirtual/images/charge-lula-juros%20copy.gif>. Acesso em: 15 nov. 2008.
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Esta aplicação consiste numa operação de juros, que assim podemos determinar: “Cer-
ta quantia paga por um capital aplicado por um determinado tempo a uma determinada taxa 
denomina-se juros”. Os juros pagos por este capital tanto podem ser simples como compostos.
Seção 1.1
Juros Simples
Conceito:
Juros Simples: é a quantia obtida ou paga por um capital aplicado em um determinado 
tempo a uma determinada taxa e tomando sempre por base o capital inicial.
O montante é o valor obtido pela soma do capital inicial mais os juros obtidos ou pagos, 
calculados sobre este valor.
Por exemplo:
Foi aplicado um capital no valor de R$ 100,00 durante 4 meses; a taxa desta operação é de 
10% ao mês. Qual o valor dos juros obtidos?
ras. Assim teremos:
Juros no período: (observem, 
os juros são calculados sem-
pre sobre o capital inicial)
Montante no 
período
1º mês 100,00x 10%x1 = 10,00 110,00
2º mês. 100,00x 10%x2 = 20,00 120,00
3º mês 100,00x 10%x3 = 30,00 130,00
4º mês 100,00x 10%x4 = 40,00 140,00
As fórmulas para resolução de problemas agilizam os cálculos, mas quero aqui chamar a 
obtidos, para que servem e onde serão aplicados.
A seguir estão apresentadas as fórmulas para operações em juros simples, juntamente com 
as orientações necessárias que devem ser observadas e compreendidas.
M= C + j ↔ M=140,00 
 J= 40,00 
 
100,00
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
FÓRMULA GERAL: . .J C i t=
Onde: J = juros (é o resultado do aumento do capital obtido no período aplicado)
C = capital inicial (é o valor aplicado no início da operação) 
I = taxa (é o percentual que incide sobre o capital inicial) 
• Quando multiplicarmos a taxa pelo tempo (desde que estejam na mesma unidade de tempo, 
ou seja: mês/mês, ano/ano, etc.) teremos a taxa no período da aplicação.
Fórmulas derivadas de juros simples:
.
jC
i t
=
 
.
ji
c t
=
 
.
j
t
c i
=
 
1.1.1 – MONTANTE DE JUROS SIMPLES
M C j= + ou M C Cit= +
 . 1M C it= + 
Orientações: 
• O valor dos juros é constante em cada período.
cada mês os juros obtidos sempre serão calculados sobre o capital inicial. Cuidado! Diferente 
é o juro composto, que será objeto de estudo na Unidade 2. 
• Os juros obtidos são diretamente proporcionais ao período da operação efetuada.
• Nas operações é necessário que o período determinado e a taxa estejam na mesma unidade de 
tempo.
• Quando for necessário alterar a unidade da taxa, esta deverá ser calculada por meio de taxas 
proporcionais e utilizada na forma unitária, conforme você poderá visualizar no exemplo a 
seguir.
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Ex.:
• 5% ao mês = 5 100 taxa unitária de 0,05 ao mês
• 100% ao ano = 100 100 taxa unitária de 1 ao ano
• 5% ao mês, em dois meses = (10/100) taxa unitária de 0,10 em 2 meses
1.1.2 – TAXA PROPORCIONAL 
Denominamos taxa proporcional quando são diretamente proporcionais aos respectivos 
que ela é de 2% ao mês (0,02 taxa unitária). 
Não se preocupe, entretanto, pois na sequência do conteúdo estudaremos um capítulo 
sobre as taxas.
1 ano tem 12 meses 1 ano = 12 meses
1 bimestre = 2 meses 1 ano = 6 bimestres
1 trimestre = 3 meses 1 ano = 4 trimestres
1 quadrimestre = 4 meses 1 ano = 3 quadrimestres
1 semestre = 6 meses 1 ano = 2 semestres
Exercícios resolvidos:2
recebidos se a taxa cobrada foi de 5% ao mês?
C ou Pv = capital inicial – R$ 500,00
i = taxa 5% a.m. taxa unitária = 5/100 
n ou t = tempo de aplicação – 6 meses.
Fórmula: . .J C i t= 
Resolução: 500,00 0,05 6J x x= 150,00J =
Resposta: os juros recebidos foram de R$ 150,00
A taxa de juros no período foi de (6 x 0,05=0,30), ou seja, 30%.
2 Muitos resolvem por regra de três os problemas que envolvem juros simples. Aqui usaremos sempre a fórmula. Por que? Quando o 
tempo e a taxa não se encontram na mesma unidade de tempo a utilização da fórmula facilita a resolução dos problemas. 
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Passos na HP: primeiro digite f reg.
Digite 500,00; tecle enter; agora digite 0,05; digite x (vezes); digite 6; digite x (vezes). 
Pronto. Aparecerá no visor 150,00.
Lembre-se: a taxa e o período de aplicação estão em unidades de tempo diferentes, é ne-
cessário deixar na mesma unidade de tempo.
C = 1.800,00 
i = 12% a.a. (ao ano3) = 1% ao mês = 0,01 (taxa unitária) 
T = 6 meses 
J = ? 
Fórmula: . .J C i t=
Resolução: 1.800,00 0,01 6j x x= 108,00j =
Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 108,00
Passos na HP: primeiro digite f reg
 Digite 1.800,00, tecle enter, agora digite 0,01, digite x (vezes), digite 6, digite x (vezes). 
Pronto. Aparecerá no visor 108,00.
3) José empregou um capital que rendeu R$ 1.080,00 de juros, num período de 2 anos, com taxa 
de 3% a.m. Qual o valor do capital inicial aplicado por José?
i = 3% a. m. = 0,03 a. m. 
t = 2 anos = 24 meses 
J = 1.080,00 
C = ?
3
 Simbologia: 
ao ano = a.a ao trimestre = a.t ao semestre= a.s.
ao mês = a.m. ao quadrimestre = a.q na quinzena= a.qz
ao bimestre = a.b
 Lembro!!! Assisti o vídeo. 
Não posso esquecer de limpar 
a memória (f reg)... do 
contrário... 
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
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Fórmula: 
.
jC
i t
=
Resolução: 
1.080,00 
0,03 24
C
x
= 1.500,00C =
Resposta: o valor do capital inicial aplicado foi de R$ 1.500,00
 Passos na HP: primeiro digite f reg
digite 1.080,00; tecle enter; agora digite 0,03; digite : (dividido); digite 24; digite : (dividi-
do). Pronto. Aparecerá no visor 1.500,00. 
4) Maria aplicou R$ 800,00 durante um período de 2 anos e 4 meses. Ao término deste tempo, o 
montante obtido foi de R$ 2.400,00. Responda a que taxa anual esteve aplicado este capital.
C = 800,00
i = ? 
t = 2 anos e 4 meses = 28 meses 
j = (M – C) = 1.600,00 
Lembre-se: a resposta sempre resultará em valores unitários e com a mesma unidade em 
que foi utilizado o tempo. No exemplo 4 o tempo está representado em meses, portanto o valor 
calculado resultará em taxa mensal (neste exemplo). Para resultar em taxa anual deve-se mul-
tiplicar por 12.
Fórmula: 
.
ji
c t
=
Resolução: 
1.600,00 12 0,8571428
800,00 28
xi
x
= = 85,71428%i = ao ano
Resposta: a taxa anual em que esteve aplicado este capital foi de 82,71428%
Passos na HP: primeiro digite f reg. 
Digite 1.600,00; tecle enter; digite 12; digite x (vezes); digite 800,00; digite : (dividido); 
digite 28; digite : (dividido). Pronto. Aparecerá no visor 0,8571428; digite 100; digite x. Confor-
me adaptou a calculadora com os números após a vírgula, poderá apresentar mais ou menos 
números decimais.
5) José aplicou R$ 3.000,00, durante certo período, e obteve a quantia de R$ 900,00 referente 
aos juros produzidos. Sabemos que a taxa paga foi de 20% ao ano. Que período foi necessário 
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Lembre-se: você deve deixar a taxa e o tempo na mesma unidade e a resposta sempre 
resultará na unidade utilizada pela taxa. No exemplo a seguir a taxa será resolvida em meses; 
consequentemente o tempo resultará em meses.4
C = 3.000,00
i = 20% ao ano = (0,20/12) (taxa mensal)
t = ? 
j = 900,00
Fórmula: 
.
j
t
c i
= 
Resolução: 
900,00 12 18
3.000,00 0,20
x
t meses
x
= = ou 1 . 6t a m=
Resposta: o período foi de 1 ano e 6 meses
Obs.: se tivéssemos deixado a taxa em ano, o resultado obtido seria em anos, (1,5 ano).
Passos na HP: primeiro digite f reg 
 Digite 900,00; tecle enter; digite 12; digite x (vezes); digite 3.000,00; digite : (dividido); 
digite 0,20; digite : (dividido). Pronto. Apareceráno visor 18. 
A seguir apresentamos um exemplo no qual a resposta não se encontra exata. E agora, 
como fazer?
6) Manoela aplicou R$ 3.200,00 durante certo período e obteve a quantia de R$ 900,00, referente 
aos juros produzidos. Sabemos que a taxa paga foi de 20% ao ano. Que período foi necessário 
C = 3.200,00
I = 20% ao ano = (0,20) 
t = ? 
j = 900,00
Fórmula: 
.
j
t
c i
=
Resolução: 
900,00 1,40625...
3.200,00 0,20
t anos
x
= = 
Resposta: Como a resposta não poderá ser representada neste formato, é necessário fazer 
uma transformação, como no exemplo a seguir:
4 Quando transformada a taxa anual em mensal, poderá ser utilizado o valor obtido pela divisão destes valores, mas é preciso chamar a 
atenção para a necessidade de que sejam utilizadas no mínimo 5 casas após a vírgula, por isso foi demonstrado o cálculo com a taxa 
fracionária, para que não ocorram distorções nas respostas. 
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• 1 representa o tempo inteiro, que neste exemplo é o ano
• 0,40625 são meses (0,40625 x 12 = 4,875) = 4 meses
• 0,875 são dias (0,875 x 30 = 26,25) = 26 dias (ainda não são cobrados juros por hora, graças a 
Deus!).
Resposta: 1 ano, 4 meses e 26 dias aproximadamente 
 Passos na HP: primeiro digite f reg 
• digite 900,00; tecle enter;
• digite 3.200,00; digite : (dividido); 
• digite 0,20; digite : (dividido); 
• (pronto aparecerá no visor 1,40625); digite 1 – (menos); 
• (aparecerá no visor 0,40625 que representa a fração dos meses de um ano); agora digite 12 x 
(vezes); 
• (aparecerá no visor 4,875 que representa meses); agora digite 4; digite – (menos) ( aparecerá 
no visor 0,875 que representa a fração de dias em um mês);
• digite 30; digite vezes (aparecerá no visor 26,... que representa dias).
7) Qual o valor necessário que Maria precisa aplicar hoje para obter um montante de R$ 5.600,00 
daqui a 6 meses, sabendo-se que a taxa oferecida é de 24% ao ano? 
Lembre-se: montante é igual ao capital mais os juros, e como neste caso não foi informado 
o valor dos juros, a fórmula necessária para obtermos o valor do capital é: 
M = 5.600,00
i = 24% ao ano = 0,24/ 12 (taxa mensal) = 0,02 
t= 6 meses 
C= ? 
Fórmula: . 1M C it= + então 
1 .
MC
i t
=
+
Resolução: 
5.600,00
1 0,02 6
C
x
=
+
 
