MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prévia do material em texto

Sumário 
 
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................................................... 5 
1.1 Números proporcionais .................................................................................................................... 5 
1.1.1 Proporção: é a igualdade entre duas ou mais razões: .................................................... 6 
1.1.2 Propriedades de proporção ............................................................................................. 6 
1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais............................................................................ 8 
1.1.4 Grandezas Inversamente Proporcionais ......................................................................... 9 
2 REGRA DE TRÊS SIMPLES..................................................................................................................... 10 
3 REGRA DE TRÊS COMPOSTA ............................................................................................................... 11 
4 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS .................................................................................................... 13 
4.1 Lucro sobre a venda ....................................................................................................................... 14 
4.2 Prejuízo sobre a venda ................................................................................................................... 14 
4.3 Abatimentos sucessivos ................................................................................................................. 14 
4.4 Aumentos Sucessivos ..................................................................................................................... 15 
5 TAXA DE JUROS ................................................................................................................................... 15 
5.1 Taxas de Aumentos Sucessivos ...................................................................................................... 16 
5.2 Taxa de Descontos Sucessivos ........................................................................................................ 16 
5.3 Taxas Sucessivas de Aumentos e Descontos .................................................................................. 17 
5.4 Taxa SELIC ....................................................................................................................................... 17 
6 JURO EXATO E JURO COMERCIAL ....................................................................................................... 20 
6.1 Juro Exato ....................................................................................................................................... 20 
6.2 Juro Comercial ................................................................................................................................ 20 
6.3 Juro Bancário .................................................................................................................................. 20 
7 INFLAÇÃO ........................................................................................................................................... 21 
7.1 Inflação de Demanda ..................................................................................................................... 21 
7.2 Inflação de Custos .......................................................................................................................... 21 
7.3 Índices de Inflação .......................................................................................................................... 21 
8 CAPITALIZAÇÃO: ................................................................................................................................. 22 
8.1 Capitalização Simples ou Juros Simples ......................................................................................... 22 
8.2 Juros Simples .................................................................................................................................. 22 
8.3 Outra forma de fazer por regra de três simples: ............................................................................ 22 
8.4 Mais uma forma de fazer por regra de três simples: ..................................................................... 23 
9 MONTANTE DE JUROS SIMPLES .......................................................................................................... 23 
10 DESCONTOS SIMPLES .......................................................................................................................... 25 
10.1 Modalidades de Descontos: ........................................................................................................... 25 
10.2 Desconto comercial ou Bancário .................................................................................................... 25 
10.3 Uniformizar as unidades de tempo que estão diferentes. ............................................................. 25 
10.4 Desconto Racional .......................................................................................................................... 25 
11 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................................................................................... 26 
11.1 Juros Compostos ............................................................................................................................ 26 
12 MONTANTE SIMPLES .......................................................................................................................... 27 
12.1 Montante a Juros Compostos ........................................................................................................ 30 
13 DESCONTO COMPOSTO ...................................................................................................................... 34 
13.1 Taxas de Descontos Equivalentes a Taxas de aumentos ................................................................ 34 
13.2 Taxas de Aumentos Equivalentes a Taxas de Descontos ............................................................... 34 
 
 
 
 
 
5 
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
A Matemática Financeira é o ramo da Matemática que estuda o comportamento do dinheiro no 
tempo, buscando quantificar as transações que ocorrem com o Capital no universo financeiro. 
 
1.1 Números proporcionais 
Razão de dois números é o quociente do primeiro pelo segundo (uma simples divisão). 
 
 
b
a
 onde a = Antecedente (Numerador) e b = Consequente (Denominador), desde que b ≠ 0. 
 
Ex: 
2
3
 onde 3 é o Antecedente (Numerador) e 2 é o Consequente (Denominador). 
 
Exemplos 
01 – Num feirão foram negociados no total de 300 imóveis, sendo 120 apartamentos, 150 casas e o 
restante de terrenos. 
 
a) Qual a razão entre o número de apartamentos e o total? 
%401004,0
5
2
60:300
60:120
300
120
 
 
b) Qual a razão entre o número de casas em relação ao total? 

300
150
%501005,0
2
1
150:300
150:150
 
 
c) Qual a razão entre o número de terrenos em relação ao total? 
%101001,0
10
1
30:300
30:30
300
30
 
 
Observe que a soma das porcentagens dos imóveis vendidos corresponde a 100%. 
 
02 – De cada 200 imóveis vistoriados, 30 são terrenos, 50 são apartamentos e 120 são casas. 
a) Qual a razão entre o número de apartamentos e o total de imóveis vistoriados? 
4
1
50:200
50:50
200
50
 
 
b) Qual a razão entre o número de casas e o total? 
5
3
40:200
40:120
200
120
 
 
c) Qual a razão entre o número de terrenos e o total? 
20
3
10:200
10:30
200
30
 
 
Vejamos quando somamos as três frações irredutíveis: 
1
20
20
20
3125
20
)3(1
20
)3(4
20
)1(5
20
3
5
3
4
1






 
 
 
 
 
6 
Ou: 
%100%15%60%25
20
3
5
3
4
1
 
 
1.1.1 Proporção: é a igualdade entre duas ou mais razões: 
SEJA, 
D
C
BA
 com B e D ≠ 0 , SENDO B EC DENOMINADOS DE MEIOS E A ED OS EXTREMOS, 
LOGO TEREMOS QUE O PRODUTO DOS MEIOS É IGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS. 
 
Exemplos 
 01 – Verificar se ocorre proporção: 
303010365
10
6
5
3
 )!(ok 
Onde 5 e 6 são Meios e 3e 10 são os Extremos 
 
02 – Qual o valor de x de forma que forme uma proporção. 
21014)35()6()14()(
35
146
 xx
x
 15
14
210
 xx 
 
Exercícios 
01 - Escrever uma proporção com os números 3, 20, 5 e 12. 
 
 
 
02 - Calcular o valor de x nas proporções: 
a) 
2
4
1
3



x
x
 b) 
3
1
18
2

x
 
 
 
03 - Dados os números 2, 7 e 10, determinar um quarto número que, junto com esses e nessa 
ordem, forme uma proporção. 
 
1.1.2 Propriedades de proporção 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos 
Seja 
D
C
B
A
 DACB  
 
Ex: 1. 
10
8
5
4
 , onde 4 e 10 são extremos e 5 e 8 são meios. 
Logo 4·10 = 5·8 => 40 = 40 (ok!) 
 
Calcular o valor de y de forma a compor uma proporção: 
 
6
37

y
 
Solução: 7· 6 = 3· y => y = 42/3 => y = 14 
Verificação: 7· 6 = 14· 3 => 42 (ok!) 
 
 
 
 
7 
Outra propriedade 
 
A soma ou subtração dos antecedentes está para a soma ou subtração dos conseqüentes, assim como 
cada antecedente está para seu conseqüente. 
 
Seja D
C
B
A

, então 
 
B
A
DB
CA



 ou ainda = D
C
 
 
 
B
A
DB
CA



ou ainda = 
D
C
 , desde que nenhum denominador seja nulo. 
 
Exemplos 
01 – 
4
7
12
21
 
 
D
C



4
7
4:16
4:28
16
28
4
7
412
721
 )!(ok 
 
D
C



4
7
2:8
2:14
16
28
12
21
412
721
)!(ok 
 
02 – 
6
8
3
4
 
 
D
C



3
4
3:9
3:12
9
12
3
4
63
84
)!(ok 
 
3
4
3
4
3
4
36
48



)!(ok 
 
03 – Calcular x e y na proporção 
127
yx
 , sabendo que 76 yx : 
28
19
532
)7()76()()19(
719
76
7127



xxx
xxyx
 
 
48287676)28(28  yyyx
 
 
Exercícios 
01 – Areia e cimento estão misturados no total de 280 kg, na razão de 9:5. Achar a quantidade de 
cada substância. 
 
02 – Na série de razões 
142010
zyx
 , calcular yx , e z , sabendo que 88 zyx . 
 
03 – Dois corretores ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 
00,500.4 a mais que o outro. Descubra qual é a comissão de cada uma, sabendo que eles estão na razão 
9
4 . 
 
 
 
 
 
8 
04 – Numa imobiliária há 12 moças e 25 rapazes. 
a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes? 
b) qual a razão do número de rapazes para o número de moças? 
c) Qual a razão do número de rapazes para o total de funcionários? 
d) Qual a razão do número de moças para o total de funcionários? 
 
 
05 – Um lote de terreno tem 140m² de área e 40m² de área construída. Qual a razão da medida da 
área construída para a área livre? 
 
 
06 – Ricardo vendeu 3 em 7 imóveis anunciados e Bruna vendeu 5 em 10. Quem obteve melhor 
resultado? 
 
 
07 – Calcule o valor de x nas proporções: 
 
a) 
x
2
3
1
2
1
1


 b) 
10
2
6


xx
 
 
c) 
4
92
1

x
 d) 
2
1
2
3
2
1
2
1

x
 
 
 
08 – Para que se verifique a igualdade ,
20
5
8
9

x
y
os valores de x e y devem ser 
respectivamente que valores: 
 
 
09 – Qual o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20? 
 
