Lista Matrizes e Sistemas Lineares

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Exercícios Complementares de Álgebra Linear
1) (Prova Integrada 2009/1) Uma rede de comunicação é constituída de 5 postos P1, P2, P3, P4 e P5. A comunicação entre os postos é representada pela matriz A=(aij)5x5 dada por
em que
aij = 1, quando o posto Pi pode transmitir mensagens, diretamente, para o posto Pj;
aij = 0, quando o posto Pi não pode transmitir mensagens, diretamente, para o posto Pj.
Efetuando a multiplicação da matriz A por si mesma, obtém-se uma matriz B=(bij)5x5 em que bij representa o número de modos que o posto Pi transmite mensagens para o posto Pj, passando por um único posto intermediário.
Nessas condições, pode-se afirmar que o posto P2 transmite mensagem para o posto P4, passando pelo(s) posto(s) intermediário(s):
P1 ou P5
P3 ou P5
P1, apenas
P3, apenas
P5, apenas
(Eletrosul Centrais Elétricas S/A, Realização: AOCP Concurso Público 2008, Cargo: Engenheiro Elétrico, Questão 41)
2) Considere a matriz A e a matriz B = A.A do exercício anterior.
Qual a justificativa para a alternativa escolhida no exercício 1)?
Qual o significado do elemento b41=2?
Qual o significado dos termos nulos da matriz B?
Qual o significado dos termos iguais a 1 da matriz B?
Qual o significado da matriz C=A.A.A?
3) Responda (V) se a afirmação for verdadeira e (F) se for falsa:
 ( ) Se A e B são matrizes e A.B= 0 então A=0 ou B=0, onde 0 é a matriz nula.
( ) 
 ( ) Se uma matriz quadrada B (de ordem n) é a inversa de uma matriz quadrada A (de ordem n) então A.B=B.A=In onde In é a matriz identidade de ordem n.
( ) Se A é uma matriz com 2 linhas e 4 colunas e B é uma matriz com 4 linhas e 2 colunas então o produto A.B é uma matriz quadrada de ordem 4.
4) A matriz A abaixo apresenta o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos P1, P2 e P3 no restaurante Coma Bem. A matriz B fornece o custo da produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3. Apresente a matriz X que fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usadas para a composição de cada prato.
 
5) (Exercício 22 – p.8 KOLMAN) Uma fábrica produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Cada tonelada de plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B; cada tonelada de plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A está disponível 8 horas por dia e a B, 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas?
6) (Exercício 31 – p.56 KOLMAN) Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana, e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas? 
7) (Prova Integrada 2009/1) Uma empresa produz três tipos de equipamentos. O custo de montagem do equipamento A é R$ 5,00, o do tipo B é R$ 4,00 e do tipo C é R$ 1,00. O custo de acabamento do equipamento A é R$ 2,00, o do tipo B é R$ 4,00 e do tipo C é R$ 1,00. O custo de transporte do equipamento A é R$ 0,50, o do tipo B é R$ 1,00 e do tipo C é R$ 0,80. Sabendo que em uma semana o custo de montagem foi de R$ 270,00, o custo de acabamento foi de R$ 210,00 e o custo de transporte foi de R$ 80,00, quantos equipamentos do tipo B e C foram produzidos durante esta semana?
a) Foram produzidos 30 equipamentos do tipo B e 50 do tipo C 
b) Foram produzidos 10 equipamentos do tipo B e 50 do tipo C 
c) Foram produzidos 30 equipamentos do tipo B e 40 do tipo C 
d) Foram produzidos 20 equipamentos do tipo B e 50 do tipo C 
e) Foram produzidos 40 equipamentos do tipo B e 10 do tipo C 
8) Por escalonamento, determine para qual(is) valor(es) de o sistema linear é:
Possível e determinado
Possível e indeterminado
Impossível
 
9) (Exercício 35 – p.23 - Lay) Determine o polinômio interpolador p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 para o conjunto de dados (1, 12), (2, 15), (3, 16). Isto é, determine a0, a1 e a2 tais que 
a0 + a1 (1) + a2 (1)2 = 12
a0 + a1 (2) + a2 (2)2 = 15 
a0 + a1 (3) + a2 (3)2 = 16
10) (Exemplo 8 – p.6 – Kolman) (Planejamento de Produção) Um fabricante produz três tipos diferentes de produtos químicos: A, B e C. Cada produto deve passar por duas máquinas de processamento: X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada durante os seguintes intervalos de tempo:
1. Uma tonelada de A necessita 2 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y.
2. Uma tonelada de B necessita 3 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y.
3. Uma tonelada de C necessita 4 horas na máquina X e 3 horas na máquina Y.
A máquina X está disponível 80 horas por semana e a máquina Y 60 horas por semana. Como a administração não quer manter as dispendiosas máquinas X e Y paradas, ela gostaria de saber quantas toneladas de cada produto devem ser produzidas para que as máquinas sejam utilizadas de maneira ótima?
11) (Exercício 8 – p.109 - Poole) Faça o balanceamento da equação química para a reação 
CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 ( Essa reação ocorre quando uma planta verde converte dióxido de carbono e água em glicose e oxigênio durante a fotossíntese.)
12) (FUVEST 2003) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas num total de 10000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e laranjas tem respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20 reais, 40 reais e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3300,00, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas.
Respostas/Orientações: 
a
Na matriz B temos que b24 = 2. Ou seja, o posto P2 transmite mensagens para o posto P4, passando por um único posto intermediário, de duas maneiras diferentes. Observando que b24=1+1=a21.a14+a25.a54 (considerando apenas as parcelas não nulas), é possível concluir o resultado.
Similar ao item a).
bij = 0 significa que não é possível para o posto Pi transmitir mensagens para o posto Pj passando por um único posto intermediário.
bij = 1 significa que o posto Pi transmite mensagens para o posto Pj passando por um único posto intermediário.
Se C=(cij)5x5: cij representa o número de modos que o posto Pi transmite mensagens para o posto Pj, passando por dois postos intermediários.
3) a) F b) F c) V d) F 
4) 
5) 1,5 toneladas de plástico normal e 2,5 toneladas de plástico especial.
6) 30 cadeiras, 30 mesinhas de centro e 20 mesas de jantar.
7) a
8) a) a≠-0,5 b) não existe a real c) a=-0,5 
9) p(t) = 7 + 6t – t2
10) Assumindo que x1, x2, x3 sejam o número de toneladas de A, B e C a serem produzidos, obtemos um sistema linear que tem infinitas soluções. Todas as soluções são dadas por x1 = (20 – x3 )/2, x2 = 20 – x3,  x3 = qualquer número real tal que 0 ≤ x3 ≤ 20.
11) 6CO2 + 6H2O → C6H12O6 + 6O2