5.600,00
1 0,12
C =
+
 
 5.000,00C =
Resposta: o valor necessário (capital) é de R$ 5.000,00
EaD
19
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Passos na HP: f Reg5
 5.600,00 enter 1 enter 0,02 entre 6 x + : 
ples? Como você resolveria um problema no qual o tempo é apresentado com data? 
Lembre-se: sempre quando for expresso o período com data, 
po), contar os dias conforme o calendário (dias exatos). 
Atenção!!! Em relação à taxa, vejamos o exemplo a seguir:
mesmo ano e a taxa de juros cobrada foi de 5% a.m. Quais os juros cobrados?
Janeiro (31 – 12) = 19 dias; Fevereiro = 28 dias; Março = 16 dias – o total de dias neste 
período é igual a 63 (não foi mencionado o ano, então não se considera ano bissexto).
C = 3.650,00
i = 5% a.m. (nos juros comerciais, a taxa é considerada sempre levando-se em conta que 
um mês é igual a 30 dias, para efeito de divisão, mesmo que o período seja considerado pelos 
dias do mês) então: 
C = 3.650,00 
i = 0,05 ao mês = 0,05 0,00166666630 = (taxa unitária) 
T = 63 dias
Fórmula: . .J C i t=
Resolução: 3650,00 0,00166666... 63 383,25J x x= =
Resposta: Juros comerciais igual a R$ 383,25
 Passos na HP: f Reg
• 3.650,00 enter 0,001666666 x 63 x 
 E se for mencionado no problema “juros exatos”? Como calcular?
5 Agora que já praticaram os cálculos com os passos da HP, e se ainda tiverem dúvidas, revisem os materiais iniciais da utilização da 
máquina que está disponibilizada na biblioteca. A seguir serão apresentadas somente as teclas que devem ser digitadas.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
20
1.1.3 – JUROS EXATOS
Nos juros exatos consideramos o ano civil igual a 365 dias e quando for ano bissexto, igual 
a 366 dias. Além disso, contemplamos os dias do mês conforme os dias do calendário; exemplo: 
12 de janeiro a 16 de março, ou seja, neste caso no mês de fevereiro conta-se exatamente o nú-
mero de dias que apresenta e não um mês igual a 30 dias.
Lembre-se: calculamos juros exatos sempre que estiver sendo 
mencionado no problema a solicitação deste.
Com os dados do problema anterior vamos calcular os juros exatos e comparar a diferença 
entre as respostas.
mesmo ano, e a taxa de juros cobrada foi de 5% a.m. Quais os juros exatos cobrados?
C = 3.650,00
i = 5% a.m. (neste caso deixar a taxa em dias torna-se impossível, pois dividir por 30, ou 
31 ou 28 não seria exato, é necessário deixá-Ia em ano)
i = 5% x 12 = 60% a.a. = 0,60 taxa unitária 
t = 63 dias taxa? 
Fórmula: . .J C i t= ( é a mesma dos juros comerciais) 
 
Resolução: Jex =? 
3.650,00 0,60 63
 365 
x x
= 378,00jex =
Resposta: os juros exatos cobrados serão de R$ 378,00.
Passos na HP: f Reg
3.650,00 enter 0,60 x 63 x 365 : 
Vejam a diferença dos resultados: juros comerciais de R$ 383,25 e juros exatos de R$ 378,00. 
Por que será que deu essa diferença? 
EaD
21
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Vamos raciocinar: nos juros comerciais o tempo está em 
dias (na contagem para o tempo aplicado, consideramos 365 
dias, mas a taxa foi dividida por 30, ou seja, ano de 360). Já nos 
juros exatos a taxa e o tempo foram considerados com base em 
um ano de 365 dias; então a taxa diária nos juros comerciais é 
maior que nos juros exatos.
 
Entendi... e também 
verifico que preciso 
saber os conceitos, 
fórmulas e depois 
...calculadora 
 
