Listas de Exercício - Cálculo 1 - UnB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01
Temas abordados : Introduc¸a˜o ao Ca´lculo e Revisa˜o
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) Se a posic¸a˜o de um carro no instante t > 0 e´ dada por s(t) = (4+ t2), enta˜o a velocidade
me´dia entre os instantes t = 2 e t = 2 + h e´ dada por (veja Texto 1 e/ou v´ıdeo)
s(2 + h)− s(2)
h
=
[4 + (2 + h)2]− [4 + 22]
h
= · · · = h(4 + h)
h
= 4 + h.
Quanto mais pro´ximo h estiver de zero, mais perto a velocidade me´dia estara´ da veloci-
dade em t = 2, de modo que essa velocidade vale
v(2) = lim
h→0
s(2 + h)− s(2)
h
= lim
h→0
(4 + h) = (4 + 0) = 4.
Para cada func¸a˜o abaixo, simplifique o quociente (s(t0+h)−s(t0))/h que da´ a velocidade
me´dia entre os instantes t = t0 e t = t0+h. Em seguida, calcule a velocidade v(t0) fazendo
h se aproximar de zero.
(a) s(t) = t2, no ponto t0 = 3 (b) s(t) = t
3, no ponto t0 = 1
(c) s(t) =
√
t, no ponto t0 = 9
(d) s(t) = s0 + v0t +
a
2
t2, com s0, v, a ∈ R, em um ponto t0 > 0 gene´rico
Dica: para o item (b), lembre que (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador
por (
√
9 + h+ 3)
2) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma func¸a˜o. Dado a ∈ I, a reta tangente
ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a (u´nica) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem
inclinac¸a˜o igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou v´ıdeo). Neste caso, a equac¸a˜o da reta tangente
y = y(x) e´ dada por y − f(a) = f ′(a)(x− a). A expressa˜o acima significa que, quando x
se aproxima de a, o quociente (f(x)− f(a))/(x− a) se aproxima do nu´mero f ′(a).
Por exemplo, se f(x) = x3 e a = 1, enta˜o
f ′(1) = lim
x→1
x3 − 13
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1) = limx→1(x
2 + x+ 1) = (12 + 1 + 1) = 3,
de modo que a equac¸a˜o da reta tangente no ponto (1, f(1)) = (1, 1) e´ y − 1 = 3(x− 1).
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine a inclinac¸a˜o f ′(a) para o valor de a indicado.
Em seguida, calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a))
(a) f(x) = x2, para a = 2
(b) f(x) =
1
x
, para a = 3
(c) f(x) = mx+ b, com m, b ∈ R, para um valor gene´rico de a
Dica: para calcular f ′(2) no item (a), fatore o numerador (x2 − 4) de modo a cancelar o denominador (x − 2); no item
(b), calcule a diferenc¸a (1/x)− (1/3) reduzindo as frac¸o˜es a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador
(x− 3)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 1 de 4
Revisa˜o
Nos exerc´ıcios abaixo sa˜o lembrados alguns conteu´dos estudados no Ensino Me´dio. Espera-
se que voceˆ consiga resolver todos eles. Se na˜o for esse o caso, este e´ o momento de pegar os
livros antigos e recordar as coisas!
1) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto
ate´ o ponto 0. Determine para quais valores de x as igualdades abaixo sa˜o satisfeitas.
(a) |x| = 4 (b) |2− x| = −1 (c) |x| = −|x|
(d) |2x+ 5| = 4 (e) |x− 3| = |2x+ 1|
2) Determine para quais valores de x as desigualdades abaixo sa˜o satisfeitas.
(a) |x| < 2 (b) |5x| ≥ 20 (c) |x| > 0
(d) |x+ 3| ≥ 2 (e) |3x− 8| < 4
3) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2 (b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√|x| − x
ex − 1
(d) r(x) =
x√|x| − 1 (e) p(x) =
√
1−√1− x2 (f) f(x) = ln(−x2 + 4x− 3)
4) Definimos a soma de duas func¸o˜es f e g como sendo a func¸a˜o
(f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀ x ∈ dom(f + g) := dom(f) ∩ dom(g).
Observe que o domı´nio da func¸a˜o soma e´ a intersecc¸a˜o dos domı´nio de f e g, pois para
somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f : R→ R e g : R \ {7} → R sa˜o dadas por
f(x) = 2x2 − 8, g(x) = 2
x− 7 ,
enta˜o (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x2 − 8 + 2
x− 7, para todo x ∈ dom(f + g) = R \ {7}.
De maneira ana´loga definimos subtrac¸a˜o, produto e quociente de duas func¸o˜es. Neste
u´ltimo caso e´ importante excluir do domı´nio os pontos que anulam o denominador.
Para f e g como acima, determine a expressa˜o e domı´nio de
(a) (f − g)(x) := f(x)− g(x) (b) (f · g)(x) := f(x)g(x)
(c)
(
f
g
)
(x) :=
f(x)
g(x)
(d)
(
g
f
)
(x) :=
g(x)
f(x)
5) Definimos a composic¸a˜o de duas func¸o˜es f e g como sendo a func¸a˜o
(f ◦ g)(x) := f(g(x)), ∀ x ∈ dom(f ◦ g) := {x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f)}.
Para o ca´lculo de (f ◦g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, e´ preciso que y = g(x)
esteja no domı´nio de f , da´ı a explicac¸a˜o do domı´nio da composic¸a˜o.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 2 de 4
Por exemplo, considerando as func¸o˜es f e g do exerc´ıcio anterior, temos que
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2
f(x)− 7 =
2
(2x2 − 8)− 7 =
2
2x2 − 15 , ∀ x 6= ±
√
15
2
.
Veja que, no domı´nio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) 6∈ dom(g) = R \ {7}.
Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x2 − 8 = 7.
Ainda considerando as func¸o˜es f e g como no exerc´ıcio anterior, determine a expressa˜o e
domı´nio de cada uma das composic¸o˜es abaixo.
(a) (f ◦ g) = f(g(x)) (b) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) (c) (g ◦ g)(x) = g(g(x))
6) Considerando f(x) = (4 − x)/x, determine a expressa˜o e o domı´nio de cada uma das
func¸o˜es abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
7) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias
apresentadas (veja v´ıdeo).
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1
(c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13
8) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o
domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo
em func¸a˜o de x.
9) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos
as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da
caixa em func¸a˜o de x.
10) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que
o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece
a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
11) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe-
rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de
1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 3 de 4
RESPOSTAS
1) (a) v(3) = 6 (b) v(1) = 3 (c) v(9) = 1
6
(d) v(t) = v0 + at
2) (a) f ′(2) = 4, y − 4 = 4(x− 2)
(b) f ′(3) = −1
9
, y − 1
3
= −1
9
(x− 3)
(c) f ′(a) = m, y = mx+ b
Revisa˜o
1)
(a) x ∈ {−4, 4} (b) nenhum valor de x, pois |x| ≥ 0 (c) x = 0
(d) x ∈ {−9
2
,−1
2
}
(e) x ∈ {−4, 2
3
}
2)
(a) x ∈ (−2, 2) (b) x ∈ R \ (−4, 4) (c) x 6= 0
(d) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞) (e) x ∈ (4
3
, 4)
3)
(a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R \ {0}
(d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1] (f) (1, 3)
4) (a) (f − g)(x) = 2x2 − 8− 2
(x− 7), para x 6= 7
(b)(f · g)(x) = 4x
2 − 16
x− 7 , para x 6= 7
(c) (f
g
)(x) = (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R
(d) ( g
f
)(x) =
1
(x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7}
5) (a) (f ◦ g)(x) = 8
(x− 7)2 − 8, para x 6= 7
(b) (f ◦ f)(x) = 8x4 − 64x2 + 120, para x ∈ R
(c) (g ◦ g)(x) = 2(x− 7)−7x+ 51, para x 6∈ {7,
51
7
}
6) (a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
=
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x , para x 6∈ {0, 4}
(b) f(x2)− f(x)2 = −2(x
2 − 4x+ 6)
x2
, para x 6= 0
(c) f(f(x)) =
5x− 4
4− x , para x 6∈ {0, 4}
7) (a) y = −1
5
x+ 23
5
(b) y = −x+ 2 (c) y = −2
5
x+ 1 (d) y = −13
8
x+ 1
8) d(x) =
√
x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50)
9) V (x) = x(22 − 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7)
10) A(x) = 9− 3x
11) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
(b) Q(T ) =
{
(T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0]
T + 100 se T ∈ (0, 80]
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 4 de 4
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Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada
uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um
contra-exemplo caso seja falsa.
(a) lim
x→2
f(x) na˜o existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2
f(x) e´ positivo.
2) Calcule os limites abaixo (veja Texto 1).
(a) lim
x→1
(−3x2 + 3x+ 5) (b) lim
s→0
√
2s2 + 3s− 4
4s− 4 (c) limx→2
8− 2x
|x− 4|
(d) lim
x→4+
8− 2x
|x− 4| (e) limx→1−
|x− 1|
x− 1 (f) limx→1
|x− 1|
x− 1
3) Dadas f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1,
x+ 1 se x > 1,
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
2 se x > 1,
resolva os itens abaixo.
(a) Esboce os gra´ficos de f e g.
(b) Decida sobre a existeˆncia dos limites lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x).
(c) Deˆ a expressa˜o de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim
x→1
h(x).
4) Limites do tipo limx→a
f(x)
g(x)
com o numerador e o denominador se aproximando de zero
sa˜o chamados de indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 (veja v´ıdeo). Eles sa˜o delicados porque na˜o
podemos aplicar a regra do quociente. Se f e g sa˜o polinoˆmios, enta˜o f(a) = g(a) = 0,
e portanto x = a e´ uma raiz do numerador e do denominador. Deste modo, podemos
fatora´-los na forma (x − a)p(x), com p sendo um polinoˆmio de grau menor. Em alguns
casos, isso permite eliminar a indeterminac¸a˜o, como no exemplo abaixo
lim
x→3
x2 − 4x+ 3
6− 2x = limx→3
(x− 3)(x− 1)
−2(x− 3) = limx→3
x− 1
−2 =
2
−2 = −1.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
z→0
z2 + 2z
z
(b) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x (c) limt→1
t− 1
t3 − 1
Dica: para fatorar o polinoˆmio (t3 − 1) divida-o por (t− 1). (veja v´ıdeo)
5) O limite trigonome´trico fundamental nos diz que lim
x→0
sen(x)
x
= 1 (veja Texto 3 e/ou v´ıdeo). Use
essa informac¸a˜o para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(6x)
2x
(veja v´ıdeo) (b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
(c) lim
x→0
cos(x)− 1
x
Dica: para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por (cos(x) + 1)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 1 de 3
6) Algumas indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 podem ser resolvidas usando-se o artif´ıcio de mul-
tiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de um deles, conforme o exemplo
abaixo
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
(
√
x− 2)
(x− 4)
(
√
x+ 2)
(
√
x+ 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) = limx→4
1√
x+ 2
=
1
4
.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9 (b) limx→7
5−√4 + 3x
7− x (c) limx→0
1− cos(x)
x2
Observac¸a˜o: vale a pena tentar o artif´ıcio acima no item (a) do exerc´ıcio 4 para se convencer de que, naquele caso, o melhor
caminho e´ mesmo a fatorac¸a˜o
7) Calcule cada um dos limites abaixo (veja Texto 2).
