Algebra Linear Cap V

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V- Espaços Euclidianos
Prof.Hugo Pedro Boff
Espaços Euclidianos são espaços vetoriais de dimensão finita sobre os quais está
definido um produto interno.
5.1 Produtos internos no Vn
Vamos inicialmente estender a definição (dada na seção 1.4) do produto interno padrão
no V3 , para os espaços Vn de dimensão n finita, maior que 3.
Produto interno padrão
Definição 1: Se x e y ∈ Vn, o produto interno padrão (produto escalar) de x e y ,
notado , define-se por:
x  y  x1y1  x2y2 . . .xnyn.
É fácil verificar que  é uma aplicação de V2n no  que atende às seguintes
propriedades:
i x  x ≥ 0 e x  x  0 sse x  0;
ii x  y  y  x;
iii x  y  z  x  y  x  z;
iv x  y  x  y.
O produto interno  permite a introdução de uma métrica no Vn, isto é a
construção de um vetorial normado. Neste espaço, assim como para o 3, o comprimento
de um vetor é medido pela sua norma, notada (‖‖).
Definição 2: O comprimento ‖x‖ de um vetor x ∈ Vn é dado por ‖x‖  x  x 12 .
Definição 3: Dois vetores x,y ∈ Vn são ditos ortogonais entre si sse x  y  0.
O teorema seguinte estabelece a desigualdade Cauchy- Schwarz no Vn.
Teorema 5.1 (Cauchy-Schwarz)
Se x,y ∈ Vn então, |x  y| ≤ ‖x‖.‖y‖.
Prova:
O teorema é verdadeiro se x  0 ou y  0. Suponha x ≠ 0 ≠ y. Tome z  hx − ky, onde
h,k ∈ . Então z  z  h2x  x  k2y  y −2hkx  y ≥ 0. Tome h  ‖y‖ e k  ‖x‖. Logo,
z  z  ‖y‖2‖x‖2  ‖x‖2‖y‖2 − 2‖x‖.‖y‖x  y ≥ 0 ou: ‖x‖.‖y‖ ≥ x  y. Tomando
agora z  hx  ky e procedendo como anteriormente obtemos ‖x‖.‖y‖ ≥ −x  y e assim,
‖x‖.‖y‖ ≥ |x  y|. 
O teorema seguinte estabelece as propriedades da norma Euclidiana ‖x‖  x  x 12 .
Teorema 5.2 (propriedades da norma Euclidiana)
Para x,y ∈ Vn temos:
i ‖x‖ ≥ 0 e ‖x‖  0 ↔ x  0;
ii ‖kx‖  |k|.‖x‖ ∀k ∈ ;
iii ‖x  y‖ ≤ ‖x‖  ‖y‖ (Minkowski).
Prova:
Os resultados i e ii decorrem da definição da norma. A desigualdade de Minkowski
iii, já demonstrada no V3 (veja seção 1.4) é obtida aqui usando-se o teorema 5.1:
‖x  y‖2  x  x  y  y  2x  y ≤ ‖x‖2  ‖y‖2 
2|x  y| ≤ ‖x‖2  ‖y‖2  2‖x‖.‖y‖  ‖x‖  ‖y‖2.
Produtos internos abstratos
A noção de produto interno não se limita à definição do produto padrão. Toda aplicação
 do Vn2 no  que verifica as propriedades i − iv explicitadas com a definição 1, é um
produto interno. Os quatro exemplos abaixo são ilustrativos:
Exemplo 1: Sejam x,y ∈ V2 e x  y  x1y1  2x1y2  2x2y1  5x2y2. Pode-se
facilmente verificar que a aplicação  atende às condições ii − iv. Ela atende também à
i visto que x  x  x12  4x1x2  5x22  x1  2x22  x22 ≥ 0. Logo, é um produto
interno.
Exemplo 2: Seja C o espaço das funções reais contínuas para x ∈ 0,1. Se f,g ∈ C,
definimos: f  g  
0
1 fxgxdx.