1.1.4. – MÉTODO HAMBURGUÊS: APLICAÇÃO DO REGIME DE JUROS SIMPLES
uma conta corrente quando esta se encontra negativa, ou ainda no caso dos cheques especiais, 
Para resolução deste tipo de situação, o método hamburguês aplica os juros simples pelos 
dias que o saldo devedor se encontra negativo e a taxa fornecida mensal deve ser considerada 
a linear.6
Fórmula: .
30
miJt x SD n= ∑
Onde JT= juros totais
 im = taxa mensal 
 SD . n = Saldo devedor vezes o número de dias 
cobra juros de 8% ao mês sobre o saldo devedor. Qual o valor necessário para ser depositado no 
mensalmente caso não ocorra a sua quitação.
data histórico débito crédito Saldo
31/12/20xx SLD ENC 5.000,00 
04/01/20xx cheque compensado 7.000,00 (2.000,00)
 Depósito em dinheiro 1.500,00 (500,00)
04/01/20xx Saldo (500,00)
08/01/20xx cheque compensado 600,00 (1.100,00)
08/01/20xx Saldo (1.100,00)
12/01/20xx cheque compensado 1.200,00 (2.300,00)
 débito em conta 540,00 (2.840,00)
 depósito em dinheiro 3.000,00 160,00 
6 Taxa linear é a taxa mensal fornecida que é considerada juro simples, a não ser que seja proporcionada a taxa diária. Caso esta for 
oferecida, utiliza-se a diária.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
22
12/01/20xx Saldo 160,00 
18/01/20xx depósito em dinheiro 3.000,00 3.160,00 
 depósito cheque liberado 650,00 3.810,00 
18/01/20xx Saldo 3.810,00 
20/01/20xx cheque compensado 2.300,00 1.510,00 
 cheque compensado 1.900,00 (390,00)
20/01/20xx Saldo (390,00)
25/01/20xx cheque compensado 5.000,00 (5.390,00)
25/01/20xx Saldo (5.390,00)
30/01/20xx depósito em dinheiro 4.200,00 (1.190,00)
 30/01/20xx Saldo (1.190,00)
Passos para resolver:
2º. Multiplicar os dias pelo valor do saldo negativo;
3º. Aplicar a fórmula para encontrar o valor dos juros mensais.
Obs.: no exemplo anterior os juros são calculados até o último dia do mês, ou seja, até 
31/01/20xx , valor este que será debitado no dia 1º do mês seguinte.
dos os juros, referente à contagem dos dias no mês, pois muitos consideram os dias úteis do mês 
e a taxa diária também. Aqui faremos este exemplo que servirá como base para todos; só devem 
ter o cuidado de possuir as informações corretas referentes aos dias e taxas cobradas no mês. 
Vamos lá:
que representa 4 dias negativos, e assim sucessivamente.Após efetuarem esta operação, multi-
pliquem os dias pelo saldo devedor, conforme tabela a seguir.
Data Histórico Saldo no dias no Dias x S/D 
31/12/20xx SLD ENC 5.000,00 
04/01/20xx Saldo (500,00) 4 (2.000,00)
08/01/20xx Saldo (1.100,00) 4 (4.400,00)
12/01/20xx Saldo 160,00 
18/01/20xx Saldo 3.810,00 
20/01/20xx Saldo (390,00) 5 (1.950,00)
25/01/20xx Saldo (5.390,00) 5 (26.950,00)
30/01/20xx Saldo (1.190,00) 2 (2.380,00)
01/02/200xx juros 
Fórmula: .
30
miJt x SD n= ∑
Resolução: somatória dos dias x S/D = 37.680,00
0,08 37.680,00
30
Jt x= 100, 48Jt =
EaD
23
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Resposta: os juros a serem debitados serão de R$ 100,48
Passos na HP: f Reg
0,08 enter 30 : 37.680,00 x 
O saldo devedor em 31/01/200xx era de R$ 1.190,00, mais os juros devidos de R$ 100,48, 
dos juros sobre o saldo devedor, e assim sucessivamente. Essa incidência de juros é considerada 
juros capitalizados.
1º. Leia com atenção, pense bem o que representam as 
respostas.
2º. Repita a fórmula em cada exercício, pois a aprendizagem 
nesta área depende de fazê-los por repetidas vezes.
guir depende muito da continuidade do entendimento exposto.
4º. Boa sorte!
Exercícios de aprendizagem:7
recebidos se a taxa cobrada foi de 7% a.t.?
2) Calcule os juros simples produzidos por um capital no valor de R$ 12.350,00, aplicados à taxa 
de 28% a.a., durante 145 dias.
3) Qual o capital que rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias se foi aplicado a juros simples com 
taxa de 1,2% a.m.?
4) Considerando juros simples, qual o tempo necessário para triplicar um capital aplicado se a 
taxa for de 15% ao semestre?
5) Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 30% ao ano, gerou, depois de certo 
Calcule o valor deste capital.
7
 • Utilize sempre a fómula para resolução dos exercícios.
 • As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
24
7) Certa pessoa contraiu uma dívida de R$ 2.750,00, pagando-a 7 meses depois. Os juros cobra-
dos nesse período resultaram num valor de R$ 750,00. Qual foi a taxa anual dos juros simples 
cobrada? 
8) No dia 5 de maio de 2005 João emprestou a quantia de R$ 6.500,00, cobrando 3,5% ao mês (ju-
ros simples). Em 28 de agosto do mesmo ano a quantia emprestada foi devolvida. Calcule:
a) juros e montante, considerando para o cálculo juros comerciais;
b) juros e montante, considerando para o cálculo juros exatos.
9) Em quanto tempo um capital triplica de valor se a taxa cobrada é de 35% ao ano, considerando 
juros simples? 
10) A que taxa deverá certa empresa aplicar seu capital de R$ 12.000,00 para que, em 1 ano e 3 
meses, renda juros equivalentes a 60% de si mesmo?
11) Se em 4 meses o capital de R$ 20.000,00 rende R$ 4.000,00 de juros simples à taxa de 5% 
ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 60% ao 
ano?
que cobra juros de 7,5% ao mês sobre o saldo devedor. Qual o valor necessário para ser de-
é incorporado mensalmente, caso não ocorra a sua quitação.
Data Histórico Débito Crédito Saldo
31/03/20xx SLD ENC 5.000,00 
03/04//20xx cheque compensado 6.300,00 (1.300,00)
03/04/20xx Saldo (1.300,00)
10/04/20xx cheque compensado 1.200,00 (2.500,00)
10/04/20xx Saldo (2.500,00)
14/04/20xx cheque compensado 600,00 (3.100,00)
 débito em conta 750,00 (3.850,00)
 depósito em dinheiro 2.000,00 (1.850,00)
14/04/20xx Saldo (1.850,00)
20/04/20xx depósito em dinheiro 3.600,00 1.750,00 
 depósito cheque liberado 650,00 2.400,00 
20/04/20xx Saldo 2.400,00 
25/04/20xx cheque compensado 3.100,00 (700,00)
 cheque compensado 2.200,00 (2.900,00)
25/04/20xx Saldo (2.900,00)
27/04/200xx depósito em dinheiro 1.500,00 (1.400,00)
27/04/200xx Saldo (1.400,00)
Obs.: Para os alunos que possuem conhecimento em planilhas eletrônicas (Excel), o desenvol-
vimento se torna rápido.
EaD
25
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Seção 1.2
Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio
Iniciaremos esta seção esclarecendo alguns conceitos que nos servirão de base para a 
sequência de estudos.
Qualquer investimento (comprar produtos) geralmente possui valores diferentes com preços 
diferentes. Estes são comercializados em vários períodos e também com taxas de comercialização 
diferentes, porém, se quisermos saber em média qual o capital, taxa ou tempo que estes inves-
resultados? Vamos agora calcular e vejam como é fácil. 
seção:
Prazo médio é o tempo único que substitui vários tempos de vários capitais de várias taxas, 
produzindo os mesmos juros.
 Prazo médio =
......
.......
cit cit cit
ci ci ci
+ +
+ +
 
Taxa média é a taxa única que substitui vários tempos de vários capitais de várias taxas, 
produzindo os mesmos juros. 
Taxa média = 
......
.......
cit cit cit
ct ct ct
+ +
+ +
Capital médio: é o valor de um capital único, que substitui vários tempos de vários capitais 
de várias taxas, produzindo os mesmos juros.
 Capital médio = 
......cit cit cit
it it it
+ +
+ +
capitais forem os mesmos (ou a taxa, ou o tempo), estes não serão empregados no cálculo, mas se 
o cálculo. Veremos a seguir, nos exemplos desenvolvidos, mas ainda temos outros lembretes que 
merecem atenção:
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
26
Lembre-se:
1º) Quando não for mencionado o valor da taxa, do tempo e/
ou do capital, tudo bem, não é necessário incluir no cálculo, porque 
está implícito que todos são iguais.
2º) Quando utilizada a taxa, também não é necessário trans-
formá-la em valores unitários, ou seja, dividi-Ia por 100, porém 
todas devem estar na mesma unidade de tempo, ou seja; todas em 
mês, bimestre, etc.
de tempo, mas é necessário que todas as taxas sejam expressas na 
mesma unidade de tempo (anteriormente já explicado). Idem para 
expressar o período de aplicação. 
Ex.: se as taxas estiverem todas em mês e os tempos em ano, 
tudo bem, pode prosseguir o cálculo.
Vamos resolver alguns exercícios, assim poderemos com-
preender melhor.
Exercícios resolvidos
1) Maria aplicou três capitais no valor de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 4.000,00, que foram co-
locados à mesma taxa durante 5, 6 e 8 meses, respectivamente. Qual o tempo médio em que 
poderiam ser empregados estes capitais, para que apresentassem os mesmos juros obtidos 
nesta aplicação?
Obs.: a taxa não foi mencionada no problema, mas tudo bem, vamos deixá-la fora do cál-
culo, e como o tempo, no problema, está em meses, a resposta será em meses.
 Fórmula: P
M
 =
......
.......
cit cit cit
ci ci ci
+ +
+ +
Resolução: P
M
 = 
3.000,00 5 5.000,00 6 4.000,00 8
3.000,00 5.000,00 4.000,00
x x x+ +
+ +
 
