Parte 3 (Aulas 6 e 7) Probabilidade

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Profa. Lidia Rodella 
UFPE-CAA 
 É a área de estudo que nos permite compreender e 
quantificar a incerteza sobre o futuro. 
 
 Utilizamos as regras da probabilidade para 
estabelecer uma ponte entre aquilo que sabemos e 
o que é desconhecido em relação ao futuro. 
 
 A probabilidade também desempenha um papel 
crítico na inferência estatística. Ela fornece um link 
entre a população e a amostra. Para tirarmos 
conclusões a respeito de uma parâmetro 
precisamos ter informações a respeito da sua 
distribuição de probabilidade. 
 
 Experimento: é qualquer processo que 
permite ao pesquisador fazer observações. 
◦ Experimentos determinísticos - é aquele que, 
repetido nas mesmas condições, conduz ao mesmo 
resultado. 
 Ex: a temperatura do ponto de ebulição da água. 
◦ Experimentos aleatórios – é aquele que quando 
realizado sob condições idênticas, não é possível 
prever, a priori, o resultado particular que irá 
ocorrer e sim, o conjunto dos possíveis resultados. 
 Ex: Lançar uma moeda, jogar um dado. 
 Experimento aleatório 
◦ É uma ação ou processo que leva a um dos vários 
resultados possíveis. Nós não conhecemos o 
resultado antes do experimento ocorrer. 
◦ Características: 
 (a) Poderá ser repetido indefinidamente sob 
condições essencialmente inalteradas; 
 (b) Muito embora não sejamos capazes de afirmar 
qual resultado particular ocorrerá, seremos capazes 
de descrever o conjunto de todos os possíveis 
resultados do experimento; 
 (c) Quando o experimento for executado 
repetidamente um grande número de vezes, uma 
regularidade surgirá. 
 
 Espaço amostral (S ou Ω) 
◦ É um conjunto de todos os resultados possíveis 
para o experimento. 
 Exemplos: 
◦ Experimento: Lançar uma moeda 
 S: {cara, coroa} 
◦ Experimento: Lançar um dado 
 S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
◦ Experimento: Método de pagamento de um cliente 
de um grande supermercado 
 S: {dinheiro, cartão de débito, cartão de crédito, 
cheque} 
◦ Experimento: Duração de uma lâmpada 
 S: {tǀ t ≥ 0} 
 
 Evento 
◦ É qualquer subconjunto do espaço amostral. 
◦ Exemplos: 
 Experimento: Lançar um dado 
 S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Evento (A): números ímpares - A: {1, 3, 5} 
 
 Probabilidade de um evento 
◦ É a soma das probabilidades de cada resultado 
do evento. 
 P(A) = P(1)+P(3)+P(5) 
 
 A probabilidade de um evento é um número que 
mede a possibilidade relativa de sua ocorrência. 
Propriedades: 
 As probabilidades são sempre entre 0 e 1. 
 
 
 A soma das probabilidades de todos os resultados do 
espaço amostral é igual a 1. 
Como atribuir esses números 
(probabilidades) aos elementos 
do espaço amostral? 
 Clássica 
 
◦ Conhecida a priori pela natureza do experimento. 
Atribuição de probabilidades antes que observemos de fato 
o evento ou façamos um experimento; 
 
 Empírica 
 
◦ Estimada a partir da frequência relativa observada do 
resultado; 
 
 Subjetiva 
 
◦ Baseada em opinião informada ou julgamento. É utilizada 
quando não existe um experimento aleatório repetível. 
 Espaço amostral S 
 
 
 
 A e B são dois eventos do espaço amostral S 
 
 
 
