Gabarito 2a avaliação NB006-ABC

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NB006 – Probabilidade e Estatística 
 
2ª Avaliação – Gabarito 
 
Nota: 
 
 
 
1ª Questão (30 pontos): Uma linha de produção produz três tipos de componentes 
eletrônicos. O custo de produção do primeiro tipo é de R$50,00, do segundo tipo é de 
R$80,00 e do terceiro tipo é de R$100,00. Sabe-se que as quantidades de componentes 
produzidos do segundo e do terceiro tipo são iguais, e que são produzidos 3 vezes mais 
componentes do primeiro tipo que do segundo. Considerando que a variável aleatória 
discreta X corresponde ao custo de produção destes componentes, pede-se: 
 
a) (05 pontos) Qual é o custo médio de produção destes componentes? 
 
 
x )(xf X 
50 p3 
 80 p 
100 p 
 
2,0
15
=
=
p
p
 
66][
2,01002,0806,050][
)(][
=
⋅+⋅+⋅=
⋅=∑
XE
XE
xfxXE X
 
 
b) (10 pontos) Determine a variância do custo de produção destes componentes. 
 
4780][
2,01002,0806,050][
)(][
2
222
22
=
⋅+⋅+⋅=
⋅=∑
XE
XE
xfxXE X
 
( )
424
664780
][][
2
22
222
=
−=
−=
X
X
X XEXE
σ
σ
σ
 
 
c) (15 pontos) Se são produzidas 1000 peças, qual é a probabilidade do custo total de 
produção estar entre R$65500,00 e R$67000,00? 
 
Adotando a variável aleatória S : custo total de produção de 1000 peças. Logo: 
 
1000321 ... XXXXS ++++= . Pelo teorema do limite central, S é uma variável aleatória 
Gaussiana de média, variância e desvio padrão dados por: 
 
 
15,651424000
4240001000424
66000100066][
2
==
=⋅=
=⋅=
S
S
SE
σ
σ 
Padronizando os valores de S : 
 
77,0
15,651
6600065500
1
1
−=
−
=
Z
Z
 
54,1
15,651
6600067000
2
2
=
−
=
Z
Z
 
 
 
 
Assim, consultando a tabela de probabilidades de ocorrência de uma cauda de uma 
Gaussiana padronizada, encontramos: 
 
%762,71%178,6%06,22%100)54,1()77,0(1]54,177,0[]6700065500[ =−−=−−=<<−=<< QQZPSP
 
2ª Questão (30 pontos): O período de hospital, em dias, para pacientes em tratamento de 
uma determinada enfermidade é uma variável aleatória contínua X, de função densidade de 
probabilidade dada por 
 




=
,0
,)( 4x
k
xf X 2
2
<
≥
x
x
 
 
Pede-se: 
 
a) (10 pontos) Determine a constante k . 
 
1
2
4 =∫
∞
dx
x
k
 1
2
4
=⋅∫
∞
− dxxk 1
3 2
3
=
−
⋅
∞
−xk
 1
3 23
=
−
∞
x
k
 1
24
=
k
 24=k 
 
b) (10 pontos) Qual é a média do número de dias que um paciente fica hospitalizado? 
 
∫
∞
⋅
=
2
4
24][ dx
x
xXE ∫
∞
−
=
2
324][ dxxXE 
∞
−
−
=
2
2
2
24][ xXE 3
4
1212][
2
2 ==
−
=
∞
x
XE 
 
c) (10 pontos) Determine a variância e o desvio padrão número de dias que um paciente 
fica hospitalizado. 
 
∫
∞
⋅
=
2
4
2
2 24][ dx
x
xXE ∫
∞
−
=
2
22 24][ dxxXE 
∞
−
−
=
2
1
2
1
24][ xXE 1224][
2
2
=
−
=
∞
x
XE 
 
 
( )
3
312
][][
2
22
222
=
−=
−=
X
X
X XEXE
σ
σ
σ
 3=Xσ dias. 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (15 pontos): Um determinado banco possui uma média de 4 pessoas aguardando 
atendimento na fila durante a primeira meia hora após sua abertura. Qual é a probabilidade 
de na primeira meia hora de funcionamento deste banco de um determinado dia existirem 
até 2 pessoas na fila aguardando atendimento? 
 
Distribuição de Poisson, de média 4=α . Logo, 
 
%81,23e13e)841(e
!2
4
e
!1
4
e
!0
4]2[]1[]0[]2[ 444
2
4
1
4
0
=⋅=⋅++=++==+=+==≤ −−−−−XPXPXPXP 
 
4ª Questão (25 pontos): Uma variável aleatória contínua X possui distribuição gaussiana 
com função característica dada por 
223)( wwjejw −=Ψ . Utilizando esta função 
característica, calcule: 
 
a) (10 pontos) O valor médio de X. 
 
( ) 223e43 wwjwj
dw
d
−
⋅−=
Ψ
 j
dw
d
w
3
0
=
Ψ
=
 ( ) 33][ 2
0
=−=
Ψ
−=
=
j
dw
djXE
w
 
 
b) (10 pontos) O valor médio quadrático de X. 
 
( ) 22 232232
2
e43e4 wwjwwj wj
dw
d
−−
⋅−+⋅−=
Ψ
 ( ) 139434 2
0
2
2
−=−−=+−=
Ψ
=
j
dw
d
w
 
( ) 1313][ 2
0
2
2
22
=−=
Ψ
−=
=
j
dw
djXE
w
 
 
c) (5 pontos) A variância de X. 
 
( )
4
313
][][
2
22
222
=
−=
−=
X
X
X XEXE
σ
σ
σ