 PM = 
15.000,00 30.000,00 32.000,00
12.000,00
+ +
 
 PM = 
77.000,00
12.000,00
= 6,416667 esesm
Resposta: 6,41667 meses (devemos deixar em meses e dias).
Ou melhor, é igual a 6 meses e 12 dias aproximadamente.
EaD
27
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Passos na HP: f Reg
3.000,00 enter 5 x 5.000,00 enter 6 x + 4.000,00 enter 8 x + 3000,00 enter 5000,00 + 
4000,00 + : 
– Vamos entender o que representa o valor obtido:
Se fossem postos os capitais antes mencionados nos seus respectivos períodos, os juros 
obtidos seriam de R$ 385,00 (demonstrado a seguir), e para obter os juros você deve lembrar-se 
do conteúdo já estudado. Não esqueça que aqui, taxa e tempo devem estar na mesma unidade 
(entre si) para efetuarmos o cálculo dos juros. 
Capital inicial taxa hipotética8 tempo juros j = cit
3.000,00 6% ao ano 5 meses = 75,00 
5.000,00 6% ao ano 6 meses = 150,00 
4.000,00 6% ao ano 8 meses = 160,00 
Juros totais 385,00 
Vamos agora substituir o tempo com os valores obtidos na resposta anterior (6 meses e 12 dias).8
Capital inicial taxa hipotética tempo juros j = cit
3.000,00 6% ao ano 6 m. 12 d = 96,00 
5.000,00 6% ao ano 6 m. 12 d = 160,00 
4.000,00 6% ao ano 6 m. 12 d = 128,00Juros totais 384,00 
Por que os juros totais não são iguais? É porque o tempo foi aproximado. Quando este é 
exato a resposta será idêntica. 
2) Uma instituição tem seus capitais de reserva empregados da seguinte maneira: R$ 400,00 a 
6% ao semestre, durante 1 ano; R$ 200,00 a 14% ao ano, durante 4 meses; R$ 100,00 a 3,175% 
ao trimestre, durante 6 bimestres, e R$ 900,00 a 1,25% ao bimestre, durante 9 meses. A que 
taxa média corresponde este emprego? 
Primeiramente precisamos deixar os dados em unidades iguais, ou seja, as taxas na mesma 
unidade e os tempos também (lembre-se de que não é necessário que taxa e tempo estejam na 
mesma unidade de tempo).
Taxas Taxas proporcionais Períodos Unidades de tempo iguais
6% a.s. 12% a.a. 1 a. 12 m
14% a. a. 14% a.a. 4 m. 4 m
3,175% a.t 12,70% a.a 6 b. 12 m
1,25% a.b 7,50% a.a. 9 m. 9 m
8 Em qualquer taxa que for considerada para o cálculo, a resposta será a mesma.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
28
Agora podemos iniciar os cálculos
Fórmula: Taxa média = 
......
.......
cit cit cit
ct ct ct
+ +
+ +
 
Resolução: 
400,00 12 12 200,00 14 4 100,00 12,70 12 900,00 7,50 9Im
400,00 12 200,00 4 100,00 12 900,00 9
x x x x x x x x
x x x x
+ + +
=
+ + +
 
144.790,00Im
14.900,00
= Im 9,71745=
Resposta: aproximadamente 9,71745% ao ano.
 
Quanto número!!! Que nada, é só prestar 
atenção nos passos e tudo dará certo. 
Passos na HP: f Reg
400,00 enter, 12 x 12 x 200,00 enter, 14 x 4 x +100,00 enter, 12,70 x12 x + 900,00 enter, 
7,5 x 9 x + (aparecerá no visor 144.790,00 valor total do numerador) 400,00 enter, 12 x 200,00 
enter, 4 x + 100,00 enter, 12 x + 900,00 enter, 9 x + (aparecerá no visor 14.900,00 o valor total do 
denominador), agora é só digitar dividido ( : ); Veja no visor aparecerá 9,717449664; arredondar 
com no mínimo 5 casas após a vírgula quando se trata de taxa.
3) Três capitais foram colocados a juros, a saber: R$ 20,00 a 5% a.m., em 20 dias; R$ 40,00 a 6% 
a.m, em 45 dias, e R$ 60,00 a 3% a.m., em 5 meses. Ache um capital único para que este capital 
produza os mesmos juros.
 Neste exemplo as taxas estão todas na mesma unidade de tempo e em relação aos perí-
odos só temos de adaptar os 5 meses em dias, que equivalem a 150 dias. Agora é só calcular.
Fórmula Capital médio = 
......cit cit cit
it it it
+ +
+ +
Resolução: 
20,00 5 20 40,00 6 45 60,00 3 150
5 20 6 45 3 150
x x x x x xCm
x x x
+ +
=
+ +
 
39.800,00
820,00
Cm = 48,54Cm = 
Resposta: o capital médio é de R$ 48,54 aproximadamente.
Passos na HP: f Reg
20,00 enter, 5 x 20 x 40,00 enter, 6 x 45 x + 60,00 enter, 3 x150 x + 5 enter, 20 x 6 enter, 
45 x + 3 enter, 150 x + :
Teste seus conhecimentos! Vamos resolver:9 
9 As fórmulas anteriores também servem para calcularmos a taxa, prazo e capital médio quando se refere a títulos de descontos.
As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade.
EaD
29
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
1) Os capitais de R$ 400,00 e R$ 300,00 foram colocados à mesma taxa de 6% ao ano, durante 
1 ano e 5 meses, e 1 ano e 2 meses respectivamente. Durante quanto tempo deveria ser em-
pregada a soma desses capitais, à mesma taxa, para que os juros produzidos fossem iguais ao 
tempo médio?
2) Tenho 3 notas promissórias: uma no valor de R$ 1.500,00 a.m., com vencimento para 40 dias; 
outra de R$ 1.900,00 com vencimento para 50 dias e outra de R$ 2.100,00 com vencimento 
para 2 meses, sendo de 5% ao bimestre a taxa de desconto. Determine um prazo único para o 
vencimento das 3 parcelas. 
3) O senhor José emprestou dinheiro a três pessoas, A, B e C, a juros simples, de acordo com o 
quadro a seguir:
Pessoa Valor Taxa mensal Prazo (em meses)
A 5.000,00 3,0% 5
B 3.000,00 2,0% 7
C 4.000,00 1,50% 10
Sabendo-se que o valor emprestado mais os juros serão pagos numa única vez, nos respec-
tivos prazos, determine a taxa mensal média correspondente a estas três operações.
4) Tenho notas promissórias iguais, no valor de R$ 5.000,00, com os seguintes prazos de venci-
mentos: 30, 35 e 40 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto é de 1,8% a. m., qual é o 
prazo médio de vencimento das três letras?
5) Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os 
prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 3% ao mês, 
quatro meses a 4,5% ao mês e dois meses a 30% ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da 
taxa média mensal de desconto é?
6) Tenho três letras iguais de R$ 4.500,00, e foram aplicadas durante 8 meses, 10 meses e 45 dias, 
respectivamente. Como a taxa de desconto é de 25% ao ano respectivamente, qual é o prazo 
médio de vencimento das três letras?
7) Tendo empregado 1/3 de meu capital à taxa de 3 ½ % a.a., a que taxa devo colocar o restante, 
8) Tenho três capitais iguais aplicados de R$ 500,00, a prazos de 30, 40 e 50 dias, respectiva-
mente. Como a taxa média ganha foi de 3,58333% e as taxas ganhas no primeiro e segundo 
capital foi de 2% e 3% ao mês respectivamente, qual o valor da taxa mensal ganha do terceiro 
capital aplicado?
9) Devo R$ 90.000,00 e preciso pagar a metade desse valor à vista, a terça parte deste valor em 
6 meses e o restante em 1 ano. Em que prazo médio poderei liquidar a divida toda, sem que 
os juros se alterem.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
30
10) O Banco MMMX S/A emprestou o total de R$ 2.500.000,00 para diversas pessoas, a juros 
simples, por prazos diferentes, com taxas compreendidas entre 5% e 7% a.m. Todos os em-
préstimos foram liquidados nos seus vencimentos contratados. Determine o prazo médio (em 
meses) desta operação sabendo-se que a média para ela foi de 6% a.m. e que a soma dos 
Seção 1.3
Desconto Simples
Primeiramente vamos entender o que é operação de desconto. 
Um comerciante necessitando de dinheiro para poder pagar seus credores, tendo em seu 
poder duplicatas e notas promissórias de seus clientes (porém com vencimento para prazos 
importância destes valores. A importância recebida será menor que a dos valores constantes nos 
títulos descontados, por que estes títulos ainda não poderão ser cobrados e isso só será possível 
no dia do seu vencimento. Este valor então cobrado (a diferença entre o valor nominal e o valor 
atual) por esta operação é chamado de desconto.
Outro exemplo de desconto a ser considerado é quando um devedor pretende saldar suas 
dívidas antes do vencimento. É lógico que só fará tal operação mediante uma redução de valores. 
Esta redução é chamada de desconto.
O desconto pode ser:
– Desconto comercial ou por fora: quando este é calculado sobre o valor nominal do tí-
tulo.
VA 
 
 VN
– Desconto racional ou por dentro: quando este é calculado sobre o valor atual do título.
VA VN
Obs.: o valor mencionado no título de crédito é chamado de Valor Nominal, e o valor pago pelo 
título (antes do vencimento) é chamado de Valor Atual. A diferença entre estes valores é deno-
minada de desconto.
EaD
31
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
1.3.1 – DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO OU POR FORA 
FÓRMULAS: .(1 )VA VN it= − d VN VA= − ou . .d VN i t=
Onde: VA= Valor atual VN= Valor nominal d = desconto
 i= taxa t = tempo
Lembre-se:
1) Como já mencionado anteriormente, o desconto comercial 
ou por fora é sempre calculado sobre o Valor Nominal do título.
2) Quando não mencionado no problema qual o tipo de des-
conto a ser utilizado, será sempre o desconto comercial ou por fora 
que está sendo requisitado.
 3) Quando for utilizada a taxa e o tempo, a regra é a mesma 
dos cálculos de juros simples, ou seja, ambas na mesma unidade 
de tempo.
Exercícios Resolvidos:10
1) Uma duplicata no valor de R$ 4.000,00, com vencimento para 30 dias, será resgatada hoje. A 
taxa utilizada na operação é de 2% ao mês. Qual o valor do resgate? E qual o desconto con-
cedido? 
Valor Nominal do título = 4.000,00
Taxa = 2% a. m. = taxa unitária de 0,02Tempo = 30 dias = 1 mês
Fórmula: d Nit= 
Resolução: 4.000,00 0,02 1d x x= 80,00d =
4.000,00 80,00VA = − 3.920,00VA =
 