 Experimento: lançamento de um dado. 
S 
B A 
BA
BA
S 
1 
2 
6 
3 
4 
5 
A: Números pares 
B: Números > 4 
A B 
É o conjunto formado por elementos 
que pertencem aos dois eventos (A 
e B). 
{ 6 } 
A B 
S 
 BAP 6/1
Qual a probabilidade dos eventos 
ocorrerem simultaneamente? 
BA
BA
S 
1 
2 
6 
3 
4 
5 
A: Números pares 
B: Números > 4 
A B 
É o conjunto formado por elementos 
que pertencem a pelo menos um 
dos dois eventos (A ou B). 
{ 2,4,5,6 } 
A B 
S 
Qual a probabilidade de ocorrer pelo 
menos um dos dois eventos? 
 BAP
6
4
S 
1 
2 6 
3 4 
5 
A: Números < 3 
B: Números > 4 
A B 
Quando não possuírem elementos 
em comum. Intersecção é um 
conjunto vazio. 
A B 
S 
Nunca ocorrem simultaneamente. 
S 
1 
2 
6 
3 
4 
5 
A: Números > 3 
B: Números < 5 
A B 
Quando todos os elementos do 
espaço amostral pertencerem a A ou 
a B ou a ambos, isto é, se sua união 
for todo o espaço amostral S. 
A B 
S 
Pelo menos um tem que ocorrer. 
A
A
S 
1 
2 
6 
3 
4 
5 
A: Números ímpares 
A 
O conjunto de elementos que 
pertencem a S mas não pertencem a 
A. 
A 
S 
{ 2,4,6 } 
Azul Castanho Verde 
Preto 3 62 13 
Loiro 32 9 13 
Ruivo 11 33 24 
Olhos 
Cabelo 
78 
54 
68 
200 46 104 50 
Probabilidade marginal e 
Probabilidade condicional 
Azul Castanho Verde 
Preto 0,015 0,310 0,065 0,390 
Loiro 0,160 0,045 0,065 0,270 
Ruivo 0,055 0,165 0,120 0,340 
0,230 0,520 0,250 1 
Olhos 
Cabelo 
Pr (Ruivo ∩ Castanho) = 0,165 
Pr (Verde ∩ Loiro) = 0,065 
Pr (Preto ∩ Verde) = 0,065 
Qual é a probabilidade de selecionarmos alguém com cabelo ruivo e 
olhos castanhos? 
Intersecção 
Azul Castanho Verde 
Preto 0,015 0,310 0,065 0,390 
Loiro 0,160 0,045 0,065 0,270 
Ruivo 0,055 0,165 0,120 0,340 
0,230 0,520 0,250 1 
Olhos 
Cabelo 
Qual é a probabilidade de selecionarmos alguém com olhos verdes? 
Pr (Verde) = 0,25 
Pr (Ruivo) = 0,34 
Pr (Azul) = 0,23 
Probabilidades Marginais 
Só estamos interessados em uma característica. 
Azul Castanho Verde 
Preto 0,015 0,310 0,065 0,390 
Loiro 0,160 0,045 0,065 0,270 
Ruivo 0,055 0,165 0,120 0,340 
0,230 0,520 0,250 1 
Olhos 
Cabelo 
Qual é a probabilidade de selecionarmos alguém com cabelos pretos ou 
olhos castanhos? 
Pr (Preto U Castanho) = 0,015 + 0,31 + 0,065 + 0,045 + 0,165 = 0,6 
OU 
Pr (Preto U Castanho) = 0,039 + 0,52 – 0,31 = 0,6 
Pr (Preto) + Pr (Castanho) – Pr (Preto ∩ Castanho) 
União 
Azul Castanho Verde 
Preto 0,015 0,310 0,065 0,390 
Loiro 0,160 0,045 0,065 0,270 
Ruivo 0,055 0,165 0,120 0,340 
0,230 0,520 0,250 1 
Olhos 
Cabelo 
Pr (Loiro U Verde) = 
Pr (Ruivo U Azul) = 0,34 + 0,23 – 0,055 = 0,515 
Pr (Loiro) + Pr (Verde) – Pr (Loiro ∩ Verde) 
= 0,27 + 0,25 – 0,065 = 0,455 
União 
Azul Castanho Verde 
Preto 0,015 0,310 0,065 0,390 
Loiro 0,160 0,045 0,065 0,270 
Ruivo 0,055 0,165 0,120 0,340 
0,230 0,520 0,250 1 
Olhos 
Cabelo 
Se sabemos que uma pessoa tem olhos azuis, qual é a probabilidade dela ter 
cabelos loiros? 
Pr (Loiro|Azul) = 
6957,0
23,0
16,0

