APRESENTACAODAAULA4a187326

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Prof.: Duarte
Aula 4
I. Experimentos Aleatórios
Experimentos aleatórios são experimentos cujos resultados não é possível prever com certeza. 
a) Se lançarmos uma moeda e observarmos a face para cima, o resultado será “cara” ou “coroa”.
Exemplos:
b) Lançamento de duas moedas diferentes e observando as faces voltadas para cima: consideremos c para cara e k para coroa, então podemos ter: { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) }.
c) Se lançarmos um dado e observarmos o número obtido na face para cima, o resultado será um dos números do conjunto {1,2,3,4,5,6}.
I. Experimentos Aleatórios
d) Se lançarmos uma moeda e um dado e observar as faces de cima o resultado pertencerá ao conjunto:
	{ (c , 1), (c , 2), (c , 3), (c , 4), (c , 5), (c , 6), 
 	(k , 1), (k , 2), (k , 3), (k , 4), (k , 5), (k , 6) }.
e) Considere uma pessoa desastrada que deixa cair no chão uma fatia de pão com manteiga. Ao o atingir o resultando pertencerá ao conjunto: {manteiga para cima, manteiga para baixo}.
f) No estudo para sua dissertação, sobre a eficiência do defeso do Xiphopenaeus kroyeri (que também atende pelo nome de camarão sete-barbas), Duarte mediu o comprimento de 751 camarões. Obteve o menor comprimento x = 38,42mm e o maior x = 96,77mm. Se pegarmos um camarão dessa amostra seu comprimento estará no intervalo 38,42mm £ x £ 96,77mm.
II. Espaço Amostral 
Espaço amostral é o conjunto de todos resultados possíveis do experimento aleatório. 
Indicaremos por E o espaço amostral e por n(E) o número de elementos deste espaço quando E for finito. 
a) E = {c,k}, onde c representa cara e k representa coroa, é o espaço amostral do experimento "lançar uma moeda" do exemplo a) é n(E) = 2.
Exemplos:
b) E = { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) } é o espaço amostral do experimento “lançar duas moedas” do exemplo b) é n(E) = 4.
III. Evento
Evento é qualquer subconjunto A do espaço amostral E. 
Os conjuntos E (todo o espaço amostral) e f = { } (conjunto vazio) serão denominados respectivamente de evento certo e evento impossível.
1) Considere o experimento: “lançar uma moeda e verificar a face de cima”. 
O espaço amostral será E = {c , k} (c = cara e k = coroa). 
Exemplos:
Então esse evento é representado pelo conjunto A = { c }.
Considere o evento A: ocorrer cara. 
III. Evento
2) Considere o experimento: “lançar um dado e verificar a face de cima”. 
O espaço amostral será E = {1,2,3,4,5,6}. 
Então esse evento é representado pelo conjunto
Considere o evento B: ocorrer face par. 
3) Considere o experimento “lançar 2 moedas simultaneamente” .
O espaço amostral será E = {(c,c) , (c,k) , (k,c) , (k,k)} e n(E) = 4.
Então esse evento é representado pelo conjunto 
Considere o evento A: sair exatamente uma cara. 
B = {2,4,6}.
A = {(c,k) , (k,c)}.
III. Evento
4) Considere o experimento “lançar 2 dados simultaneamente”. O espaço amostral será 
 E = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)}. 
n(E) = 36.
III. Evento
Considere o evento A: a soma dos pontos é 5.
 E = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)}. 
Então esse evento será representado pelo conjunto 
A = {(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)}.
Neste caso esse evento será representado pelo conjunto 
B = {(1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,3) , (4,2) , (5,1)}.
Considere o evento B: a soma dos pontos é par e menor que 8.
IV. Operações com Eventos
Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E.
a) Reunião: A reunião dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A ou a B, ou seja, a pelo menos um dos eventos.
IV. Operações com Eventos
Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E.
b) Intersecção: A intersecção dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A e a B, ou seja, que pertença simultaneamente aos dois eventos.