 2% ao mês
VA =? 1 m VN = 4.000,00
Resposta: como o título foi resgatado 1 mês antes do vencimento, o desconto foi de R$ 80,00 
e o Valor Atual pago foi de R$ 3.920,00.
10 Como inicialmente exposto, no caso do desconto simples, estes também podem ser resolvidos por regra de três, mas cuidado, quando 
se refere a desconto comercial o valor nominal é 100% e no desconto racional o valor atual que é 100%.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
32
Passos na HP: f Reg
4.000,00 enter 0,02 x 1 x (no visor aparecerá o valor do desconto; vamos calcular o VA; para isso 
basta digitar o valor nominal do título e inverter a posição dos valores e subtrair) 4.000,00 X�Y – 
1.3.2 – DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO 
FÓRMULAS: 
1
VNVA
it
=
+ 
 ou VA VN d= − 1
Nitd
it
=
+
Onde: VA= Valor atual VN= Valor nominal d = desconto
 i= taxa t = tempo
Lembre-se:
1) Quando for utilizada a taxa e o tempo, a regra é a mesma 
dos cálculos de juros simples, ou seja, ambas na mesma unidade 
de tempo.
2) O Valor Nominal do título também pode ser determinado 
como valor futuro, porque o desconto racional é calculado sobre 
o valor atual do título e seu vencimento é em data posterior à que 
se pretende negociar.
3) O Valor Atual do título também pode ser determinado como 
valor presente (base do desconto racional), pois este valor é o que 
se pretende pagar na data que se está negociando.
4) Como mencionado anteriormente, o desconto racional ou 
por dentro é sempre calculado sobre o Valor Atual do título.
5) Para resolução do desconto racional, este é necessário ser 
mencionado no problema. 
Exercícios Resolvidos:
1) Uma duplicata no valor de R$ 3.000,00, com vencimento para 30 dias, será resgatada hoje, e a 
taxa utilizada na operação é de 2% a.m. Qual o valor do resgate, e qual o desconto concedido, 
se a operação for feita pelo desconto racional?
Valor Nominal do título = 3.000,00 
Taxa = 2% a. m. = taxa unitária de 0,02 
Tempo = 30 dias = 1 mês 
EaD
33
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Fórmula: 
1
Nitd
it
=
+
 e VA VN d= −
Resolução: 
3.000,00 0,02 1
1 0,02 1
x xd
x
=
+
 58,82d = 
 3.000,00 58,82 VA = − 2.941,18VA =
Passos na HP: fReg
3.000,00 enter 0,02 x 1 x 1 <> 0,02 <> 1 x + :
 
 
 2% ao mês
 VA =? 1 m. VN = 3.000,00 
Resposta: como o título foi resgatado 1 mês antes do vencimento, o desconto foi de R$ 58,82 
e o Valor Atual pago foi de R$ 2.941,18.
Diferença entre o desconto por fora e por dentro
 . .dc dr dr i t− =
Muitos problemas apresentam apenas o valor dos descontos e solicitam o Valor Atual ou 
Valor Nominal a ser calculado. Quando isso ocorrer, a fórmula anterior apresenta uma solução 
rápida e fácil de ser utilizada.
Esta mesma fórmula poderá ser aplicada em outros problemas de descontos, tornando o 
cálculo mais ágil.
Exercícios Resolvidos
1) Uma dívida foi paga antes de seu vencimento e obteve, de desconto comercial, um valor de 
R$ 500,00. Se esta mesma dívida fosse descontada pelo desconto racional, teria um desconto 
de R$ 400,00. Qual o valor da dívida?
– Como não temos tempo nem taxa, podemos assim desenvolver:
Fórmula: . .dc dr dr i t− =
Resolução: 500,00 400,00 400,00. .i t− =
– (taxa e tempo) i t = formam uma só incógnita
100,00 400,00. .i t= 100
400
it = . 0, 25i t =
Passos na HP: f Reg
100,00 enter 400,00 :
EaD
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34
Agora temos o valor da “taxa x tempo” (it = 0,25 ou 25%).
– Como já sabemos o valor do dc = 500,00 e do dr = 400,00, poderemos encontrar o valor 
nominal:
– A fórmula mais acessível neste caso é a do desconto comercial:
d VNit= ou muitos adotam a nomenclatura de VN por N, podendo assim ser representada: 
d Nit=
25500,00 .
100
N= 500,00 100
25
xN = 
Resposta: O valor nominal é de R$ 2.000,00
Como podemos entender esta resposta?
Vamos raciocinar sobre os valores encontrados:
 
 25% no período
 VA = 1.500,00 VN = 2.000,00
O desconto comercial foi de R$ 500,00 (valor obti-
do tomando por base o valor nominal do título). 
2) Considerando o desconto racional:
 
 
 
 25% ao mês
 VA =1.600,00 VN = 2.000,00
O desconto racional ou por dentro foi de R$ 
400,00 (valor obtido tomando por base o valor 
atual do título). 
1.3.3 – TAXA DE JURO EQUIVALENTE À TAXA DE DESCONTO OU TAXA DE JUROS EFETIVA
Primeiro vamos entender para que são utilizados os cálculos do conteúdo.
O dinheiro tem valor no tempo, portanto em toda e qualquer operação que podemos pagar an-
tecipadamente, o valor a ser pago deve ser menor que o estipulado para pagamentos futuros.
Por exemplo: um comerciante pretende vender à vista certa mercadoria por R$ 800,00. 
Muitos de seus clientes, porém, só adquiririam o produto se fosse concedido um prazo para pa-
gamento. Assim, o comerciante aumenta 25% e coloca à venda por R$ 1.000,00 para pagamento 
em 30 dias.
 
Oba! Se o preço é a prazo, e se eu 
comprar à vista, vou ganhar 
desconto. De quanto será? 
EaD
35
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Assim, um cliente, ao observar que este preço está sendo oferecido a prazo, desejando 
comprá-lo à vista o desconto que poderá ser concedido será de 20% sobre R$ 1.000,00, para que 
o valor seja igual ao valor pretendido pelo comerciante, ou seja, os R$ 800,00.
Vejamos:
800,00 + 25% = 1.000,00
1.000,00 – 20% = 800,00
Então, 20% de desconto equivalem a uma taxa de juros de 25% no período.
Este exemplo não se refere a prestações, e sim a um determinado período.
As fórmulas a seguir nos auxiliam a resolver os problemas:
 
1
ijid
ij= + 1
idij
id
=
−
 
Onde:
id= taxa de desconto comercial
ij= taxa de juros 
É necessário saber que: 
– Na verdade, o desconto nada mais é do que o valor dos juros que se deixa de pagar como 
antecipação dos pagamentos hoje.
– Esta equivalência é muito utilizada quando é acrescido um percentual nas vendas a prazo 
e para as vendas à vista concede-se descontos.
Exercícios Resolvidos:
1) O preço à vista de uma mercadoria é 20% menor que o valor do preço a prazo. Qual a taxa de 
juros cobrada na venda a prazo? 
Obs.: as vendas a prazo no exemplo citado não estão considerando prestações; estas só são cal-
culadas em juros compostos.
Fórmula: 
1
idij
id
=
−
 
