Apostila Notação Indicial - UTFPR

Prévia do material em texto

TENSORES CARTESIANOS 
 
Tensores: 
• representam uma generalização dos vetores 
• são independentes do sistema de coordenadas 
• são representados através de suas componentes em um dado 
sistema 
 
Exemplos de Tensores 
 Escalar - número (tensor de ordem zero): 1 
 5 
 energia 
 
 Vetor (tensor de primeira ordem): 
−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
2
1
, 
u
v
w
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
, 
a
a
a
1
2
3
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
 
 
 Matriz (tensor de segunda ordem): 
1 2 5
4 3 2
8 9 5
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
, 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
, 
 
 matriz de tensões 
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
 
 
a a
a a
11 12
21 22
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 
 
NOTAÇÃO INDICIAL 
 
 Algumas das equações que regem os problemas de Engenharia podem ser 
formuladas em termos de quantidades independentes das coordenadas. Estas 
equações, normalmente, são bastante longas e seu “manuseio” pode ser 
extremamente tedioso. 
 Neste tópico serão fornecidas algumas regras para notação destas equações, 
que propiciam uma substancial economia de tempo, sem perda da capacidade de 
fornecer informações por parte das equações. Adicionalmente, este conjunto de 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 2 
regras possui um formato bastante adequado à implementação computacional. Esta 
notação é denominada notação indicial (NI). 
 
 
1. Representação de Tensores em Notação Indicial 
 
 Seja a (a ou a) um vetor de dimensão 3: a =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
a
a
a
1
2
3
 
O vetor a pode ser representado por somente um símbolo subscrito (índice), o qual 
representa a i-ésima coordenada do vetor a: ai 
Convenção: 
• índices latinos (i, j, k, l, ...) variam de 1 a 3 (representam o espaço 
tridimensional) 
• índices gregos (α, β, γ, ...) variam de 1 a 2 (representam o espaço 
bidimensional 
Exemplos: 
 Vetores: Pα ou Pβ ou Pγ : P = ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
P
P
1
2
 (bidimensional - 2 componentes) 
 Pi ou Pj ou Pk : P =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
P
P
P
1
2
3
 (tridimensional - 3 componentes) 
 Matrizes: Aij : A = =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
[ ]A
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, Aαβ : A = = ⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
[ ]A
A A
A A
11 12
21 22
 
 σij : 
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
 
 
2. Convenção Soma - Índices Mudos 
 
 Considere a soma 
 
 s a x a x a x a x a xn n= + + + + +1 1 2 2 3 3 4 4 " , (1) 
 
a qual pode ser escrita em forma simplificada como 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 3 
 s a xi i
i
n
=
=
∑
1
. (2) 
 
Uma implementação computacional desta operação, utilizando a linguagem Fortran 
77, é mostrada abaixo: 
 
 s = 0.0 
 do i = 1, n 
 s = s + a(i) * x(i) 
 end do 
 
Naturalmente, esta rotina e a eq. (2) podem ser escritas de forma diferente, mas 
exatamente com o mesmo significado. Ou seja 
 
 s a xj j
j
n
=
=
∑
1
, (3.a) 
 s a xm m
m
n
=
=
∑
1
, (3.b) 
etc. 
Os índices i, j e m, nas eqs. (2) e (3) são denominados índices mudos, visto que o 
resultado final da equação é independente do índice utilizado. 
 
Convenção de Soma de Einstein: 
 
Sempre que um índice aparece repetido em uma equação, este é um 
índice mudo e indica uma soma ao longo do intervalo 1, 2, 3, … n. 
 
Desta maneira, as eqs. (1) a (3) podem ser escritas, em formato simplificado, 
suprimindo o símbolo de somatório, como: 
 
 s a x a x a xi i j j m m= = = com i, j, m = 1, 2, 3, …, n. (4) 
 
 Devido a natureza vetorial das equações que definem problemas de 
Engenharia e destas serem escritas, normalmente, nos espaços bi e tridimensional, 
pode-se adicionar uma nova convenção à convenção de soma de Einstein, desta 
feita relacionada ao intervalo de validade dos índices das equações. Assim: 
 Índices gregos: α, β, δ, γ, κ, ξ, ζ, etc. Intervalo de variação: 1 a 2. 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 4 
 Índices latinos: i, j, k, l, m, n, p, r, s, t, etc. Intervalo de variação: 1 a 3. 
 
