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Função polinomial do 2∘ grau DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 8 - p. 88 Uma função polinomial do 2∘ grau é da forma fx = ax2 + bx + c com a, b e c números reais e a ≠ 0. O domínio da função do 2∘ grau é R e o conjunto imagem depende da equação que a define. Veja alguns exemplos de função do 2o grau: fx = x2, gx = 2x2 − x + 1, hx = −x2 − 3. Observe que a equação que define a função (y = ax2 + bx + c) é do segundo grau. Portanto, o gráfico de uma função do 2∘ grau é uma parábola. Consideremos, por exemplo, a função do 2∘ grau mais simples: fx = x2 e, para construir seu gráfico, vamos considerar alguns de seus pontos, atribuindo a x valores quaisquer. Veja a tabela com as coordenadas de alguns pontos escolhidos: x −2 −1 0 1 2 3 y = x2 4 1 0 1 4 9 Marcando esses pontos e, passando por eles, uma curva suave,obtemos a parábola que é gráfico da função. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 x y Uma parábola sempre é uma curva desse tipo e tem algumas características peculiares. 1) Uma característica que chama a atenção é a ”abertura” ou concavidade da curva que, nesse caso, é para cima. A parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c é côncava para cima se a > 0; é côncava para baixo se a < 0. 1 2) No ponto 0, 0 o gráfico da fx = x2 muda de comportamento: passa de decrescente para crescente; a parábola faz ali uma ”volta”. Esse ponto é chamado vértice da parábola. Se o ponto xv, yv é o vértice da parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c, então: xv = −b 2a e yv = fxv = a −b 2a 2 + b −b2a + c = −b2 − 4. a. c 4. a Se a parábola é côncava para cima, xv, yv é um ponto de mínimo e yv é o valor mínimo da função. Além disso, o conjunto imagem da função é o intervalo yv;+∞. Se a parábola é côncava para baixo, xv, yv é um ponto de máximo e yv é o valor máximo da função. Além disso, o conjunto imagem da função é o intervalo −∞; yv . 3) O gráfico da função fx = x2 é simétrico em relação ao eixo dos y, cuja equação é x = 0. Essa reta é dita eixo de simetria do gráfico da f. Observe que esse valor de x é exatamente a abscissa do vértice. A reta vertical que é o eixo de simetria do gráfico da função fx = ax2 + bx + c tem equação x = xv, ou seja, x = −b2a . 4) O gráfico de fx = x2 intersepta o eixo Ox em um único ponto, o 0, 0, que, nesse caso, também é vértice da parábola. A intersecção da parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c com o eixo Ox pode não existir ou ser em 1 ou 2 pontos, de acordo com o número de raízes da equação ax2 + bx + c = 0 (nenhuma, uma ou duas, respectivamente). Lembre que, para obter pontos de intersecção com o eixo dos x, fazemos y = 0. 5) O gráfico de fx = x2 intersepta o eixo Oy em um único ponto, o 0, 0, que, nesse caso, também é vértice da parábola. A intersecção da parábola que é gráfico da função fx = ax2 + bx + c com o eixo Oy é única e obtida fazendo-se x = 0 na equação que define a função. Dessa forma, a intersecção do gráfico de fx = ax2 + bx + c com o eixo Oy é o ponto 0, c. OBS.: Ao invés de usarmos diversos pontos para construir a parábola, assim como fizemos para construir o gráfico de fx = x2, podemos utilizar as conclusões sobre essas características mais gerais. Vejamos um exemplo: Vamos construir o gráfico de fx = −x2 − x + 2, analisando suas características. 1) a = −1 e, portanto, a parábola é côncava para baixo. 2) xv = −b2a = −−1 2−1 = − 1 2 yv = f − 1 2 = − − 1 2 2 − − 12 + 2 = 9 4 Portanto, o vértice da parábola é o ponto − 12 , 9 4 . Assim, f tem seu valor máximo em x = − 12 e esse valor máximo é 9 4 . Além disso, a f é crescente para x < − 1 2 e decrescente para x > − 12 . 3) O eixo de simetria é a reta vertical de equação x = − 12 . 4) Fazendo y = 0 obtemos a equação −x2 − x + 2 = 0 cujas raízes são x = −2 e x = 1. Portanto, os pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x são −2, 0 e 1, 0. 