 
10 – Dois corretores realizaram uma venda, cuja a diferença da comissão é R$ 1.200,00, estão na 
relação 
5
8
. Quais os valores de cada comissão? 
 
 
11 – A soma do valor de três imóveis corresponde a R$ 555.000,00. O primeiro está pra o segundo 
como 8 está para 5, e a diferença entre esses dois Imóveis é de R$ 69. 000, 00. Qual o valor de cada imóvel? 
 
1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentado uma delas, a outra aumenta 
na mesma razão da primeira. 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados é encontrar 
partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o 
próprio número. 
 
 
 
 
 
9 
Exemplos 
01 – Dois corretores trabalham na venda de um imóvel, sendo que A o fez em 6 horas e B em 5 
horas. Como poderão dividir com justiça os R$ 3.300,00 apurados na comissão? 
No nosso problema, temos: 
 x + y = 3300 
 x/6 = y/5 
 Usando as propriedades das proporções, teremos: 
 
656
xyx



=> 3300/11 = x/6 => 11·x = 3300·6 
 x = 19800/11 => x = 1800 
 1800 + y = 3300 => y = 3300 – 1800 => y = 1500 
 
Exercícios 
01 – Dois corretores trabalham na venda de um imóvel, sendo que A o fez em 12 horas e B em 10 
horas. Como poderão dividir com justiça os R$ 9.900,00 apurados na comissão? 
 
 
02 – Dividir R$ 7.200,00 a três corretores, em partes diretamente proporcionais, 4 dias ao corretor 
A, 6 dias ao corretor B e 8 dias ao corretor C de trabalho. 
 
 
1.1.4 Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui 
na mesma proporção. 
 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar 
partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e cuja soma 
reproduza o próprio número. 
 
Exemplo 
01 – Suponha que duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para vender um 
imóvel por R$ 160.000,00. Se A chegou 3 dias atrasado ao trabalho e B 5 dias, como efetuar a divisão com 
justiça. 
 x + y = 160000 e devem-se levar em consideração que aquele que atrasa mais, deve receber 
menos, então as grandezas são inversamente proporcionais; 
 
5
1
3
1
yx
 
 


3
1
5
1
3
1
xyx
 => Fazendo o M.M.C. do primeiro membro temos: 
 
 
xx
xxxyx




38
2400000
3
8
2400000
1
3
18
15
1
160000
3
1
15
8
160000
3
1
15
8
 
 
 00,000.100
24
2400000
 xx 
 
 00,000.60100000160000160000)100000(160000  yyyyx 
 
 
10 
Observação: Veja que o corretor A sua parte da venda foi R$ 100. 000, 00 mais sua comissão é de 
5% que igual a R$ 5. 000,00 e corretor B o valor de sua venda foi de R$ 60. 000,00 então sua comissão 
corresponde a 5% que é de R$ 3.000,00. 
 
Exercícios 
01 – Suponha que dois corretores A e B trabalharam durante um mesmo período para vender um 
imóvel por R$ 640.000,00. Se A chegou 6 dias atrasado ao trabalho e B 10 dias, como efetuar a divisão com 
justiça. Qual a comissão de cada corretor? 
 
 
02 – Dividir o uma comissão de R$ 6.500,00 em partes inversamente proporcionais a 2 horas, 3 
horas e 4 horas de atraso. 
 
2 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Nada mais é que a resolução de uma proporção, onde há uma variável conhecida e outra a 
conhecer; então analisamos se são diretamente ou inversamente proporcionais e resolvemos com as 
propriedades da proporção. 
Uso das setas para definir se a grandeza é diretamente ou inversamente proporcional à outra. 
 Grandezas diretamente proporcionais => setas no mesmo sentido 
 
ou 
 
 
 Grandezas inversamente proporcionais => setas em sentidos diferentes 
 
ou 
 
 
Observação: Quando houver setas diferentes temos que trocar a ordem dos números nas 
proporções para forçar a proporcionalidade. 
 
Exemplos 
01 – Uma imobiliária vendeu 120 imóveis num feirão de fim de semana com 4 corretores. Nesse 
próximo feirão que haverá, quantos imóveis venderá se aumentar o número de corretores para 6, 
supondo-se que a probabilidade de vender seja a mesma. 
I 
 Nº de imóveis nº de corretores 
 120 4 
 x 6 
 
Analisandose as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: quanto mais corretores 
tiverem, mais imóveis venderemos, então são grandezas diretamente proporcionais. 
6
4120

x
 => 4·x = 120·6 => x = 720/4 => x = 180 imóveis 
Verificação: 180·4 = 120·6 => 720 = 720 (ok!) 
 
02 – Numa fábrica 15 operários fabricam 600 peças, num determinado tempo. Se reduzirmos a 
produção para 500 peças, no mesmo tempo, precisaremos de quantos operários? 
Se aumentarmos o nº de operários => aumentamos o nº de peças fabricadas e vice-versa => são 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
 
 
11 
 
 Nº de operários nº de peças 
 
 x
15
 
500
600
 
 
 
15/x = 600/500 => 15/x = 6/5 => 6.x = 15.5 => x = 75/6 
 x = 12,5 operários 
Verificação: 12,5 · 600 = 15.500 => 7500=7500 (ok!) 
 
03 – Um carro sai da cidade de João Pessoa e desenvolve uma constante de 120 km/h e chega em 
1,5 horas na cidade de Natal. Se aumentar a velocidade para 140km/h, em quanto tempo chegará no 
mesmo destino? 
 Velocidade (km/h) tempo(h) 
 
 140
120
 
x
5,1
 
 
 
 
Se aumentarmos a velocidade, chegaremos a menos tempo => grandezas inversamente 
proporcionais, então temos que trocar a ordem dos números na proporção para forçar a 
proporcionalidade. 
120/140 = x/1,5 => 12/14 = x/1,5 => 14x=12.1,5=> x= 18/14=> x=1,29 horas 
Verificação: 120.1,5 = 140.1,29 => 180 = 180 (Ok!) 
 
04 – Uma empresa de Engenharia trabalha com 12 funcionários e executa a construção de uma 
ponte em 6 meses. Se aumentar o número de operários em 38, poderá executar o mesmo projeto em 
quanto tempo? 
 
 Nº de funcionários tempo (meses) 
 
 
50
12
 
x
6
 
 
Se aumentamos o número de operários, poderemos diminuir o tempo da execução da ponte, então 
grandezas inversamente proporcionais, temos que inverter a ordem na proporção. 
12/50 = x/6 => 50·x = 12·6 => x = 72/50 => x = 1,44 meses. 
 
3 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Utilizar o mesmo procedimento da regra de três simples no que diz respeito à análise das grandezas 
envolvidas e como tem mais de duas. Fixar sempre uma delas e analisar as outras em relação àquela que foi 
fixada. 
 
Exemplos 
01 – Numa fábrica 10 máquinas trabalhando 20 dias, produzem 2.000 camisetas. Quantas máquinas 
serão necessárias para se produzir 1.680 peças em 6 dias? 
 
Nº de máquinas nº de dias nº de camisetas 
 10 20 2.000 
 x 6 1.680 
 
 
 
12 
 
Fixando o número de dias inicialmente, teremos: 
 Se tivermos a mesma quantidade de dias para realizar o serviço, então quanto mais máquinas, 
teremos mais camisetas fabricadas, logo nº de máquinas e quantidade de camisetas são 
grandezas diretamente proporcionais, setas no mesmo sentido; 
 
Fixando agora a quantidade de camisetas, teremos, 
 Para fabricar o mesmo número de camisetas, se aumentarmos o número de máquinas, 
realizaremos a tarefa em menos dias, logo número de máquinas e número de dias são 
grandezas inversamente proporcionais, setas ao contrário; 
 
120
3360
3360120
336
12010
33600
1200010
168020
2000610





x
x
xxx
 
 
 
X= 23 MÁQUINAS
 
02 – Num certo loteamento um terreno de 10 metros de frente por 15 de fundos, custa R$ 
20.000,00. Quanto custará, no mesmo loteamento, um terreno de 15 metros de frente por 12 metros de 
fundos. 
 
 Frente Fundos Preço 
 10 15 20.000 
 15 12 x 
 
Fixando a frente, temos: 
 Se aumentarmos os fundos então o preço aumentará, logo, fundos e preço são grandezas 
diretamente proporcionais, então setas no mesmo sentido; 
 
Fixando os fundos, temos: 
 Se aumentarmos a frente, então o preço também aumentará. Frente e preço serão grandezas 
diretamente proporcionais, logo, setas no mesmo sentido. 
 
20000/x=10·15/15·12=> 20000/x=150/180=> 20000/x=15/18 =>15·x=20000·18=> 
x=360000/15=> x=24.000 
 
03 – Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam 5 trechos de estradas. 
Quantos engenheiros seriam necessários para executar 8 trechos, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 
dias? 
 