 
 Note-se que um índice nunca poderá aparecer mais de duas vezes em uma 
equação. Ou seja, a expressão a x xmm m p não possui significado algum em NI. 
Além disso, a convenção soma pode ser empregada para somatórios duplos, triplos, 
etc. A seguir, alguns exemplos de utilização da convenção soma de Einstein: 
 
 v v v v v v v v vi i
2
1 1 2 2 3 3= = + + (5.a) 
 
 u v⋅ = = +u v u v u vα α 1 1 2 2 (5.b) 
 
 
a x x a x x a x x a x x
a x x a x x a x x
a x x a x x a x x
a x x a x x a x x
ij i j i i i i i i= + + =
= + + +
+ + + +
+ + +
1 1 2 2 3 3
11 1 1 12 1 2 13 1 3
21 2 1 22 2 2 23 2 3
31 3 1 32 3 2 33 3 3
 (5.c) 
 
 
3. Índices Livres 
 
 Considere o seguinte sistema de equações: 
 
 v a x a x a x1 11 1 12 2 13 3= + + 
 v a x a x a x2 21 1 22 2 23 3= + + (6) 
 v a x a x a x3 31 1 32 2 33 3= + + 
 
Utilizando NI, as eqs. (6) podem ser escritas como 
 
 v a xm m1 1= 
 v a xm m2 2= (7) 
 v a xm m3 3= 
 
Através de uma notação simplificada, o conjunto de eqs. (7) pode ser escrito como 
 
 v a xi im m= . (8) 
 Um índice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equação 
(como o índice i acima) é denominado índice livre e pode variar em qualquer 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 5 
intervalo. No caso de índices gregos, estes variam de 1 a 2. No caso de índices 
latinos, variam de 1 a 3. 
 A quantidade de índices livres em uma equação, escrita em NI, indica a 
ordem da variável final. Assim, um termo que não possua índice livre indica que este 
é um escalar. Caso ocorra somente um índice livre, este termo é um vetor, e assim 
por diante. No caso da eq. (8), esta indica que a i-ésima componente de um vetor 
(vi) é igual à i-ésima componente de outro vetor, calculado a partir do produto de 
uma matriz ([a]) por um vetor ({x}). Uma rotina em Fortran 77, representando este 
produto é: 
 
 do i = 1, 3 
 v(i) = 0.0 
 do m = 1, 3 
 v(i) = v(i) + a(i,m) * x(m) 
 end do 
 end do 
 
Deve-se enfatizar que, na rotina acima, o termo destacado em negrito corresponde 
exatamente à eq. (8). 
 O índice livre que ocorre em um termo de uma equação deve ser exatamente 
o mesmo índice livre dos outros termos desta equação. Assim, na soma de dois 
vetores a e b resultando em um vetor c, as equações podem ser escritas em formato 
expandido como: 
 
 c a b1 1 1= + 
 c a b2 2 2= + (9) 
 c a b3 3 3= + . 
 
E em NI, esta pode ser simplificada para 
 
 c a bn n n= + . (10) 
 
 A ocorrência de dois índices livres em uma equação indica que o resultado é 
uma matriz, sendo que todos os termos desta equação terão os mesmos índices 
livres. Assim, seja a seguinte equação escrita em NI: 
 
 D L Uij im jm= . (11) 
Expandindo a soma implícita no índice mudo m, tem-se 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 6 
 D L U L U L Uij i j i j i j= + +1 1 2 2 3 3 . (12) 
 
Note-se que esta equação corresponde a 9 termos (i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3), os quais 
podem ser expandidos como 
 
 
D L U L U L U L U
D L U L U L U L U
D L U L U L U L U
D L U L U L U L U
D L U L U L U L U
m m
m m
m m
m m
m m
11 1 1 11 11 12 12 13 13
12 1 2 11 21 12 22 13 23
13 1 3 11 31 12 32 13 33
21 2 1 21 11 22 12 23 13
33 3 3 31 31 32 32 33 33
= = + +
= = + +
= = + +
= = + +
= = + +
% % % % %
 (13) 
 
É interessante comparar o volume das eqs. (13) com a simplicidade da eq. (11). 
 Novamente, é importante frisar que uma expressão do tipo R Smn mp= não 
possui qualquer significado em NI.4. Delta de Kronecker 
 
