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1 II Lista de Exercícios – Matemática Discreta Conjuntos 1. Seja }27,17,5,2{=S . Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? a. S∈5 b. S∈+ 52 c. S∈∅ d. S⊆∅ 2. Seja }.2x1- e racional é :{ <<= xxB Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? a. B∈0 b. B∈−1 c. B∈− 84,0 d. B∈2 3. Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, sendo: a. A = ∅ , c. A = {a, b} b. A = {a} d. A = {a, b, c} 4. Se A é um conjunto com 5 elementos, quantos subconjuntos A possui? 5. Sabendo-se que um conjunto tem 1024 subconjuntos, quantos elementos ele tem? 6. Sejam A = {0, 1, {2}, {0, 1}}, B = {1, {2}, { 0, 1}} e C = {0, 1, 2, {2}, { 0, 1}}. Determinar: a) A B∩ b) B C∩ c) ( )A B C∩ ∩ d) ( )C A B− ∪ 7. O conjunto A tem 20 elementos, o conjunto A B∩ tem 12 elementos e o conjunto A B∪ tem 60 elementos. Quantos elementos tem o conjunto B? 8. Três produtos, A, B, e c são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados: Produtos A B C A e B A e C B e C A e B e C Consumidores 90 130 170 20 40 30 10 Determinar: a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A? b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos? c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B? d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C? 9. Assinale com (V) as sentenças verdadeiras e com (F) as falsas. a) 3⊆ {1, 3, 5} ( ) b) {3}⊆ {1,3,5} ( ) c) ∅ ⊆ {1,3,5} ( ) d) ∅∈{∅ , 1, 3} ( ) e) ∅∈{1,3,5} ( ) f) {∅}∈{0,1,{ ∅ }} ( ) 10. Sendo A = {x ∈N | x ≤ 5} e B = { x ∈N | x < 5}, assinale com (V) as sentenças verdadeiras e com (F) as falsas. a) A⊆B ( ) b) A∉B ( ) c) A∪B = {0,1, 2} ( ) d) A∩B = {0,1, 2} ( ) e) A – B = {3,4, 5} ( ) f) B – A = ∅ ( ) 2 11. Sejam A, B e C conjuntos finitos. Se |A∩B| = 30, |A∩C| = 20 e |A∩B∩C| = 15, calcule |A∩ (B∪C)|. a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) n.d.a. 12. Se |A| = 90, |B| = 50 e |A∩B| = 30, então |A∪B| é a) 60 b) 90 c) 100 d) 110 e) n.d.a. 13. Sobre os membros de uma comissão, sabe-se que: a) 9 são solteiros, b) 5 são homens, c) 10 não são mulheres casadas, d) 8 não são homens solteiros. Pede-se: 1) Quantos membros existem nessa comissão? 2) Quantos membros dessa comissão são homens casados? 14. Quantos conjuntos diferentes são descritos abaixo? Quais são eles? {2, 3, 4} {x: x é a primeira letra de céu, boi ou açude} }42 e natural é :{ ≤≤ xxx {a, b, c} ∅ {x: x é a primeira letra de céu, boi e açude} {2, a , 3, b, 4, c} {3, 4, 2} 15. Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus elementos. a. {x: x é um inteiro e 3|x} b. {x:x é um mês com exatamente 30 dias} c. {x: x é a capital do Brasil} d. {x: x é um inteiro e x2<49} e. {x: x é um natural e 2 < x <11} f. }1 e :{ 2 −=ℜ∈ xxx g. {x: x é um inteiro e |x|<4} h. {x: x é um natural e x2 – 5x + 6 = 0} i. {x: x é um natural e x2 – 2x + 8 = 0} j. {x: x é um real e x2 = 7} 16. Descreva cada um dos seguintes conjuntos, fornecendo-lhes uma propriedade característica: a. {1, 3, 5, 7, 9, 11} b. {1, 3, 5, 7, ...