IV. Operações com Eventos
Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E.
c) Diferença: A diferença dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A e não pertençam a B, ou seja, que pertençam somente ao evento A.
IV. Operações com Eventos
Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E.
d) Complementar: O complementar do evento A é formado pelos elementos (pontos amostrais) que não pertençam ao evento A.
IV. Operações com Eventos
Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E.
Observação: Quando (conjunto vazio), dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
IV. Operações com Eventos
5) Seja E = {1,2,3,4,5,6} o espaço amostral do experimento "tirar uma bola de uma urna, contendo 6 bolas numeradas de 1 a 6, e observar o número obtido". Considerando os eventos A = {1,2} e B = {1,3,5}, temos que:
IV. Operações com Eventos
Exercícios: Para cada experimento aleatório, descreva o espaço amostral e os eventos relacionados:
6) Experimento: lançamento de um dado e observação da face superior.
Espaço Amostral: 
Evento A: ocorrência de número ímpar.
Evento B: ocorrência de número par maior que 3.
IV. Operações com Eventos
Exercícios: Para cada experimento aleatório, descreva o espaço amostral e os eventos relacionados:
6) Experimento: lançamento de um dado e observação da face superior.
Espaço Amostral: 
Evento C: ocorrência de um número menor que 7.
Evento D: ocorrência de um número maior que 6.
Evento Certo
Evento Impossível
IV. Operações com Eventos
7) Experimento: lançamento de 3 moedas simultaneamente e observação das faces superiores.
Espaço Amostral: 
 Evento A: ocorrência de coroa no 1o lançamento.
 Evento B: ocorrência de exatamente uma coroa.
IV. Operações com Eventos
7) Experimento: lançamento de 3 moedas simultaneamente e observação das faces superiores.
 Evento C: ocorrência de no máximo duas caras.
Evento D: ocorrência de pelo menos duas coroas.
Espaço Amostral: 
IV. Operações com Eventos
8) Experimento: extração sucessivamente e sem reposição de duas bolas de uma caixa que contém 4 bolas numeradas de 1 a 4.
Espaço Amostral: 
Evento A: a soma dos números é igual a 5.
Evento B: o número da 1a bola é maior que o número da 2a bola.
Evento C: o produto dos números é ímpar.
I. Probabilidade 
Se um evento A pode ocorrer de n(A) maneiras diferentes em um número total de n(E) maneiras possíveis do espaço amostral E, igualmente prováveis, então a probabilidade do evento A é dada pelo quociente de n(A) por n(E). 
I. Probabilidade 
Propriedades:
c) 
a) 
Quando n(A) = n(E) temos P(A) = 1 a probabilidade é certa.
b) 
Quando n(A) = { } = f (vazio) a probabilidade é impossível.
d) 
II. Cálculo de Probabilidades
Seja um espaço amostral E finito e A um evento de E. A probabilidade de A ocorrer é dada por:
II. Cálculo de Probabilidades
9) Vamos considerar um pote com 8 balas de baunilha e 2 de café. Retiraram-se uma bala ao acaso qual a probabilidade de:
a) A bala ser de baunilha?
b) A bala ser de café?
b) Retirando uma bala a probabilidade
de ela ser de café será: 
a) Retirando uma bala a probabilidade de ela ser de baunilha será:
Neste caso o espaço amostral é n(E) = 10, para o evento sair bala de baunilha temos n(B) = 8 e para o evento sair bala de café n(C) = 2;
II. Cálculo de Probabilidades
10) Consideremos o experimento aleatório: "lançar um dado e observar o número de pontos da face voltada para cima", cujo espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}. Qual a probabilidade da face ser par?
Espaço Amostral: 
Ser par: 
II. Cálculo de Probabilidades
11) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de obtermos o evento:
a) ocorrer face com número maior que 4.
b) ocorrer face com número primo.
c) ocorrer face com número divisível por 3.
Espaço Amostral: 
a) 
b) 
c) 
II. Cálculo de Probabilidades
12) Lançando-se duas moedas qual a probabilidade de se obter o evento:
a) duas caras?
b) uma cara e uma coroa?