 O delta de Kronecker (δ ij ) é a representação da matriz identidade e é 
definida, utilizando NI, como 
 
 δ ij
se i j
se i j
= =≠
⎧⎨⎩
1
0
 (14) 
 
Ou seja, a matriz delta pode ser visualizada como 
 
 [ ]δ δ δ δδ δ δ
δ δ δ
ij =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
0 1 0
0 0 1
. (15) 
 
 A matriz delta de Kronecker possui algumas propriedades que podem ser 
visualizadas abaixo. 
 
a) δ δ δ δii = + + = + + =11 22 33 1 1 1 3 (16) 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 7 
 
b) Seja a expressão δim m ia a= , bastante comum em expressões em NI. 
Expandindo-a tem-se 
 
 δ δ δ δ1 11 1 12 2 13 3 1m ma a a a a= + + = 
 δ δ δ δ2 21 1 22 2 23 3 2m ma a a a a= + + = (17) 
 δ δ δ δ3 31 1 32 2 33 3 3m ma a a a a= + + = 
 
Reescrevendo as equações acima: 
 
 para i = 1 → δim ma a= 1 
 para i = 2 → δim ma a= 2 (18) 
 para i = 3 → δim ma a= 3 
 
Pode-se notar que as eqs. (18) representam a versão expandida de δim m ia a= . 
 
c) δim mj ijA A= (19) 
 
Expandindo a equação acima 
 
 δ δ δ δ1 11 1 12 2 13 3 1m mj j j j jA A A A A= + + = 
 δ δ δ δ2 21 1 22 2 23 3 2m mj j j j jA A A A A= + + = (20) 
 δ δ δ δ3 31 1 32 2 33 3 3m mj j j j jA A A A A= + + = 
 
Em forma geral tem-se 
 
 δim mj ijA A= (21) 
 
d) δ δ δim mj ij= (22) 
 
Esta equação é idêntica à eq. (21), sendo que a matriz A, neste caso, é igual à 
matriz identidade. 
 
e) δ δ δ δ δim mn np pj ij= (23) 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 8 
f) Se e1, e2 e e3 são vetores unitários normais entre si (por exemplo, vetores-base 
de um sistema cartesiano de coordenadas), então 
 
 e ei j i j= δ . (24) 
 
 Definindo dois vetores (a e b) neste sistema de coordenadas, estes são 
dados por 
 
 a e e e e= + + =a a a a i i1 1 2 2 3 3 (25.a) 
e 
 b e e e e= + + =b b b bi i1 1 2 2 3 3 . (25.b) 
 
O produto interno entre dois vetores pode ser escrito como 
 
 
( ) ( ) ( )a b e e e e⋅ = ⋅ = ⋅ = =
= = = + +
a b a b a b
a b a b a b a b a b
i i j j i j i j i j i j
i i j j
δ
1 1 2 2 3 3
 (26) 
 
 
5. Símbolo de Permutação 
 
 O símbolo de permutação, denotado por ε i jk , é definido em NI como 
 
 ε i jk
se permutacao par
se permutacao impar
se quaisquer indices i j k forem iguais
=
+
−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1
1
0 , ,
 (27) 
 
ou seja, 
 
 
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε ε ε ε
123 231 312
321 132 213
111 112 113 211 212 333
1
1
0
= = = +
= = = −
= = = = = = ="
 (28) 
 
Deve-se notar a seguinte propriedade neste símbolo: 
 
 ε ε ε ε ε εi jk kij jki jik ik j kji= = = − = − = − (29) 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 9 
 
Sejam e1, e2 e e3 os vetores unitários normais que definem os vetores-base de 
um sistema cartesiano de coordenadas. Assim o produto externo (produto vetorial) 
entre estes vetores pode ser escrito como 
 
 
 e e e1 2 3× = e e e2 3 1× = e e e3 1 2× = 
 e e e2 1 3× = − e e e3 2 1× = − e e e1 3 2× = − (30) 
 e e e e e e1 1 2 2 3 3 0× = × = × = 
 
Estes produtos vetoriais podem ser escritos, em NI, de maneira simplificada como 
 
 e e e e ei j i jk k kij k jki k× = = =ε ε ε . (31) 
 
Note-se a existência de índices mudos (soma implícita) na eq. (31). É deixada ao 
leitor a tarefa de expandir as eqs. (31) e mostrar que estas são equivalentes às eqs. 
(30). 
 Sejam os dois vetores (a e b) definidos, neste sistema de coordenadas, pelas 
eqs. (25). Realizando o produto externo entre ambos e igualando a um vetor c, esta 
operação pode ser realizada como 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
c a b e e e e e e
e e
= × = + + × + + =
= ×
a a a b b b
a bi i j j
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
 (32) 
 
 
+
1
2 3
-
1
2 3
 
(a) - Permutação par (b) - Permutação ímpar. 
 
