DISTRIBUIÇAO DE FREQUENCIA - Copia

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Estatística Descritiva – Distribuição de Frequência
• FREQUÊNCIA ABSOLUTA: É o número de vezes que determinado valor
aparece em uma população ou amostra. É determinada por meio da
contagem dos dados que estão entre os limites da classe.
DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
• FREQUÊNCIA RELATIVA: É a proporção de certo valor em uma população ou
amostra.
• FREQUÊNCIA ACUMULADA: É a soma dos valores das freqüências absoluta.
Valores estes que vão se acumulando, a partir das classes, conforme sugere a
referida freqüência.
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Para aplicar tais conceitos vamos utilizar o conjunto de dados a seguir, que se
refere a idade de 50 pessoas escolhidas aleatoriamente:
EXEMPLO 1.1:
54 47 50 55 55 47 48 53 50 49
45 50 50 51 47 51 48 45 44 50
52 49 51 51 47 53 49 46 61 49
52 48 39 46 52 51 57 49 45 50
54 43 53 55 50 53 52 52 51 47
Tais dados são considerados dados brutos, pois não estão
organizados numericamente, dessa forma não estão preparados para
uma análise estatística.
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Organizando os dados, apresentados no exemplo 1.1 em ordem crescente, tem-
se o que chamamos em estatística de rol, ou seja, a organização dos dados
brutos, que pode ser feita em ordem crescente ou também em ordem
decrescente.
39 45 47 48 49 50 51 52 53 55
43 46 47 49 50 50 51 52 53 55
44 46 47 49 50 50 51 52 53 55
45 47 48 49 50 51 51 52 54 57
45 47 48 49 50 51 52 53 54 61
Para construirmos uma tabela de distribuição de freqüências, 
utilizaremos um roteiro sugerido por Scott (1979), que consiste em:
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
1º passo - Determinar o número de classes (k): Em geral, até 100
dados usa-se tomar o inteiro mais próximo da raiz quadrada do
número de dados (n). Para conjunto com mais de 100 observações,
usa-se o inteiro mais próximo de 5.log(n), conforme sugerido no
roteiro apresentado.
Como no exemplo 1.1, n = 50. (n = número de observações que
formam a amostra)
707,7
50
≈≈
=
=
k
k
nk
Devemos observar que o valor de k,
deverá ser representado por um
número inteiro, pois este representa a
quantidade de classes que a
distribuição de freqüência irá
apresentar.
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
)( 1−
∆
=
k
c
)( 67,366,36
22
1
≈==
−
∆
=
k
c
xmínimoxmáximo −=∆
2º passo - Determinar a amplitude total da amostra (∆) e a amplitude das classes 
(c):
No exemplo 1.1:
No exemplo 1.1:
223961 =−=∆
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
21
c
xmínimoLI −=
3º passo - Determinar o limite inferior da primeira classe e os demais 
limites de cada uma das classes:
Limite inferior da primeira classe.
No exemplo 1.1:
16,37
2
67,339
1
1
=
−=
LI
LI
Sendo assim:
cLILILS +== 121
83,4067,316,371 =+=LS
No exemplo 1.1:
CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
• Organizando os dados, apresentados no exemplo 1.1 em ordem crescente, tem-
se o que chamamos em estatística de rol, ou seja, a organização dos dados
brutos, que pode ser feita em ordem crescente ou também em ordem
decrescente.
39 45 47 48 49 50 51 52 53 55
43 46 47 49 50 50 51 52 53 55