} c. {primavera, verão, outono, inverno} d. {2,3,5,7, 11, 13, 17, ...} 17. Sejam Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? a. BA⊆ d. C∈− 40 g. BA⊆ b. A∈17 e. B∈3 h.{0, 1, 2} A⊆ c. B∉∅ f. A∈16 i. Cxxx ⊆> }645 e inteiro um é :{ 2 18. Sejam Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? Justifique as que não forem. 3 19. Sejam A = {p, q, r, s} B = {r, t, v} C = {p, s, t, u} subconjuntos de S = {p, q, r, s, t, u, v, w}. 20. Sejam A = {2,4,5,6,8} B = {1,4,5,9} C = {x: x é um inteiro e 1 < x < 5} subconjuntos de S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Encontre: 21. Sejam A = {x| x é uma palavra que aparece antes de cão no dicionário da língua portuguesa} B = {x|x é uma palavra que aparece depois de bem-te-vi no dicionário da língua portuguesa} C = {x| x é uma palavra com mais de quatro letras} Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? 22. Para cada uma das sentenças a seguir, encontre as condições gerais para os conjuntos A e B para tornar a sentença verdadeira: 23. A e B são subconjuntos de S. Demonstre as seguintes identidades mostrando a inclusão em ambas as direções: a. A '∩B = B− A b. '')'( BABA ∩=∪ c. '')'( BABA ∪=∩ d. ABABA =∩∪∩ )'()( e. BABBA ∪=∪∩ )'( f. )''(')]'([ CBACBA ∩∪=∪∩ g. (A∪C)−B = A−B( )∪ (C −B) Encontre: 4 Gabarito 1. a, d. 2. a, c. 3. a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 4. 32 5. 10 6. a) A B∩ = {1, {2}, { 0, 1}} b) B C∩ = {1, {2}, { 0, 1}} c) ( )A B C∩ ∩ = {1, {2}, { 0, 1}} d) ( )C A B− ∪ = {2} 7. 52 8. a) 40 b) 60 c) 200 d) 50 9. a) F b) V c) V d) V e) F f) V 10. a) F b) V c) F d) F e) F f) F 11. c 12. 110 13. a) 12 b) 1 14. 4 conjuntos distintos 15. a. { ,...9,6,3 ±±± } b. {abril, junho, setembro, novembro} c. {Brasília} d. {0, 6,5,4,3,2,1 ±±±±±± } e. {3, 2, 5, 6, 7, 8, 9 10} f. ∅ g. {0, 3,2,1 ±±± } h. {2, 3} i. ∅ j. { 7± } 16. a. {x: x é um natural, x é ímpar e x < 12} b. { x: x é um natural x é ímpar} c. { x: x é uma estação do ano} d. { x: x é um natural e x é primo} 17. todas menos h 18. a) F; {1}∈S mas {1}∉R b) V c) F; {1}∈S , e não 1∈S d) F; 1 não é um conjunto; o enunciado correto é {1}⊆ U e) V f) F, 1 ∉S g) V h) V i) V j) F; T∈U k) V l) V m) V n) F; {1}∈S , e não 1∈S 19. a) {t} b) {p, q, r, s, t, u} c) {q, r, v, w} d) { } e) {r, v} f) {u, w} g) {(p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r, r), (r, t), (r, v), (s, r), (s, t), (s, v)} h) {q, r, v} 20. a) {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9} b) {4, 5} c) {2, 4} d) {1, 2, 3, 4, 5, 9} e) {2, 6, 8} f) {0, 1, 3, 7, 8, 9} g) { } h) {0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9} i} {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9} j) {2, 3} k) {2, 6, 8} l) {2, 3} m) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (9, 2), (9, 3), (9, 4)} 21. a) F b) V c) V d) V 22. a) B⊆A b) A⊆B c) A = ∅ d) B⊆A e) A = B 23. demonstração
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