(a) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x3 − x2 + x− 1 (b) limx→a
√
x−√a
x− a (c) limx→0−
x sen(x)
1− cos(x)
(d) lim
x→0
x sen
(
1
x
)
(e) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5 (f) limx→pi
sen(x− pi)
x− pi
(g) lim
x→1+
x2 − 5x+ 4
|x− 1| (h) limx→a
xn − an
x− a (i) limx→a
3
√
x− 3√a
x− a
Dica: nos dois u´ltimos, use a identidade (xn − yn) = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1), para n ∈ N
8) Se a posic¸a˜o de um carro no instante t > 0 e´ dada por s(t), enta˜o a sua velocidade pode
ser calculada a partir do seguinte limite (veja v´ıdeo)
v(t) = lim
h→0
s(t+ h)− s(t)
h
.
Calcule a velocidade em cada um dos casos abaixo.
(a) s(t) = t3 (b) s(t) =
√
t+ 1 (c) s(t) = sen(t)
Dica: para o item (c), lembre que sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e use o exerc´ıcio 5
9) Suponha que a velocidade de um carro e´ v(t), para t > 0. Usando a ideia do exerc´ıcio
acima, escreva a expressa˜o da acelerac¸a˜o a(t) em termos de um limite envolvendo a
acelerac¸a˜o me´dia. Em seguida, determine a acelerac¸a˜o no caso em que v(t) = cos(t).
Dica: para o ca´lculo do limite, lembre que cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) e use o exerc´ıcio 5
10) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma func¸a˜o. Dado a ∈ I, lembre que a
reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a (u´nica) reta que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinac¸a˜o igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
quando o limite existe (veja v´ıdeo). Neste caso, a equac¸a˜o da reta tangente y = y(x) e´ dada
por y − f(a) = f ′(a)(x− a).
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine a inclinac¸a˜o f ′(a) em um ponto gene´rico.
Em seguida, calcule a equac¸a˜o da reta tangente no ponto indicado.
(a) f(x) = 2x2, no ponto (3, f(3)) (b) f(x) =
5
x
, no ponto (2, f(2))
(c) f(x) = x|x|, no ponto (0, f(0)) (d) f(x) = |x|, no ponto (0, f(0))
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas. Para os dois primeiros itens um poss´ıvel contra-exemplo
e´ a func¸a˜o f(x) =
{
1 se x 6= 2
−3 se x = 2 . Para o terceiro f(x) =
{ |x− 2| se x 6= 2
−3 se x = 2
2) (a) 5 (b) 1 (c) 2 (d) −2 (e) −1 (f) na˜o existe
3) (b) os limites na˜o existem, pois nos dois casos os limites laterais no ponto x = 1, apesar
de existirem, sa˜o diferentes.
(c) h(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
, de modo que lim
x→1
h(x) = 4.
4) (a) 2 (b) −2 (c) 1/3
5) (a) 3 (b) 5/9 (c) 0
6) (a) 1/3 (b) 3/10 (c) 1/2
7) (a) −1/2 (b) 1/(2√a) (c) 2 (d) 0 (e) √5/2
(f) 1 (g) −3 (h) nan−1 (i) (1/3)a−2/3
8) (a) v(t) = 3t2 (b) v(t) = 1
2
√
t+1
(c) v(t) = cos(t)
9) A acelerac¸a˜o e´ dada pelo limite a(t) = lim
h→0
v(t+ h)− v(t)
h
. Se v(t) = cos(t), enta˜o a ela
e´ dada por a(t) = − sen(t).
10) (a) f ′(a) = 4a; reta tangente no ponto (3, 18) e´ y − 18 = 12(x− 3)
(b) f ′(a) = − 5
a2
; reta tangente no ponto (2, 1
2
) e´ y − 5
2
= −5
4
(x− 2)
(c) f ′(a) =
{
2a, se a ≥ 0
−2a, se a < 0 ; reta tangente no ponto (0, 0) e´ y = 0
(d) f ′(a) =
{
1, se a > 0
−1, se a < 0 ; a reta tangente no ponto (0, 0) na˜o existe porque os
limites laterais de (f(x)−f(0))/(x−0), quando x→ 0 pela esquerda e pela direita,
sa˜o diferentes. Observe contudo que, em qualquer outro ponto (a, f(a)), com a 6= 0,
a func¸a˜o possui reta tangente. Ela tem equac¸a˜o y = x se a > 0, e y = −x se a < 0.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 3 de 3
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Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 03
Temas abordados : Continuidade
Sec¸o˜es do livro: 2.6
1) Explique o que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = a. (veja Texto 1)
2) Em cada item abaixo, esboce o gra´fico de uma func¸a˜o f que satisfaz as condic¸o˜es do
enunciado.
(a) f e´ cont´ınua em todos os pontos, exceto em x = 3, onde o limitepela direita existe
e e´ igual a f(3).
(b) f tem limite em x = 3, mas na˜o e´ cont´ınua nesse ponto.
(c) f na˜o e´ cont´ınua em x = 3, mas torna-se cont´ınua se seu valor em x = 3 for mudado
para f(3) = 0.
(d) f e´ cont´ınua no intervalo [0, 3), esta´ definida em [0, 3], mas na˜o e´ cont´ınua em [0, 3].
3) Sabe-se que limx→2 f(x) = 5 e f esta´ definida em R. Todas as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o
falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.
(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e´ positivo
4) Decida se as func¸o˜es
f(x) =
{
x3 cos(1/x), se x 6= 0,
1, se x = 0,
g(x) =


√
x− 1
x− 1 , se x ∈ [0, 1) ∪ (1,+∞),
1/2, se x = 1,
sa˜o cont´ınuas no ponto x = 0 (veja v´ıdeo) . Repita o exerc´ıcio para x = 1.
5) Determine a ∈ R tal que a func¸a˜o
f(x) =
{
1 + ax, se x ≤ 0,
x4 + 2a, se x > 0,
seja cont´ınua em x = 0.
6) Determine a, b ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =


−√2− x se x < 1,
ax+ b se 1 ≤ x < 2,
|x2 − 7x+ 12| se x ≥ 2, ,
seja
cont´ınua.
7) Verifique que, se x2 cos(x) ≤ f(x) ≤ x sen(x), para todo x ∈ (−pi, pi), enta˜o f e´ cont´ınua
em x = 0. O que se pode afirmar sobre a continuidade em x = pi/2 ?
8) Dizemos que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto x = a quando existe o limite
lim
x→a
f(x), mas f na˜o e´ cont´ınua ou na˜o esta´ definida neste ponto. Este e´ o caso da func¸a˜o
f(x) = (x2 − 1)/(x− 1), que na˜o esta´ definida em x = 1, mas satisfaz
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 03 - Pa´gina 1 de 3
Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domı´nio fazendo f(1) = 2. Com essa
definic¸a˜o, a (nova) func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 1.
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os (poss´ıveis) pontos de descontinuidade
remov´ıvel.
(a) f(x) =
x2 + 3x
x+ 3
(b) f(x) =
x
|x| (c) f(x) =
5 sen(x)√
x
(d) f(x) =
x2 − 1
x3 − 1
9) Lembrando que lim
x→0
sen(x) = 0 e lim
x→0
cos(x) = 1, verifique que lim
θ→0
sen(θ + a) = sen(a).
Conclua da´ı que a func¸a˜o seno e´ cont´ınua. (veja Texto 2)
Dica: Para a primeira parte use a fo´rmula sen(θ + a) = sen(θ) cos(a) + sen(a) cos(θ)
10) Use o mesmo racioc´ınio do exerc´ıcio anterior para verificar que a func¸a˜o cosseno tambe´m
e´ cont´ınua. O que se pode dizer sobre a continuidade das demais func¸o˜es trigonome´tricas?
11) A func¸a˜o maior inteiro e´ a func¸a˜o que associa, a cada elemento x ∈ R, o valor [[x]] que
e´ o maior nu´mero inteiro que e´ menor ou igual a x. Por exemplo,
[[0, 5]] = 0, [[3]] = 3, [[−1, 8]] = −2.
(a) Calcule [[3, 7]], [[−0, 6]], [[n]] com n ∈ N
(b) Estude os limites laterais da func¸a˜o maior inteiro no ponto x = 2. Em seguida,
decida se ela e´ cont´ınua neste ponto
(c) Determine todos os pontos onde a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o
12) Para cada func¸a˜o abaixo, determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo
menos uma raiz da func¸a˜o. (veja Texto 3)
(a) f(x) = x3 + x− 1 (b) g(x) = x3 + 3x− 5 (c) h(x) = 1 + x cos
(pix
2
)
13) Verifique que cada uma das equac¸o˜es abaixo possui pelo menos uma soluc¸a˜o. (veja v´ıdeo)
(a) sen(x) = x− 1 (b) 3− cos(pix) = e2x
Dica: Observe que as soluc¸o˜es de g(x) = h(x) sa˜o exatamente as ra´ızes de f(x) = g(x)− h(x)
14) Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas em [a, b], tais que f(a) > g(a) e f(b) < g(b). Mostre que
a equac¸a˜o f(x) = g(x) tem soluc¸a˜o.
15) Deˆ um exemplo (que pode ser gra´fico) de uma func¸a˜o definida em [a, b] tal que f(a) <
0 < f(b), mas f na˜o possui raiz em [a, b]. O que se pode afirmar sobre a continuidade
desta func¸a˜o?
Lista de Exerc´ıcios – Semana 03 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) A func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = a se lim
x→a
f(x) = f(a). Desse modo, o ponto a tem
que estar no domı´nio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor da
func¸a˜o no ponto.
2)
3)
4) A func¸a˜o f na˜o e´ cont´ınua em x = 0, mas e´ cont´ınua em x = 1. A func¸a˜o g e´ cont´ınua
em x = 1 e x = 0.
5) a = 1/2.
6) a = 3, b = −4.
7) Usando o Teorema do Confronto pode-se mostar que lim
x→0
f(x) = 0 = f(0). No ponto
x = pi/2 as func¸o˜es que ficam por baixo e por cima de f teˆm limites diferentes. Logo,
nada se pode concluir acerca da existeˆncia do limite lim
x→pi/2
f(x).
8) (a) descontinuidade remov´ıvel em x = −3.
(b) na˜o possui pois, no ponto x = 0, os limites laterais sa˜o distintos.
(c) descontinuidade remov´ıvel em x = 0.
(d) descontinuidade remov´ıvel em x = 1.
9) Para a primeira parte use a dica. Na segunda note que lim
x→a
sen(x) = lim
θ→0
sen(θ + a).
10) Use a fo´rmula cos(θ + a) = cos(θ) cos(a)− sen(θ) sen(a).
11) (a) [[3, 7]] = 3, [[−0, 6]] = −1 e [[n]] = n para todo n ∈ N
(b) lim
x→2−
[[x]] = 1, lim
x→2+
[[x]] = 2. A func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = 2 porque na˜o existe o
limite neste ponto
(c) A func¸a˜o e´ descont´ınua em todos os pontos n ∈ Z.