Resolução: 20%id = 0, 20
1 0,20
ij =
−
 25%ij =
Resposta: para conceder um desconto de 20% é necessário acrescer 25% sobre o preço à 
vista da mercadoria.
Passos na HP: f Reg
0,20 enter, 1 enter, 0,20 – :
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
36
2) Se um comerciante acrescer 50% em suas mercadorias quando vende a prazo, qual o desconto 
que poderá conceder nas vendas à vista?
Fórmula: 
1
ijid
ij= +
 Resolução : 50%ij = 0,50
1 0,50
id =
+
 33,33%id =
Resposta: para conceder um desconto de 33,33% é necessário acrescer 50% sobre o preço 
à vista da mercadoria
Passos na HP: f Reg
0,50 enter, 1enter, 0,50 + : 
Teste seus conhecimentos!11
 Nos exercícios a seguir você verá como se aplicam as fórmulas de desconto comercial, 
racional e equivalência de taxa de juros e desconto.
1) Calcule o valor do desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual a R$ 
3.600,00, à taxa de 25% ao ano, que foi pago 42 dias antes do vencimento.
2) Uma promissória com valor igual a R$ 30.856,00 é resgatada por R$ 23.200,00, 90 dias antes 
do vencimento. Sabendo que foi usado o desconto “por fora” nessa operação, calcule a taxa 
mensal de desconto.
3) O valor que deveria ser pago por um título daqui a 2 meses era de R$ 1.400,00. Ao ser pago 
hoje, a importância foi de R$ 1.150,00. Qual a taxa mensal do desconto racional obtido?
4) Sabendo-se que o desconto comercial de um título vale R$ 600,00 e que a taxa de desconto foi 
de 3% a.m., calcule o valor do título se o mesmo foi descontado 20 dias antes dovencimento. 
5) Um título de R$ 25.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, recebeu uma redução 
de R$ 4.000,00. Qual foi a taxa de desconto racional obtida? 
6) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, a 18% a.a., em 2 meses sofreu um desconto 
racional de R$ 50,00. 
7) Qual a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 18% ao período?
8) Qual a taxa que produz desconto comercial equivalentes aos juros de 30% ao período?
9) Preencha o quadro a seguir para que as taxas sejam equivalentes:
11 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade.
EaD
37
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Taxa de juros Taxa de desconto
a] 60% no período equivalente a 
b] 70% no período equivalente a 
c] 40% no período equivalente a 
d] 100% no período equivalente a 
e] equivalente a 60% no período
f] equivalente a 70% no período
g] equivalente a 40% no período
h] equivalente a 100% no período
Seção 1.4
Equivalência de Capitais – Juros Simples 
Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes numa determinada data se nela seus va-
lores atuais são iguais.
O que é capital diferido? Quando dois ou mais capitais forem exigíveis em datas diferen-
tes.
Não podemos esquecer que o dinheiro tem valor no tempo, ou seja: R$ 100,00 hoje é di-
os valores se diferem.
Lembre-se:
Na operação de equivalência de capitais simples, é necessário 
mencionar a data focal, ou seja, a data para a qual se deve ter por 
base a renegociação dos valores. Caso não for mencionada, a data 
focal é o instante 0 (zero), e sempre que não for mencionado qual 
o desconto, usa-se o comercial simples.
Exercícios Resolvidos
1) Uma promissória cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, com vencimento em 30 dias, vai ser 
substituída por outra, com vencimento para 90 dias. Sabe-se que este título pode ser descon-
tado à taxa de 2% ao mês. Qual o valor de face da nova nota promissória?
Resposta:
1º. Não foi determinada data focal, então neste exemplo é zero.
2º. O desconto é comercial.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
38
3º. Não esquecer que desconto comercial é sobre o V.N. do título. 
 
 VN = 2.000,00
 0 30 dias 
1º passo: trazer para o valor atual (VA) o desconto comercial: 
Fórmula: VA = VN (1 – i.t) 
Resolução: VA = 2.000,00 x (1 – 0,02.1)
 VA = 2.000,00 x 0,98 VA = 1.960,00
Resposta: o valor de R$ 1.960,00 é o VA no instante 0 (zero).
Passos na HP: f Reg
2.000,00 enter, 1 enter, 0,02 enter, 1 x – x
2º passo: devemos agora calcular o VN para 90 dias.
 
 VN = ?
VA= 1.960,00 90 dias 
Fórmula: VA = VN (1 – i.t) 
Resolução: 1.960,00 = VN (1 – 0,02.3)
 1.960,00 = VN . (1 – 0,06) 
1.960,00
 
0,94
VN = VN = 2.085,11
Resposta: o valor da nota promissória com vencimento em 90 dias é de R$ 2.085,11. 
 Passos na HP: f Reg
 1.960,00 enter, 1 enter, 0,02 enter, 3 x – :
2) Qual será o valor de uma duplicata que hoje é de R$ 2.000,00 com vencimento para 30 dias, 
que vai ser substituída por outra para 90 dias, pelo desconto simples racional, considerando 
que a taxa utilizada nesta operação é de 2% ao mês?
1º – não foi determinada a data focal: então a dada é zero.
2º – desconto racional.
3º – desconto racional é calculado sobre o VA do título.
EaD
39
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
1º passo � trazer para VA pelo desconto racional
VA 
 
 VN = 2.000,00 
0 30 dias
Fórmula: 
VN
 
1 i . t 
VA =
+
 
Resolução: 
2.000,00
 
1 0,02 . 1
VA =
+
 
2.000,00
 
1,02
VA = 1960,78VA =
Resposta: o valor de R$ 1.960,78 é o VA no instante zero
Passos na HP: f Reg
2.000,00 enter, 1 enter, 0,02 enter, 1 x + :
2º passo: devemos agora calcular o VN para 90 dias.
 
 0 90 dias
VA = 1.960,78 VN = ? 
Fórmula:
VN
 
1 i . n
VA =
+
 
Resolução: 1.960,78
1 0,02 . 3
VN
=
+
 1.960,78
1,06
VN
= 
VN = 1.960,78 x 1,06 VN = 2.078,43
Resposta: o valor da nota promissória vencível em 90 dias é de R$ 2.078,43. 
Passos na HP: f Reg
1.960,78 enter, 1 enter, 0,02 enter, 3 x + x
 
Ihh... não adianta, preciso mesmo saber interpretar os 
problemas, raciocinar, saber fórmulas e depois saber 
como usar a calculadora. Preciso estudar... 
Exercícios Propostos12
1) Um título de R$ 5.000,00 e outro de R$ 8.000,00 vencem em 60 e 90 dias respectivamente. 
Qual seria o valor nominal de um novo título com vencimento para 30 dias, que substituiria 
estes títulos, se a taxa de desconto comercial simples é de 10% ao mês?
12 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
40
2) Um título de R$ 5.000,00 e outro de R$ 8.000,00 vencem em 60 e 90 dias respectivamente. 
Qual seria o valor nominal de um novo título com vencimento para 30 dias, que substituiria 
estes títulos, se a taxa de desconto racional simples é de 10% ao mês?
SÍNTESE DA UNIDADE 1
Ao término desta Unidade você deverá ter compreendido os prin-
e seus conceitos básicos, bem como a sua utilização correta, cons-
EaD
41
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
JUROS COMPOSTOS
OBJETIVOS DESTA UNIDADE
• Aprender como calcular juros compostos.
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE
Seção 2.1 – Juros Compostos
Seção 2.2 – Taxas Efetiva e Nominal
Seção 2.3 – Desconto composto
Seção 2.4 – Equivalência composta de capital1
Seção 2.1
Juros Compostos
 
1
Agora iniciaremos o estudo de juros compostos, 
um tema com o qual a maioria das pessoas convive 
no dia a dia quando pagam e/ou recebem juros no 
mercado.
Embora muitos não parem para fazer este cálcu-
lo e saber o quanto custa cada negociação, vamos aqui 
base o que foi aprendido na Unidade anterior sobre 
juros simples. Isso vai facilitar o entendimento dos 
próximos conteúdos.
1 Disponível em: <http://tourolouco.fi les.wordpress.com/2008/01/juros-g1.jpg>. Acesso em: 15 nov. 2008.
Unidade 2
EaD
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42
Atenção!!! Aqui que é necessário entender a que se refere as operações, pois apenas cal-
cular por calcular não vai fazer vocês aprenderem os conteúdos desenvolvidos nesta disciplina. 
Vamos lá.
Conceito de juros compostos:2 são aqueles nos quais a taxa de juros incide sempre sobre o 
capital inicial, este que a cada período é composto pelo capital inicial mais juros referentes ao período 
anterior, e assim sucessivamente.
Exemplo:
O problema anterior está representado no quadro a seguir, que demonstra a capitalização 
por período:
N Capital inicial Taxa ano Valor Juros
1 1.000,00 10% 100,00 1.100,00
2 1.100,00 10% 110,00 1.210,00
3 1.210,00 10% 121,00 1.331,00
4 1.331,00 10% 133,10 1.464,10
Por se tratar de juros compostos, vimos que os juros incidem sempre sobre o capital inicial 
de cada período. Sendo assim, eles são acumulados, ou seja, capitalizados a cada período.
Imagine se fosse, por exemplo, 5 anos capitalizados mensalmente; seriam 60 capitalizações. 
Imagine também se você tivesse de fazer período por período. Isso seria massacrante e moroso, 
por isso vamos resolver os problemas com as fórmulas a seguir.
Fórmula para o cálculo do montante:
1 nM C i= + 
Onde: M ou FV= montante obtido
C = capital investido
i = taxa de juros no período
n = tempo de capitalização
1 ni+ = representa o fator de acumulação do capital
2 A calculadora HP12C é uma das mais práticas, ainda hoje, para resolver a área de cálculos que envolve juros compostos. A partir desta 
unidade vocês verão a agilidade das respostas com utilização das teclas fi nanceiras que esta oferece. Não esqueçam: precisam entender 
o conteúdo, saber interpretar e analisar cada caso, saber também diferenciar cada um dos assuntos que a partir desta unidade serão 
desenvolvidos. 
EaD
43
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Exercícios Resolvidos
1) Tomando por base os dados do problema anterior, o montante poderá ser obtido assim:
Fórmula: 1 nM C i= +
Resolução: 4 1.000,00 x (1 0,10)M = + M 1.000,00 x 1,46410 M 1.464,10=→ =
1 ni+ = representa o fator de acumulação do capital, que neste exemplo é de 1,46410, ou 
seja, o valor de R$ 1.000,00 em 4 meses aumentou 46,410%.
Resposta: o montante será de R$ 1.464,10
(Vamos relembrar: nos juros simples quanto o capital iria render? 40%)
Fluxo de caixa: 
 