Nº de engenheiros Nº horas/dia Nº de dias Nº trechos 
10 6 10 5 
x 8 15 8 
 
 
Fixando o número de dias e os trechos, temos: 
 Se aumentarmos o nº de horas de trabalho por dia, necessitaremos de menos engenheiros, 
grandezas inversamente proporcionais, setas divergentes; 
 
Fixando o número de horas/dia e os trechos, temos; 
 Se aumentarmos o número de dias para trabalhar, podemos executar com menos 
engenheiros, grandezas inversamente proporcionais, setas divergentes; 
 
 
 
 
13 
 
Fixando as horas/dia e os dias, temos: 
 Se aumentarmos os trechos, precisaremos de mais engenheiros para executá-los, grandezas 
diretamente proporcionais, setas no mesmo sentido. 
 
Temos duas setas para cima e duas setas para baixo, pois precisamos inverter duas para forçar a 
proporcionalidade. 
 
10/x = 8·15·5/6·10·8 => 10/x = 600/480=> 10/x=60/48 
=>60·x=10·48=>x=480/60=>x=8 engenheiros 
 
Exercícios 
01 – Comprei 60 metros de caibo para construção por R$ 720,00. Quanto gastaria se tivesse 
comprado 80 metros? 
 
 
02 – Se 60 operários fazem a metade trecho da duplicação de uma rodovia federal em 100 dias. Só 
que agora a empreiteira conta com 200 operários. Quantos dias serão necessários para concluir o restante 
da obra? 
 
 
03 – Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia; quantos dias seriam 
necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo 200 km por dia? 
 
 
04 – Uma betoneira enche uma laje em 12 horas, três betoneiras juntas, para encher uma mesma 
laje levará quanto tempo? 
 
 
05 – Uma roda dá 2000 voltas em 25 minutos. Em 13 minutos quantas dará? 
 
 
06 – Um automóvel consome, em média, 8 litros de álcool num trecho de 72 km. O mesmo veículo 
percorrendo uma nova distância de 120 km terá o seu gasto aumentado em quanto? 
 
 
07 – Em um navio com a tripulação de 800 marinheiros há viveres para 45 dias. Quantos tempos 
durarão os víveres se o navio receber mais de 100 marinheiros? 
 
 
08 – Uma empreiteira calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tento 
conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminaria o mesmo trabalho? 
 
4 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
Lucro sobre a compra 
 
Preço de venda = (1 + taxa sobre a compra) x preço de compra. 
 
Exemplo 
01 – Por quanto devo vender uma casa que comprei por R$ 400.000,00 a fim de obter um lucro de 
20% sobre a compra. 
Pv = (1 + 20/100) x 400000 => Pv = R$ 480.000,00 
 
 
 
14 
 
Prejuízo sobre a compra 
 
Preço de venda = (1 – taxa) x preço de compra 
 
Exemplo 
01 – Calcular o prejuízo e o preço de venda de um terreno que comprei por R$ 60.000,00, tendo 
uma perda de 30% sobre o preço de compra. 
Pv = (1 – 30/100) x 60000 => Pv = (1 – 0,3) x60000 
Pv = 0,7x6000 => Pv = R$ 42.000,00 
 
4.1 Lucro sobre a venda 
Preço de Venda = preço de compra 
 (1 – taxa sobre a venda) 
 
Exemplo 
01 – Calcular o lucro e por quanto devo vender um apartamento que comprei por R$ 80.000,00 
para ganhar 5% sobre o preço de venda. 
 
Pv = 80000 => 80000/0, 95 => Pv = R$ 84.210,53 
 1 – 5/100 
 
4.2 Prejuízo sobre a venda 
Preço de venda = preço de compra(1 + taxa sobre a venda) 
 
Exemplo 
01 – Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma granja que comprei por R$ 185.000,00 tendo 
perdido 25% do preço de venda. 
Pv = 185000 => Pv = 185000 / 1+0,25 => Pv = R$ 185000/1,25 
 1 + 25/100 
Pv = R$ 148.000,00 
 
4.3 Abatimentos sucessivos 
Valor líquido = valor bruto. (1 – 1ª taxa). (1-2ª taxa). ..... (1-enésima taxa) 
 
Exemplo 
01 – Sobre um imóvel de R$100.000,00 são feitos descontos sucessivos de 10% mais 6% e mais 3%. 
Qual é o valor líquido da fatura. 
VL = 100.000· (1-10/100) · (1-6/100) · (1-3/100) 
VL = 100.000· (1- 0,1) · (1-0,06) · (1-0,03) 
VL= 100.000· (0,9) · (0,94) · (0,97) 
VL= 82.062 
 
 
 
 
15 
4.4 Aumentos Sucessivos 
Valor após os aumentos = valor antes dos aumentos (1 + 1ª taxa). (1+2ª taxa). (1+3ª taxa)..... 
(1+enésima taxa). 
 
Exemplos 
01 – Uma residência que custava R$ 150.000,00. Recebeu dois aumentos sucessivos de 4% e 6%. 
Qual o valor após os dois aumentos? 
Valor = 150000 (1+4/100). (1+6/100) 
Valor = 150000 (1+0,04) · (1+0,06) 
Valor = 150000 ·1,04·1,06=> Valor = R$ 165.360,00 
 
02 – Uma cobertura na cidade João Pessoa recebeu três aumentos sucessivos de 5%, 10% e 15% em 
determinado período. Se antes dos aumentos o imóvel custava R$1.000.000,00, determine quanto 
passaram a ganhar após os aumentos. 
Valor = 1000000(1 + 5/100) · (1+10/100). (1+15/100) 
Valor = 1000000(1+0,05) · (1+0,10) · (1+0,15) 
Valor = 1000000(1,05) · (1,10) · (1,15) =>Valor= 
R$ 1.328.250,00 
 
Exercícios 
01 – Por quanto devo vender um terreno que comprei por R$ 400.000,00, se desejo lucrar 5% sobre 
a compra. 
 
 
02 – A quanto devo vender um lote que comprei por R$112.900,00 para lucrar 5% sobre a venda? 
 
 
03 – Uma intercalada de R$ 5.000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5% e mais 8%. Por quanto 
será liquidada? 
 
 
04 – Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o preço de venda, ou seja, R$ 2.000,00. Qual foi o 
preço de custo? 
 
 
05 – Uma casa foi vendida por R$ 85.000,00, após dois aumentos sucessivos de 2% e 5%. Determine 
o valor da casa antes dos aumentos. 
 
 
06 – Um apartamento que foi anunciado para venda por R$ 90.000,00 sofreu três abatimentos 
sucessivos de 10%, 8% e 5%. Qual o seu valor líquido? 
 
5 TAXA DE JUROS 
É um mecanismo que o governo utiliza para controlar, através do Banco Central, a política 
econômica do país. Ou seja, quando o governo deseja aquecer a economia, a taxa de juros cai. Quando ele 
deseja desaquecer a economia para combater a inflação, a taxa de juros sobe. Nas reuniões do COPOM 
(Comitê de Política Monetária) são decididas as taxas de juros que deverá ser empregadas nos 
empréstimos entre bancos. 
As taxas de juros cobradas pelos bancos para empréstimos e financiamentos têm como base a taxa 
definida pelo COPOM mais uma variedade enorme de índices e outras taxas como juros internacionais, taxa 
de câmbio, previsão de inflação, etc. 
É absurda a diferença entre a taxa de juros definida pelo governo e a cobrada pelas instituições 
financeiras através dos empréstimos. Isso nos leva a outra definição importante: o spread. 
 
 
16 
Spread é a diferença entre as taxas de juros que o banco cobra para emprestar dinheiro e o que ele 
paga ao captar o dinheiro somado ao custo de inadimplência, o custo operacional e o lucro. 
Se você precisa de dinheiro, seja para uma emergência ou para alavancar seu empreendimento, 
você deve prestar bem atenção aos juros cobrados pelas instituições financeiras antes de contrair um 
empréstimo. As instituições financeiras estabelecem a taxa de juros através de uma composição da taxa 
básica do mercado, conhecida como Selic, e o spread. 
 
5.1 Taxas de Aumentos Sucessivos 
A conjugação de aumentos acumulados são taxas sobre taxas e podemos resolvê-las através do 
produto de suas taxas de montantes. 
 
Exemplos 
01 – Uma mercadoria recebeu dois aumentos sucessivos de 4% e 6% . Qual o aumento total 
recebido? 
1ª taxa de montante = 100+4 = 104% 
2ª taxa de montante = 100+6 =106% 
 
104/100 x 106/100 = 1,04 x 1,06 = 1,1024 que representa um aumento de 10, 24 % que é o valor 
que ultrapassa 1 = 100% = 100/100 
 
02 – Trabalhadores de uma empresa receberam três aumentos salariais sucessivos de 5%, 10% e 
15%, em determinado período. Se antes dos aumentos ganhavam R$ 1.000,00, determine quanto passaram 
a ganhar após os aumentos? 
1ª taxa de montante = 100 + 5 = 105% 
2ª taxa de montante = 100 + 10 = 110% 
3ª taxa de montante = 100 + 15 = 115% 
 
105/100 x 110/100 x 115/100 = 1,05 x 1,10 x1, 15 = 1,32825 
 
O que excede de 1 é 32,825% que é o aumento conjunto. 
Logo Salário depois dos aumentos = 1.000 x 1,3282 = R$ 1.328,25 
 
Exercício 
01 – Um carro foi vendido por R$ 9.000,00, após dois aumentos sucessivos de 2% e 5%. Determine 
o valor do carro antes dos aumentos. 
 