12) (a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1). Como f e´ cont´ınua em [0, 1] segue do TVI que existe
c ∈ [0, 1] tal que f(c) = 0
(b) Uma reposta seria [1, 2], mas existem outras
(c) Uma reposta seria [1
2
, 3
2
], mas existem outras
13)
14) Use o TVI para a func¸a˜o h(x) = f(x)− g(x) no intervalo [a, b].
15)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 03 - Pa´gina 3 de 3
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 04
Temas abordados : Limites envolvendo o infinito; Ass´ıntotas
Sec¸o˜es do livro: 2.4
1) Explique o que significa dizer que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical da func¸a˜o f . Em
seguida, considerando as func¸o˜es esboc¸adas nos gra´ficos abaixo, determine as ass´ıntotas
verticais sugeridas por cada um deles.
x
y
−1
Figura 1
x
y
−1
1
pi/2
−pi/2
Figura 2
x
y
−2
2
3
Figura 3
2) No limite lim
x→a
f(x)/g(x), quando o numerador se aproxima de um nu´mero diferente de
zero e o denominador tende para zero com um sinal definido, temos um limite infinito.
Neste caso, e´ necessa´rio estudar o sinal da frac¸a˜o quando x esta´ pro´ximo de a, de modo
a decidir se o limite e´ +∞ ou −∞. Por exemplo,
lim
x→1+
x2 + 4x− 2
1− x3 = −∞,
pois o numerador se aproxima de 12 + 4 · 1− 2 = 3 > 0 e o denominador se aproxima de
zero por valor negativos, pois x > 1 (lembre que o limite e´ pela direita). Assim, a frac¸a˜o
tem sinal negativo e, em mo´dulo, fica muito grande.
Siga este procedimento para calcular os limites abaixo. (veja v´ıdeo)
(a) lim
x→3−
2x− 8
x− 3 (b) limx→2
1− 4x
(x− 2)2
(c) lim
x→(−1)+
x2 − 2x+ 4
x2 + x
(d) lim
x→2−
√
4x+ 8
−x2 + 3x− 2
3) Calcular ass´ıntota verticais na˜o e´ o mesmo que igualar denominadores a zero! Por exem-
plo, o denominador da func¸a˜o f(x) = (x2 − 4)/(x− 2) se anula em x = 2, mas
lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2
(x− 2)(x+ 2)
(x− 2) = 4,
e portanto x = 2 na˜o e´ ass´ıntota vertical. Para as func¸o˜es abaixo, determine os can-
didatos a` ass´ıntota para, em seguida, checar se cada um deles e´ de fato ass´ıntota.
(veja Exemplo 4 do Texto 1)
(a) f(x) =
3x+ 12
x2 − 3x− 28 (b) f(x) =
x
x3 − x (c) f(x) =
sen(x)
x
Lista de Exerc´ıcios – Semana 04 - Pa´gina 1 de 3
4) Explique o que significa dizer que a reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal da func¸a˜o f .
Em seguida, considerando os gra´ficos esboc¸ados no Exerc´ıcio 1, determine as ass´ıntotas
horizontais sugeridas por cada um deles.
5) Em alguns casos, o ca´lculo do limite no infinito de frac¸o˜es pode ser feito identificando-
se os termos dominantes do numerador e do denominador, e colocando-se um deles em
evideˆncia. Por exemplo,
lim
x→−∞
x2 + 4x− 2
1− x3 = limx→−∞
x3( 1
x
+ 4
x2
− 2
x3
)
x3( 1
x3
− 1) = limx→−∞
1
x
+ 4
x2
− 2
x3
1
x3
− 1 =
0
−1 = 0.
Siga este procedimento paracalcular os limites abaixo. (veja v´ıdeo)
(a) lim
x→+∞
4x+ 9
2x2 − 4x− 1 (b) limx→−∞
4x2 − 4x+ 8
8x− x2 (c) limx→+∞
x2 + 4
x− 1
(d) lim
x→−∞
8x3 − 3
2x3 + 4x− 7 (e) limx→±∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
(f) lim
x→−∞
x+ 3
√
x
x2 + 1
Dica: no item (e) lembre que
√
x2 = |x| e proceda como neste v´ıdeo
6) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−1−
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
(b) lim
x→5−
√
25− x2
5− x
(c) lim
x→−∞
(3x3 − 4) (d) lim
x→+∞
5− 4x
2x− 3
(e) lim
x→−∞
3
√
2 +
3
x
(f) lim
x→+∞
cos(x)
(g) lim
x→+∞
x+ sen3(x)
5x+ 6
(h) lim
x→−∞
x2(1 + cos2(x))
(x+ cos(x))2
(i) lim
x→+∞
(
√
x2 − 1− x) (j) lim
x→+∞
x(
√
x2 − 1− x)
Dica: Se tiver du´vida nos dois u´ltimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as func¸o˜es seno e
cosseno lembre que elas sa˜o perio´dicas e limitadas.
7) Determine todas as ass´ıntotas das func¸o˜es abaixo. (veja v´ıdeo)
(a) g(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x (b) f(x) =
2x√
x2 + 4
(c) f(x) =
|x− 2|
x− 2 (d) f(x) =
x√
x2 − 4
(e) f(x) = x+ sen(x) (f) f(x) =


x+
1
3
√
x
, se x < 0
x− 4√
x− 2 se x ≥ 0, x 6= 4
Dica: se tiver du´vidas no no item (f), veja este v´ıdeo
8) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0 e b, c, d ∈ R sa˜o dados. Calcule os limites no
infinito e, em seguida, use o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar f possui pelo
menos uma ra´ız. O que se pode dizer se a < 0?
Lista de Exerc´ıcios – Semana 04 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f se qualquer um dos limites laterais neste
ponto e´ igual a +∞ ou −∞.
Os gra´ficos esboc¸ados, se representam a func¸a˜o f(x), sugerem as seguintes ass´ıntotas
verticais:
• Gra´fico 1: a reta x = 0 e´ uma ass´ıntota vertical, pois lim
x→0−
f(x) = −∞, ou porque
lim
x→0+
f(x) = +∞.
• Gra´fico 2: as retas x = −pi/2 e x = pi/2 sa˜o ass´ıntota verticais.
• Gra´fico 3: a reta x = 3 e´ uma ass´ıntota vertical.
2) (a) +∞ (b) −∞ (c) −∞ (d) +∞
3) (a) os candidatos sa˜o x = 7 e x = −4. Temos que lim
x→−4
f(x) = −3/11, e portanto
x = −4 na˜o e´ ass´ıntota. No outro ponto temos lim
x→7−
f(x) = −∞ e lim
x→7+
f(x) = +∞,
e portanto x = 7 e´ ass´ıntota vertical.
(b) os candidatos sa˜o x = 0, x = −1 e x = 1. A primeira reta na˜o e´ ass´ıntota e as duas
u´ltimas sa˜o.
(c) o candidato e´ x = 0, que na˜o e´ ass´ıntota pois lim
x→0
sen(x)/x = 1.
4) A reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal da func¸a˜o f quando lim
x→−∞
f(x) = L ou
lim
x→+∞
f(x) = L.
Os gra´ficos esboc¸ados, se representam a func¸a˜o f(x), sugerem as seguintes ass´ıntotas
horizontais:
• Gra´fico 1: as retas y = 0 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais, pois lim
x→+∞
f(x) = 0 e
lim
x→−∞
f(x) = −1.
• Gra´fico 2: as retas y = −1 e y = 1 sa˜o ass´ıntotas horizontais, pois lim
x→±∞
f(x) = ±1.
• Gra´fico 3: as retas y = −2 e y = 2 sa˜o ass´ıntotas horizontais.
5) (a) 0 (b) −4 (c) +∞ (d) 4 (e)
{
1 se x→ +∞
−1 se x→ −∞ (f) 0
6)
(a) −∞ (b) +∞ (c) −∞ (d) −2 (e) 3√2
(f) na˜o existe (g) 1/5 (h) na˜o existe (i) 0 (j) −1/2
7) (a) Verticais: x = 0 e x = 3/2, Horizontais: y = 1
(b) Verticais: na˜o existem, Horizontais: y = 2 e y = −2
(c) Verticais: na˜o existem, Horizontais: y = −1 e y = 1
(d) Verticais: x = −2 e x = 2, Horizontais: y = −1 e y = 1
(e) Verticais: na˜o existem, Horizontais: na˜o existem
(f) Verticais: x = 0, Horizontais: na˜o existem
8) Os limites sa˜o −∞ e +∞, respectivamente. Deste modo, podemos obter a < b tais que
f(a) < 0 < f(b). O TVI implica que f deve se anular em algum ponto do intervalo (a, b).
Lista de Exerc´ıcios – Semana 04 - Pa´gina 3 de 3
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 05
Temas abordados : Retas Tangentes; Derivada e suas regras ba´sicas
Sec¸o˜es do livro: 2.7; 3.1 a 3.3
1) Explique o que significa dizer que uma func¸a˜o e´ deriva´vel no ponto x = a. Qual e´ a
interpretac¸a˜o geome´trica do nu´mero f ′(a), quando ele existe? (veja v´ıdeo)
2) Verifique que se f(x) e´ deriva´vel em x = a, enta˜o f e´ cont´ınua neste ponto. Deˆ um exem-
plo mostrando que f pode ser cont´ınua em um ponto sem ser deriva´vel nele. (veja Texto 1)
3) Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (veja Texto 2) Em
seguida, determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)), para o
valor de a indicado. (veja v´ıdeo)
(a) f(x) = x2 − x+ 1, a = 1 (b) f(x) = 1/x, a = −2
(c) f(x) =
√
x, a = 4 (d) f(x) = 1/
√
x, a = 1
4) Quantas retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1?
Determine a equac¸a˜o dessas retas tangentes. (veja v´ıdeo)
5) Dizemos que a func¸a˜o f possui derivada lateral a` esquerda no ponto x = a quando existe
o limite
f ′−(a) = lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a = limh→0−
f(a+ h)− f(a)
h
.
De maneira ana´loga definimos derivada lateral a` direita f ′+(a). Mostre que f e´ deriva´vel
no ponto x = a se, e somente se, as derivadas laterais existem e sa˜o iguais.
6) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja
deriva´vel. (veja v´ıdeo)
(a) f(x) =
{
x2 se x < 1,
ax+ b se x ≥ 1. (b) f(x) =
{
ax+ b se x < 1,
−x2 + 5x se x ≥ 1.
7) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (veja Texto 3)
(a) f(x) = (3x4 − 7x2)(5x− 11) (b) f(x) = 2x+ 3
x2 − 1
(c) f(x) =
√
x
x2 − 2x (d) f(x) =
3
√
x+
4
x
(e) f(x) =
(
4x3 − 5
x3
+
√
x
)(
3
x
− 4x+ 6
)
(f) f(x) = x|x|
8) Supondo que a posic¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada por s =
√
t, resolva os itens a seguir.
(a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula entre os instantes t = 9 e t = 16.
(b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9.
9) Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando
o raio do bala˜o e´ igual a 5 cm.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 05 - Pa´gina 1 de 3
10) Suponha que, apo´s ser lanc¸ado para cima, a posic¸a˜o de um proje´til e´ dada por s(t) =
80t− 5t2, ate´ o instante t0 em que ele retorna ao solo.