As propriedades ii − iv são atendidas por  pois a integral  é um operador linear e
simétrico. A propriedade i é assegurada pela continuidade de f: 
0
1 f2xdx  0 ↔ f  0.
Exemplo 3: Seja Mmn o espaço vetorial de todas as matrizes de dimensão m,n com
coeficientes reais. Para A  aij e B  bij ∈ Vmn defina: A  B  ∑ j1n ∑ i1m aijbij.
Se escrevermos A 
a1′
a2′
. . .
am′
e B 
b1′
b2′
. . .
bm′
podemos identificar A  B com o
traço da matriz AB ′ : A  B  TrAB ′. As condições ii − iv são imediatamente
atendidas em virtude das propriedades do traço: TrA.B ′  TrB ′A,
TrA  B  TrA  TrB e TrA  TrA. A aplicação  também verifica i:
A  A  TrAA ′  ∑ i1n ai′ai  0 sse ai′  0 i  1,2, . . . ,n isto é, sse A  0.
Exemplo 4 : Seja definido sobre o V2n o produto x  y  y ′x, onde  é uma matriz
de ordem n definida positiva e simétrica (∀x ∈ Vn, x ≠ 0, x ′x  0, veja seção 8.3 e
  ′). É facil comprovar que  atende as propriedades i − iv e que, portanto, é bem
um produto interno. Note que este produto interno se reduz ao produto padrão se   In.
Exercício 5.1: Verifique se a aplicação x,y → x  y  max1inxiyi é (ou não) um
produto interno.
Frisemos que a definição 2 do comprimento de um vetor x ∈ Vn, ‖x‖  x  x 12 ,
assim que as desigualdades Cauchy-Schwarz e Minkowski permanecem válidas quando 
é um produto interno qualquer. Com efeito, na demonstração da desigualdade para o caso
do produto padrão utilizamos as propriedades i −iv, as quais qualquer produto interno
abstrato também deve atender. O mesmo pode ser dito para a norma ‖…‖, quando
construída através de um produto interno abstrato. Esta forçosamente exibirá as
propriedades i − iii da norma padrão arroladas no teorema 5.2.
Por exemplo, quando aplicado às desigualdades Cauchy- Schwarz e Minkowski, o
produto interno do exemplo 2 acima dá, respectivamente:

0
1 fxgxdx ≤ 
0
1 f2xdx 12 
0
1 g2xdx 12 e

0
1fx  gx2dx 12 ≤ 
0
1 f2xdx 12  
0
1 g2xdx 12 .
Análogamente, em um espaço vetorial munido de um produto interno qualquer, dois
vetores x,y são ditos ortogonais se x  y  0.
Definição 4 : Um espaço vetorial de dimensão finita Vn munido de um produto
interno  é dito espaço Euclidiano.
Formas bilineares
Definição 5: Uma expressão na forma ∑ i1m ∑ j1n xibijyj  x ′By é chamada forma
bilinear real nas m  n variáveis x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,yn reais. A matriz m,n B  bij
é chamada matriz da forma bilinear.
Casos Particulares:
1. Se m  n, a forma bilinear é dita simétrica se B é uma matriz simétrica;
2. Se m  n e x  x1,x2, . . . ,xn′  y1,y2, . . . ,yn′  y então x ′Bx é dita forma
quadrática.
Exemplo 5: A matriz associada à forma bilinear q  x1y1  2x1y3 − x2y1  x3y2  4x2y2
é a seguinte:
B 
1 0 2
−1 4 0
0 1 0
e q  x ′By ; onde x  x1,x2,x3′ e y  y1,y2,y3′.
Exemplo 6 : A forma quadrática q  x12 − 18x1x2  5x22 é simétrica. Com efeito, a
matriz associada é B  1 −9−9 5 a qual é simétrica (18x1x2  9x1x2  9x2x1).