5.2 Taxa de Descontos Sucessivos 
A taxa conjunta de descontos sucessivos é igual ao produto de suas taxas líquidas. 
 
Exemplo 
01 – O preço de uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 4% e 8%. Qual o desconto 
total sofrido pela mercadoria? 
1ª taxa líquida = 100 – 4 = 96% 
2ª taxa líquida = 100 – 8 = 92% 
 
96/100 x 92/100 = 0,96 x 0,92 = 0,8832. Como é menor que 100% = 100/100 = 1 então é o que falta 
pra chegar a 1. 
1-0, 8832 = 11,68% 
 
Exercício 
01 – Um produto sofreu três descontos sucessivos de 10%, 8% e 5%. Qual o seu valor líquido? 
 
 
 
17 
5.3 Taxas Sucessivas de Aumentos e Descontos 
Exemplo 
01 – Uma mercadoria após ser vendida, teve um abatimento de 15%. Como as vendas continuavam 
baixas, deu-se um novo desconto de 5%. Mas devido à escassez do produto no mercado o vendedor 
aumentou o preço da mercadoria em 10 % . Pode-se dizer que o comerciante teve lucro ou prejuízo? E de 
quanto? 
1ª taxa líquida = 100 – 15 = 85% 
2ª taxa líquida = 100 – 5 = 95% 
1ª taxa de montante = 100 + 10 = 110% 
85/100 x 95/100 x 110/100 =0,85 x 0,95 x 1,10 = 0,88825 e como é menor que 1, então ele teve 
prejuízo de 1-0,88825 = 11,18. 
 
Exercício 
01 – Na bolsa de valores as ações de certa empresa tiveram altas e baixas sucessivas em 
determinado período. Se as taxas de valorização foram de 7% e 8% e as de desvalorização de 5% e 6%, os 
investidores ganharam ou perderam ao investir nessas ações? E quanto? 
Portanto, o saldo devedor se anula com o pagamento da última prestação e o método parece estar 
correto. Se o saldo devedor não fosse corrigido, a parte devedora teria um saldo credor no final do 
financiamento. 
 
5.4 Taxa SELIC 
A taxa SELIC é um índice pelo qual as taxas de juros cobradas pelo mercado se balizam no Brasil. É a 
taxa básica utilizada como referência pela política monetária. A taxa overnight do Sistema Especial de 
Liquidação e de Custódia (SELIC), expressa na forma anual, é a taxa média ponderada pelo volume das 
operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais e realizadas no SELIC, na 
forma de operações compromissadas. É divulgada pelo Comitê de Política Monetária (Copom). 
Conforme o Banco Central do Brasil o conceito de taxa Selic é: 
É a taxa apurada no Selic, obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada das 
operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais e cursadas no referido 
sistema ou em câmaras de compensação e liquidação de ativos, na forma de operações compromissadas. 
Esclarecemos que, neste caso, as operações compromissadas são operações de venda de títulos com 
compromisso de recompra assumido pelo vendedor, concomitante com compromisso de revenda 
assumido pelo comprador, para liquidação no dia útil seguinte. Ressaltamos, ainda, que estão aptas a 
realizar operações compromissadas, por um dia útil, fundamentalmente as instituições financeiras 
habilitadas, tais como bancos, caixas econômicas, sociedades corretoras de títulos e valores mobiliários e 
sociedades distribuidoras de títulos e valores mobiliários. 
A taxa média ajustada das mencionadas operações de financiamento é calculada deacordo com a 
seguinte fórmula: 
 
 
 
onde, 
Lj: fator diário correspondente à taxa da j-ésima operação; 
Vj: valor financeiro correspondente à taxa da j-ésima operação; 
n: número de operações que compõem a amostra. 
 
A amostra é constituída excluindo-se do universo as operações atípicas, assim consideradas: 
 No caso de distribuição simétrica: 2,5% das operações com os maiores fatores diários e 2,5% 
das operações com os menores fatores diários; 
 No caso de distribuição assimétrica positiva: 5% das operações com os maiores fatores diários; 
 
 
18 
 No caso de distribuição assimétrica negativa: 5% das operações com os menores fatores 
diários. 
A taxa Selic é, no Brasil, a taxa de financiamento no mercado interbancário para operações de um 
dia, ou overnight, que possuem lastro em títulos públicos federais, títulos estes que são listados e 
negociados no Sistema Especial de Liquidação e de Custódia, ou Selic. Também é conhecida como taxa 
média do over que regula diariamente as operações interbancárias. A taxa Selic reflete o custo do dinheiro 
para empréstimos bancários, com base na remuneração dos títulos públicos. 
Em outras palavras, esta taxa é usada para operações de curtíssimo prazo entre os bancos, que, 
quando querem tomar recursos emprestados de outros bancos por um dia, oferecem títulos públicos como 
lastro (garantia), visando reduzir o risco, e, consequentemente, a remuneração da transação (juros). Esta 
taxa é expressa na forma anual para 252 dias úteis. 
Assim, como o risco final da transação acaba sendo efetivamente o do governo, pois seus títulos 
servem de lastro para a operação e o prazo é o mais curto possível, ou apenas um dia, esta taxa acaba 
servindo de referência para todas as demais taxas de juros da economia. 
Esta taxa não é fixa e varia praticamente todos os dias, mas dentro de um intervalo muito pequeno, 
já que, na grande maioria das vezes, ela tende a se aproximar da meta da Selic, que é determinada oito 
vezes por ano, consoante regulamentação datada de 2006. 
Todas as negociações interbancárias realizadas no Brasil, com prazo de um dia útil (overnight), 
envolvendo títulos públicos federais, são registradas nos computadores do DEMAB, cuja sede fica no Rio de 
Janeiro, e que faz parte do Banco Central do Brasil. Depois do fechamento do mercado, o DEMAB calcula a 
taxa média ponderada pelo volume dos negócios realizados naquele dia. Esta será a taxa média Selic 
daquele dia, que normalmente é publicada por volta das 20h00 do próprio dia. Também é chamada 
simplesmente de "taxa básica". 
 
Taxa de Juros Selic 
A taxa de juros relativa ao mês de outubro de 2010, aplicável na cobrança, restituição ou 
compensação dos tributos e contribuições federais, a partir do mês de novembro de 2010, é de 0,81%. 
 
% 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 
JAN 0,00 2,58 1,73 2,67 2,18 1,46 1,27 1,53 1,97 1,27 1,38 1,43 1,08 0,93 1,05 0,66 
FEV 3,63 2,35 1,67 2,13 2,38 1,45 1,02 1,25 1,83 1,08 1,22 1,15 0,87 0,80 0,86 0,59 
MAR 2,60 2,22 1,64 2,20 3,33 1,45 1,26 1,37 1,78 1,38 1,53 1,42 1,05 0,84 0,97 0,76 
ABR 4,26 2,27 1,66 1,71 2,35 1,30 1,19 1,48 1,87 1,18 1,41 1,08 0,94 090 084 0,67 
MAI 4,25 2,01 1,58 1,65 2,02 1,49 1,34 1,41 1,97 1,23 1,50 1,28 1,03 0,88 0,77 0,75 
JUN 4,04 1,98 1,61 1,60 1,67 1,39 1,27 1,33 1,86 1,23 1,59 1,18 0,91 0,96 0,76 0,79 
JUL 4,02 1,93 1,60 1,70 1,66 1,31 1,50 1,54 2,08 1,29 1,51 1,17 0,97 1,07 0,79 0,86 
AGO 3,84 1,97 1,59 1,48 1,57 1,41 1,60 1,44 1,77 1,29 1,66 1,26 0,99 1,02 0,69 0,89 
SET 3,32 1,90 1,59 2,49 1,49 1,22 1,32 1,38 1,68 1,25 1,50 1,06 0,80 1,10 0,69 0,85 
OUT 3,09 1,86 1,67 2,94 1,38 1,29 1,53 1,65 1,64 1,21 1,41 1,09 0,93 1,18 0,69 0,81 
NOV 2,88 1,80 3,04 2,63 1,39 1,22 1,39 1,54 1,34 1,25 1,38 1,02 0,84 1,02 0,66 - 
DEZ 2,78 1,80 2,97 2,40 1,60 1,20 1,39 1,74 1,37 1,48 1,47 0,99 0,84 1,12 0,73 - 
 
Juros 
É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da 
História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o 
dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam 
normalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. 
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se 
empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos 
considerar: 
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital(C). 
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa 
de juros (i). 
3. O tempo(t) deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida à taxa, e em 
caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam 
compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 
 
 
19 
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado 
montante (M). 
Unidades de tempo usuais: 
a.a. = ao ano 
a.m. = ao mês 
a.s. = ao semestre 
a.t. = ao trimestre 
a.b. = ao bimestre 
a.q. = ao quadrimestre 
 
Taxas equivalentes 
 
Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo intervalo de 
tempo, produzem o mesmo montante. 
 
