Prova 1 2012.1 - Com Gabarito

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CM005 - A´lgebra Linear
Prova 1 - 1S-2012 - Gabarito
1) Considere o sistema de equac¸o˜es
x + 2y + 3z − t + 2w = 0
x + 2y + 4z + 2t + 2w = 0
−x− 2y − 5z − 5t− 2w = 0
a) Escreva o sistema em forma em escada reduzida.
Depois de fazer a reduc¸a˜o de Gauss-Jordan, a forma em escada reduzida
fica 1 2 0 −10 20 0 1 3 0
0 0 0 0 0

b) Calcule o posto e o nu´mero graus de liberdade do sistema.
Posto = nu´mero de linhas na˜o nulas da forma em escada reduzida = 2, graus
de liberdade = nu´mero de colunas - posto = 5 -2 = 3
c) Escreva a soluc¸a˜o geral. O sistema e´ equivalente a` forma em escada
reduzida
x + 2y − 10t + 2w = 0
z + 3t = 0
Varia´veis dependentes x, z, varia´veis arbitra´rias as outras. Enta˜o a soluc¸a˜o
geral e´ descrita como y, t, w arbitra´rias, x = −2y + 10t + w, z = −3t.
2) Considere o sistema nas incognitas x, y, z,
2x + y − z = 1
x + y + 3z = 2
3x + 2y + az = b
Descreva, dependendo de a e b, quando o sistema: a1) Tem uma u´nica
soluc¸a˜o, a2) Tem infinitas soluc¸o˜es. a3) Na˜o admite soluc¸a˜o.
(Sugesta˜o: adicione um gra´fico no plano (a, b) a` resposta escrita)
1
Reduzindo a matriz asociada ao sistema fica1 1 3 | 20 1 7 | 3
0 0 a− 2 | b− 3

Vemos que se a 6= 2 a matriz de coeficientes pode ser reduzida a` identidade
e consequentemente a soluc¸a˜o sera´ u´nica. Se a = 2 e b 6= 3 na˜o havera´ soluc¸a˜o
e se a = 2 e b = 3 havera´ infinitas soluc¸o˜es.
3a) De exemplo de matrizes 2 × 2 A e B tais que AB 6= BA. Tem muitos,
peguem nu´meros aleatro´rios para preencher duas matrizes A e B e o mais
prova´vel e´ que funcione.
3b) De um exemplo de uma matriz 2 × 2 A tal que A2 = 0, mais A 6= 0.
Tambe´m tem muitos, o mais simples e´
(
0 1
0 0
)
.
4) Considere a matriz
A =
1 2 −11 0 1
1 1 1

4a) Calcule a inversa de A. Temos
A−1 =
1
2
 1 3 −10 −2 2
−1 −1 2

4b) Use a inversa para resolver os sistemas de equac¸o˜es
A
xy
z
 =
01
0
 e A
xy
z
 =
−24
2

As soluc¸o˜es sa˜o obtidas como
xy
z
 = A−1(lado direito). O primeiro caso
A−1
01
0
 e´ simplesmente a segunda coluna da matriz inversa, fica
xy
z
 = 1
2
 3−2
−1

2
E no segundo xy
z
 = 1
2
 3−2
1

5) Decida se cada uma das seguintes transformac¸o˜es sa˜o lineares ou na˜o,
dando uma breve justificativa.
5a) T (x, y) = (x− y, 20x + 5y) E´ linear, verificar as propriedades
5b) T (x, y) = (x2, 2x + y) Na˜o e´ linear, falham tanto a soma como o
produto por escalar
5c) A rotac¸a˜o de 45 graus no plano em sentido hora´rio. E´ linear, dado em
aula
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