Definição 6 : Uma forma quadrática qx  x ′Bx é dita positiva (negativa)
semi-definida se, ∀x não nulo, qx ≥ 0 (qx ≤ 0). Ela é dita positiva (negativa) definida
se qx  0 (qx  0).
Por exemplo, a forma quadrática do exemplo 6 não é definida nem positiva
(q1,1′  −12), nem negativa: q1,0′  1. Um estudo mais exaustivo das formas
quadráticas e suas propriedades será realizado no capítulo 8.
Definição 7: Uma familia de n vetores LI do Vn , x1,x2, . . . ,xn é dita positivamente
(negativamente) orientada se o determinante |x1,x2, . . . ,xn| é positivo (negativo). Veja o
exercício 5.2.9.
5.2 Áreas e volumes no Vn
A noção de determinante de uma matriz será usada nesta seção para medir áreas de
paralelogramos e volumes de poliedros no Vn. O produto interno empregado é o
produto Euclidiano.
Teorema 5.3 (área do paralelogramo)
Se x e y forem dois vetores (coluna) do V3, a área A do paralelogramo de lados
adjacentes x e y é dada por A   |M2′M2 | onde M2  x,y e M2′M2  x  x x  yy  x y  y .
Prova: Seja  o ângulo entre x,y. Se ‖x‖ é o comprimento da base do paralelogramo,
a altura será ‖y‖ sin. Assim, A2  ‖x‖2‖y‖2 sin2  ‖x‖2‖y‖21 − cos2 
‖x‖2‖y‖2 − x  y2 (pela lei do cosseno). Então, A2  x  x. y  y −
x  y2  mod|M2′M2 |. 
O
Y
X
θ
Y senθ
fig.5.1: Área do paralelogramo formado pelos
Corolário : Se x,y ∈ V2 então A  mod|M2 |.
Prova: Neste caso, M2 é uma matriz de ordem 2 e, então pela propriedade dos
determinantes (seção 4.1, propriedade 8) temos: |M2′M2 |  |M2 |2 ou A  mod|M2 |. 
Teorema 5.4 (volume do paralelepípedo)
Sejam x,y, z ∈ V3 três vetores-coluna LI. O volume V do paralelepípedo cujas
arestas que partem de um mesmo vértice são os vetores x,y e z é dado por: V  mod|M3 |
onde M3  x,y, z;
Prova: O volume V é igual à área A da base do paralelogramo formadopelos vetores x
e y (digamos) vezes a altura h. Pelo teorema anterior, vimos que A2  |M2′M2 | onde
M2  x,y. Por outro lado, se u é a projeção de z no complemento ortogonal do plano
formado por x e y, então h  ‖u‖. Seja então z  ax  by  u. Como x  u  y  u  0
determinamos a e b que resolvem x  z  ax  x  bx  y e y  z  ay  x  by  y com
u  z  u  u. Na forma matricial, temos x  z
y  z 
x  x x  y
y  x y  y
a
b
. Como x e
y são não colineares, pela regra de Cramér vem:
a  1
A2
x  z x  y
y  z y  y e b 
1
A2
x  x x  z
y  x y  z .
Então, V2  A2‖u‖2  A2z  u  A2z  z − ax − by  A2z  z − A2az  x − A2bz  y.
Após substituição de a e b:
V2  z  x x  y x  z
y  y y  z − z  y
x  x x  z
y  x y  z 
z  z x  x x  y
y  x y  y , que é o determinante de M3
′M3 
x  x x  y x  z
y  x y  y y  z
z  x z  y z  z
calculado pela expansão dos cofatores da sua última linha. Enfim, como M3 é de ordem 3,
|M3′M3 |  |M3 |2 de modo que V  mod|M3 |. 
h
O
Z
X
A
Y
fig.5.2: Volume do paralelepípedo formado
Exercício 5.2 (a) Ache a área do paralelogramo cujos vértices são os pontos P1(2,2,1);
P2(3,0,6); P3(4,1,5).