Se quiserem desenvolver a fórmula com o teclado 
f Reg 1.000,00 enter, chs PV (saída de capital– 
aplicação– por isso é negativa) 10 i 4n Fv 
Pronto, é muito fácil
F reg 1.000,00 enter 1 enter 0,10 + 4 yx x
período?
A taxa e o tempo precisam estar de acordo com a capitalização:
Taxa de 24% ao ano →
24
6
= 4% ao bimestre.
Tempo de 6 meses → 
6
2
 = 3 bimestres
Fórmula: 1 nM C i= +
3M 5.000,00 x (1 0,04)= +
M 5.000,00 x 1,12486 M 5.624,32= → =
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
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Fluxo de caixa: 
 
f Reg 5.000,00 enter, chs PV 4 i 3 n Fv
Se quiserem desenvolver a fórmula com o teclado 
F reg 5.000,00 enter 1 enter 0,04 + 3 yx x
Fórmulas para resolver os problemas solicitados nesta Unidade
Capital ou valor presente: 
1 n
MC
i
=
+
Taxa = 1 100n Mi x
C
 
= −   Tempo = 
log /
log 1
M C
i+
Exercícios Resolvidos
3 com logaritmos, etc.
2.1.1 – CAPITAL OU VALOR PRESENTE
ção de seu dinheiro. Para tanto, quanto deve aplicar hoje, se a taxa paga para aplicação de 
qualquer capital é de 6% ao mês, capitalizado mensalmente?
Vamos extrair os dados do problema, pois assim facilita muito a resolução dos cálculos.
Montante: 2.524,95
Tempo: 4 meses
Taxa: 6% ao mês 
Como podemos observar, a capitalização é mensal, ou seja, o tempo e a taxa devem estar 
em meses.
3 A HP 12, calculadora que poderá ser utilizada nos cálculos fi nanceiros, não será abordada nesta Unidade, porém quem tiver domínio 
na utilização desta calculadora poderá agilizar o estudo.
EaD
45
ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Fórmula: 
1 n
MC
i
=
+
Resolução: 4
2.524,95
1 0,06
C =
+
2.524,95
1,262477
C = 2.000,00C =
Fluxo de caixa: 
 
Resposta: o valor do capital para aplicar deve ser de R$ 2.000,00
f Reg 2.524,95 enter FV 6 i 4 n PV (a resposta vai ser negativa. Sabe por que? Porque o 
Valor do FV foi positivo e o PV é negativo, então digitem agora CHS).
observe bem os passos da fórmula:
F reg 2.524,95 enter 1 enter 0,06 + 4 yx :
2.1.2 – TAXA
de R$ 1.061,21. Qual a taxa paga pela aplicação deste capital se os juros foram capitalizados 
mensalmente?
Montante: 1.061,21
Capital: 1.000,00
Tempo: 3 meses
Capitalização mensal 
Fluxo de caixa: 
 
Fórmula: 1 100n Mi x
C
 
= −   
Resolução: 3
1.061,21 1 100
1.000,00
i x
 
= −   3 1,06121 1 100i x= − 2%i =
Resposta: a taxa paga pela aplicação deste capital é de 2% ao mês, capitalizada. 
f Reg 1.061,21 enter FV 1000,00 CHS PV 3 n i
EaD
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Vamos lá:
F reg 1.061,21 enter 1.000,00 : 3 1/x yx 1 – 100 x
2.1.3 – TEMPO
5) A empresa XX S/A aplicou R$ 20.000,00 a juros de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
montante de R$ 26.801,91?
Capital: 20.000,00
Montante: 26.801,91
Taxa: 20% ao ano 
Capitalização trimestral
Fluxo de caixa: 
 
Fórmula: 
log /
log 1
M C
i+
Resolução: primeiramente precisamos deixar a taxa na mesma unidade da capitalização: 
20%
4
i = 5%i = 
log 26.801,91/ 20.000,00
log 1 0,05
n =
+
 
log1,34010
log1,05
n = 6n trimestres=
Resposta: o tempo necessário de aplicação deste capital deverá ser de 6 trimestres, que 
representa 18 meses ou 1 ano e 6 meses.
f Reg 26.801,91 enter, FV 20.000,00 CHS PV 5 i n 
exata. Não é o caso deste problema, mas mesmo assim vamos utilizar os passos para calcular a 
fórmula que é o melhor método para determinar tempo.
Vamos lá: f reg 26.801,91 enter, 20.000,00 : g LN 1 enter, 0,05 + g LN :
 Analisem com muita atenção o problema abaixo:
6) A empresa XX S/A aplicou R$ 15.000,00 a juros de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. 
montante de R$ 18.000,00?
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Capital: 15.000,00
Montante: 18.000,00
Taxa: 24% ao ano 
Capitalização mensal
Fluxo de caixa: 
 
Primeiramente precisamos deixar a taxa na mesma unidade da capitalização e após vamos 
calcular com a fórmula:
Fórmula: 
log /
log 1
M C
i+
Resolução: 
24%
12
i = 2%i = 
log 18.000,00 /15.000,00
log 1 0,02
n =
+
 
log1,20
log1,02
n = 
9, 2069377.....n meses= precisamos agora deixar em meses e dias
Temos 9 meses e (0,2069377...x 30 = ) 6 dias aproximadamente
f Reg 18.000,00 enter, FV 15.000,00 CHS PV 2 i n (no visor aparecerá 10) 
Resposta: 10 meses. Cuidado: a resposta não é correta, então utilizar a fómula para calcular 
o tempo é melhor, assim não correrá risco de erros. 
Vamos lá, não é difícil, é só saber a fórmula.
f reg 18.000,00 enter, 15.000,00 : g LN 1 enter, 0,02 + g LN : 9 – 30 x
Resposta: 9 meses e 6 dias aproximadamente 
“Agora veremos um exemplo que apresenta o tempo não exato quando adequado à mesma 
unidade da capitalização.”
7) Uma dívida no valor de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 12 dias, e os juros co-
brados sobre o período de atraso foram de 3% ao mês, capitalizados. Qual o valor do montante 
a ser pago? 
e agora....? 
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
48
CUIDADO: o tempo é 2 meses e 12 dias, e a capitalização é mensal, logo, a resolução deste pro-
blema poderá ser efetuada de 2 maneiras, pelo sistema exponencial ou pelo sistema misto.
1º. Pelo sistema exponencial
Taxa de 3% ao mês o período, ou seja, o tempo, também deve estar em meses.
2 meses e 12 dias = 
72
30
n = 2, 4n meses=
2,41.000,00 1 0,03M x= + 1.000,00 1,073518M x= 1.073,52M =
Passos na HP: f reg 
1.000,00 enter 1 enter 0,03 + 2,4 yx x
2º. Pelo sistema misto
Calcula-se primeiro o período completo, neste caso é 2 meses:
21.000,00 1 0,03M x= + 1.000,00 1,060900M x= 1.060,90M =
O período fracionário, que neste caso é 12 dias, calcula-se em juros simples, tendo como 
capital o valor do montante obtido no cálculo anterior (� Cuidado: a taxa está em mês e o tempo 
em dias).
1.060,90 0,03 12
30 
x xj = 12,73j = 1.060,90 12,73LINEARM = + LINEAR 1.073,63M =
Passos na HP: f reg 
1.000,00 enter 1 enter 0,03 + 2 yx x 0,03 x 12 x 30 : 1.060,90 +
Observe que os juros calculados pelo sistema exponencial são menores que pelo sistema 
Quando o tempo é > que 1 e não inteiro o MLINEAR é > que MEXPONENCIAL 
Vamos 
 