 Figura 1: Definição de tipos de permutação entre 3 números. 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 10 
Note-se que, na equação acima, ocorrem duas somas implícitas (índices mudos) e 
que os termos ai e bi representam as componentes de cada vetor e são escalares. 
Assim a eq. (32) pode ser simplificada como 
 ( ) ( ) ( )c e e e e e= × = × =a b a b a bi i j j i j i j i j i jk kε , (33) 
 
o que representa que o vetor c possui componentes cuja forma final é 
 
 
c a b
c a b
c a b
o c a b
i j ij
i j i j
i j i j
k i j i jk
1 1
2 2
3 3
=
=
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
ε
ε
ε
εlog , . (34) 
 
Assim, o vetor c pode ser escrito como 
 
 c e= c k k , (35) 
 
onde as componentes ck são calculadas através da eq. (34). 
 
 
6. Manipulações com Notação Indicial 
 
 A manipulação algébrica de equações escritas em NI, na maioria das vezes, é 
de grande valia, podendo simplificar extremamente o número de operações 
envolvidas. A seguir serão mostradas algumas destas manipulações e os cuidados a 
serem tomados quando de sua realização. 
 
A) Substituição: 
 
 Sejam os dois escalares p e q, calculados a partir do produto interno de 
vetores conhecidos. Assim, 
 
 p a bm m= (36.a) 
e 
 q c dm m= . (36.b) 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 11 
O produto destes dois escalares pode ser realizado normalmente em NI, resultando 
em um outro escalar r. Entretanto, a expressão para r não poderá conter o índice 
mudo m repetido 4 vezes. Assim, é requerida a substituição dos índices mudos da 
expressão para o escalar p ou de q. 
 r p q a b c d a b c dm m n n n n m m= ⋅ = = . (37) 
 
Note-se que a expressão (37) possui dois índices mudos indicando duas somas 
implícitas. É interessante o leitor realizar a expansão destas somas e mostrar que a 
expressão final corresponde ao produto de dois escalares (p e q), os quais são 
resultado de dois produtos internos. 
 
B) Fatoração: 
 
 Seja uma matriz [ ]T , conhecida e que define uma transformação de 
coordenadas no sistema cartesiano. Quando [ ]T é aplicada sobre um vetor genérico 
{ }n , resulta em um vetor { }p . A transformação [ ]T é responsável por uma rotação e 
um escalonamento do vetor { }n . Esta operação pode ser escrita, em notação 
matricial, como 
 
 
p
p
p
T T T
T T T
T T T
n
n
n
1
2
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
. (38) 
 
Esta operação representa uma transformação linear através da aplicação do 
operador linear [ ]T sobre a variável { }n , resultando em um vetor { }p . Em NI, esta 
transformação pode ser escrita como 
 
 p T ni ij j= . (39) 
 
 O problema de autovalores/autovetores, associado à matriz de transformação [ ]T , corresponde à busca de três escalares (autovetores) relacionados a três 
vetores (autovetores). A característica principal do problema é que quando é 
realizada a transformação sobre um autovetor qualquer { }n , irá resultar em um vetor 
{ }p na mesma direção do vetor { }n . A relação entre os módulos dos vetores { }p e 
{ }n é o escalar λ (denominado autovetor associado à esta direção { }n ). Este 
problema pode ser escrito em notação matricial como 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 12 
 
 
p
p
p
T T T
T T T
T T T
n
n
n
n
n
n
1
2
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
1
2
3
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
λ (40) 
 
Em NI, a eq. (40) corresponde a 
 
 p T n ni ij j i= = λ . (41) 
 
Utilizando a matriz delta de Kronecker, tem-se que o último termo da eq. (41) pode 
ser escrita como 
 
 λ λ δn ni ij j= (42) 
 
e a eq. (41) resulta em 
 
 ( )T n n T n n T nij j i ij j i j j ij i j j− = − = − ⋅ =λ λ δ λ δ 0 . (43) 
 
