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Funções de Segundo Grau

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Função polinomial do 2∘ grau
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 8 - p. 88
Uma função polinomial do 2∘ grau é da forma
fx = ax2 + bx + c
com a, b e c números reais e a ≠ 0.
O domínio da função do 2∘ grau é R e o conjunto imagem depende da equação que a
define.
Veja alguns exemplos de função do 2o grau: fx = x2, gx = 2x2 − x + 1, hx = −x2 − 3.
Observe que a equação que define a função (y = ax2 + bx + c) é do segundo grau.
Portanto, o gráfico de uma função do 2∘ grau é uma parábola.
Consideremos, por exemplo, a função do 2∘ grau mais simples: fx = x2 e, para
construir seu gráfico, vamos considerar alguns de seus pontos, atribuindo a x valores
quaisquer. Veja a tabela com as coordenadas de alguns pontos escolhidos:
x −2 −1 0 1 2 3
y = x2 4 1 0 1 4 9
Marcando esses pontos e, passando por eles,
uma curva suave,obtemos a parábola que é gráfico da função.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
12
x
y
Uma parábola sempre é uma curva desse tipo e tem algumas características
peculiares.
1) Uma característica que chama a atenção é a ”abertura” ou concavidade da curva
que, nesse caso, é para cima.
A parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c
 é côncava para cima se a > 0;
 é côncava para baixo se a < 0.
1
2) No ponto 0, 0 o gráfico da fx = x2 muda de comportamento: passa de decrescente
para crescente; a parábola faz ali uma ”volta”. Esse ponto é chamado vértice da
parábola.
Se o ponto xv, yv é o vértice da parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c,
então:
xv =
−b
2a e yv = fxv = a
−b
2a
2
+ b −b2a + c =
−b2 − 4. a. c
4. a
Se a parábola é côncava para cima, xv, yv é um ponto de mínimo e yv é o valor mínimo
da função. Além disso, o conjunto imagem da função é o intervalo yv;+∞. Se a
parábola é côncava para baixo, xv, yv é um ponto de máximo e yv é o valor máximo da
função. Além disso, o conjunto imagem da função é o intervalo −∞; yv .
3) O gráfico da função fx = x2 é simétrico em relação ao eixo dos y, cuja equação é
x = 0. Essa reta é dita eixo de simetria do gráfico da f. Observe que esse valor de x é
exatamente a abscissa do vértice.
A reta vertical que é o eixo de simetria do gráfico da função fx = ax2 + bx + c tem
equação x = xv, ou seja, x = −b2a .
4) O gráfico de fx = x2 intersepta o eixo Ox em um único ponto, o 0, 0, que, nesse
caso, também é vértice da parábola.
A intersecção da parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c com o eixo Ox
pode não existir ou ser em 1 ou 2 pontos, de acordo com o número de raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 (nenhuma, uma ou duas, respectivamente). Lembre que, para
obter pontos de intersecção com o eixo dos x, fazemos y = 0.
5) O gráfico de fx = x2 intersepta o eixo Oy em um único ponto, o 0, 0, que, nesse
caso, também é vértice da parábola.
A intersecção da parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c com o eixo Oy é
única e obtida fazendo-se x = 0 na equação que define a função. Dessa forma, a
intersecção do gráfico de fx = ax2 + bx + c com o eixo Oy é o ponto 0, c.
OBS.: Ao invés de usarmos diversos pontos para construir a parábola, assim como
fizemos para construir o gráfico de fx = x2, podemos utilizar as conclusões sobre
essas características mais gerais. Vejamos um exemplo:
 Vamos construir o gráfico de fx = −x2 − x + 2, analisando suas características.
1) a = −1 e, portanto, a parábola é côncava para baixo.
2) xv = −b2a =
−−1
2−1 = −
1
2  yv = f −
1
2 = − −
1
2
2
− − 12 + 2 =
9
4
Portanto, o vértice da parábola é o ponto − 12 ,
9
4 . Assim, f tem seu valor máximo
em x = − 12 e esse valor máximo é
9
4 . Além disso, a f é crescente para x < −
1
2 e
decrescente para x > − 12 .