 
Isso é dez! 
Vamos rever:
MEXPONENCIAL = 2.073,52 MLINEAR = 1.073,63 
Digitem agora: (f reg não esqueçam)
STO EEX (apareceu no visor um “c” então agora podem começar a digitar)
1.000,00 enter, CHS PV 3 i 2,4 n FV (no visor aparecerá 1.073,52)
Agora tirem o “c” do visor; é só digitar novamente STO EEX; então agora podem começar 
a digitar 
1.000,00 enter, CHS PV 3 i 2,4 n FV (no visor aparecerá 1.073,63)
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
compostos pelo sistema exponencial. É preciso aparecer no visor o “c”;,e para os juros compostos 
calculados pelo sistema linear não poderá aparecer o “c”. Muito fácil, não é pessoal? 
Vamos agora comparar os juros simples com juro composto exponencial e linear.4 
1) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 1.000,00, pelo período de 15 dias, sendo que 
a taxa desta aplicação foi de 5% ao mês. Qual o montante obtido se os juros foram calculados 
como:
a) Juros simples
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
c) Juros compostos linear (capitalizados mensalmente )
Vamos ver como se calculam estes juros passo a passo. Observe!
a) Juros simples
1.000,00 0,05 15
30 
x xj = 25,00j = 1.000,00 25,00M = + 1.025,00M =
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
0,51.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,024695M x= 1.024,70M =
c) juros compostos linear (capitalizados mensalmente)
Calcula-se primeiro o período completo. Neste exemplo não há nenhum, pois são 15 dias 
(em vez de 30 dias), então estes (15 dias) são calculados utilizando os juros simples. Você per-
cebeu que neste caso não se apresenta um período de capitalização?1.025,00M =
Resumo: quando o tempo é < que 1 período 
 M juros simples = MLINEAR é > MEXPONENCIAL 
E se o tempo for de 1 período,5
2) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 1.000,00, pelo período de 1 mês. A taxa desta 
aplicação foi de 5% ao mês. Qual o montante obtido se os juros foram calculados como:
a) Juros simples
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
c) Juros compostos linear (capitalizados mensalmente )
4 Agora vocês calculem utilizando a HP, com as teclas fi nanceiras e também com as fórmulas, mas atenção: entendam primeiro bem o 
conteúdo, depois façam os cálculos. Não esquecer: para excluir ou inserir no visor o c, teclar STO EEX . 
5 Cuidado, 1 período é referente à capitalização. Se por exemplo a capitalização for bimestral, os períodos exatos são os que formam 
períodos bimestrais.
EaD
Marlene Köhler Dal Ri
50
Vamos calcular!
a) Juros simples
1.000,00 0,05 1j x x= 50,00j = 1.000,00 50,00M = + 1.050,00M =
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
11.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,05M x= 1.050,00M =
c) juros compostos linear (capitalizados mensalmente)
Calcula-se primeiro o período completo. Neste exemplo é 1 período e não há períodos não 
exatos, portanto calcula-se igual aos juros compostos exponenciais. 
11.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,05M x= 1.050,00M =
Resumo: quando o tempo é igual a 1 período 
 M 
juros simples
 = M
EXPONENCIAL
 é = M
LINEAR
3) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 1.000,00, pelo período de 1 mês e 15 dias. A 
taxa desta aplicação foi de 5% ao mês. Qual o montante obtido se os juros foram calculados 
como:
a) Juros simples
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
c) Juros compostos linear (capitalizados mensalmente )
Vamos então calcular.
a) Juros simples
1.000,00 0,05 1,5j x x= 75,00j = 1.000,00 75,00M = + 1.075,00M =
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
1,51.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,075929M x= 1.075,93M =
c) Juros compostos linear (capitalizados mensalmente)
Calcula-se primeiro o período completo. Neste exemplo é 1 período.
11.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,05M x= 1.050,00M =
Os 15 dias (período não completo) calcula-se juros simples sobre o montante obtido no 
cálculo do período completo.
 1.050,00 0,05 0,5j x x= 26, 25j = 1.050,00 26,25M = + 1.076, 25M =
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Resumo: quando o tempo é maior que 1 período e não inteiro:
 MLINEAR é > MEXPONENCIAL >M juros simples 
4) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 1.000,00, pelo período de 2 meses. A taxa desta 
aplicação foi de 5% ao mês. Qual o montante obtido se os juros foram calculados como:
a) Juros simples
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
c) Juros compostos linear (capitalizados mensalmente )
Vamos então calcular.
a) Juros simples
1.000,00 0,05 2j x x= 100,00j = 1.000,00 100,00M = + 1.100,00M =
b) Juros compostos exponencial (capitalizados mensalmente)
21.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,1025M x= 1.102,50M =
c) Juros compostos linear (capitalizados mensalmente)
Calcula-se primeiro o período completo. Neste exemplo é 2 períodos.
21.000,00 1 0,05M x= + 1.000,00 1,1025M x= 1.102,50M =
O período não completo, não teve 
Resumo: Quando o tempo é maior que 1 período e exato
 MLINEAR é = MEXPONENCIAL >M juros simples 
1º. tempo é < que 1 período o M juros simples = MLINEAR é > MEXPONENCIAL 
2º. tempo é = a 1 período o M juros simples = MEXPONENCIAL é = MLINEAR
3º. tempo é > que 1 período e não inteiro, MLINEAR é > MEXPONENCIAL >M juros simples 
4º. tempo é > que 1 período e inteiro, M
LINEAR
 é = M
EXPONENCIAL
 >M 
juros simples
 
EaD
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Exercícios Propostos6
durante 8 meses. Qual o valor a ser resgatado?
2) Quanto devo aplicar hoje para obter R$ 2.437,99 durante 10 meses, se a taxa ganha é de 2% 
a.m. capitalizada?
3) Qual a taxa mensal necessária para que um capital no valor de R$ 1.000,00 aplicado durante 
1 ano e 6 meses passe a valer R$ 2.025,82, sabendo que os juros são capitalizados mensal-
mente?
4) Qual o tempo necessário para que um capital no valor de R$ 5.000,00, empregado a 5% a.m. 
capitalizando, possa render R$ 4.428,25 de juros? 
5) Um investidor aplicou a quantia de R$ 10.000,00 à taxa de juros compostos de 10% ao semestre. 
Que montante este capital irá gerar após 9 meses?
a) Calcular pelo sistema exponencial
b) Calcular pelo sistema linear
6) Uma pessoa tem um compromisso no valor de R$ 1.200,00 a ser saldado dentro de 6 meses. 
A maior taxa de juros mensal obtida por remuneração de capital, no sistema de capitalizacão 
composta, foi de 2,3% a.m. Para garantir o pagamento do compromisso na data marcada, qual 
a quantia mínima que deverá aplicar hoje?
7) Ao aplicar uma certa quantia a uma taxa de 1,3% a.m. capitalizando, uma pessoa receberá R$ 
30.000,00 após 1 ano e 4 meses. Qual foi o valor aplicado?
1,75% a.m. capitalizado, para uma aplicação hoje de R$ 30.000,00.
9) Na década de XXXXX o País YYYYY apresentou elevado ritmo de crescimento econômico. 
Nessa época, o PIB
pm
 passou de 7,5 bilhões para 10 bilhões em apenas 5 anos. Qual foi a taxa 
anual de crescimento do PIBpm nesse período?
10) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44 meses à taxa de 15%a.a. Qual o montante recebido, 
considerando-se o sistema linear? E se for considerado o sistema exponencial?
11) Calcule os valores que faltam na tabela a seguir, posto que a capitalização deve ser conside-
rada de acordo com a denominação em que a taxa se encontra.
6 As respostas das questões estão resolvidas e disponibilizadas na biblioteca de sua comunidade.
EaD
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ELEMENTOS DE ECONOMIA E FINANÇAS PARA ADMINISTRADORES
Capital Tempo Taxa Montante 
2.000,00 10 meses 5,50% ao mês
3.500,00 12 meses 3,20% ao bimestre
8.000,00 6 meses ao trimestre 9.383,11 
12.000,00 18 meses ao semestre 13.498,37 
15.000,00 meses 5,00% ao ano 17.364,38 
30.000,00 meses 3,80% ao mês 41.965,99 
36 meses 2,40% ao bimestre 27.584,92 
12 meses 3,60% ao semestre 10.732,96 
7.200,00 meses 2,80% ao mês 10.895,05 
14.000,00 6 meses ao bimestre 15.816,34 
Seção 2.2
Taxas Efetiva e Nominal
Muitas são as interpretações encontradas sobre conceitos de taxas praticadas nas operações 
os seguintes conceitos:
Fórmulas
Para capitalizar ou converter de taxa nominal em taxa efetiva: 
1 1ni+ − x 100 
Para descapitalizar ou converter de taxa efetiva em taxa nominal:
i = 1 1n i+ − x 100 
Para os cálculos a seguir será utilizada a seguinte nomenclatura:
im → taxa mensal
i
bim → taxa bimestral
itri → taxa trimestral
iquad → taxa quadrimestral
isem → taxa semestral
i
a → taxa anual
EaD
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54
2.2.1 – TAXA SIMPLES OU LINEAR
São as taxas calculadas sobre o capital inicial; por isso os juros incidem somente sobre o 
capital inicial e não sobre o capital acumulado (+ os juros).
Exemplo
Taxa de 24% ao ano, em 6 meses representa 12%, ou seja, é a representação proporcional 
da taxa em juros simples.
2.2.2 – TAXA NOMINAL
Exemplo
Taxa de 24% ao ano nominal representa 2% ao mês, ou 12% ao semestre, ou 4% ao bimestre.
2.2.3 – TAXAS PROPORCIONAIS
Para ser proporcional é necessário que sejam comparadas duas ou mais taxas simples ou 
lineares.
Exemplo
24% ao ano é proporcional a 2% ao mês.
2.2.4 – TAXAS COMPOSTAS OU EXPONENCIAIS
Quando os juros são acumulados sobre o capital inicial de cada período. A taxa é resultante 
desta operação, que incide sobre o valor total dos juros acumulados.
Um capital aplicado durante “n” meses, à taxa de “x%” ao mês, capitalizada, apresenta 
um montante sobre o valor inicial aplicado, um acréscimo de uma taxa capitalizada no período 
Como já visto, a fórmula do montante de juros compostos: 1 nM C i= + → a expressão =
1 ni+ forma o índice acumulado no período (capitalização dos juros), este que resulta na taxa 
efetiva do período.
EaD
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