Ou seja,a eq. (43) deve ser solucionada para obter os três valores característicos do 
problema. Note-se que, em notação matricial a eq. (43) corresponde a 
 
 
T T T
T T T
T T T
n
n
n
n
n
n
T T T
T T T
T T T
n
n
n
n
n
n
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
1
2
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
0
0
0
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
− ⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
− ⋅
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
λ
λ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
 (44.a) 
 
Simplificando, tem-se a forma final do problema de autovalores/autovetores 
associado à matriz [T]: 
 
 
T T T
T T T
T T T
n
n
n
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
3
0
0
0
−
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
λ
λ
λ
 (44.b) 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 13 
 
 
 
 
C) Contração: 
 
 Seja uma matriz [ ]T , conhecida. Define-se traço da matriz como sendo a 
soma dos termos da diagonal da mesma. Assim, pode-se calcular este escalar 
utilizando a matriz delta de Kronecker (também denominado tensor de contração), 
da seguinte maneira: 
 
 [ ]tr T T T T T Tkk ij i j= + + = =11 22 33 δ . (45) 
 
Ou seja, a soma dos termos da diagonal de uma matriz qualquer pode ser calculada 
fazendo o “produto” desta matriz pela matriz delta de Kronecker. Isto resulta em uma 
contração dos índices. 
 
Exemplo: 
 A matriz de tensões em um ponto material P qualquer de um sólido pode ser 
calculada em função da matriz de deformações (se o material é isotrópico, elástico e 
linear) através da lei de Hooke generalizada, dada por 
 
 σ ε ν ν ε δij ij kk ijG= + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
1 2
. (46) 
 
Neste caso, G é o módulo de elasticidade transversal e ν é o coeficiente de Poisson. 
Esta equação pode ser invertida, resultando em 
 
 ε σ ν ν σ δij ij kk ijG= − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
2 1
. (47) 
 
A deformação volumétrica ( )ε v em um ponto pode ser calculada através da soma 
das três componentes de deformações lineares neste ponto. Assim, pode-se 
determinar a relação entre a deformação volumétrica e as tensões responsáveis pela 
mesma através da contração desta matriz. Esta operação e a operação de inversão 
da eq. (46) são deixadas como atividades para o leitor. 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 14 
 
 
 
 
7. Tensores 
 
 A manipulação algébrica de equações escritas em NI, freqüentemente, recai 
em equações com dois ou mais índices livres. Neste caso, buscando uma 
homogeneidade da nomenclatura, define-se tensores. 
 Pode-se mostrar que tensores transformações lineares e, como tal, possui 
todas as propriedades destas operações matemáticas. Não é função deste texto 
mostrar estas propriedades. Entretanto, será fornecida somente a nomenclatura. 
Assim, em uma sentença escrita em NI, tem-se 
 
 termo com 0 índice livre escalar tensor de ordem zero 
 termo com 1 índice livre vetor tensor de primeira ordem 
 termo com 2 índices livres matriz tensor de segunda ordem 
 termo com 3 índices livres - - - tensor de terceira ordem 
 termo com 4 índices livres - - - tensor de quarta ordem 
 
e assim por diante. 
 
 
8. Simetria e Anti-simetria de Tensores de Segunda Ordem 
 
 Um tensor de segunda ordem (matriz) é dito ser simétrico se [ ] [ ]T T= T , 
onde o símbolo [ ]• T denota o transposto da matriz. Assim, um tensor simétrico tem 
a propriedade 
 
 T T Tij i j
T
ji= = , (48) 
 
ou seja, T T12 21= , T T13 31= , e T T32 23= . 
 Um tensor de segunda ordem (matriz) é dito ser anti-simétrico se 
[ ] [ ]T T= − T . Assim, as componentes de um tensor anti-simétrico têm a propriedade 
 
 T T Tij i j
T
ji= − = − , (49) 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 15 
 
ou seja, T T T11 22 33 0= = = e T T12 21= − , T T13 31= − , e T T32 23= − . 
 Qualquer tensor [T] pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico e 
de um tensor anti-simétrico, ou seja, 
 
 T T Tij i j
S
i j
As= + . (50) 
 
Neste caso, estes tensores são dados por 
 
 T
T T T T
ij
S ij i j
T
ij ji= + = +
2 2
 (51.a) 
e 
 T
T T T T
ij
As ij ij
T
ij ji= − = −
2 2
. (51.b) 
 
É deixado como atividades para o leitor, mostrar que as eqs. (50) e (51) são válidas 
para qualquer tensor [T] de segunda ordem. 
 