(b) Ache o volume do paralelepípedo cujas arestas adjacentes são os vetores:
x  1,1,0′; y  1,0,1′ e z  0,1,1′.
Solução: (a) Fixemos a origem em P1 e calculemos as arestas x  P1P2  1,−2,5 e
y  P1P3  2,−1,4. Então, M2  x,y e M2′M2  30 24
24 21
e
A  |M2′M2 |
1
2  630 − 242  3 6 .
(b) Temos M3  x,y, z 
1 1 0
1 0 1
0 1 1
e V  mod|M3 |  |−1 − 1|  2.
Definição 8: Qualquer conjunto de r vetores LI x1,x2, . . . ,xr do Vn r ≤ n formam
um poliedro r-dimensional, o qual consiste de todos os vetores da forma
a1x1  a2x2 . . .arxr onde 0 ≤ ai ≤ 1 i  1,2, . . . , r.
O teorema seguinte define o volume dos poliedros de dimensão superior.
Teorema 5.5 (volume do poliedro r-dimensional)
O volume do poliedro r-dimensional definido por r vetores-coluna LI, x1,x2, . . . ,xr do
Vn r ≤ n é Vr   |Mr′Mr | onde Mr  x1,x2, . . . ,xr.
Prova: Pelo teorema 5.4 a proposição é verdadeira para r  3. Supomo-la verdadeira
para r − 1 e mostraremos que é válida também para r. Seja Vr−1 o volume do poliedro
formado por x1,x2, . . . ,xr−1:
Vr−12 
x1  x1 x1  x2 . . . x1  xr−1
x2  x1 x2  x2 . . . x2  xr−1
. . . . . . . . . . . .
xr−1  x1 xr−1  x2 . . . xr−1  xr−1
.
Se u é a projeção de xr no complemento ortogonal do espaço gerado por x1,x2, . . . ,xr−1,
então, Vr  ‖u‖Vr−1. Se ∑ j1r−1 ajxj é a projeção de xr no hiperplano de x1,x2, . . . ,xr−1, então
podemos escrever: xr  ∑ j1r−1 ajxj  u. Como xj  u  0 j  1,2, . . . , r − 1 e xr  u  u  u ,
temos a resolver em a1,a2, . . . ,ar−1 o sistema de equações xi  xr  ∑ j1r−1xi  xjaj;
i  1,2, . . . , r − 1.
Note que M′M 
Mr−1′ Mr−1
x1  xr
. . .
xr−1  xr
xr  x1 . . . xr  xr−1 xr  xr
.Resolvendo-se o sistema
de r − 1 equações, pela regra de Cramér obtemos:
a1  1Vr−12
x1  xr x1  x2 . . . x1  xr−1
x2  xr x2  x2 . . . x2  xr−1
. . . . . . . . . . . .
xr−1  xr xr−1  x2 . . . xr−1  xr−1
 − cr1
Vr−12
ondecr1 é o cofator do elemento xr  x1 de M′M. E assim sucessivamente, aj  − 1Vr−12 crj
onde é o cofator crj de xr  xj na última linha de M′M. Como ‖u‖2  xr  u , temos então:
Vr−12 xr  u  Vr−12 xr  xr − ∑ j1r−1 ajxj  Vr−12 xr  xr ∑ j1r−1 crjxr  xj. Ora, Vr−12 é o
cofator do elemento xr  xr de M′M, de maneira que toda a expressão à direita da última
igualdade é o determinante de M′M calculado pela expansão dos cofatores de sua última
linha. Então, Vr2  Vr−12 ‖u‖2  |M′M|. 
Corolário: Se r  n no teorema 5.5, então Vr  mod|M|.
5.3 Complementos e projeções ortogonais no Vn
Consideremos um espaço Euclidiano Vn.
Definição 9: Um vetor x ∈ Vn é dito ortogonal à um subespaço S se x é ortogonal à
cada vetor de S. Dois subespaços S,T ⊂ Vn são ditos ortogonais entre si se cada vetor
de S é ortogonal a todos os vetores de T.