Exemplo 
01 – Seja um capital aplicado por um ano a uma taxa anual (ia) 
M = C(1+ ia)
1 
 Consideremos agora o mesmo capital aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im 
M’ = C(1+ im)
12 
Por definição, M = M’ então 
 
C(1+ ia)
1 = C( 1+ im )
12 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ im )
12 porque 1 ano = 12 meses 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal 
 
(1+ im)
1 = ( 1+ id )
30 porque 1 mês tem 30 dias ( comercial) 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa mensal equivalente a uma determinada taxa diária 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ is )
2 porque 1 ano = 2 semestres 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa semestral 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ im )
6 porque 1 ano = 6 meses 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ it )
4porque 1 ano = 4 trimestres 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa trimestral 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ iq )
3porque 1 ano = 3 quadrimestres 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa quadrimestral 
 
(1+ it)
1 = ( 1+ im )
3porque 1 trimestre = 3 meses 
 
 
 
20 
6 JURO EXATO E JURO COMERCIAL 
Imagine uma dívida, no valor de R$ 1.000,00; vencida em 10/01/08, e que só tenha sido paga em 
11/07/08, tendo sido cobrados juros simples, a uma taxa de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros 
pagos: 
Temos que: 
J = ? 
i = 36% a.a. 
t = número de dias entre 10/01/08 e 11/07/08 
C = 1.000 
Vamos adotar períodos diários. Assim, temos de tomar duas providências inicialmente: 
 Transformar a taxa anual em diária; 
 Contar o número de dias entre as datas dadas. 
Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na matemática financeira. O 
examinador deverá dizer qual delas devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou 
ordinário) e juro bancário. 
 
6.1 Juro Exato 
Característica: a contagem do número de dias (n) se faz utilizando o ano civil (aquele que é 
representado no calendário). 
Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por um capital (C), durante n dias, 
serão dados por: 
J = C. ianual. n/365 
n = número de dias contados no calendário do ano civil. 
OBS: 
 
1. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto você deve saber o número exato 
de dias de cada mês do calendário; 
2. Caso o ano seja bissexto, a divisão na expressão acima será feita por 366 e não por 365, já que o 
ano bissexto tem um dia a mais. 
 
Aplicando juro exato ao nosso problema, os juros seriam:J = 100. 0,36. 183/366 = 180 
No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque 2008 é ano bissexto. O número 
n de dias entre 10/01/08 e 11/07/08 contados segundo o calendário civil é 183, conforme pode ser 
verificado na tabela abaixo: 
 
6.2 Juro Comercial 
Característica: a contagem do número de dias se faz utilizando o ano comercial (1 ano = 360 e 1 
mês = 30 dias, inclusive fevereiro). 
Para o caso de juro comercial: 
J = C. ianual. n/360 
n = no de dias contados no calendário do ano comercial. 
Aplicando ao nosso problema: 
J = 1000. 0,36. 181/360 = 181 
 
6.3 Juro Bancário 
Característica: a contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil, mas o juro diário é 
calculado utilizando o ano comercial. 
Para o caso do juro bancário: 
J = C. ianual. n/360 
 
 
21 
n = no de dias contados no calendário do ano civil. 
Aplicando ao nosso problema ao nosso problema: 
J = 1.000. 0,36. 183/360 = 183 
 
7 INFLAÇÃO 
A inflação é o aumento persistente e generalizado no valor dos preços onde esse aumento é 
contínuo. Quando a inflação chega a zero dizemos que houve uma estabilidade nos preços. A inflação pode 
ser dividida em: 
 
7.1 Inflação de Demanda 
É quando há excesso de demanda agregada em relação à produção disponível. As chances da 
inflação da demanda acontecer aumenta quando a economia produz próximo do emprego de recursos. 
Para a inflação de demanda ser combatida, é necessário que a política econômica se baseie em 
instrumentos que provoquem a redução da procura agregada. 
 
7.2 Inflação de Custos 
É associada à inflação de oferta. O nível da demanda permanece e os custos aumentam. Com o 
aumento dos custos ocorre uma retração da produção fazendo com que os preços de mercado também 
sofram aumento. 
As causas mais comuns da inflação de custos são: os aumentos salariais, que fazem com que o 
custo unitário de um bem ou serviço aumente, o aumento do custo de matéria prima que provoca um 
super aumento nos custos da produção, fazendo com que o custo final do bem ou serviço aumente; e por 
fim, a estrutura de mercado que algumas empresas aumentam seus lucros acima da elevação dos custos de 
produção. 
 
7.3 Índices de Inflação 
A inflação possui vários índices entre eles o IGP (Índice Geral de Preços), IPA (Índice de Preços no 
Atacado), INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor), IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), 
INCC (Índice Nacional do Custo da Construção), CUB (Custo Unitário Básico). 
Inflação do aluguel desacelera em outubro de 2010. 
Segundo informações da FGV, IGP-M variou 1,01% em outubro. 
A inflação medida pelo Índice Geral de Preços – Mercado (IGP-M), que reajusta a maioria dos 
contratos e aluguel, variou 1,01%, em outubro, segundo informações divulgadas pela Fundação Getúlio 
Vargas (FGV), nessa quinta-feira, dia 28. Em setembro, o índice variou 1,15%. O IGP-M é calculado com 
base nos preços coletados entre os dias 21 do mês anterior e 20 do mês de referência. 
O Índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA), que representa 60% do IGP-M, apresentou taxa de 
variação de 1,30% no mês. Em setembro, a taxa foi de 1,60%. 
O índice referente ao grupo Bens Intermediários variou 0,21%. O subgrupo materiais e 
componentes para a manufatura registrou decréscimo em sua taxa de variação, que passou de 0,26% para 
0,06%, sendo o principal responsável pela desaceleração do grupo. 
O grupo da Habitação apresentou avanços em suas taxas, aumentando de 0,22% para 0,28%. Nesta 
classe de despesa, a maior contribuição partiu dos materiais para reparos de residência, indo de 0,40% para 
0,88%. 
O Índice Nacional de Custo da Construção (INCC) registrou, em outubro, variação de 0,15%, abaixo 
do resultado do mês anterior, de 0,20%. Os três grupos componentes do índice apresentaram 
desaceleração: Materiais e Equipamentos, de 0,36% para 0,26%, Serviços, de 0,32% para 0,29%, e Mão de 
Obra, de 0,04% para 0,03%. 
 
 
 
22 
8 CAPITALIZAÇÃO: 
É o processo de incorporação do juro capital. 
REGIME OU SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO é a forma como adicionamos os juros ao capital ao longo 
do tempo 
 
8.1 Capitalização Simples ou Juros Simples 
Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES, o juro de qualquer período constante e sempre calculado sobre o 
CAPITAL INICIAL, isto é, o capital que foi aplicado inicialmente. 
 
8.2 Juros Simples 
Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. 
Para calcular os juros simples j de um capital c, durante t períodos com a taxa de i% ao período, 
basta usar a fórmula: 
100
tic
j

 
 
Exemplos 
01 – Se eu aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 5% ao mês a JUROS SIMPLES, durante 4 
meses, todo mês irei receber a mesma quantia a título de juro: 5% de R$ 800, 00, que é igual a R$ 40,00. No 
final dos 4 meses terei recebido, de juros, 4 vezes R$ 40, 00, que é igual a R$ 160,00. Meu montante, no 
final do quarto mês, será dado capital aplicado mais os juros que ele rendeu, ou seja, R$ 800,00 + R$ 160, 
00, que é igual a R$ 960,00. 
 
02 – O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento 
em 5 prestações mensais e iguais, porém, o preço passa a ser de R$ 652,50. Sabendo-se que a diferença 
entre o preço a prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa 
mensal de juros cobrada por essa loja? 
A diferença entre os preços dados pela loja é: 
652,50 - 450,00 = 202,50 
 
A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 
202,50 / 5 = R$ 40,50 
 
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: 
x% de 450,00 = 40,50 
x/100·450,00 = 40,50 
450 x / 100 = 40,50 
450 x = 4050 
x = 4050 / 450 
x = 9% 
A taxa de juros é de 9% ao mês. 
 
