lista3

Prévia do material em texto

Unipampa-Campus Alegrete
3a Lista de Exerc´ıcios-Ca´lculo II
Prof. Fernando Colman Tura
Exerc´ıcios Propostos
1. Encontrar uma func¸a˜o de va´rias varia´veis que represente:
a) O comprimento de uma escada apoiada num muro de altura h, cuja distaˆncia do muro a base
da escada e´ l.
b) O volume de a´gua necessa´rio para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros
de altura.
c) A quantidade de rodape´, em metros, necessa´ria para se colocar numa sala retangular de largura
a e comprimento b.
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessa´ria para revestir as paredes
laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do
quarto e´ z metros.
e) A distaˆncia entre dois pontos P (x1, y1) e Q(x2, y2) do R2.
2. Para cada uma das func¸o˜es f : R2 −→ R abaixo, determine e represente graficamente o domı´nio
de f :
(a) f(x, y) = xy−5
2
√
y−x2
(b) f(x, y) = ln(x− y)
(c) f(x, y) = ln(1− x2 − y2)
(d) f(x, y) = xe−
√
y+2
(e) f(x, y) = xy√
x2−y2
3. Para cada uma das func¸o˜es f : R2 −→ R abaixo, determine o conjunto imagem:
(a) f(x, y) = 2
√
1− x2 − y2
(b) f(x, y) = x2 + y2 + 1
(c) f(x, y) = 6− 2x− 3y
(d) f(x, y) = y + 1
4. Esboce as curvas de n´ıvel de f :
(a) f(x, y) = y2 − x2.
(b) f(x, y) = x2 − y.
(c) f(x, y) = (x− 2)2 + (y + 3)2.
(d) f(x, y) = 4− x2 − 4y2.
5. Usando as propriedades de limites, calcule:
(a) lim(x,y)−→(1,2)(2xy + x2 − xy )
(b) lim(x,y)−→(2,−1)(
x+y−2
x2+y2
)
(c) lim(x,y)−→(0,1)(
x2+y2−xy+7
x3+y3−7 )
(d) lim(x,y)−→(∞,∞) e
1
x+y
(e) lim(x,y)−→(pi,pi/2)
sen(x+y)
x
6. Mostre que o limite na˜o existe.
(a) lim(x,y)−→(0,0)
2xy
x2+y2
(b) lim(x,y)−→(0,0) x
2
x2+y2
(c) lim(x,y)−→(0,0) 2x√
x2+y2
(d) lim(x,y)−→(1,0)
(x−1)2y
(x−1)4+y2
7. Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminac¸o˜es :
(a) lim(x,y)−→(2,3)(
x2y−3x2−4xy+12x+4y−12
xy−3x−2y+6 )
(b) lim(x,y)−→(0,0)
√
x+3−√3
xy+x
(c) lim(x,y)−→(0,1)
ysenx
xy+2x
(d) lim(x,y)−→(0,0) e
xy−1
xy
8. Investigue a continuidade de cada uma das func¸o˜es abaixo, nos pontos indicados:
(a) f(x, y) =

2x
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
P (0, 0)
(b) f(x, y) =

2x√
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
P (0, 0)
(c) f(x, y) =

x2+y2
sen(x2+y2)
, (x, y) 6= (0, 0)
1, (x, y) = (0, 0)
P (0, 0)
(d) f(x, y) =

(x2 + y2)sen 1
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
P (0, 0)
(e) f(x, y) =

x2−yx
x2−y2 , x 6= ±y
x+y
4
, x = ±y
P (1, 1)