44 46 47 49 50 50 51 52 53 55
45 47 48 49 50 51 51 52 54 57
45 47 48 49 50 51 52 53 54 61
Para construirmos uma tabela de distribuição de freqüências, 
utilizaremos um roteiro sugerido por Scott (1979), que consiste em:
Distribuição de Frequência
• Tabela 01: Distribuição de Frequência, referente aos dados apresentados no
Exemplo 1.1.
Classe
Frequência
absoluta 
Frequência
Acumulada 
Frequência
Relativa 
37,16├ 40,83 1 1 0,02
40,83├ 44,50 2 3 0,04
44,50├ 48,17 13 16 0,26
48,17├ 51,84 18 34 0,36
51,84├ 55,51 14 48 0,28
55,51├ 59,18 1 49 0,02
59,18├ 62,85 1 50 0,02
Total 50 - 1,00
Devemos observar que:
• O somatório dos valores que representam as frequências absolutas de
cada classe será sempre igual ao número de dados apresentados no
conjunto (amostra n).
• A frequência acumulada não tem total, porém o último valor
apresentado em tal frequência será igual ao total apresentado pela
freqüência absoluta, ou seja igual a n.
• O total referente a frequência relativa é igual a um. Algumas vezes por
critérios de arredondamento por ser que esse total apresente uma
pequena variação pra mais ou pra menos.
• OBS: A partir dos intervalos de classe construídos na aula
anterior, calcularemos os pontos médios de cada classe,
que passarão a representar os valores correspondentes
aos dados coletados, ou seja, irão representar a síntese
do conjunto de valores apresentados. Podemos
considerar o ponto médio de cada classe como sendo a
média aritmética dos valores agrupados na respectiva
classe.
Distribuição de Frequência
• Tabela 01: Distribuição de Frequência, referente aos dados apresentados no
Exemplo 1.1.
Classe
Frequência
absoluta 
Frequência
Acumulada 
Frequência
Relativa 
37,16├ 40,83 1 1 0,02
40,83├ 44,50 2 3 0,04
44,50├ 48,17 13 16 0,26
48,17├ 51,84 18 34 0,36
51,84├ 55,51 14 48 0,28
55,51├ 59,18 1 49 0,02
59,18├ 62,85 1 50 0,02
Total 50 - 1,00
Tabela 02: Cálculos preliminares.
Ponto Médio de 
classe 
38,99 38,99
42,66 85,32
46,33 602,29
50,00 900,00
53,67 751,38
57,34 57,34
61,01 61,01
Total 2496,33
( )ix ii fx . xx i − ( )2xxi −
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Tomaremos as tabelas 01 e 02 como referência para os cálculos a
serem realizados.
• Média - Esta é a medida de tendência central mais utilizada.
MÉDIA ARITMÉTICA
(dados não agrupados) 
• No exemplo 1.1: Média aritmética (dados não agrupados):
n
x
x
n
i
i∑
=
−
1
92,49
50
2496
50
61....4443391
==
+++
==
∑
=
n
x
x
n
i
i
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MÉDIA PONDERADA
(dados agrupados) Onde: 
No exemplo 1.1: Média ponderada (dados agrupados):
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
1
1
.
∑
=
=
n
i
fin
1
92,49
50
33,2496
50
01,61...32,8599,38
.
1
1
==
+++
=−
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Moda - É o valor que ocorre com mais freqüência em um
conjunto de valores. Ou seja, é o valor que mais se repete. As
distribuições que apresentam uma moda única são chamadas
de unimodais, duas bimodais e mais de duas multimodais.
Existem distribuições que não apresentam nenhuma moda
são amodais.
• Quando os valores não estão agrupados em classes, basta
observar na amostra o valor que mais se repete.
Para valores agrupados em classes, usaremos a seguinte
fórmula:
cLImo mo .
21
1