3) O eixo de simetria é a reta vertical de equação x = − 12 .
4) Fazendo y = 0 obtemos a equação −x2 − x + 2 = 0 cujas raízes são x = −2 e x = 1.
Portanto, os pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x são −2, 0 e 1, 0.
5) Fazendo x = 0 obtemos y = 2. Portanto, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo
dos y é 0, 2.
2
Marcando os pontos determinados e considerando as demais informações obtidas
sobre a f, construímos seu gráfico. Veja que Df = R e Imf = −∞; 2.
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
x
y
Importante: Também é possível construir os gráficos de funções do 2o grau
relacionando-as a outras funções do 2o grau que diferem entre si apenas por operações
simples, fazendo ”deslocamentos” do gráfico conhecido no plano. Vejamos alguns
exemplos:
1. Vamos considerar a função fx = x2 e as funções gx = x2 + 2 e hx = x2 − 1.
Primeiro, verifique que gx = fx + 2 e hx = fx − 1, isto é, g e h são obtidas da f
”somando” 2 unidades ou ”tirando” 1 unidade, respectivamente.
Veja os gráficos da f (linha contínua) e da g (linha descontínua) em um mesmo sistema
coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
x
y
O gráfico da g é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”cima” 2 unidades.
Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da h (linha descontínua) em um mesmo
sistema coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O gráfico da h é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”baixo” 1 unidade.
★ De modo geral:
3
O gráfico de y = fx + k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para cima o gráfico da f.
O gráfico de y = fx − k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para baixo o gráfico da f.
2. Vamos considerar a função fx = x2 e as funções gx = x − 22 e hx = x + 22.
Primeiro, verifique que gx é obtida da fx ”tirando” 2 unidades de x; e hx é obtida da
fx ”somando” 2 unidades a x, isto é, gx = fx − 2 e hx = fx + 2.
Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da g (linha descontínua) em um mesmo
sistema coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O gráfico da g é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”a direita” 2 unidades.
Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da h (linha descontínua) em um mesmo
sistema coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O gráfico da h é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”a esquerda” 2 unidades.
★ De modo geral:
O gráfico de y = fx − k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para a direita o gráfico da f.
O gráfico de y = fx + k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para a esquerda o gráfico da f.
Exemplos: Analise as equações que definem cada função, comparando-as à função
fx = −x2 + 2x, cujo gráfico é apresentado a seguir e, então, sobre o mesmo sistema de
eixos, desenhe o gráfico de cada função. Dê também o domínio e a imagem das
funções.
4
-4 -2 2 4 6
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
gx = −x2 + 2x + 3
-4 -2 2 4 6
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
hx = −x + 12 + 2x + 1
Exercícios
1) Faça uma análise das funções dadas a seguir, identificando concavidade, vértice,
pontos de intersecção com os eixos coordenados e, com base nisso, construa os
gráficos. Dê o domínio e a imagem de cada função.
a) fx = 2x2 − 3x
b) gx = −x2 + 10x − 25
c) hx = x2 − 2x + 2
2) Do livro indicado na Bibliografia Básica (Demana, páginas 92 e 93) resolva os
exercícios de números: 13 a 19; 21; 23; 25; 27; 33; 34; 39 a 41; 43; 46 e 52.
3) Para cada função definida a seguir, faça o seguinte:
3.1) Analise as equações que definem cada função, comparando-as a funções mais
simples, cujos gráficos são facilmente construídos.
3.2) Identifique os deslocamentos que devem ser efetuados sobre o gráfico da
função mais simples para obter o gráfico da função dada.
3.3) Em um mesmo sistema de eixos, desenhe o gráfico da função mais simples e o
gráfico da função dada, de acordo com a descrição feita em (3.2).
a) fx = 3x2 + 0. 5
b) gx = 3x − 22
c) hx = 3x + 22 − 3
5