(a) Calcule o tempo t0 necessa´rio para que o proje´til retorne ao solo.
(b) Determine a velocidade v(t) do proje´til, para t ∈ (0, t0). O que acontece com a
velocidade v(t) para t > t0?
(c) Determine a altura ma´xima atingida pelo proje´til e o tempo necessa´rio para que ele
atinja esta altura. O que ocorre com a velocidade neste instante?
11) No instante t > 0 horas um ve´ıculo esta´ 16
√
t3−24t+16 quiloˆmetros a` leste de um ponto
de refereˆncia na estrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 1/4? Nesse instante, o ve´ıculo esta´ se afastando
ou se aproximando do ponto de refereˆncia?
(b) Onde esta´ o ve´ıculo quanto a velocidade e´ zero?
12) Como a derivada de uma func¸a˜o e´ a sua taxa de variac¸a˜o, e´ de se esperar o seguinte:
se uma func¸a˜o f tem derivada positiva (negativa) em um intervalo I ⊂ R, enta˜o ele e´
crescente (decrescente) neste intervalo. Vamos usar este fato neste exerc´ıcio.
Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
L(x) =
6x
3x2 + 27
, x ≥ 0,
em que x indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo.
(veja v´ıdeo)
(a) Calcule a taxa de variac¸a˜o do lucro.
(b) Apo´s determinar os intervalos onde L′(x) e´ positiva (negativa), decida em quais
intervalos L(x) e´ crescente (decrescente).
(c) Calcule o limite lim
t→+∞
L(x).
(d) Usando os dois itens acima, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de L(x).
(e) Qual deve ser a quantidade de itens vendidos para que o lucro seja ma´ximo? O que
acontece com a derivada no ponto onde isto ocorre?
Lista de Exerc´ıcios – Semana 05 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1)A derivada de uma func¸a˜o f no ponto a e´ o limite
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Geometricamente, a derivada f ′(a) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no
ponto (a, f(a)).
2) Para a demonstrac¸a˜o basta fazer x→ a na igualdade abaixo
f(x)− f(a) = f(x)− f(a)
(x− a) (x− a).
3) (a) f ′(x) = 2x− 1. A reta tangente no ponto (1, f(1)) e´ y = x.
(b) f ′(x) = − 1
x2
. A reta tangente no ponto (−2, f(−2)) e´ y = −1
4
x− 1.
(c) f ′(x) = 1
2
√
x
. A reta tangente no ponto (4, f(4)) e´ y = 1
4
x+ 1.
(d) f ′(x) = − 1
2x
√
x
. A reta tangente no ponto (1, f(1)) e´ y = −1
2
x+ 3
2
.
4) duas retas, com equac¸o˜es y = 6x− 2 e y = 6x+ 2
5)
6) (a) a = 2 e b = −1 (b) a = 3 e b = 1
7) (a) f ′(x) = (12x3 − 14x)(5x− 11) + 5(3x4 − 7x2).
(b) f ′(x) =
−2x2 − 6x− 2
(x2 − 1)2 .
(c) f ′(x) =
−3x2 + 2x
2
√
x(x2 − 2x)2 .
(d) f ′(x) =
1
3x2/3
− 4
x2
.
(e) f ′(x) =
(
12x2 + 15x−4 + 1
2
√
x
) (
3
x
− 4x+ 6)+ (4x3 − 5x−3 +√x) (−3x−2 − 4)
(f) f ′(x) = 2|x|
8) (a) 1/7 m/s (b) 1/6 m/s
9) 100pi
10) (a) t0 = 16
(b) A velocidade vale v(t) = 80 − 10t, para t ∈ (0, t0). Apo´s o instante t0 a velocidade
e´ nula.
(c) 320 metros no instante t = 8 segundos, que e´ o instante em que a velocidade se anula
pela primeira vez.
11) (a) Se aproximando a 12 km/h (b) 8 km a leste do ponto de refereˆncia
12) (a) L′(x) = (−18x2 + 162)/(3x2 + 27)2.
(b) C(x) e´ crescente no intervalo (0, 3) e decrescente no intervalo (3,+∞).
(c) o limite vale zero.
(d)
(e) O lucro e´ ma´ximo quando x = 3, que o´ ponto onde a derivada se anula. Logo,
para maximizar o lucro devem ser vendidas 3 mil unidades. Neste caso, o lucro e´
aproximandamente R$ 33.333, 33.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 05 - Pa´gina 3 de 3
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06
Temas abordados : Derivada de func¸o˜es trigonome´tricas
Sec¸o˜es do livro: 3.4
1) Os passos seguintes nos permitem calcular a derivada de f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).
(veja Vı´deo 1)
(a) Use o Limite Trigonome´trico Fundamental para calcular a derivadas das duas func¸o˜es
no ponto x = 0, isto e´,
f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
, g′(0) = lim
h→0
g(h)− g(0)
h
(b) Use a identidade sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b), os limites acima e
definic¸a˜o de derivada para concluir que ( sen(x))′ = cos(x).
(c) Repita o argumento acima com a identidade cos(a+b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b)
para concluir que (cos(x))′ = − sen(x).
2) Use o exerc´ıcio anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das func¸o˜es
abaixo. Em seguida, determine as ass´ıntotas verticais de cada uma delas. (veja Vı´deo 1)
(a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(b) sec(x) =
1
cos(x)
(c) csc(x) =
1
sen(x)
(d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
3) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x) (b) f(x) =
√
x sec(x)
(c) f(x) =
sen(x)(
√
x+ 4)
cos(x)
(d) f(x) =
tan(x)
x+ cos(x)
(e) f(x) = ex sen(x)− 4
x
(f) f(x) = (3x+ 2ex)(1 + tan(x))
4) Considere as func¸o˜es f e g definidas abaixo
f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
g(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0.
Usando a definic¸a˜o, verifique que f e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua) em x = 0. Verifique
em seguida que g e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o e´ deriva´vel nesse mesmo ponto.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1)
2) (a) (tan(x))′ = sec2(x)
(b) (sec(x))′ = sec(x) tan(x)
(c) (csc(x))′ = − csc(x) cotan(x)
(d) ( cotan(x))′ = − csc2(x)
3) (a) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x)
(b)
√
x sec(x) tan(x) +
1
2
√
x
sec(x)
(c)
cos(x)
(
sen(x)
2
√
x
+ cos(x)(
√
x+ 4)
)
+ sen2(x)(
√
x+ 4)
cos2(x)
(d)
(x+ cos(x)) sec2(x)− tan(x)(1− sen(x))
(x+ cos(x))2
(e) ex( sen(x) + cos(x)) +
4
x2
(f) (3 + 2ex)(1 + tan(x)) + (3x+ 2ex) sec2(x)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 2 de 2
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 07
Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a˜o Impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas
Sec¸o˜es do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Supondo que y = y(u) e u = u(x), use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx
nos itens abaixo
(a) y = u4 + 1; u = 3x2 − 2x (b) y = √u; u = 1/(x− 1)
(c) y = u2 + 2u− 3; u = √x (d) y = u3 + u; u = 1/√x
(e) y = cos(u); u = x+ x2 (f) y = sen(u); u =
√
x
2) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (veja Vı´deo 3)
(a) f(x) = cos(x+ x2) (b) f(x) = e
√
x ln(
√
x)
(c) f(x) = sen((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f(x) = (3x3 + 4x2 − 4)3/4
(e) f(x) = arcsen(2x) (veja Vı´deo 2) (f) f(x) =
√
x+
√
2x
(g) f(x) = ln(x
√
x2 + 1) (h) f(x) =
x3 − 3x2
(x4 + 1)5/2
(i) f(x) = arctan(3x2 + 1) (j) f(x) = (ex)x
(k) f(x) = x2e−x (l) f(x) = arccos
(
1
x2 + 1
)
3) Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva, enta˜o (ln f(x))′ = f
′(x)
f(x)
. Vamos usar este fato
para calcular a derivada da func¸a˜o
f(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
.
Tomando o logar´ıtmo nos dois lados, e lembrando que a func¸a˜o logaritmo transforma
produtos em soma e poteˆncias em produtos, obtemos
ln(f(x)) = 2 ln(x) +
1
3
ln(7x− 14)− 4 ln(1 + x2).
Derivando, obtemos
1
f(x)
f ′(x) =
2
x
+
7/3
7x− 14 −
8x
1 + x2
,
e portanto
f ′(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
(
2
x
+
7/3
7x− 14 −
8x
1 + x2
)
.
O procedimento acima e´ chamado de derivac¸a˜o logar´ıtmica. Use-o para derivar as func¸o˜es
abaixo.
(a) f(x) = (x+ 1)x
(b) f(x) = ( sen x)cos x.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 07 - Pa´gina 1 de 3
4) Suponha que f e´ deriva´vel e g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1/2,
calcule g′(pi/2).
5) Seja g uma func¸a˜o deriva´vel e f(x) = (cosx)g2
(
tan
(
x
x2 + 2
))
. Sabendo que g(0) =
1/2 e g′(0) = 1, calcule f ′(0).
6) Dado um nu´mero a > 0, com a 6= 1, definimos a func¸a˜o exponencial de base a como
sendo
ax = ex ln(a).
Use a regra da cadeia para calcular a derivada de ax. Em seguida, compare-a com a
derivada da func¸a˜o poteˆncia xa.
7) Sendo x = f(y) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − x√xy + 2y2 = 10 para x > 0
e y > 0, encontre uma expressa˜o m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao
gra´fico de f(y), para os pontos onde x3/2 − 8y3/2 6= 0.
8) Considere y = f(x) definida implicitamente por x4−xy+ y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo
que f e´ uma func¸a˜o positiva. (veja Vı´deo 1)
9) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 07 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) (a)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 4u3(6x− 2) = 4(3x2 − 2x)3(6x− 2)
(b)
dy
dx
=
1
2
√
u
(−1)(x− 1)−2 = −1
2(x− 1)2
√
1/(x − 1)
(c)
dy
dx
= (2u+ 2)
1
2
√
x
= 1 + x−1/2
(d)
dy
dx
= (3u2 + 1)
−1
2x3/2
=
−(3 + x)
2x
√
x3
(e)
dy
dx
= −sen(u) · (1 + 2x) = −sen(x+ x2) · (1 + 2x)
(f)
dy
dx
= cos(u) · 1
2
√
x
=
cos(
√
x)
2
√
x
2) (a) f ′(x) = −(1 + 2x) sen(x+ x2)
(b) f ′(x) =
e
√
x(1 +
√
x ln(
√
x))
2x
(c) f ′(x) =
[
(x+ 1)2 + 2(x+ 1)(x+ 2)
]
cos((x+ 1)2(x+ 2))
(d) f ′(x) =
3
4
(3x3 + 4x2 − 4)−1/4(9x2 + 8x)
(e) f ′(x) =
2√
1− 4x2
(f) f ′(x) =
(
1 +
1√
2x
)
1
2
√
x+
√
2x
(g) f ′(x) =
2x2 + 1
x(x2 + 1)
(h) f ′(x) =
(x4 + 1)5/2(3x2 − 6x)− (x3 − 3x2)(5/2)(x4 + 1)3/2(4x3)
(x4 + 1)5
(i) f ′(x) =
6x
9x4 + 6x2 + 2(j) f ′(x) = 2xex
2
(k) f ′(x) = e−x(2x− x2)
(l) f ′(x) =
2x
(x2 + 1)2
√
1− (x2 + 1)−2
3) (a) f ′(x) = (x+ 1)x
(
ln(x+ 1) + x
x+1
)
(b) f ′(x) = ( sen x)cos x
[
−( sen x) ln( sen x) + cos
2 x
sen x
]
.