Definição 10: Se S é um subespaço vetorial do Vn, o conjunto S de todos os
vetores ortogonais à S é chamado complemento ortogonal de S no Vn: S  v ∈ Vn :
v  s  0;∀s ∈ S.
Teorema 5.6 (dimensão do complemento ortogonal)
Se S ⊂ Vn tem dimensão r r ≤ n, então S é um subespaço do Vn de dimensão
n − r. Além disso, S ∩ S  0; S  S  Vn e S S.
Prova: (i) A demonstração de que S é um subespaço vetorial é trivial e será deixada
aos cuidados do leitor. (ii) Para mostrar que dimS  n − r, tome r vetores-linha
b1,b2, . . . ,br de uma base de S, e construa a matriz B  b1′ ,b2′ , . . . ,br′ ′ de dimensão r,n.
Como x ∈ S temos Bx  0. Logo, S ⊂ NB onde NB é o espaço-nulo de B. Por outro lado
se v ∈ NB, então Bv  0, o que implica v ∈ S. Temos então S  NB. Se Bl designa o
espaço-linha de B, vimos no capítulo 3 que Bl  S e, pelo teorema 3.1, que
dimBl  dimNB  n  r  dimS.
(iii) Seja x ∈ S ∩ S. Então x  x  0  x  0 (pela propriedade (i) do produto
interno). Disto vem que S ∩ S  0, dimS  S  dimS  dimS  n e S  S  Vn.
(iv) S  v ∈ Vn : v  s  0 ∀s ∈ S  Vn − S  S. 
Corolário: Todo vetor x ∈ Vn tem uma única representação soma, na forma x  s  t
onde s ∈ S e t ∈ S.
Prova: Já foi dada (seção 2.4).
Definição 11 (projeções): Se Vn  S  T e se x ∈ Vn for escrito como x  s  t s ∈ S
e t ∈ T, então o vetor s é chamado projeção de x sobre o subespaço S na direção de T.
Se T  S então s e t são chamados projeções ortogonais de x sobre S e S
respectivamente.
S
S
x
s
t
9 0 o
O
fig.5.3:Projeção ortogonal do vetor X sobre
Exercício 5.3 : Seja S o subespaço do V3 gerado por y  2,−1,3. Ache as
projeções de x  1,1,3 sobre S e S.
Solução: Temos aqui S  v ∈ V3 : v  ky, k ∈ . Então x  ky  t onde t  y  0,
y  x  ky  y com k  yxyy  57 . Logo, s  ky  57 2,−1,3 é a projeção de x em S e
t  x − s  37 −1,4,2 é a projeção de x em S.
Exercício 5.4: Ache a projeção ortogonal de y  1,2,0,−2′ sobre o subespaço S do
V4 gerado por x1  2,2,0,−1′ e x2  1,2,−1,3′, e também sobre S.
Solução: Como x1 e x2 são LI, a imagem da projeção de x sobre S terá a representação
s  k1x1  k2x2. Seja X  x1,x2 e k  k1,k2′. Então, y  s  t  Xk  t.
Premultiplicando esta equação por X vem: X ′y  X ′Xk  X ′t  X ′Xk, dado que X ′t  0.
X ′X  x1.x1 x1.x2
x2.x1 x2.x2
 3 3 1
1 5
e X ′y  8−1 . Invertendo X
′X vem:
X ′X−1  3126
5 −1
−1 3 , de maneira que k  X
′X−1X ′y  1126
123
−33 . Assim,
s  Xk  1126 X
123
−33 
1
42 71,60,11,74 e t  x − s  142 −29,24,−11,−10.
Projetores ortogonais
O exercício precedente mostrou que se X é uma matriz de r vetores-coluna LI, o vetor
dos coeficientes da projeção k escreve-se k  X ′X−1X ′y, de maneira que a imagem da
projeção será s  Xk  XX ′X−1X ′y.