Pr (Azul|Loiro) 
5926,0
27,0
16,0

)(
)(
AzulP
AzulLoiroP 

)(
)(
LoiroP
LoiroAzulP 

Azul Castanho Verde 
Preto 0,015 0,310 0,065 0,390 
Loiro 0,160 0,045 0,065 0,270 
Ruivo 0,055 0,165 0,120 0,340 
0,230 0,520 0,250 1 
Olhos 
Cabelo 
3173,0
52,0
165,0

)tan|Pr( nhoCasRuivo


)tanh(
)tanh(
oCasP
oCasRuivoP
)|tanhPr( RuivooCas
4853,0
34,0
165,0

)|Pr(Pr Verdeeto
26,0
25,0
065,0

Resumindo, temos as seguintes regras: 
(probabilidade da união) 
 
)(
)(
|
BP
BAP
BAP


  )()()( BAPBPAPBAP 
    )(|)(|)( APABPBPBAPBAP 
(probabilidade condicional) 
(probabilidade da intersecção) 
 A e B são independentes se, e somente se, 
 
P(A ǀ B) = P(A) ou 
 
Ex: Retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas. Sejam os eventos: 
◦ A = a carta é um ás; 
◦ B = a carta é de espadas. 
 A e B são independentes? 
 
 
)()()( BPAPBAP 
52
4
)( AP
52
13
)( BP
52
1
)( BAP
A e B são independentes. 
 Uma loja de departamento analisou suas vendas mais recentes e 
determinoua relação entre a maneira como os consumidores 
pagam pelas compras e a categoria de preço dessas compras. A 
tabela abaixo apresenta essa relação: 
 
 
 
 
 
a) Qual a proporção de compras pagas com cartão de débito? 
b) Qual a probabilidade de uma compra ser paga com cartão crédito e 
seu valor ser maior que R$ 100,00? 
c) Qual a proporção de compras menores que 20 ou pagas com cartão de 
crédito ? 
d) Sabendo-se que o valor da compra é maior que R$ 100,00, qual a 
probabilidade da compra ser paga com cartão de crédito? 
Dinheiro Cartão de crédito Cartão de 
débito 
< R$ 20 0,09 0,03 0,04 
R$20 – R$ 100 0,05 0,21 0,18 
> R$ 100 0,03 0,23 0,14 
 Kate está transportando uma mensagem para o 
rei através de uma floresta encantada. Ela sabe 
que 18% das árvores são ilusões. Por trás de 34% 
das árvores tem ogros esperando para devorá-la. 
Dessas árvores com ogros, somente 5% são 
ilusões. 
 
a) Se ela atirar uma flecha em uma árvore aleatoriamente, 
qual é a probabilidade dela ser uma árvore real? 
b) Qual é a probabilidade dela atirar aleatoriamente em 
uma árvore e ela ser uma ilusão e ter um ogro (mau dia 
para o ogro!)? 
c) Qual é a probabilidade dela atirar aleatoriamente em 
uma árvore e está ser uma ilusão, ou ter um ogro atrás, 
ou ambos? 
d) Se ela escolhe uma árvore e ela é real, qual a 
probabilidade de não existir um ogro atrás dela? 
 A empresa M&B tem 15800 empregados, classificados de 
acordo com a tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a probabilidade de selecionarmos: 
◦ Um empregado com 40 anos de idade ou menos; 
◦ Um empregado com 40 anos de idade ou menos, e mulher; 
◦ Um empregado com mais de 40 anos de idade e que seja 
homem; 
◦ Uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 
anos. 
Homens (M) Mulheres (F) 
< 25 (A) 2000 800 2800 
25 – 40 (B) 4500 2500 7000 
> 40 (C) 1800 4200 6000 
8300 7500 15800 
Sexo 
Idade 
 Uma pesquisa perguntou a um mesmo número de homens 
e mulheres suas opiniões sobre comportamento rude e 
desrespeitoso. 59% das pessoas se sentem incomodadas 
com tais comportamentos. As mulheres parecem se 
incomodar mais do que os homens – 75% das mulheres se 
incomodam contra 43% dos homens. 
 