 
9. Operadores Diferenciais1 
 
 A consideração de uma grandeza tensorial qualquer (escalar U, vetor {v} , 
matriz [T] ou tensor de ordem superior), dependente da posição de um ponto P, 
conduz ao conceito de função tensorial de ponto (ou função de posição), sendo do 
tipo escalar ( )U P , vetorial ( ){ }v P , matricial ( )[ ]T P ou tensorial de ordem superior. 
 Se a cada ponto P de uma região Ω do espaço corresponde uma grandeza 
escalar ou vetorial, diz-se que esta grandeza é um campo escalar ou um campo 
vetorial. Generalizando, diz-se que é uma grandeza tensorial. Assim, a temperatura 
em cada um dos pontos em um ambiente qualquer é um campo escalar, enquanto 
que as velocidades das partículas de um fluido, internas a um recipiente, é um 
campo vetorial e a inércia de um ponto material em relação a um sistema de eixos 
de coordenadas é uma grandeza matricial. 
 Tendo como base estes campos tensoriais, pode-se definir uma série de 
outras funções denominadas operadores diferenciais. Alguns dos principais 
 
1 Visando a aplicação da notação indicial, é conveniente denominar as direções cartesianas x, y, e z 
por x1, x2 e x3. 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 16 
operadores diferenciais são gradiente, divergente e rotacional. Estes operadores 
possuem grande aplicação em problemas da Engenharia e é de vital importância o 
conhecimento dos conceitos relacionados aos mesmos. 
 
9.1 Convenção Comma 
 
 Inicialmente, será discutida uma notação bastante simples e empregada na 
maioria das bibliografias relacionadas à área. Trata-se da convenção comma. Esta 
convenção é baseada na substituição, pura e simples, do operador derivada parcial 
por uma vírgula. Assim, têm-se as seguintes equivalências matemáticas, válidas 
para qualquer campo tensorial: 
 
 ∂∂
U
x
U= ,1 (52.a) 
 ∂∂ ∂
∂
∂ ∂
2 2
12 21
U
x y
U
y x
U U= = =, , (52.b) 
 ∂∂ ∂
∂
∂ ∂
3
2
3
2 112 121 211
U
x y
U
y x
U U U= = = =, , , (52.c) 
 ∂∂ ∂
∂
∂ ∂
2 2
123 132
v
y z
v
z y
v vx x= = =, , (52.d) 
 
∂
∂
T
y
Txy = 12 2, (52.e) 
 
9.2 Gradiente 
 
 Seja um campo U(P) ou U(x, y, z), onde as variáveis x (ou x1), y (ou x2) e z 
(ou x3) são as coordenadas do ponto P em relação a um sistema de coordenadas 
cartesiano ortogonal fixo, uma função escalar característica de campo. 
 Denomina-se gradiente da função escalar U e se indica por grad U ao vetor 
 
 grad U e e e= + +∂∂
∂
∂
∂
∂
U
x
U
y
U
z1 2 3
, (53) 
 
cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação às coordenadas 
x, y e z. Os vetores e e e1 2 3, e são os vetores unitários fundamentais do triedro do 
sistema de coordenadas de referência. 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 17 
 O operador gradiente associa um campo vetorial a um campo escalar e 
representa, resumidamente, a direção de maior crescimento da função escalar U no 
ponto onde foi calculado. A forma final do operador, aplicado a um campo escalar, 
escrito em NI é 
 
 ( )grad U U
x
Ui
i
i= =∂∂ , . (54) 
 
 Seja um campo v P( ) ou v (x, y, z), uma função vetorial característica de 
campo, dadopor 
 
 ( ) ( ) ( )v e e e= + +v x y z v x y z v x y z1 1 2 2 3 3, , , , , , . (55) 
 
Alguns exemplos de campos vetoriais são deslocamentos de pontos em uma 
estrutura quando carregada, as velocidades dos pontos de um fluido em 
escoamento, as forças de inércia em uma estrutura sólida sob aceleração, forças de 
superfície aplicadas sobre o contorno de um corpo, etc. O gradiente deste campo 
pode ser calculado, sobre cada componente, resultando em 
 