4) 1
5) 1/2
6) (ax)′ = ex ln(a)(x ln(a))′ = ln(a)ax. Para xa usamos a regra da poteˆncia para obter
(xa)′ = axa−1.
7) m(x, y) =
3x1/2y − 4xy1/2
x3/2 − 8y3/2
8) 1/4
9) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3
Lista de Exerc´ıcios – Semana 07 - Pa´gina 3 de 3
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 08
Temas abordados : Taxas relacionadas; Extremos de func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 3.10; 4.1
1) Um funil coˆnico teˆm um diaˆmetro de 30 cent´ımetros na parte superior e altura de 40
cent´ımetros. Se o funil for alimentado a` taxa de 1,5 l/seg e tem uma vaza˜o de 800
cm3/seg, determine qua˜o rapidamente esta´ subindo o n´ıvel de a´gua quando esse n´ıvel for
de 25 cent´ımetros.
2) Um ponto move-se sobre o gra´fico de y = 1/(x2+1), de tal modo que sua abcissa x varia
a uma velocidade de 5 m/s. Qual a velocidade de y no instante em que x e´ igual a 10
metros ?
3) Um carro, vindo do norte, aproxima-se de um cruzamento em aˆngulo reto a uma veloci-
dade de 60 km/h. Ao mesmo tempo, um outro carro, que se situa a` leste do cruzamento,
afasta-se a uma velocidade de 50 km/h. Determine a taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre
os dois carros no instante em que o primeiro esta´ a 20 km do cruzamento e o segundo esta´
a 15 km do cruzamento. Qual a interpretac¸a˜o f´ısica do sinal do resultado encontrado?
(veja Vı´deo 1)
4) Um objeto circular aumenta de tamanho de alguma forma desconhecida. Entretanto, e´
sabido que quando o raio e´ igual a 6 metros, a taxa de variac¸a˜o do raio e´ igual a 4 m/min.
Encontre a taxa de variac¸a˜o da a´rea quando o raio e´ igual a 6 metros.
5) Um dos catetos de um triaˆngulo retaˆngulo diminui a` uma taxa de 2,5 cm/min, en-
quanto outro cresce 5 cm/min. Em certo instante, o comprimento do primeiro lado e´
20 cent´ımetros e o do segundo e´ 15 cent´ımetros. Passados 2 minutos, a que taxa esta´
variando a a´rea? Ela esta´ aumentando ou diminuindo?
6) Uma escada de 8 metros esta´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da
escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que
velocidade a extremidade superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver
a 3 metros da parede? (veja Vı´deo 2)
7) Explique por que o ponto x = 0 e´ um ponto de mı´nimo da func¸a˜o f(x) = |x|. O que
acontece com a derivada neste ponto?
8) Um ponto x0 ∈ dom(f) e´ chamado ma´ximo local de f se existe δ > 0 tal que
f(x0) ≥ f(x), ∀ x ∈ dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Naturalmente, todo ponto de ma´ximo de f e´ um ponto de ma´ximo local de f .
Supondo que x = x0 e´ um ponto de ma´ximo local de f onde a derivada f
′(x0) existe,
resolva os itens abaixo.
(a) Usando a desigualdade acima, verifique que a derivada lateral a` direita satisfaz
f ′+(x0) = lim
x→x
+
0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≤ 0.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 08 - Pa´gina 1 de 3
(b) Repetindo o argumento, verifique que a derivada lateral a` esquerda satisfaz
f ′
−
(x0) = lim
x→x
−
0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≥ 0.
(c) Lembrando que as derivadas laterais coincidem, conclua que f ′(x0) = 0.
9) Proceda de maneira ana´loga ao exerc´ıcio acima para definir o conceito de mı´nimo local
de f . O que se pode dizer sobre a derivada de f em um ponto de mı´nimo local?
10) O que significa dizer que x0 e´ um ponto cr´ıtico de f?
11) Toda func¸a˜o cont´ınua definida em [a, b] tem ponto de ma´ximo e de mı´nimo. Use os 3
exerc´ıcios anteiores para descrever uma estrate´gia para encontrar os pontos de ma´ximo
e mı´nimo desta func¸a˜o.
12) Em cada um dos itens abaixo, e´ dada uma func¸a˜o definida em um intervalo fechado [a, b].
Depois de encontrar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o no intervalo (a, b), determine os pontos
de ma´ximo e mı´nimo (global) de cada uma delas. (veja Vı´deo 4)
(a) f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 4] (b) g(x) = 3x5 − 5x3 + 12, x ∈ [0, 2]
(c) f(y) = 1− |y − 1|, y ∈ [0, 2] (d) h(x) = 3√x, x ∈ [−1, 8]
(e) g(y) =
√
4− y2, y ∈ [−2, 1] (f) s(t) = te−t, t ∈ [0, 2]
(g) f(x) = ln(1 + x), x ∈ [0, 3] (h) v(t) = e−t2 , t ∈ [−4, 3]
13) Prove que entre todos os retaˆngulos com um dado per´ımetro P , o quadrado e´ o que possui
maior a´rea.
14) Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio a > 0. Qual e´ a maior
a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais sa˜o as suas dimenso˜es? (veja Vı´deo 5)
15) Seja ym(x) = mx+ b, com m 6= 0, a equac¸a˜o de uma reta que passa pelo ponto (2, 3).
(a) Verifique que ym(x) = mx+ (3− 2m).
(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a reta ym intercepta os eixos Oy e Ox,
respectivamente.
(c) Se A(m) e´ a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo situado no 1o quadrante, com cada um
dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa conte´m o ponto
(2, 3), mostre que
A(m) = −(2m− 3)
2
2m
, m < 0.
(d) Explique porque somente a teoria desenvolvida ate´ agora na˜o nos permite concluir
que A tem ponto de mı´nimo.
(e) Verifique que a func¸a˜o A(m) tende para infinito quando m→ −∞ ou m→ 0−.
(f) O item acima mostra que existem a < −1 < b < 0 tais que
A(m) > A(−1), ∀m ∈ (−∞, a) ∪ (b, 0).
Conclua que, apesar do domı´nio da func¸a˜o A(m) se aberto e ilimitado, ela possui
um ponto de mı´nimo.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 08 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) 1792/(225pi) cm/s
2) −100/1012 m/s
3) A taxa de variac¸a˜o e´ −18 km/h, o que significa que os carros esta˜o se aproximando um do outro
4) 48pi m2/min
5) Aumentando a` uma taxa de 6, 25 cm2/min
6) 6/
√
55 m/s
7) Como f(x) = |x| ≥ 0 = |0| = f(0) para todo x ∈ R, o ponto x = 0 e´ um ponto de mı´nimo de
f . Neste ponto, a derivada na˜o existe.
8) (a) Note que, como x→ x+0 , o denominador (x− x0) e´ sempre positivo.
(b)
(c) Lembre que em um ponto onde f e´ deriva´vel as derivadas laterais coincidem.
9) O ponto x0 ∈ dom(f) e´ chamado mı´nimo local de f se existe δ > 0 tal que
f(x0) ≤ f(x), ∀x ∈ dom(f) ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Se este e´ o caso e f ′(x0) existe, o mesmo argumento do exerc´ıcio anterior mostra que f
′(x0) = 0.
10) Um ponto x0 pertencente ao interior do domı´nio da func¸a˜o f e´ um ponto cr´ıtico se f
′(x0) = 0
ou f ′(x0) na˜o existe.
11) Os passos sa˜o: determinar os pontos cr´ıticos; calcular a func¸a˜o nos pontos cr´ıticos e nos extremos
do domı´nio; comparar os valores encontrados
12) PC=Pontos cr´ıticos; PMin=Pontos de mı´nimo; PMax=Pontos de Ma´ximo.
(a) PC: {0, 2} PMin: {−1, 2} PMax: {4}
(b) PC: {1} PMin: {1} PMax: {2}
(c) PC: {1} PMin: {0, 2} PMax: {1}
(d) PC: {0} PMin: {−1} PMax: {8}
(e) PC: {0} PMin: {−2} PMax: {0}
(f) PC: {1} PMin: {0} PMax: {1}
(g) PC: na˜o existem PMin: {0} PMax: {3}
(h) PC: {0} PMin: {−2} PMax: {2}
(i) PC: {0} PMin: {−4} PMax: {0}
13) Denote por x e y dois lados na˜o paralelos do retaˆngulo e observe que o seu per´ımetro e´ P =
2x+ 2y
14) A a´rea ma´xima vale a2 e e´ atingida por um retaˆngulo cuja base mede a
√
2 e altura mede a/
√
2
15) (a) basta notar que ym(2) = 3
(b) (0, 3 − 2m) e ((2m− 3)/m, 0)
(c)
(d) o domı´nio na˜o e´ um intervalo fechado
(e)
(f) compare o mı´nimo de A no intervalo [a, b] com os valores da func¸a˜o fora deste intervalo
fechado
Lista de Exerc´ıcios – Semana 08 - Pa´gina 3 de 3
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 09
Temas abordados : Teorema do Valor Me´dio; Crescimento de func¸o˜es; Otimizac¸a˜o
Sec¸o˜es do livro: 4.2; 4.3; 4.6
1) O Teorema do Valor Me´dio afirma que, se uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b), enta˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que
f ′(x0) =
f(b)− f(a)
b− a .(1)
Os passos seguintes fornecem a prova deste importante teorema. (veja Teorema 1 do Texto 2)
(a) Verifique que, se r(x) e´ a reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)), enta˜o
r(x) = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a).
(b) Para g(x) = f(x)− r(x), verifique que g(a) = g(b) = 0.
(c) Lembrando que g tem ma´ximo e mı´nimo em [a, b], conclua que g′(x0) = 0 para
algum x0 ∈ (a, b).
(d) Verifique que o ponto x0 obtido no item acima satisfaz a equac¸a˜o (1).
2) Suponha que a func¸a˜o f do exerc´ıcio acima mede a posic¸a˜o de um mo´vel em um instante
t > 0. Qual e´ a interpretac¸a˜o f´ısica da conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio?
3) Use o Teorema do Valor Me´dio para mostrar que, se f ′ > 0 em um intervalo aberto
I ⊂ R, enta˜o a func¸a˜o f e´ crescente em I. O que podemos afirmar se f ′ < 0 em I ?