Notemos Px  XX ′X−1X ′, e Sx para o espaço gerado pelas colunas da matriz X com a
notação do capítulo 3, Sx  Xcl.
Definição 12: A matriz Px  XX ′X−1X ′ de ordem n é dita matriz da projeção dos
vetores de Vn sobre Sx na direção de Sx.
Propriedades do projetor Px
1. Idempotência: PxPx  Px;
Isto implica que se y ∈ Sx, então: Pxy  y. A imagem da projeção de um vetor do Sx
neste espaço é o próprio vetor;
2. Ortogonalidade: z ∈ Sx  Pxz  0;
Isto decorre de que sendo z ortogonal à Sx, então: X ′z  0.
3. pPx  r  TrPx.
Com efeito, pela propriedade do posto (propriedade (ii), seção 3.5) temos: postoPx 
postoXX ′X−1X ′  postoX ′X−1X ′X  postoIr  r. A segunda igualdade vem de que,
assim como o posto, o operador traço Tr é comutativo: TrAB  TrBA.
Note que a imagem da projeção de um vetor y ∈ Vn no Sx é uma transformação linear:
s  Pxy, de maneira que podemosdefinir um operador de projeção  com matriz Px (veja
capítulo 6). Para qualquer vetor y, podemos calcular sua projeção em Sx usando o mesmo
projetor Px. No caso acima, o projetor Px é também simétrico: Px  Px′ , muito embora esta
não seja uma condição necessária para um operador de projeção.
Por outro lado, como t  y − s  y − Pxy  I − Pxy, realizamos que Px  I − Px é
o projetor sobre o complemento ortogonal Sx na direção de Sx.
Enquanto projetor, Px  I − Px possui as mesmas propriedades (1)-(3) listadas acima
para o projetor sobre Sx. Além disso, pI − Px  n − r  TrI − Px.
Exercício 5.5: Ache as projeções de y  5,1,2′ sobre o plano  : x − 2y  3z  0 e
sobre a reta passando pela origem e perpendicular a este plano.
Solução: Vamos resolver o exercício calculando o projetor sobre a reta. O vetor de
suporte da reta passando pela origem e perpendicular ao plano é N  1,−2,3′. Então, o
projetor sobre  será:
PN  NN′N−1N′  114
1
−2
3
1 −2 3  114
1 −2 3
−2 4 −6
3 −6 9
.
Logo, t  PNy  914 1,−2,3′ é a imagem da projeção de y sobre .Por outro lado,
como y  s  t obtemos, s  y − t  114 61,32,1′ que é a imagem da projeção de y sobre o
plano .
Note que poderíamos ter obtido s por um caminho mais longo, isto é, primeiro
calculando o projetor sobre o plano . Este pode ser calculado tomando-se dois pontos
quaisquer de , por exemplo P−1,1,1 e Q2,1,0. Definindo-se X 
−1 2
1 1
1 0
para a
matriz dos vetores-coluna que formam uma base do plano, obtemos então o projetor em :
Px  XX ′X−1X ′  114
13 2 −3
2 10 6
−3 6 5
(Usamos X ′X−1  114
5 1
1 3
).
Obtemos assim s  Pxy  114 6,32,1′, isto é, o mesmo resultado obtido anteriormente.
Verifique também a identidade PN  PX  I3.
Exercício 5.6: Mostre que a fórmula da projeção de um vetor U sobre um outro V dada
na seção 1.4 pode ser escrita, de maneira equivalente, usando-se a matriz de projeção
sobre o espaço gerado por V.
A noção de projeção ganha um caráter mais genérico quando definida através dos
chamados operadores de projeção, como na teoria dos operadores lineares (veja capítulo 6
e seção 7.7). Um ponto que enfatizamos aqui é que a construção das matrizes de projeção
depende do produto interno definido sobre o vetorial. De um modo geral, a produtos
internos distintos correspondem projetores distintos.