a) Se selecionarmos uma pessoa e ela for homem, qual é a 
probabilidade dela não se incomodar com tal 
comportamento? 
b) Qual a proporção de pessoas que se incomodam? 
c) Qual a probabilidade de uma pessoa ser mulher e se 
incomodar? 
d) Qual é a probabilidade de uma pessoa ser homem ou 
não se incomodar, ou ambos? 
e) Qual é a probabilidade de uma pessoa que não se 
incomoda ser mulher? 
Há uma outra maneira de calcularmos a probabilidade 
condicional: 
 
)(
)|(
)(
)(
)|(
AP
BPBAP
AP
BAP
ABP iiii 


Teorema de Bayes: Dado um experimento em dois estágios e conhecidas as 
probabilidades a priori e as probabilidades condicionais, esse teorema 
permite calcular as probabilidades a posteriori, isto é, as probabilidades 
associadas aos resultados do primeiro estágio, dado o resultado do 
segundo estágio. 



k
i
ii
ii
i
BAPBP
BAPBP
ABP
1
)|()(
)|()(
)|(
Acontece que nem sempre P(A) é dada. 
Atenção: Bi eventos devem 
ser mutuamente 
excludentes e 
coletivamente exaustivos. 
 Ex1: Temos 5 urnas, cada uma com 6 bolas. Duas 
dessas urnas (tipo C1) têm 3 bolas brancas, duas 
outras (tipo C2) têm 2 bolas brancas, e a última 
urna (tipo C3) tem 6 bolas brancas. Escolhemos 
uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual 
a probabilidade de a urna escolhida ser do tipo C3, 
sabendo-se que a bola sorteada é branca? 
)|3( BCP
? 
)1(CP
)2(CP
)3(CP
)1|( CBP
)2|( CBP
)3|( CBP
2/5 
2/5 
1/5 
1/2 
1/3 
1 
)(
)3|()3(
)(
)3(
)|3(
BP
CBPCP
BP
BCP
BCP 


)3()2()1()( BCPBCPBCPBP 
)3|()3()2|()2()1|()1( CBPCPCBPCPCBPCP 
15
8
1
5
1
3
1
5
2
2
1
5
2

)(
)3|()3(
)|3(
BP
CBPCP
BCP 
8
3
15/8
15/1



 Ex2: Para selecionar seus funcionários, uma 
empresa oferece aos candidatos um curso de 
treinamento durante uma semana. No final do 
curso, eles são submetidos a uma prova e 25% são 
classificados como bons (B), 50% como médios (M) 
e os restantes 25% como fracos (F). Para facilitar a 
seleção, a empresa pretende substituir o 
treinamento por um teste. Para isso, gostaria de 
conhecer qual a probabilidade de um indivíduo 
aprovado no teste ser considerado fraco, caso 
fizesse o curso. Assim, neste ano, antes do início 
do curso, os candidatos foram submetidos ao teste 
e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado 
(R). No final do curso, obtiveram-se as seguintes 
probabilidades: P(AǀB)=0,8 P(AǀM)=0,5 P(AǀF)=0,2 
 Solução Ex2: P(FǀA)=? 
Dados: 
P(B)=0,25 P(M)=0,50 P(F)=0,25 
P(AǀB)=0,8 P(AǀM)=0,5 P(AǀF)=0,2 
 
 
 
 
 
P(A) = 0,50 
P(FǀA) = 0,10 
 
 Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C 
produzem 25%, 35% e 40% do total, 
respectivamente. Da produção de cada máquina 
5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos 
defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e 
verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade 
de que o parafuso venha da máquina A; da B; e da 
C?