(veja Corola´rio 1 do Texto 2)
4) Usando o item acima, descreva um me´todo que nos permita classificar um ponto cr´ıtico
como ma´ximo local, mı´nimo local ou nenhum dos dois, a partir do sinal da derivada antes
e depois deste ponto cr´ıtico. (veja Corola´rio 2 do Texto 2)
5) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os pontos cr´ıticos, classifique-os como
ma´ximos ou mı´nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f e´ cres-
cente e decrescente. (veja Exemplo 1 do Texto 1)
(a) f(x) = x+
3
x2
(b) f(x) =
3x2 + 4x
1 + x2
(c) f(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1) (d) f(x) = e
−x − e−2x
(e) f(x) = x3 − 12x− 5 (f) f(x) = (x2 − 3)ex
(g) f(x) = x
√
8− x2 (h) f(x) = x2/3(x2 − 4)
(i) f(x) = x− ln x (j) f(x) = x
ln x
(k) f(x) = x1/3(x− 4) (l) f(x) = x+ sen(x), x ∈ (0, 2pi)
6) Mostre que a func¸a˜o f(x) = (ln x)/x tem um ma´ximo absoluto em x = e. Usando agora
o fato de que f(e) > f(pi) e que a func¸a˜o x 7→ ex e´ crescente, conclua que pie < epi.
(veja Vı´deo 2)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 09 - Pa´gina 1 de 4
7) Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real. (veja Exemplo 2 do Texto 3)
8) Analise os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x) = x +
1
x
, definida em
(0,+∞), para concluir que
x+
1
x
≥ 2, ∀ x > 0.
9) Supondo que o lucro, em milho˜es de reais, obtido na venda de x mil unidades de um
produto e´ dado por
L(x) =
3x
54 + x3
, x ≥ 0,
determine a quantidade de itens que devem ser vendidos de modo a maximizar o lucro.
(veja Exemplo 2 do Texto 1)
10) Entre todas as latas cil´ındricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h, qual a que
tem menor a´rea superficial. (veja Vı´deo 3)
11) Suponha que ao completar t anos, 0 ≤ t ≤ 5, a massa aproximada de um animal seja
dada em quilos pela expressa˜o
m(t) = −2t3 + 9t2 + 400.
Sabendo que pretende-se sacrificar o animal no momento em que este possuir a maior
massa, determine com qual idade o animal deve ser abatido.
12) Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio 5 metros. Qual e´ a
maior a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais as suas dimenso˜es?
13) Supondo que I ⊂ R e´ um intervalo aberto, use o Teorema do Valor Me´dio para provar
as afirmac¸o˜es seguintes (veja os Corola´rio 3 e 4 do Texto 2)
(a) se f ′(x) = 0 para todo x ∈ I, enta˜o existe C ∈ R tal que f(x) = C para todo x ∈ I.
(b) se f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ I, enta˜o existe C ∈ R tal que g(x) = f(x) + C para
todo x ∈ I.
14) Dado b > 0, considere a func¸a˜o f(x) = ln(x
b
), definida para x > 0.
(a) Verifique que a derivada de f coincide com a derivada de g(x) = ln(x), no intervalo
I = (0,+∞).
(b) Usando o item acima e o exerc´ıcio anterior, conclua que f(x) = g(x) + C, para
algum C ∈ R. Em seguida, fac¸a x = b nesta igualdade para calcular o valor da
constante C.
(c) Conclua que
ln
(a
b
)
= ln(a)− ln(b), ∀ a, b > 0.
15) Argumentado como no exerc´ıcio anterior, mostre que (veja o Vı´deo 1)
ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(ar) = r ln(a),
para quaisquer a, b > 0 e r ∈ R.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 09 - Pa´gina 2 de 4
RESPOSTAS
1)
2) O nu´mero (f(b) − f(a))/(b − a) e´ a velocidade me´dia entre os instantes a e b. Como a
derivada de f fornece a velocidade do mo´vel, o teorema afirma que em algum instante
x0 ∈ (a, b) a velocidade instantaˆnea f ′(x0) e´ igual a velocidade me´dia.
3) Se f ′ < 0 em I enta˜o f e´ decrescente em I
4)
5) (a) pontos cr´ıticos: x = 3
√
6 (mı´nimo local)
crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,+∞)
decrescente em (0, 3
√
6)
(b) pontos cr´ıticos: x = −1/2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local)
crescente em (−1/2, 2)
decrescente em (−∞,−1/2) ∪ (2,+∞)
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em (−∞, 0) ∪ (2,+∞)
decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2)
(d) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local)
crescente em (−∞, ln 2)
decrescente em (ln 2,+∞)
(e) pontos cr´ıticos: x = −2 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
decrescente em (−2, 2)
(f) pontos cr´ıticos: x = −3 (ma´ximo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−3) ∪ (1,+∞)
decrescente em (−3, 1)
(g) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local)
crescente em (−2, 2)
decrescente em (−√8,−2) ∪ (2,√8)
(h) pontos cr´ıticos: x = −1 e x = 1 (mı´nimos locais); x = 0 (ma´ximo local)
crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞)
decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 1)
(i) pontos cr´ıticos: x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (1,+∞)
decrescente em (0, 1)
(j) pontos cr´ıticos: x = e (mı´nimo local)
crescente em (e,+∞)
decrescente em (0, 1) ∪ (1, e)
(k) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (1,+∞)
decrescente em (−∞, 1)
(l) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local)
crescente em (0, 2pi)
decrescente em (nunca)
6)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 09 - Pa´gina 3 de 4
7) Calcule a func¸a˜o em cada ponto cr´ıtico, estude os intervalos de crescimento e decresci-
mento e os limites no infinito
8) Basta encontrar o ponto de mı´nimo de f no intervalo
9) O lucro e´ ma´ximo quando sa˜o vendidas 3 mil unidades
10) Aquela que tem raio igual a (2pi)−1/3
11) O animal deve ser abatido quando completar 3 anos
12) A maior a´rea e´ de 25 metros e e´ dada por um retaˆngulo de lados 5
√
2 e 5
√
2/2 metros
13) Para o item (b), considere a func¸a˜o g(x)− f(x), definida no intervalo I
14) (a) Basta usar a Regra da Cadeia.
(b) Use o item (b) do exerc´ıcio anterior para obter a igualdade f(x) = g(x)+C. Fazendo
x = b, conclu´ımos que C = − ln(b)
(c) Basta agora fazer x = a
15) Para a primeira igualdade compare a derivada de g(x) = ln(bx) com a de ln(x). Para a
segunda, use g(x) = ln(xr)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 09 - Pa´gina 4 de 4
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos
Sec¸o˜es do livro: 4.4
1) Para as func¸o˜es f abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais, intervalos
de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava para cima
e para baixo, ass´ıntotas verticais. Note que as derivadas ja´ esta˜o dadas.
(a) f(x) =
16− x2
4(x− 2)2 , f
′(x) =
x− 8
(x− 2)3 , f
′′(x) =
2(11− x)
(x− 2)4
(b) f(x) =
x2 − x+ 1
x− 1 , f
′(x) =
x(x− 2)
(x− 1)2 , f
′′(x) =
2
(x− 1)3
(c) f(x) =
3
4
3
√
x(x− 4), f ′(x) = x− 1
3
√
x2
, f ′′(x) =
1
3
(x+ 2)
3
√
x5
2) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo. Determine ainda as (poss´ıveis) ass´ıntotas e, finalmente, fac¸a um
esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) = −2x3 − 3x2 + 12x+ 4 (b) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(c) f(x) = ln(x) (d) f(x) = ex
(e) f(x) = tan(x2), x ∈ (−
√
pi/2,
√
pi/2) (f) f(x) = arctan(x)
(g) f(x) = arccos(x),x ∈ (−1, 1) (h) f(x) = x
3 − 2
x
(i) f(x) =
2x2 − 8
x2 − 16 (j) f(x) = e
−x − e−2x
(k) f(x) = x+ sen x, x ∈ (0, 2pi) (l) f(x) = x
2 − 1
x3
3) Repita o que foi feita no exerc´ıcio acima para as func¸o˜es seguintes.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 1 de 5
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local)
crescente em: (−∞, 2); (8,+∞)
decrescente em: (2, 8)
concavidade volta para cima em: (−∞, 2); (2, 11)
Observe que estaria incorreto dizer que f e´ coˆncava para cima em (−∞, 11) porque 2 6∈ dom(f)
concavidade volta para baixo em: (11,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = 11
ass´ıntota vertical: x = 2
ass´ıntota horizontal: y = −1/4
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em: (−∞, 0); (2,+∞)
decrescente em: (0, 1); (1, 2)
Observe que estaria incorreto dizer que f e´ decrescente em (0, 2) porque 1 6∈ dom(f) concavidade
volta para cima em: (1,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 1)
ass´ıntota vertical: x = 1
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em: (1,+∞)
decrescente em: (−∞, 1)
concavidade volta para cima em: (−∞,−2); (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−2, 0)
pontos de inflexa˜o: x = −2; x = 0
2) (a) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em (−2, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−2); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1/2)
concavidade voltada para baixo em: (−1/2,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1/2
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local); x = 1 (na˜o e´ extremo local)
crescente em (0,+∞)
decrescente em (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 1/3) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (1/3, 1)
pontos de inflexa˜o: x = 1/3 e x = 1
(c) pontos cr´ıticos: na˜o existem
sempre crescente
concavidade sempre voltada para baixo
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntota vertical: x = 0
(d) pontos cr´ıticos: na˜o existem
sempre crescente
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 2 de 5
concavidade sempre voltada para cima
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntota horizontal: y = 0
(e) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em : (0,
√
pi/2)
decrescente em: (−
√
pi/2, 0)
concavidade sempre voltada para cima
pontos de inflexa˜o: na˜o existem ass´ıntotas verticais: x = −
√
pi/2; x = +
√
pi/2
(f) sempre crescente
concavidade voltada para cima em: (−∞, 0)
concavidade voltada para baixo em: (0,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas horizontais: y = −pi/2; y = pi/2
(g) sempre decrescente
concavidade voltada para cima em: (−1, 0)
concavidade voltada para baixo em: (0, 1)
ponto de inflexa˜o: x = 0
(h) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−1, 0; (0,+∞)
decrescente em: (−∞,−1)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, 21/3)
pontos de inflexa˜o: x = 21/3
ass´ıntotas verticais: x = 0
(i) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−4); (−4, 0)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (0, 4); (4,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−4, 4)
pontos de inflexa˜o: nenhum
Observe que estaria incorreto dizer que x = −4 ou x = 4 sa˜o pontos de infleca˜o porque, ainda que
a concavidade troque, a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua nestes pontos
ass´ıntotas verticais: x = −4; x = 4
ass´ıntotas horizontais: y = 2
(j) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, ln 2)
decrescente em: (ln 2,+∞)
concavidade volta para cima em: (ln 4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, ln 4)
pontos de inflexa˜o: x = 2 ln 2 = ln 4
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(k) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 3 de 5
crescente em: (0, 2pi)
decrescente em: nunca
concavidade volta para cima em: (pi, 2pi)
concavidade volta para baixo em: (0, pi)
pontos de inflexa˜o: x = pi
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(l) pontos cr´ıticos: x = −√3 (mı´nimo local); x = √3 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−√3, 0); (0,√3)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (−∞,−√3); (√3,+∞)
concavidade volta para cima em: (−√6, 0) ∪ (√6,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞,−√6) ∪ (0,√6)
pontos de inflexa˜o: x = −√6; x = √6
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: y = 0
3) (a) pontos cr´ıticos: x = −10 (ma´ximo local); x = 10 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−10); (10,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−10, 0); (0, 10)
concavidade voltada para cima em: (0,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
(b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em: (−1, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−√3, 0) ∪ (√3,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−√3) ∪ (0,√3)
pontos de inflexa˜o: x = −√3, x = 0 e x = √3
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(c) pontos cr´ıticos: na˜o existem
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 1)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 1
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(d) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 0)
decrescente em: (0,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−1, 1)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 4 de 5
(e) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em: (0,+∞)
decrescente em: (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−1, 1)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
Apresentamos abaixo o gra´fico de cada uma das func¸o˜es do exerc´ıcio.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) = (x+1)
2
1+x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
Figura 1: Gra´ficos do exerc´ıcio 4
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 5 de 5
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11
Temas abordados : Regra de L’Hoˆpital
Sec¸o˜es do livro: 4.6
1) Resolva as indeterminac¸o˜es abaixo usando a Regra de L’Hoˆpital. (veja Vı´deo 1)
(a) lim
x→1
ex−1 − 1
x− 1 (b) limx→0+
ln(x+ 1)
x
(c) lim
x→+∞
ln x
x
(d) lim
x→+∞
x2 − 1
ex2
2) Em alguns casos, e´ necessa´rio aplicar a Regra de L’Hoˆpital mais de uma vez. Por exemplo,
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞.
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite sa˜o indeterminac¸o˜es do tipo ∞/∞,
enquanto o u´ltimo pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 1)
(a) lim
x→0
ex − 1− x− x2
2
x2
(b) lim
x→0
cos2 x− 1
x2
(c) lim
x→+∞
x2 + 3e3x
e3x
(d) lim
x→0
ln(1 + x)− x− x2
2
− x3
6
x3
3) A Regra de L’Hoˆpital se aplica somente a indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 e ∞/∞. Em
alguns casos, quando temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0·∞, uma manipulac¸a˜o alge´brica
adequada nos permite aplicar L’Hoˆpital. Por exemplo,
lim
x→−∞
(x− 3)ex = lim
x→−∞
x− 3
e−x
= lim
x→−∞
1
−e−x = 0.
Note que, no segundo limite acima, temos uma indeterminac¸a˜o dotipo ∞/∞, enquanto
no u´ltimo o denominador tende para infinito.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) lim
x→0+
x2 ln(x) (b) lim
x→+∞
x sen(1/x) = 1
4) O limite lim
x→0+
(1 + x)1/x e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo 1∞. Ele pode ser calculado,
observando-se que
(1 + x)1/x = eln(1+x)
1/x
= e
ln(1+x)
x
Vimos no primeiro exerc´ıcio que limx→0+
ln(1+x)
x
= 1. Assim, como a func¸a˜o exponencial
e´ cont´ınua, temos que
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
x→0+
e
ln(1+x)
x = elimx→0+
ln(1+x)
x = e1 = e.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) lim
x→0+
xx (b) lim
x→∞
(1 + 2x)
1
2 ln(x)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 1 de 2
5) Calcule cada um dos limites abaixo.
(a) lim
x→0
√
1 + x− 1− (x/2)
x2
(b) lim
x→0
x
arctan(x)
(c) lim
x→0+
(
1 +
1
x
)x
(d) lim
x→0
8x2
cos(x)− 1
(e) lim
x→+∞
√
9x+ 1√
x− 1
(f) lim
x→−∞
x−2e−x
2
(g) lim
x→+∞
ln(ln(x))
ln x
(h) lim
x→0
x cos
(
1
x
)
(i) lim
x→0
(cosx)1/x
2
(j) lim
x→0+
xr ln(x), com r > 0
(k) lim
x→+∞
x2 ln(x) (l) lim
x→0
tan(x)
x
(m) lim
x→+∞
p(x)
ex
, onde p e´ um polinoˆmio (n) lim
x→0+
√
x√
sen(x)
(o) lim
x→2−
3 + x
x− 2 (p) limx→4−
√
x2 − 8x+ 16
x− 4
RESPOSTAS
1) (a) 1 (b) 1 (c) 0 (d) 0
2) (a) 0 (b) −1 (c) 3 (d) na˜o existe
3) (a) 0 (b) 1
4) (a) 1 (b) e1/2
5)
(a) −1/8 (b) 1 (c) 1 (d) −16
(e) 3 (f) 0 (g) 0 (h) 0
(i) −1/2 (j) 0 (k) +∞ (l) 1
(m) 0 (n) 1 (o) −∞ (p) −1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 2 de 2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 12
Temas abordados : Integral Definida, Teorema Fundamental do Ca´lculo e A´reas
Sec¸o˜es do livro: 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4
1) Calcule as integrais definidas abaixo.
(a)
∫ 0
−2
(2x+ 5)dx (b)
∫ 32
1
x−6/5dx (c)
∫ pi
0
sen(x)dx
(d)
∫ pi/2
−pi/2
(8t2 + cos(t))dt (e)
∫ −1
1
(r + 1)2dr (f)
∫ 1
√
2
s2 +
√
s
s2
ds
(g)
∫ e
1
(
1 +
1
x
)
dx (h)
∫ 1
0
(3 + 4ex)dx (i)
∫ 1
0
4
1 + x2
dx
(j)
∫ 1/2
0
2√
1− x2dx (k)
∫ pi
0
2 cos(θ)dθ (l)
∫ ln 2
0
e−xdx
2) Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua e na˜o negativa em [a, b], enta˜o a integral
∫ b
a
f(x)dx e´ exata-
mente a a´rea da regia˜o abaixo do gra´fico de f e acima do eixo Ox. Utilizando o gra´fico
da func¸a˜o, calcule cada uma das integrais abaixo.
(a)
∫ 2
−4
|x| dx (b)
∫ 2
−2
√
4− x2 dx (c)
∫ 0
−3
(1 +
√
9− x2) dx
3) Se p e q sa˜o func¸o˜es cont´ınuas e p(x) ≥ q(x) em [a, b], enta˜o a a´rea da regia˜o compreendida
acima do gra´fico de q e abaixo do gra´fico de p e´ dada por
∫ b
a
[p(x) − q(x)]dx. Nos itens
abaixo, vamos calcular esta a´rea para o caso em que f(x) = 2x e g(x) = x2 − 4x.
(a) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = g(x), cha-
mando de a o menor valor e b o maior.
(b) Pelo Teorema do Valor Intermedia´rio temos que, em
todo o intervalo [a, b], uma das func¸o˜es e´ sempre
maior ou igual a outra. Determine qual delas e´ a
maior, calculando cada uma delas em ponto c ∈ (a, b)
e comparando os dois valores.
(c) Determine agora a a´rea integrando, no intervalo
[a, b], a func¸a˜o que esta´ por cima menos a que esta´
por baixo.
4) Proceda como no exerc´ıcio anterior para calcular a a´rea a a´rea da regia˜o limitada pelas
curvas dadas.
(a) f(x) =
√
x, g(x) = x2
(b) f(x) = 6− x2, g(x) = 3− 2x
(c) f(x) = |x− 2|, g(x) = 2− (x− 2)2
Lista de Exerc´ıcios – Semana 12 - Pa´gina 1 de ??
5) Repita o argumento acima para as func¸o˜es abaixo. Neste caso, voceˆ encontrara´ 3 ra´ızes
para a equac¸a˜o f(x) = g(x), digamos a < b < c. A a´rea agora sera´ calculada como a
soma de duas integrais, uma do tipo
∫ b
a
e outra do tipo
∫ c
b
. Em cada uma delas, voceˆ
deve integrar a func¸a˜o que esta´ por cima, menos a que esta´ por baixo no intervalo de
integrac¸a˜o.
(a) f(x) = x3 − x+ 1, g(x) = 1 (b) f(x) = 4x, g(x) = x3 + 3x2
6) Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o o Teorema Fundamental da Ca´lculo afirma que a derivada
da func¸a˜o x 7→ ∫ x
a
f(t)dt e´ igual a f(x) no intervalo (a, b). Vamos usar este resultado
para calcular a derivada da func¸a˜o
g(x) =
∫ x3
a
sen3(t)dt.
(a) Verifique que, se F (x) =
∫ x
a
sen3(t)dt e c(x) = x3, enta˜o f(x) = (F ◦ c)(x).
(b) Use a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar g′(x).
7) Verifique que as func¸o˜es abaixo na˜o dependem de x. Note que, procedendo como acima,
e´ poss´ıvel fazer isso sem saber a primitiva das func¸o˜es que esta˜o sendo integradas.
(a) f(x) =
∫ x
0
1
(1 + t2)
dt+
∫ 1
x
0
1
(1 + t2)
dt, definida para x > 0.
(b) f(x) =
∫ senx
− cos x
1√
1− t2dt, para x ∈ (0, pi/2).
8) Considere a func¸a˜o f : [0, 2]→ R definida por
f(x) =
{
0, se x ∈ [0, 1) ∪ (1, 2],
1, se x = 1.
Supondo que ela possui uma primitiva F , resolva os itens a seguir.
(a) Mostre que existem c1, c2 ∈ R tais que F (x) = c1 para todo x ∈ (0, 1), e F (x) = c2
para todo x ∈ (1, 2).
(b) Usando a continuidade de F , verifique que c1 = c2 e portanto F
′(1) = 0.
(c) Usando o item anterior e lembrando que F ′(1) = f(1) = 1, conclua que a func¸a˜o F
na˜o pode existir, isto e´, f na˜o possui primitiva em [0, 2].
(d) Explique a raza˜o pela qual o item acima na˜o contradiz o Teorema Fundamental do
Ca´lculo.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 12 - Pa´gina 2 de ??
RESPOSTAS
1)
(a) 6 (b) 5/2 (c) 2 (d) 2 + 2pi3/3
(e) −8/3 (f) 23/4 −√2− 1 (g) e (h) 4e− 1
(i) pi (j) pi/3 (k) 0 (l) 1/2
2) (a) 10 (b) 2pi (c) 3 + 9pi/4
Os valores podem ser calculados a partir dos gra´ficos, que esta˜o esboc¸ados abaixo.
3) (a) As func¸o˜es sa˜o iguais em x = 0 e x = 6.
(b) Como f(5) = 10 > 5 = g(5), a func¸a˜o f e´ maior ou igual a g em todo o intervalo
[0, 6]. Na˜o ha´ nada de especial no ponto 5 escolhido. Voceˆ poderia escolher qualquer
um no intervalo aberto (0, 6).
(c) A a´rea e´ dada pela integral
∫ 6
0
[f(x)− g(x)]dx = ∫ 6
0
(6x− x2)dx = 36.
4) (a) 1/3 (b) 32/3 (c) 7/3
Neste caso e´ poss´ıvel fazer o ca´lculo sem conhecer os gra´ficos. Contudo, para maior
entendimento, eles esta˜o esboc¸adas abaixo.
5) (a) 1/2 (b) 32 + (3/4)
Neste caso e´ poss´ıvel fazer o ca´lculo sem conhecer os gra´ficos. Contudo, para maior
entendimento, eles esta˜o esboc¸adas abaixo.
6) Pela regra da cadeia f ′(x) = F ′(c(x))c′(x). Basta agora lembra que, pelo Teorema Fun-
damental do Ca´lculo F ′(x) = sen3(x), de modo que f ′(x) = 3x2 sen3(x3)
7) Para o item (b) escreva
∫ sen(x)
− cos(x) =
∫ 0
− cos(x) +
∫ sen(x)
0
.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 12 - Pa´gina 3 de ??
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13
Temas abordados : Integral Indefinida e Regra da Substituic¸a˜o
Sec¸o˜es do livro: 5.5
1) Calcule as integrais abaixo.
(a)
∫
x(x2 + 1)2013dx (b)
∫
tan(x)dx
(c)
∫
ee
x
exdx (d)
∫
x
√
x− 1dx
(e)
∫
1√
v(1 +
√
v)5
dv (f)
∫
sen2(θ)dθ
(g)
∫
arcsen(y)
2
√
1− y2dy (h)
∫
(1 + e−at)
3
2 e−at dt
(i)
∫
sen(x)sen2(x)dx (j)
∫ √√
x+ 1dx.
2) Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituic¸a˜o, quando necessa´rio.
(a)
∫
1
0
x
√
1− x2dx (b)
∫ e
1
ln(t)
t
dt
(c)
∫
0
−pi/2
sen(t) cos(t)dt (d)
∫
0
1
−xe−x2/2dx
3) Em cada um dos itens abaixo, determine uma func¸a˜o cuja derivada coincida com a func¸a˜o
dada.
(a) f(t) = −2 cos(t) (b) f(x) =
(
1
x
− 5
1 + x2
)
(c) f(t) =
(
3t2 + t
2
)
(d) f(θ) = 7 sen(θ/3)
(e) f(x) = (
√
x+ 3
√
x) (f) f(x) =
(
e−x +
3√
1− x2
)4) Lembrando que duas func¸o˜es que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem
por uma constante, determine a func¸a˜o y(x) que satisfaz as condic¸o˜es abaixo.
(a) y′(x) = e3x + 5e−x e o gra´fico de y passa pelo ponto (0,−5)
(b) y′(x) = 1 + tan2(x), y(0) = 2
(c) y′(x) = x−2 − 6x2 − 1
3
, y(1) = −1
(d) y′(x) = 2x(1− x−3) e o gra´fico de y passa pelo ponto (2, 3)
5) Use uma mudanc¸a de varia´veis (substuic¸a˜o) para demonstrar as duas afirmac¸o˜es abaixo.
Em seguida, fac¸a uma interpretac¸a˜o geome´trica de cada uma delas.
(a) se f e´ par enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 1 de 3
(b) se f e´ ı´mpar enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
6) Suponha que a velocidade mı´nima para que um objeto escape da forc¸a gravitacional da
Terra seja dada por ∫
vdv = −MG
∫
1
x2
dx,
onde M representa a massa da Terra, G a constante gravitacional e x a distaˆncia ate´ o
centro da Terra. Considere que no instante inicial x = R, R o raio da Terra, e mostre
que v e x esta˜o relacionados pela equac¸a˜o
v2 = v2
0
+ 2MG
(
1
x
− 1
R
)
,
onde v0 e´ a velocidade inicial.
7) A velocidade de queda de um corpo com massa m caindo verticalmente apo´s t segundos
pode ser modelada por
v =
mg
k
(1− e−mt/k),
desde que suponhamos que a resisteˆncia do ar seja proporcional ao valor de v, onde
g representa a acelerac¸a˜o gravitacional e k e´ uma constante adimensional. Encontre a
altura h com relac¸a˜o a superf´ıcie da Terra, supondo que a altura inicial seja de h0 metros.
RESPOSTAS
1) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a)
(x2 + 1)2014
4028
+K
(b) − ln(cos(x)) +K
(c) ee
x
+K
(d)
2(x− 1)5/2
5
+
2(x− 1)3/2
3
+K
(e) (−1/2)(1 +√v)−4 +K
(f)
1
2
(
θ − sen(2θ)
2
)
+K
(g) arcsen(y)2/4 +K
(h) − 2
5a
(1 + e−at)
5
2 +K
(i) − cos(x) + (1/3) cos3(x) +K
(j)
4
5
(1 +
√
x)5/2 − 4
3
(1 +
√
x)3/2 +K
2) (a) 1/3 (b) 1/2 (c) −1/2 (d) 1− e−1/2
3) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) F (t) = −2 sen(t) +K
(b) F (x) = ln |x| − 5 arctan(x) +K
(c) F (t) = t3 +
t2
4
+K
(d) F (θ) = −21 cos(θ/3) +K
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 2 de 3
(e) F (x) =
2
3
x3/2 +
3
4
x4/3 +K
(f) F (x) = −e−x + 3arc sen(x) +K
4) (a)
1
3
e3x − 5e−x − 1
3
(b) tan(x) + 2
(c) −1
x
− 2x3 − x
3
+
7
3
(d) x2 +
2
x
− 2
5) Para o item (a) note inicialmente que
∫ a
−a
f(x)dx =
∫
0
−a
f(x)dx +
∫ a
0
f(x)dx. Fazendo
y = −x na primeira integral e lembrando que f(−y) = f(y) obtemos
∫
0
−a
f(x)dx =
∫
0
a
f(−y)(−1)dy = −
∫
0
a
f(y)dy =
∫ a
0
f(y)dy.
6)
7) h(t) =
mgt
k
+ ge−mt/k + h0 − g.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 3 de 3
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 14
Temas abordados : Integrac¸a˜o por partes; Volumes
Sec¸o˜es do livro: 8.1; 6.1; 6.2
1) Use integrac¸a˜o por partes para calcular as integrais abaixo.
(a)
∫
x cos
(x
2
)
dx (b)
∫
x2 ln(2x)dx (c)
∫
xe3xdx
(d)
∫
ln(5x)dx (e)
∫
x3e−xdx (f)
∫
4x sec2(2x)dx
(g)
∫
e2x sen(x)dx (h)
∫
x2 cos(x)dx (i)
∫
arccos(x)dx
2) Calcule as integrais abaixo usando, antes da integrac¸a˜o por partes, uma substituic¸a˜o
apropriada.
(a)
∫
x7 cos(x4)dx (b)
∫
e
√
xdx (c)
∫
x3ex
2
dx
3) Para uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela
rotac¸a˜o do seu gra´fico em torno do eixo Ox e´ dado por V = ∫ b
a
pif(x)2dx. Calcule esse
volume no caso das func¸o˜es indicadas abaixo.
(a) f(x) = r, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0
(b) f(x) =
r
h
x, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0.
(c) f(x) =
√
r2 − x2, para x ∈ [−r, r], onde r > 0.
(d) f(x) = x
√
sen x, para x ∈ [0, pi]
(e) f(x) =
√
arctan x, para x ∈ [0, 1]
4) Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es dos treˆs primeiros itens acima e responda qual o so´lido gerado
pela rotac¸a˜o indicada. Em seguida, confronte a resposta que voceˆ obteve acima com a
fo´rmula para o volume desse so´lido, que voceˆ provavelmente ja´ conhecia.
5) Seja a ≥ 0, f : [a, b] → [0,+∞) uma func¸a˜o cont´ınua e R a regia˜o compreendida entre
o gra´fico de f e o eixo Ox. Quando giramos a regia˜o R em torno do eixo Oy, obtemos
um so´lido de revoluc¸a˜o cujo volume e´ dado por V =
∫
b
a
2pixf(x)dx. Calcule esse volume
no caso das func¸o˜es indicadas abaixo.
(a) f(x) =
√
1 + x2, para x ∈ [0, 1]
(b) f(x) = ln(x), para x ∈ [1, e]
(c) f(x) = arctan x, para x ∈ [0, 1]
6) Apo´s identificar a te´cnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
(a)
∫
xex
2
dx (b)
∫
arctan(x)dx (c)
∫
sen(ln x)dx
(d)
∫
x ln(x)dx (e)
∫
cos(1/x)
x2
dx (f)
∫
x
1 + x4
dx
(g)
∫
e−
√
xdx (h)
∫
xsen(2x)dx
Lista de Exerc´ıcios – Semana 14 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 2x sen
(
x
2
)
+ 4 cos
(
x
2
)
+K
(b) 1
3
x3 ln(2x)− 1
9
x3 +K
(c) 1
3
xe3x − 1
9
e3x +K
(d) x ln(5x)− x+K
(e) −e−x(x3 + 3x2 + 6x+ 6) +K
(f) 2x tan(2x) + ln(cos(2x)) +K
(g) −1
5
e2x cos(x) + 2
5
e2x sen(x) +K
(h) x2 sen(x)− 2 sen(x) + 2x cos(x) +K
(i) x arccos(x)−√1− x2 +K
2) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 1
4
cos(x4) + 1
4
x4 sen(x4) +K
(b) 2e
√
x(
√
x− 1) +K
(c) e
x
2
2
(x2 − 1) +K
3) (a) pir2h
(b) 1
3
pir2h
(c) 4
3
pir3
(d) pi3 − 4pi
(e) pi
2
4
− 1
2
pi ln(2)
4) Os so´lidos sa˜o, respectivamente: cilindro circular reto de altura h e raio da base r; cone
circular reto de altura h e raio da base r; esfera de raio r.
5) (a) 4
3
√
2pi − 2
3
pi
(b) pi
2
(e2 + 1)
(c) 1
2
pi2 − pi
6) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 1
2
ex
2
+K
(b) x arctan(x)− 1
2
ln(1 + x2) +K
(c) x
2
( sen(ln(x))− cos(ln(x))) +K
(d) x
2
2
ln(x)− x2
4
+K
(e) − sen( 1
x
) +K
(f) 1
2
arctan(x2) +K
(g) −2√xe−
√
x − 2e−
√
x +K
(h) 1
4
sen(2x)− 1
2
x cos(2x) +K
Lista de Exerc´ıcios – Semana 14 - Pa´gina 2 de 2
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 09
Temas abordados : Teorema do Valor Me´dio; Crescimento de func¸o˜es; Otimizac¸a˜o
Sec¸o˜es do livro: 4.2; 4.3; 4.6
1) O Teorema do Valor Me´dio afirma que, se uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b), enta˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que
f ′(x0) =
f(b)− f(a)
b− a . (1)
Os passos seguintes fornecem a prova deste importante teorema. (veja Teorema 1 do Texto 2)
(a) Verifique que, se r(x) e´ a reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)), enta˜o
r(x) = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a).
(b) Para g(x) = f(x)− r(x), verifique que g(a) = g(b) = 0.
(c) Lembrando que g tem ma´ximo e mı´nimo em [a, b], conclua que g′(x0) = 0 para
algum x0 ∈ (a, b).
(d) Verifique que o ponto x0 obtido no item acima satisfaz a equac¸a˜o (1).
2) Suponha que a func¸a˜o f do exerc´ıcio acima mede a posic¸a˜o de um mo´vel em um instante
t > 0. Qual e´ a interpretac¸a˜o f´ısica da conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio?
3) Use o Teorema do Valor Me´dio para mostrar que, se f ′ > 0 em um intervalo aberto
I ⊂ R, enta˜o a func¸a˜o f e´ crescente em I. O que podemos afirmar se f ′ < 0 em I ?
(veja Corola´rio 1 do Texto 2)
4) Usando o item acima, descreva um me´todo que nos permita classificar um ponto cr´ıtico
como ma´ximo local, mı´nimo local ou nenhum dos dois, a partir do sinal da derivada antes
e depois deste ponto cr´ıtico. (veja Corola´rio 2 do Texto 2)
5) Para cada uma