∆+∆
∆
+=
• Onde:
= Limite inferior da classe modal.
são as diferenças entre a frequência absoluta da
classe modal e as frequências absolutas das classes
anterior e posterior, respectivamente.
• No exemplo 1.1:
moLI
21 ∆∆ e
21,5067,3.
45
517,48 =





+
+=mo
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Mediana - É o valor que centra a distribuição, ou seja, que a
divide em duas partes de frequências absoluta iguais. Existem
dois casos a considerar para o cálculo da mediana:
• 1º - n (número de termos) é ímpar. Nesse caso, a mediana
será o valor da variável que ocupa o posto de ordem .
• 2º - n (número de termos) é par. Nesse caso, não existirá no
conjunto ordenado um único valor que ocupe a posição
central, isto é, a mediana será indeterminada, pois qualquer
valor compreendido entre os valores que ocupem os postos
de ordem e pode ser considerado o centro de
ordenação.
2
1+n
2
n
2
2+n
• Esta medida (mediana) pode ser facilmente estabelecida
caso as observações estejam dispostas em ordem
crescente ou decrescente. Porém, para calcularmos a
mediana a partir de dados agrupados em classes,
usaremos a seguinte fórmula:
cf
Fn
LImd
md
AA
md .
2








−
+=
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Onde:
= Limite inferior da classe mediana
= Freqüência acumulada anterior à classe mediana
= Freqüência da classe mediana
• No exemplo 1.1:
mdLI
AAF
fmd
005,5067,3.
18
162517,48 =




 −
+=md
Medidas de Dispersão
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• No cálculo da média, hásempre informação que se perde. A
média, apesar de ser uma medida muito utilizada em estatística, é
muitas vezes insuficiente para caracterizar uma distribuição. O
mesmo podemos dizer sobre a moda e a mediana, também são
medidas que não informam muito sobre como as variáveis se
alteram, porém não são suficientes para se descrever uma
amostra. Por isso é necessário calcular outro indicador que informe
sobre a maneira com que os dados se distribuem em torno da
média. Para tanto estudaremos as seguintes medidas de dispersão:
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• 1.4.1 - Amplitude Total - É a diferença entre o
maior e o menor valor observado na série.
(Quanto maior a diferença
maior a dispersão)
• No exemplo 1.1:
xmínimoxmáximo −=∆
223961 =−=∆
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Variância - É a soma dos quadrados dos desvios de
cada elemento da distribuição de freqüência,
dividida pelo número total de elementos menos
um.
• Desvio é a diferença que cada valor tem em
relação à média aritmética :
• Variância para dados amostrais:
• No exemplo 1.1:






−
__
xx i
1
1
2
__
1
2
−







−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
)(
6974,7
49
9881,122...7076,524649,119
1
2
2
=
+++
=
∑
=
n
is
Tabela 02: Cálculos preliminares.
Ponto Médio de 
classe 
38,99 38,99 -10,93 119,4649
42,66 85,32 -7,26 52,7076
46,33 602,29 -3,59 12,8881
50,00 900,00 0,08 0,0064
53,67 751,38 3,75 14,0625
57,34 57,34 7,42 55,0564
61,01 61,01 11,09 122,9881
Total 2496,33 - 377,174
( )ix ii fx . xx i − ( )2xxi −
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Considerações sobre a variância:
• A variância é uma medida quadrática, não refletindo a grandeza
original da medida. Assim, se tomarmos uma amostra cuja unidade
de medida dos dados seja em cm, a variância será expressa em
cm². Embora a variância represente uma medida de dispersão
importante a sua apresentação como forma quadrática é em
muitos casos inconveniente. Sendo assim usa-se o desvio padrão
para expressar a dispersão dos dados na mesma unidade de
medida do conjunto. Como veremos a seguir.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Desvio Padrão: O desvio padrão nada mais é que a
raiz quadrada da variância. Dessa forma, é a raiz
quadrática dos desvios, ou seja, uma medida de
dispersão baseada em todos os dados e na sua
grandeza original.
• Desvio padrão amostral:
• No exemplo 1.1:
21
2
__
1
s
n
xx
s
n
i
i
=
−







−
=
∑
=
7744,26974,7 ==s
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Coeficiente De Variação: É a relação entre o desvio padrão e a média,
multiplicados por 100.
(para amostra).
• Dessa forma o desvio padrão é expresso como uma medida de
variabilidade relativa à media da variável. A idéia envolvida é a de que
duas distribuições de igual variabilidade, a variabilidade relativa é maior
na que possuir média mais baixa.
• O coeficiente de variação é uma medida adimensional (uma
porcentagem), pois tanto o desvio padrão quanto a média, está expresso
na mesma unidade de medida dos dados. Utiliza-se o coeficiente de
variação na comparação do grau de concentração em torno da média
para séries distintas.
• No exemplo 1.1:
100
__
×=
x
sCV
5569.5100
9266,49
7744,2
==CV