Para ilustrar esta idéia, considere o espaço vetorial Vn e o produto interno definido no
exemplo 4 da seção 5.1: x  y  y ′x, onde  é uma matriz simétrica de ordem n e
definida positiva. Seja X uma matriz n,k e Xcl o subespaço gerado pelas suas colunas
(k  n). Podemos escrever Vn  Xcl ⊕ Xcl e, para v ∈ Vn, existe uma decomposição
única tal que v  s  t, onde s ∈ Xcl e t ∈ Xcl. Temos s  Xb , onde b  b1, . . . ,bk′ é
um vetor de constantes. Para definir um projetor ortogonal sobre Xcl com este produto
interno, considere o produto t  s  s′t  b′X ′t. Como este produto deve ser nulo para
cada s (dado t, deve-se ter X ′t  0. Logo, prémultiplicando v  s  t por X ′ temos,
X ′v  X ′s  X ′Xb. Assim, b  X ′X−1X ′v.
Definimos então o projetor ortogonal no Vn, para este produto interno, por:
P  XX ′X−1X ′
Exercício 5.7 Mostre que P é um projetor ortogonal sobre Xcl e que I − P é um
projetor sobre Xcl.
Estimadores de mínimos quadrados (MQ)
Estimadores de mínimos quadrados (MQ), muito comuns em Econometria, estão
baseados no fato de que a imagem s da projeção ortogonal de um vetor y ∈ n é um vetor
(digamos y) do subespaço Sx, cujo ponto coordenado está mais próximo do ponto
coordenado de y. Se x1,x2, . . . ,xr é uma base de Sx, y tem a representação ∑ i1r ixi, para
constantes 1,2, . . . ,r a serem determinadas. Naturalmente, como se quer minimizar
distância, estas constantes serão escolhidas de maneira a tornar mínimo o comprimento
‖y − ∑ i1r ixi‖, de acôrdo com o produto interno definido para a norma ‖‖.
Neste contexto, procura-se expressar a variável y (chamada variável dependente) em
função de um determinado número r de variáveis independentes x1,x2, . . . ,xr (ditos
regressores), e de um termo não observado  ortogonal ao plano dos regressores:
y  1x1  2x2 . . .rxr  .
Com base em n observações independentes sobre as r  1 variáveis, escreve-se a
equação na forma matricial: y  X   onde y e  são vetores-coluna n, 1,
X  x1,x2, . . . ,xr é a matriz n, r dos regressores e   1,2, . . . ,r′ o vetor dos
parâmetros. Notamos, como antes, xcl para o subespaço do n gerado pelas colunas da
matriz X. A projeção ortogonal sobre xcl, é efetivamente aquela que fixa o vetor y do xcl
que está mais próximo de y ∈ n.
No caso do produto interno padrão, como vimos acima, a projeção ortogonal é:
ŷ  Pxy. Naturalmente, este vetor resulta da escolha do vetor coordenada  que minimiza a
soma dos quadrados dos “erros” ‖‖2      ′  y − X ′y − X.
y
 y
^ Px y=
O
XβωXcl :
ε^
Vn
Fig.5.4: Projeção ortogonal do vetor Y no
Exercício 5.8: Usando as regras (1)-(3) da derivação em forma matricial (seção 4.5),
mostre que o estimador MQ de  é   X ′X−1X ′y, de maneira que ŷ  X.(O estimador 
é dito estimador de mínimos quadrados ordinários, MQO).
Exercício 5.9 : Mostre que o estimador de mínimos quadrados de  no modelo de
regressão y  X  , quando o produto interno definido sobre o Vn for o do exemplo 4
(seção 5.1) é
  X ′X−1X ′y . Note que aqui, ‖‖2      ′ . Dê, neste caso, a
imagem da projeção y sobre xcl.
Observe que o estimador MQO de  obtido no exercício anterior é um caso particular
dêste (  In. