Gabarito - 2a avaliação NB006-A

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NB006-A – Probabilidade e Estatística 
 
2ª Avaliação – GABARITO 
Renan Ralpe Sthel Duque 
Nota: 
 
 
 
1ª Questão (30 pontos): Em uma determinada comunidade, a probabilidade de encontrar 
uma pessoa com altura superior a 1,80 m é de 15%. Pede-se: 
 
a) (14 pontos) Se forem selecionadas 1000 pessoas desta comunidade, qual é a média e o 
desvio padrão da quantidade de pessoas que possuem altura maior que 1,80 m? 
 
Distribuição binomial 
 
15015,01000][ =⋅== npXE 
29,115,12785,015,01000 ==⋅⋅== npqXσ 
 
b) (16 pontos) Qual é a probabilidade do número de pessoas desta comunidade com altura 
maior que 1,80 m estar entre 130 e 160 pessoas? 
 
77,1
29,11
150130
1 −=
−
=Z 89,0
29,11
150160
2 =
−
=Z 
%494,77%67,18%836,3%100)89,0()77,1(1]89,077,1[]160130[ =−−=−−=<<−=<< QQZPXP
 
2ª Questão (15 pontos): Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem defeitos 
a uma taxa de 2 a cada 2000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 metros 
de fita magnética tenha pelo menos três defeitos? 
 
Distribuição de Poisson, em que 2][ == αXE 
 
%33,32e51e
!2
2
e
!1
2
e
!0
21]3[
]2[]1[]0[1]3[
22
2
2
1
2
0
=−=−−−=≥
=−=−=−=≥
−−−−XP
XPXPXPXP
 
 
3ª Questão (25 pontos): Duas variáveis aleatórias X e Y possuem função densidade de 
probabilidade conjunta dada por 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
 
contrário caso 0
0 40 ),(
2


 ≥≤≤⋅⋅
=
− xyeya
yxf
x
XY
a) (05 pontos) O valor de a. 
 
∫ ∫
∞
−
=⋅⋅
4
0 0
2 1e dxdyya x ∫ =
−
⋅⋅
∞
=
−
4
0 0
2
1
2
e dyya
x
x
 ∫ =
⋅
4
0
1
2
dyya 1
4
4
0
2
=
⋅
=y
ya
 
4
1
=a 
 
b) (10 pontos) A função característica da variável aleatória X. 
 
∫



<
≥⋅
=⋅=⋅⋅=
−
=
−−
4
0
24
0
2
2
2
 0 , 0
0 ,e2
e
8
e
4
1)(
x
xydyyxf
x
y
xx
X 
 
jwjwdxdxdxxfjw
x
xjw
xjwjwxxjwx
XX
−
=
−−
⋅
=⋅=⋅⋅=⋅=Ψ
∞
=
−−
∞
−−
∞
−
∞
∫∫∫ 2
2
)2(
e2
e2ee2e)()(
0
)2(
0
)2(
0
2
0
 
 
c) (10 pontos) Utilizando a função característica, determine o valor médio de X. 
 
1)2(2)( −−⋅=Ψ jwjwX 22 )2(
2)()2(2 jw
jjjw
dw
d X
−
=−⋅−⋅−=
Ψ
−
 
20
j
dw
d
w
X
=
Ψ
=
 
2
1
2
][ =⋅−= jjXE 
 
4ª Questão (30 pontos): A variável aleatória contínua X denota a vida, em horas, de um 
determinado equipamento. Sua função de distribuição cumulativa é dada por 
 





≥−
=
contrário caso 0
1000 101)( 3
9
x
xxFX , pede-se 
 
a) (15 pontos) O tempo médio de vida (em horas) deste equipamento. 
 





<
≥⋅
=
1000 , 0
1000 ,103)( 4
9
x
x
xxf X 
 
 
∫∫
∞
∞
=
−
∞
=
⋅−
=⋅⋅=
⋅
⋅=
1000 1000
2
9
39
1000
4
9
horas 1500
2
103103103][
x
x
dxxdx
x
xXE 
 
 
 
 
b) (15 pontos) O desvio padrão do tempo de vida (em horas) deste equipamento. 
 
∫∫
∞
∞
=
−
∞
⋅=
⋅−
=⋅⋅=
⋅
⋅=
1000
6
1000
9
29
1000
4
9
22
 103103103103][
x
x
dxxdx
x
xXE 
7500001500103 262 =−⋅=Xσ 
horas 866750000 ==Xσ