Lista 2 Álgebra linear

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Curso: Engenharia Civil
Disciplina: A´lgebra Linear
Professor: Daniel Branda˜o
Aluno(a):
2a Lista de Exerc´ıcios (Espac¸os Vetoriais)
1. Seja V o conjunto dos pares ordenados de nu´meros reais. V na˜o e´ um espac¸o vetorial em relac¸a˜o a nenhum
dos dois seguintes pares de operac¸o˜es sobre V :
(a)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x, y) = (x, ay)
(b)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay)
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas na˜o se verificam.
2. Seja V como no exerc´ıcios anterior. Definamos:
(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1)
a(x, y) = (3ay,−ax)
com essas operac¸o˜es definidas sobre V , perguntamos se este conjunto e´ um espac¸o vetorial sobre R.
3. Quais dos seguinte conjuntos W abaixo sa˜o subespac¸os do R3?
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3|x ∈ Z}
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3| y e´ irracional}
(d) W = {(x, y, z) ∈ R3|x− 3y = 0}
(e) W = {(x, y, z) ∈ R3|ax+by+cz = 0, a, b, c ∈ R}
(f) W = {(x, y, z) ∈ R3|x ≤ 0}
(g) W = {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≥ 0}
(h) W = {(x, y, z) ∈ R3|x = z; y = 0}
(i) W = {(x, y, z) ∈ R3|z = x + y + 1}
(j){(x, y, z) ∈ R3|x = 1}
(k){(x, y, z) ∈ R3|x2 + y + z = 0}
(l) {(x, y, z) ∈ R3|x ≤ y ≤ z}
(m){(x, y, z) ∈ R3|x + y ∈ Q}
4. Quais dos conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os do espac¸o F (R) de todas as func¸o˜es reais?
(a) W = {f(t) ∈ F (R)|f(0) = f(1)}
(b) W = {f(t) ∈ F (R)|f(t) > 0,∀t ∈ R}
(c) W = {f(t) ∈ F (R)|f(t) + f ′(t) = 0}
(d) W = {f(t) ∈ F (R)|f(−t) = −f(t)}
(e) W = {f(t) ∈ F (R)|f(−t) = f(t)}
(g) W = {f(t) ∈ F (R)|f(0) = 1}
(h) W = {f(t) ∈ F (R)|f(0) = 0}
5. Mostrar que e´ subespac¸o vetorial de M2(R) o seguinte subconjunto:
(a) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R)|y = −x
}
(b) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R)|2a− t = 0; z − y = 0
}(c) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R)|ad ≤ bc
}
(d) W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R)|y = z + 1
}
6. Mostre que sa˜o subespac¸os vetoriais de Mn(R) os seguinte subconjuntos:
1
(a) U = {A ∈Mn(R)|At = A} (b) V = {A ∈Mn(R)|AT = TA}
7. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespac¸os do R3:
(a) U = {(x, y, z)|x− 2y = 0}
(b) V = {(x, y, z)|x + z = 0;x− 2y = 0}
(c) W = {(x, y, z)|x + 2y − 3z = 0}
8. Achar um sistema de geradores dos seguintes subespac¸os de R4:
(a)U = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y − z + t = 0} (b)V = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y = z + t = 0}
9. Considere o subespac¸o de R4 S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
(a) O vetor ( 23 , 1,−1, 2) pertence a S? (b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
10. Seja W o subespac¸o de M2(R) definido por W =
{(
2a a + 2b
0 a− b
)
a, b ∈ R
}
(a)
(
0 −2
0 1
)
∈W? (b)
(
0 2
3 1
)
∈W?
11. Sendo p(t) = 1− 2t, q(t) = t− t2, r(t) = −2 + 3t + t2. Determine se s(t) pertence ao [p(t), q(t), r(t)]
(a) s(t) = 3− 5t− t2
(b) s(t) = 1 + x + x2
12. Sendo f(x) = sin2 x e g(x) = cos2 x. Determine se h(x) pertence ao [f(x), g(x)]
(a) h(x)=1
(b) h(x) = cos 2x
(c) h(x) = sin 2x
(d) h(x) = sinx
13. Verificar que as seguintes matrizes geram o espac¸o vetorial M2(R):
(a)
(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
0 1
1 2
)
(b)
(
1 1
0 1
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
1 0
1 1
)
,
(
0 −1
1 0
)
(c)
(
1 0
1 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)
,
(
0 −1
1 0
)
14. Verificar se P2(R) e´ gerado pelos polinoˆmios:
(a) 1 + t + 2t2, 2 + t + t2,−1 + t + 2t2
(b) 1 + t, t + t2, 1 + t2
(c) 2, 3t + t2, 4 + 2t + t2
15. Mostrar que os polinoˆmios 1− t, (1 + t)2, (1− t)3 e 1 geram o P3((R)).
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