8.3 Outra forma de fazer por regra de três simples: 
450,00 → 100% 
40,50 → x → 450,00·x = 40,50 · 100 → x = 4.050/450 → x =9% a.m. 
03 – Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juros. 
Qual foi o capital aplicado? 
O capital que a aplicação rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2 = 960,00. Se o capital 
aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 
3% de C = 960,00 
 
 
23 
3/100· C = 960,00 
3·C / 100 = 960,00 
3·C = 96000 
C = 96000/3 = 32000,00 
O capital aplicado foi de R$ 32. 000, 00 
 
8.4 Mais uma forma de fazer por regra de três simples: 
1920/2 = 960 que equivale aos 3% mensais 
960 → 3% 
x → 100% → 3 x = 960 x 100 → x = 96000/3→ x = 32. 000 
 
9 MONTANTE DE JUROS SIMPLES 
MONTANTE é igual à soma do capital inicial com juros relativos ao período de aplicação. 
 
Exemplos: 
01 – Qual o montante de uma aplicação de R$ 29.800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses? 
C= 29.800 
i=12%a.m 
t=6meses 
M=? 
Para resolvermos precisamos verificar se o tempo e a taxa de juros estão no mesmo período. Se 
não estiverem temos que homogeneizar. 
M = 29800 (1 + 12.6/100) => M = 29800(1+ 0,72) M=29800·1,72 =>M=R$ 51.256,00 
 
Ou ainda, 
M = J + C e J = 29800·12· 6/100 => J = R$ 21. 456,00 
M = 21. 456 + 29800 => M = 51.256 
 
Ou ainda, 
12% = 12/100=0,12 · 29800= 3576 · 6meses = 21456 de juros + 29800 = 51. 256 
 
Ou ainda usando a tabela anexa, para 12% durante 30 dias que é 1 mês comercial, temos o fator 
0,1200 e como são 6 meses = 0,12x6=0,72 
0,72·29800=21.456 de juros + 29800=51.256 
 
02 – Calcular o juro simples que um capital de R$ 2.500,00 rende à taxa de 27% a.m, quando 
aplicado de 1º de fevereiro até 14 de maio? 
C=2.500 
i=27%a.m 
t= mês de fevereiro=28 dias+30dias de março+30 dias de abril+14 dias de maio=102 dias 
O tempo da taxa de juros é em mês e o tempo da aplicação é em dias, temos que transformar na 
mesma unidade de tempo. 
27/30 = 0,9 % a.d. 
Então J = 2.500 · 0,9·102/100=> J =2500 · 0, 918=>J=R$ 2.295,00 
 
Ou ainda, 
27.2500/100= 675 de juros por mês. 102/30 = 3,4 meses => 3,4 · 675=2.295 
Ou ainda, 
 
0,9/100 = 0,009 · 2500 = 22,5 · 102 dias = 2.295 
 
 
 
24 
03 – Qual l taxa mensal de juros simples deveincidir num capital para que ele duplique de valorem 
um ano? 
T = 1 ano 
J = C·i·t/100 
Para ele duplicar de valor é porque o juro é igual ao Capital inicial=> J=C e substituindo na fórmula 
acima, temos: 
C = C·i·t/100 => C/C = i·t/100 => 1 = i·t/100 => 1 = i·1/100=> 1=i/100 => 
i=100% a.a. 
 
Exercícios 
01 – Numa operação financeira em curto prazo, um capital de valor R$ 50.000,00, durante 2 anos, a 
uma taxa de 30% ao ano, rende quanto de montante? 
 
 
02 – Determine um capital que, 9 meses, a 6% ao mês, renderá o valor de R$ 32.400,00 de juros. 
 
 
03 – Na compra de imóvel localizado na Capital, cujo valor à vista é R$ 120.0000,00, foi dada uma 
entrada de 20% e o restante foi financiado em duas prestações mensais. Sabendo que a taxa foi de 18% ao 
mês, determine o valor de cada prestação. 
 
 
04 – Ricardo empregou R$ 35.000,00 a juros de 9,5% ao mês. Depois de 90 dias, quanto ele terá? 
 
 
05 – A importância de R$ 48.000,00, emprestada a 60% ao ano, no fim de 7 meses, terá um 
rendimento de quanto? 
 
 
06 – Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 à taxa de juros de 10% ao mês. 
Após pagar, pontualmente, duas prestações mensais de R$ 20.000,00. Quanto resta no saldo devedor? 
 
 
07 – Um capital de R$ 13.000,00 em 1 ano e 3 meses, produziu juros de R$ 5.850,00. Qual o valor 
da taxa a ser cobrada? 
 
 
08 – Um casal tendo o interesse na aquisição da casa própria toma um empréstimo ao banco no 
valor de R$ 500.000,00 e, após 8 meses, paga o montante (capital + juros) de R$ 980.000,00. Determine a 
taxa do empréstimo. 
 
 
09 – Apliquei R$ 12.000,00 por um prazo de 4 meses e devo receber de juros R$ 3.840,00. 
Determine o montante e a taxa usada na operação financeira. 
 
 
10 – O gerente de um banco na cidade de João Pessoa empresta o valor de R$ 72.000,00 por 60 
dias à taxa de 8,2% ao mês. (Além disso, tudo a juros simples). Após o vencimento determine o montante a 
ser pago ao banco. 
 
 
 
 
 
 
25 
10 DESCONTOS SIMPLES 
 
O desconto é um abatimento que é praticado pela ação de pagamento antecipado, ou por promoção. 
 
10.1 Modalidades de Descontos: 
 Desconto comercial ou bancário 
 Desconto racional 
 
10.2 Desconto comercial ou Bancário 
O desconto é um juro ao contrário. Ao invés de aumentar o valor do capital inicial, ele o reduz. E o 
capital inicial passa a ser chamado de valor nominal (N). 
J = C.i.t, trocando por desconto teremos: Dc = N.i.t 
Se vai haver um desconto então vai haver também um valor líquido (L) que passa a ser: 
L = N – D e substituindo o valor de D nesta fórmula teremos: 
L = N – (N.i.t), colocando-se em evidência N, fica assim: 
L = N(1 – i.t), onde 
N = valor nominal de um título 
L = valor líquido, após o desconto 
Dc = desconto comercial ou bancário 
I = taxa de desconto simples 
t = período de tempo 
 
Exemplos 
01 – Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser 
concedido para um resgate do título 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. 
N=10.000 
I = 5%a.m. 
t =3 meses 
Dc = N.i.t 
Dc = 10.000 x 5/100 x 3 => Dc = R$ 1.500,00 
 
02 – Qual o desconto a 5%a.m., sobre um título de R$750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do seu 
vencimento? 
 
10.3 Uniformizar as unidades de tempo que estão diferentes. 
2 meses e 10 dias = 70 dias 
5%AM= 5/30 = 0,17%a.d 
Dc = 750 x 0,17/100 x 70 => Dc = R$ 89,25 
 
Exercício 
01 – Um título de R$1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento ficou reduzido a R$ 900,00. Qual 
foi a taxa mensal usada? 
 
10.4 Desconto Racional 
O desconto racional ou por dentro é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido. 
 
Ao invés do valor nominal, ele será denominado de valor líquido. 
Dr = L.i.t e L = N – Dr => N = L + Dr=> N = L + L.i.t, colocando em evidência, temos: N = L ( 1 + i.t) => 
L = N/1 + i.t 
 
 
26 
Exemplo 
01 – Calcular o desconto por dentro de um título de R$ 6.864,00 à taxa de 12% a.m., 1 mês e 6 dias 
antes do vencimento. 
 
N = 6.864 
i=12%a.m. = 12/30 = 0,4%a.d. 
t=1 mês e 6 dias= 36 dias 
Dr = ? 
 
L = 6864 / 1 + 0,4/100 x 36 => 6864 / 1,144 => L = 6.000 
Dr = N – L => Dr = 6864 - 6.000 => Dr =R$ 864,00 
 
11 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
O juro de cada período é calculado sobre o MONTANTE do período é calculado sobre o MONTANTE 
do período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS até então. 
Agora, se eu aplicar os mesmos R$ 800,00 que aplicamos a juros simples à mesma taxa de 5% ao 
mês, durante prazo idêntico de 4 meses, só que a JUROS COMPOSTOS, isso vai ocasionar um resultado 
diferente para o valor do meu montante no final da aplicação. Neste caso, no primeiro mês vou ganhar R$ 
40,00 de juro (5% de R$ 800,00); no segundo mês ou ganhar R$ 42,00 (5% R$ 840,00); no terceiro mês, R$ 
44,10, e assim por diante, conforme a tabela seguinte: 
 
Mês Juro do mês Montante apurado 
1 5% de 800 = 40 800 + 40 = 840 
2 5% de 840 = 42 840 + 42 = 882 
3 5% de 882 = 44,1 882 + 44,1 = 926,1 
4 5% de 926,1 = 46,3 926,1 + 46,3 = 972,4 
 
Veja que o montante obtido a juros compostos (R$ 972,40) foi a maior do que o obtido a juros 
simples; isto ocorre porque no regime a juros compostos correm juros sobre juros. 
Existem fórmulas matemáticas que permitem determinar o juro e o montante em cada regime de 
capitalização. 
 
11.1 Juros Compostos 
O sistema de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de 
problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital inicial para o cálculo 
dos juros do período seguinte, em função da capitalização. 
Capitalização é o momento em que os juros são incorporados ao capital inicial. 
 
Exemplos 
01 – Em 4 meses de capitalização temos que a cada mês o tempo (t) corresponde a 1: 
 
1º Mês........ M = C(1+i·1/100) => M = C(1+i/100) 
 
2º Mês .... o Capital inicial é agora igual ao montante do mês anterior..... 
M = C(1+i./100). ( 1+i/100) => M = C(1+i/100)2 
 
3º Mês..... M = C(1+i/100)2. (1+i/100) => M = C(1+i/100)3 
 
4º Mês..... M = C(1+i/100)3. (1+i/100) => M = C(1+i/100)4 
 
 
E assim por diante se fossem mais meses, o que simplifica a fórmula em: 
 
 
27 
 
=> )1()1001( iCMiCM
n
n
t
  
 
Mais uma vez lembramos a importância de termos uniformidade entre as unidades de tempo, 
referidas as taxas (i) e os períodos de tempo (t), aplicados ao capital. 
 
Exemplo: 
01 – Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 20% a. m. Calcule o montante ao final 
de 3 meses, para juros simples e para juros compostos: Para cada mês t=1, porque a capitalização é mensal. 
 
12 MONTANTE SIMPLES 
A fórmula para montante simples ou composto é: 
M = C + J 
 
No caso de juros simples: 
M = C + C.i.t/100 e como t = 1 em cada mês => M = C + C.i/100 
Observar que a taxa de juros na modalidade simples, se aplica sempre sobre o capital inicial. 
No caso de juros compostos: 
M= C + C.i.t/100 e como t=1 => M = C + C.i/100 
Observar que a taxa de juros na modalidade composta se aplica sobre o montante anterior. 
 
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através de juros simples e de juros 
compostos.. 
 
CAPITAL 
Nº de meses 
JUROS SIMPLES 
Montante simples 
JUROS COMPOSTOS 
Montante composto 
1 M = 400 + (400.20/100) = 480 M = 400 + (400.20/100) = 480 
2 M = 480 + (400.20/100) = 560 M = 480 + (480.20/100) = 576 
3 M = 560 + (400.20/100) = 640 M = 576 + (576.20/100) = 691,20 
 
Valor Futuro de um Pagamento Único: multiplique o valor presente pelo fator da tabela e encontre 
o valor futuro de um único pagamento, isto é, VF = VP* (1+i)^n, a tabela dá o valor (1+i)^n. 
 
 
i
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 
51,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
Exemplos 
01 – Calcular o montante de um capital inicial de R$ 5.000,00 a juros compostos de 5%a.m., 
durante 6 meses. 
C = 5.000 
i = 5% a.m. 
t = 6 meses 
M = ? 
 
Usando a calculadora eletrônica que possua tecla exponencial 
M = 5.000* (1+5/100)6 
M = 5.000* (1+0,05)6 => M = 5.000* (1,340095641) =>M = R$ 6.700,48 
 
02 – Calcular o montante de um capital inicial de R$ 256.000,00 a juros compostos de 7%a.m., 
durante 9 meses. 
M = 256000* (1+7/100)9 
M = 256000* (1,07)9 
M = 256000* (1,8385) 
M = 470.656,00 
 
Exercícios 
01 – Numa operação financeira com um capital de valor R$ 12.000,00, durante 2 meses, a uma taxa 
de 30% ao ano, rende quanto de montante composto? 
 
 
02 – Determine um capital que, 9 meses, a 6% ao mês, renderá o valor de R$ 32.400,00 de juros 
composto? 
 
 
03 – Na compra de imóvel localizado na Capital, cujo valor à vista é R$ 500.0000,00, foi dada uma 
entrada de 40% e o restante foi financiado em duas prestações mensais. Sabendo que a taxa foi de 7% ao 
mês, determine o valor de cada prestação. 
 
 
04 – Ricardo empregou R$ 35.000,00 a juros de 2,5% ao mês. Depois de 90 dias, quanto ele terá na 
modalidade de juros composto? 
 
 
05 – A importância de R$ 23.980,00, emprestada a 60% ao ano, no fim de 7 meses, terá um 
rendimento de quanto? 
 
 
06 – Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 à taxa de juros de 10% ao mês. 
Após pagar, pontualmente, duas prestações mensais de R$ 20.000,00. Quanto resta no saldo devedor? 
 
 
07 – Um capital de R$ 17.635,45 em 1 ano e 3 meses à taxa de 2,8% ao mês. Terá quanto de juros 
composto? 
 
 
08 – Apliquei R$ 12.000,00 por um prazo de 4 meses quanto devo receber de juros composto 
sabendo que à taxa cobrada foi de 15 ao ano. 
 
 
10 – O gerente de um banco na cidade de João Pessoa empresta o valor de R$ 5.856,00 por 120 
dias à taxa de 8,2% ao mês. Após o vencimento determine o montante a ser pago ao banco. 
 
 
29 
 
Fórmulas para Juros compostos (valor de prestações) 
i
i n
p
i
M )1(1
)1(
 


 , primeira parcela na hora da compra; 
i
i n
pM
)1(1  
 , primeira parcela 30 dias após a compra; 
i
i n
piM
)1(1
)1(
 
 , primeira parcela 60 dias após a compra: 
 
Exemplo 
01 – Uma imobiliária, para aumentar suas vendas, oferece um terreno em 26 prestações mensais 
iguais, Determine o valor das prestações, sabendo que os juros são de 2% ao mês e que o preço do terreno 
à vista é de R$ 28.500,00. Supondo que a primeira prestação será paga: 
 
a) No ato da compra 
i
i n
p
i
M )1(1
)1(
 


 
 
65,388.1$
12103576,20
18,27941
12103576,2018,27941
02,0
597579284,01
18,27941
02,0
)02,1( 261
02,1
28500
02,0
)02,01( 261
)02,01(
28500
Rp
ppp
pp







 


 
 
Observe que nessa modalidade fica uma 1+25 no caso uma entrada de R$ 1.388,65 mais 25 
prestações de R$ 1.388,65 
b) Um mês após a compra
i
i n
pM
)1(1  
 
43,416.1$
12103576,20
28500
12103576,2028500
02,0
597579284,01
28500
02,0
)02,1( 261
28500
02,0
)02,01( 261
28500
Rp
ppp
pp







 

 
 
c) Dois meses após a compra
i
i n
piM
)1(1
)1(
 
 
 
76,444.1$
12103576,20
29070
12103576,2029070
02,0
597579284,01
29070
02,0
)02,1( 261
)02,1(28500
02,0
)02,01( 261
)02,01(28500
Rp
ppp
pp







 

 
 
Exercícios 
01 – Uma concessionária de automóveis, para aumentar suas vendas, oferece um modelo em 24 
prestações postecipadas mensais iguais, devendo o primeiro pagamento ser efetuado 30 dias após a 
compra. Determine o valor das prestações, sabendo que os juros são de 5% ao mês e que o preço do 
veiculo à vista é de R$ 38.000,00. 
 
 
30 
02 – Uma fazenda é vendida em 8 prestações mensais iguais antecipadas. Calcule o valor das 
prestações, sabendo que a taxa dos juros é 6% ao mês e que o preço à vista do produto é de R$ 
4.989.800,00. 
 
 
03 – Uma casa é vendida em 12 prestações mensais iguais e seu preço à vista é R$ 105.000,00. 
Calcule o valor das prestações, a uma taxa de 5% ao mês sobre o saldo devedor, supondo que a primeira 
prestação será paga: 
a) No ato da compra; 
b) Um mês depois da compra; 
c) Dois meses após a compra: 
 
 
12.1 Montante a Juros Compostos 
Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao 
período. 
Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o mesmo processo do exemplo 
anterior, ou seja, período a período. 
 
M1 = C(1 + i) 
M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2 
M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3 
Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica: 
M1 = C(1 + i) 
 
Para o montante do segundo período, encontramos: 
M2 = C(1 + i)2 
 
Para o montante do terceiro, 
M3 = C(1 + i)3 
 
É fácil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será: 
Mn = C(1 + i)n 
 
O fator (1 + i)n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou 
ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos 
anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, 
dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o 
montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação. 
 
A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é obtida a partir da fórmula geral de 
juros, conforme segue: 
J = M – C 
J = C(1 + i)n – C 
 
Colocando C em evidência, obtemos: 
Jn = C [(1+ i)n – 1] 
 
Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos? 
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo da matemática financeira. 
 
 
 
 
 
 
31 
Existem determinadas expressões que indicam o regime de capitalização composta, tais como: 
 juros compostos 
 capitalização composta 
 montante composto 
 taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalização anual) 
 taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com capitalização a 
cada bimestre) 
 
A principal diferença entre o regime simples e o composto, entretanto, é que, em juros compostos, 
é necessário que saibamos, através do enunciado do problema, o período das capitalizações. Em juros 
simples podíamos escolher o período de capitalização que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 
24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em 
meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros compostos não podemos 
fazer isso, pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, 
anuais etc. 
 
Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou 
COMPOSTA. 
Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período 
dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS. 
 
Exemplos: 
* dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma 
taxa igual a 4% ao mês. 
* dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, devemos tranformá-la em uma 
taxa de 24% ao semestre. 
Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referência a 
regime composto, presumimos que o regime de capitalização seja simples. 
 
Exercícios resolvidos 
1. Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5%a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo. 
 
Resolução: 
C = 10.000 
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal, 
n = 11 
i = 5% a.m. = 0,05 a.m. 
 