 [ ]grad v =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
x
v
y
v
z
v
x
v
y
v
z
v
x
v
y
v
z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
. (56) 
 
Note-se que a i-ésima linha da matriz corresponde ao vetor gradiente da função 
escalar que define i-ésima componente ( vi ) do vetor v. Uma interpretação 
geométrica deste tensor será dada posteriormente no estudo da cinemática de 
deformação de sólidos. Por outro lado, a eq. (56) pode ser escrita, em NI, como 
 
 [ ]grad v ij i
j
i j
v
x
v= =∂∂ , . (57) 
 
 Da mesma maneira, o gradiente de um campo tensorial de ordem superior 
(tensões, por exemplo) pode ser calculado, resultando em 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 18 
 
 [ ][ ]grad T Tx Tijk ijk ij k= =
∂
∂ , . (58) 
 
 Note-se que a aplicação do operador gradiente resulta no aumento da ordem 
da variável resultante. Ou seja, o gradiente de um escalar (tensor de ordem zero) 
resulta em um vetor (tensor de primeira ordem), o gradiente de um vetor resulta em 
uma matriz (tensor de segunda ordem), e assim por diante. 
 
9.3 Divergente 
 
 Seja um campo tensorial T de qualquer ordem, uma função tensorial 
característica de campo. O divergente deste campo, o qual é associado a um 
parâmetro de crescimento desta função no ponto, pode ser calculado como 
 
 ( )div T tr T( ) = grad . (59) 
 
 No caso de um campo vetorial u, o divergente deste campo é dado por 
 
 ( )div tr u u u u ui j i j k k( ) , , , , ,u grad u= = ⋅ = = + +δ 11 2 2 3 3 . (60) 
 
O divergente de um campo tensorial de segunda ordem T é calculado por 
 
 [ ]( ) [ ]( )div T tr T T T T T Ti j k jk ik k i i i= = ⋅ = = + +grad , , , , ,δ 11 2 2 3 3 . (61) 
 
Será mostrado, no transcorrer do curso, a relação existente entre estas definições 
puramente matemáticas e conceitos e variáveis de grande importância para a 
compreensão do processo de deformação dos meios contínuos em geral. 
 
9.4 Rotacional de um Campo Vetorial 
 
 Seja A um campo vetorial. O rotacional desse campo é dado pelo produto 
vetorial entre o operador gradiente (∇ ) e o vetor A. 
 
rot x
A
x
j
i
ijk k( )A A= ∇ =
∂
∂ ε e ou ( )rot Ak j i ijk( ) ,A = ε 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 19 
10 Transformação de Coordenadas 
 
 Sejam x ( x1 , x2 , x3 ) e x' ( x1
' , x
2
' , x
3
' ) dois sistemas de coordenadas 
cartesianos, tendo em comum a origem. Um ponto P, de coordenadas xi em relação 
ao primeiro sistema de coordenadas, terá coordenadas xi
' no segundo sistema. A 
seguir será visto como essas coordenadas se relacionam e desta forma como faz-se 
a transformação de coordenadas de tensores. 
 
10.1 Sistema de Coordenadas Bidimensional 
 
θ
θ x1
'
x1
x2'
x2 P
 
Figura 2: Transformação de coordenadas: sistema bidimensional. 
 
x x x
1 1 2
' cos sen= +θ θ 
x x x
2 1 2
' sen cos= − +θ θ 
 
Observando a figura 2, tem-se 
 cos( , ) cos'x x1 1 11= =θ α 
 cos( , ) cos( ) sen'x x1 2 1290= − = =θ θ α 
 cos( , ) cos( ) sen'x x2 1 2190= + = − =θ θ α 
 cos( , ) cos'x x2 2 22= =θ α 
e 
 
212111
' xxx
1
αα += 
222121
' xxx
2
αα += 
 
ou x
x
x
x
1 1
2
11 12
21 22 2
'
'
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩⎪
⎫⎬⎭⎪
α α
α α 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 20 
Em notação indicial: 
 
 x xα αβ βα' = Lei de Transformação de Coordenadas para 
 Tensores de Primeira Ordem 
 
ααβ α β= cos( ; )'x x cossenos diretores do sistema x' . 
 