Espaço Amostral: 
a) 
b) 
II. Cálculo de Probabilidades
13) No lançamento de dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos os eventos:
a) Ocorrer faces com números iguais.
b) Ocorrer 7 na soma dos números das faces.
c) Ocorrer 8 na soma dos números das faces.
Espaço Amostral: 
a) 
E = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)}. 
II. Cálculo de Probabilidades
b) 
c) 
13) No lançamento de dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos os eventos:
a) Ocorrer faces com números iguais.
b) Ocorrer 7 na soma dos números das faces.
c) Ocorrer 8 na soma dos números das faces.
E = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)}. 
II. Cálculo de Probabilidades
14) Numa sexta a noite, após as aulas, um grupo de alunos de engenharia da Unisanta se reúnem para tomar cerveja. Desses 6 são alunos da Civil, 5 da Mecânica e 4 da Química. Um deles é “sorteado” para pagar a conta. Determine a probabilidade dele:
a) ser aluno da Civil;
b) não seja aluno da Civil;
c) seja aluno da Civil ou Química.
a) 
15 alunos no total: n(E) = 15.
Temos 6 alunos de Civil : n(C) = 6.
II. Cálculo de Probabilidades
b) 
Temos 9 alunos que não fazem Civil: 
Obs.: . Coincidência?
14) Numa sexta a noite, após as aulas, um grupo de alunos de engenharia da Unisanta se reúnem para tomar cerveja. Desses 6 são alunos da Civil, 5 da Mecânica e 4 da Química. Um deles é “sorteado” para pagar a conta. Determine a probabilidade dele:
a) ser aluno da Civil;
b) não seja aluno da Civil;
c) seja aluno da Civil ou Química.
II. Cálculo de Probabilidades
c) 
Temos 10 alunos da Civil ou Química: 
Obs.: poderíamos fazer:
14) Numa sexta a noite, após as aulas, um grupo de alunos de engenharia da Unisanta se reúnem para tomar cerveja. Desses 6 são alunos da Civil, 5 da Mecânica e 4 da Química. Um deles é “sorteado” para pagar a conta. Determine a probabilidade dele:
a) ser aluno da Civil;
b) não seja aluno da Civil;
c) seja aluno da Civil ou Química.
II. Cálculo de Probabilidades
15) Seja um baralho de 40 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus, cada um deles com 10 cartas: ás, dois, três, ....., sete, valete, dama e rei. Uma carta é extraída desse baralho de 40 cartas. 
Encontre a probabilidade de ela ser 
n(E) = 40
a) um rei 
b) um 2 de paus ou um 6 de copas
II. Cálculo de Probabilidades
c) uma carta de paus 
d) qualquer naipe exceto ouros 
15) Seja um baralho de 40 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus, cada um deles com 10 cartas: ás, dois, três, ....., sete, valete, dama e rei. Uma carta é extraída desse baralho de 40 cartas. 
Encontre a probabilidade de ela ser 
n(E) = 40
II. Cálculo de Probabilidades
e) um 6 ou uma carta de espadas 
f) nem 5 nem paus
15) Seja um baralho de 40 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus, cada um deles com 10 cartas: ás, dois, três, ....., sete, valete, dama e rei. Uma carta é extraída desse baralho de 40 cartas. 
Encontre a probabilidade de ela ser 
n(E) = 40
II. Cálculo de Probabilidades
16) Numa experiência existem somente duas possibilidades para o resultado. Se a probabilidade de um resultado é 1/3, calcule a probabilidade do outro, sabendo que eles são complementares.
Seja: . São complementares: 
II. Cálculo de Probabilidades
Curiosidade: Qual a probabilidade de você acertar a sena na loteria com apenas um bilhete?
Primeiro devemos calcular qual o espaço amostral n(E), ou seja, quantas combinações, sem importar a ordem, existem de 6 dezenas em 60.
II. Cálculo de Probabilidades