5) Fazendo x = 0 obtemos y = 2. Portanto, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo dos y é 0, 2. 2 Marcando os pontos determinados e considerando as demais informações obtidas sobre a f, construímos seu gráfico. Veja que Df = R e Imf = −∞; 2. -3 -2 -1 1 2 3 -6 -4 -2 2 4 x y Importante: Também é possível construir os gráficos de funções do 2o grau relacionando-as a outras funções do 2o grau que diferem entre si apenas por operações simples, fazendo ”deslocamentos” do gráfico conhecido no plano. Vejamos alguns exemplos: 1. Vamos considerar a função fx = x2 e as funções gx = x2 + 2 e hx = x2 − 1. Primeiro, verifique que gx = fx + 2 e hx = fx − 1, isto é, g e h são obtidas da f ”somando” 2 unidades ou ”tirando” 1 unidade, respectivamente. Veja os gráficos da f (linha contínua) e da g (linha descontínua) em um mesmo sistema coordenado: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 x y O gráfico da g é igual ao gráfico da f, apenas deslocado para ”cima” 2 unidades. Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da h (linha descontínua) em um mesmo sistema coordenado: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 6 x y O gráfico da h é igual ao gráfico da f, apenas deslocado para ”baixo” 1 unidade. ★ De modo geral: 3 O gráfico de y = fx + k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k unidades para cima o gráfico da f. O gráfico de y = fx − k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k unidades para baixo o gráfico da f. 2. Vamos considerar a função fx = x2 e as funções gx = x − 22 e hx = x + 22. Primeiro, verifique que gx é obtida da fx ”tirando” 2 unidades de x; e hx é obtida da fx ”somando” 2 unidades a x, isto é, gx = fx − 2 e hx = fx + 2. Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da g (linha descontínua) em um mesmo sistema coordenado: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 6 x y O gráfico da g é igual ao gráfico da f, apenas deslocado para ”a direita” 2 unidades. Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da h (linha descontínua) em um mesmo sistema coordenado: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 6 x y O gráfico da h é igual ao gráfico da f, apenas deslocado para ”a esquerda” 2 unidades. ★ De modo geral: O gráfico de y = fx − k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k unidades para a direita o gráfico da f. O gráfico de y = fx + k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k unidades para a esquerda o gráfico da f. Exemplos: Analise as equações que definem cada função, comparando-as à função fx = −x2 + 2x, cujo gráfico é apresentado a seguir e, então, sobre o mesmo sistema de eixos, desenhe o gráfico de cada função. Dê também o domínio e a imagem das funções. 4 -4 -2 2 4 6 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y gx = −x2 + 2x + 3 -4 -2 2 4 6 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y hx = −x + 12 + 2x + 1 Exercícios 1) Faça uma análise das funções dadas a seguir, identificando concavidade, vértice, pontos de intersecção com os eixos coordenados e, com base nisso, construa os gráficos. Dê o domínio e a imagem de cada função. a) fx = 2x2 − 3x b) gx = −x2 + 10x − 25 c) hx = x2 − 2x + 2 2) Do livro indicado na Bibliografia Básica (Demana, páginas 92 e 93) resolva os exercícios de números: 13 a 19; 21; 23; 25; 27; 33; 34; 39 a 41; 43; 46 e 52. 3) Para cada função definida a seguir, faça o seguinte: 3.1) Analise as equações que definem cada função, comparando-as a funções mais simples, cujos gráficos são facilmente construídos. 3.2) Identifique os deslocamentos que devem ser efetuados sobre o gráfico da função mais simples para obter o gráfico da função dada. 3.3) Em um mesmo sistema de eixos, desenhe o gráfico da função mais simples e o gráfico da função dada, de acordo com a descrição feita em (3.2). a) fx = 3x2 + 0. 5 b) gx = 3x − 22 c) hx = 3x + 22 − 3 5
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