10.2 Sistema de Coordenadas Tridimensional 
 
x2
x3' x3
x1
P
x2'
x1'
x2
'
x1
'
x3
'
x1x2
x3
 
Figura 3: Transformação de coordenadas: sistema tridimensional. 
 
Da mesma forma que para o sistema de coordenadas bidimensional, tem-se 
 
x xi ij j
' = α αij i jx x= cos( ; )' 
 
Característica dos cossenos diretores: α α δki kj ij= 
 
Transformação de coordenadas para tensores de várias ordens 
 
• Ordem zero - escalar: invariante com o sistema de coordenas 
• Primeira ordem - vetor: A Ai ij j' = α 
• Segunda ordem - matriz: A Aij ik jl kl' = α α 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 21 
EXERCÍCIOS 
 
 
• Exercício 1. 
Dados os tensores, 
 
 [ ]T =
−
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 0 3
0 4 2
3 2 4
 e { }n = ⋅ −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
3 2
1
1
4
, 
 
calcule: 
a) Tpp b) H
T
ij
pp
ij= 3 δ c) Hqq 
d) S T
T
ij ij
pp
ij= − 3 δ e) Sqq f) T Tij ij 
g) T nij j h) T n nij i j i) n ni i 
 
• Exercício 2. 
Dada a seguinte relação entre os tensores tensão [ ]σ e deformação [ ]ε 
 σ ε ν ν ε δij ij kk ijG= + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
1 2
, 
 
mostre que a energia de deformação específica U, calculada através da expressão 
 U = ( )12 11 11 12 12 13 13 21 21 33 33σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε+ + + + +" , 
 
pode ser escrita em NI como 
 
 ( )U = −1
4 2
2
G Eij ij kk
σ σ ν σ , 
 
onde ( )E G= +2 1 ν . 
 
 
 
 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 22 
• Exercício 3. 
Dados os tensores, 
 
 [ ]S =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
0 1 2
1 2 3
2 3 1
, { }p = ⋅ ⋅ −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
3 2
1
1
4
 e { }q = ⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
25
3
0
4
 
 
a) calcule r p qk ijk i j= ε e mostre que este resultado é o mesmo que o produto 
vetorial r p q= × ; 
b) calcule εi jk i jp p e mostre que este resultado é válido para qualquer vetor p; 
c) calcule ( )S S SijS ij ji= +12 e mostre que o tensor SijS é simétrico e válido para 
qualquer tensor [S]; 
d) calcule ( )S S SijAs ij ji= −12 e mostre que o tensor SijAs é anti-simétrico e válido 
para qualquer tensor [S]; 
e) calcule os traços dos tensores Sij
S e Sij
As . 
 
• Exercício 4. 
Seja o campo vetorial u P( ) ou u (x, y, z), uma função vetorial característica de 
campo, dado por 
 
 ( ) ( ) ( )u e e e= + +u x y z u x y z u x y z1 1 2 2 3 3, , , , , , 
 
a) mostre a obtenção do tensor gradiente de u, em NI e em formato expandido 
(matriz expandida); 
b) obtenha o divergente de u; 
c) obtenha a parcela simétrica do tensor gradiente de u, nos dois formatos 
especificados acima; 
d) idem para a parcela anti-simétrica; 
 
• Exercício 5. 
A seguir é fornecido o campo de deslocamentos u na estrutura visualizada abaixo. 
 
 
 ( )u x y z
R
z
R
x
R
y m z y1
2 2 21
2 2 2
, , = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +
ν ν α γ 
Tensores Cartesianos - Notação Indicial 23 
 ( )u x, y, z
R
x y n z x2 = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +ν α β 
 ( )u x, y, z 1
R
x z m x n y p3 = + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + 
 
Neste caso, R é o raio de curvatura da viga, ν o coeficiente de Poisson e m, n, p, α, 
β e γ são constantes a serem determinadas. Assim, para este problema pede-se: 
 
a) obtenha o tensor gradiente de u; 
b) obtenha o divergente de u; 
c) obtenha a parcela simétrica do tensor gradiente de u; 
d) obtenha a parcela anti-simétrica do tensor gradiente de u; 
 
• Exercício 6. 
Encontre a forma final das equações a seguir: 
 
a) ε εi jk k ji 
b) ε δi jk i j 
 
x
y
M
M
z
x
M
P1
P2
P3Figura 4 - Viga prismática submetida a flexão pura.