M = C (1 + i)n 
M = 10.000 (1 + 0,05)11 
 
O problema está em calcular o fator de acumulação do capital. Não se desespere, esse valor é 
dado pelo examinador: 
a) no início da prova; exemplo: (1,05)11 = 1,7103; ou 
b) por meio de uma tabela financeira, semelhante ao modelo a seguir; nessa tabela, o valor de 
acumulação de capital que procuramos pode ser facilmente encontrado no cruzamento da coluna i = 5% 
com a linha n = 11: 
Voltando ao cálculo do montante: 
M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais fornecidas para o fator) 
M = 17.103,39 
 
2. Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., 
capitalizados mensalmente, durante um ano. 
Resolução: 
 
 
32 
Temos que: 
C = 100 
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente 
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses 
 
Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros 
compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que 
nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual, mas a 
capitalização é mensal. Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que tenha 
periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos isto, como já foi dito, utilizando o conceito de 
TAXAS PROPORCIONAIS. 
 
Exemplo: 
Se o examinador der uma taxa nominal de 36% a.a. e disser que deve ser capitalizada 
mensalmente, devemos determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a., ou seja, 3% a.m. – é 
este valor que utilizaremos na fórmula do montante composto. Se ele der a mesma taxa nominal de 36% 
a.a., mas disser que deve ser capitalizada semestralmente, deveremos agora calcular a taxa semestral 
proporcional à taxa de 36% a.a., isto é, 18% a.s. 
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal; logo, considerando que um ano 
tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i = 60% a.a. = 5% 
a.m. = 0,05 a.m. 
Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa 
nominal tem a desvantagem de não poder introduzida diretamente na fórmula do montante composto, 
pois possui período diferente do da capitalização. 
Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma forma que a periodicidade da taxa, 
o prazo de aplicação também deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempo do período de 
capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização 
é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres etc. 
No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12. 
Aparadas todas estas arestas, podemos agora calcular o montante: 
M = C (1 + i)n 
M = 100 (1 + 0,05)12 
 
Devemos ir à tabela fornecida anteriormente, onde iremos verificar que, para i = 5% e n = 12, 
(1 + 0,05)12 = 1,795856 
Logo, 
M = 100. 1,795856 
M = R$ 179,59 
 
Após ter certeza de que compreendeu os exemplos anteriores, leia as observações abaixo e reflita 
sobre elas. 
 
a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de juros SIMPLES, de quanto seria o 
montante? 
 
Resposta: seria de R$ 160,00. 
 
Por quê? 
Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante 
um ano é dado por: 
 
M = C (1 + in) 
M = 100 (1 + 0,60. 1) = 160,00 
 
 
 
 
33 
Por que o montante a juros compostos é maior? 
Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um montante que será utilizado para 
calcular o juro do período seguinte. 
 
Portanto, calculamos juros sobre juros. 
Para deixarmos ainda mais clara a diferença entre o regime simples e o composto, montamos a 
tabela abaixo, mostrando como ficam os montantes intermediários, em cada mês, de R$ 100,00 aplicados a 
5% a.m., nos dois regimes: 
 
b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 
79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.) é apenas uma taxa 
de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema. 
A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto 
uma taxa nominal de 60% a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de 79,59%. 
c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se mudarmos o período de 
capitalização, a taxa efetiva também mudará. 
Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRIMESTRAL. 
Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que: 
i = 15% a.t. = 0,15 a.t. 
n = 4 
O montante composto será dado por: 
M = C(1 + i)n 
M = 100(1 + 0,15)4 
M = 100 x 1,749006 
M = R$ 174,90 
 
O montante foi menor porque diminuímos o número de capitalizações (antes elas estavam sendo 
feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a. 
 
Exercícios resolvidos 
3. Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com 
capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses. 
 
Resolução: 
Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa anual em semestral e expressar o 
prazo em semestres 
C = 8.000 
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s. 
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41 
M = C (1 + i)n 
M = 8.000 (1 + 0,08)41 
Vamos na tabela no final deste capítulo e … não tem n = 41. Na tabela dada, n só vai até 30. O que 
fazer? 
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base: 
(1 + 0,008)41 = (1 + 0,008)30. (1 + 0,008)11 
(1 + 0,008)41 = 10,06266. 2,331639 = 23,462490 
M = 8.000. 23,462490 
M = 187.699,92 
 
 
 
34 
13 DESCONTO COMPOSTO 
 
O desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor atual e representa a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual. 
 
Valor Atual é aquele que aplicado à taxa de juros compostos, se transforma em valor nominal. 
 
N = Va (1 + i) t => Va = N / (1 + i)t 
D= N – Va 
 
Exemplo 
01 – Calcule o valor atual de um título de R$ 12.000,00 à taxa de 9% a.m., disponível em 8 meses. 
 
Va = 12000 / ( 1 + 9/100 ) 8 
Va = 12.000 / ( 1 + 0,09 )8 => Va = 12000 / 1,99256 
 Va = R$ 6.022,40 
 
Exercício 
01 – Calcule os três tipos de descontos possíveis (bancário, racional e composto), para um título de 
R$ 9.000,00, à taxa de 5% a.m. resgatado 5 meses antes do seu vencimento. 
 
13.1 Taxas de Descontos Equivalentes a Taxas de aumentos 
Um título qualquer que valia 100% foi aumentado e agora passa a valer 
 
100% + taxa de aumento = taxa de montante 
 
Se quisermos calcular a taxa de desconto equivalente a uma taxa de aumento, é só estabelecer a 
razão entre a taxa de aumento e a taxa de montante e multiplicar por 100 
 
id = taxa de aumento/ taxa de montante x 100 
 
Exemplos 
01 – Um imóvel foi aumentado em 30%. Como ocorreu um período de recessão, resolveu-se 
desconta-lo de forma que equivalesse ao preço anterior. Qual a taxa de desconto que se deve aplicar? 
id = 30 / 100 + 30 => id = 30/130 x 100 => id = 23,08% 
 
02 – Uma dívida teve um aumento de 12%. No entanto, se o devedor saldá-la dentro de 
determinado prazo, o credor desconsidera os juros, considerando um desconto equivalente ao aumento 
dado. Qual deve ser o desconto percentual? 
id= 12/100+12 => id = 12/112 x100 => id = 10,71% 
 
13.2 Taxas de Aumentos Equivalentes a Taxas de Descontos 
 
Antes o título valia 100%. Depois de ser descontado ele passa a valer 
 
100 – taxa de desconto = taxa líquida 
 
Para calcular a taxa de aumento (ij) equivalente a taxa de desconto é só 
Estabelecer a razão entre a taxa de desconto e a taxa líquida e multiplicar por100. 
 
ij = taxa de desconto /taxa líquida x 100 
 
 
35 
Exemplo 
01 – Uma dívida ao ser paga antecipadamente, sofre um desconto de 15%. Qual a taxa de aumento 
ou de juros que foi paga nesta operação. 
 
ij = 15 / 100 – 15 => ij = 15/85 x 100=> ij = 17,65% 
 
02 – Uma mercadoria foi descontada em 5%. Para voltar ao preço anterior ao desconto, qual deve 
ser o aumento equivalente ao desconto? 
 
ij = 5 / 100 – 5 => ij = 5 / 95 x 100 => ij = 5,26% 
 
 
Outra fórmula para o cálculo do desconto composto 
 










)1(
1
1
i
nd
t
 
 
Exemplos 
01 – Uma pessoa financiou uma casa própria por um determinado banco no R$ 230.000,00 e quer 
liquidar sua dívida 4 anos antes do vencimento. Calcule o valor presente da dívida, sabendo que a taxa de 
desconto composto é de 7% ao ano. 
 











?
.07,0..%7
4
00,000.230$
a
aaaai
anost
Rn
 
 
Devemos, primeiramente, calcular o valor do desconto que é operado, pela 
fórmula










)1(
1
1
i
nd
t
. 
 
Então, 
 
10,534.54237104788,0230000
)762895212,01(230000
07,1 4
1
1230000
07,01
4
1
1230000























dd
ddd
 
Como and  ,podemos escrever: 90,465.175$00,000.23010,534.54 Raa  
 
Portanto, o valor atual da dívida é R$ 175.465,90 
 
Exercícios 
01 – Uma pessoa financiou uma casa própria no banco estadual por R$ 180.000,00 e quer liquidar 
sua dívida 2 anos antes do vencimento. Calcule o valor presente da dívida, sabendo que a taxa de desconto 
composto é de 8% ao ano. 
 
 
02 – Um título de R$ 80.000,00, com vencimento para 72 dias, é resgatado (descontada) à taxa de 
60% ao ano de desconto composto. Determine o valor pago por esse título. 
 
 
 
 
36 
03 – Uma empresa quer descontar, 75 dias antes do vencimento, um título de crédito cujo valor é 
de R$ 85.000,00, num banco que cobra a taxa de 3,5% ao mês de desconto composto. Ache o valor atual 
desse título. 
No Brasil, em financiamentos de longo prazo como aquele para compra de imóveis é comum um 
considerável número de pessoas se depararem com saldos impagáveis após algum tempo. Mas por que isto 
ocorre? Podem-se citar várias causas: altas taxas de juro, redução de rendas devido à retração econômica, 
atualização por índices de inflação favoráveis aos credores e muitas outras. Pelo menos, a aritmética não 
pode ser responsabilizada.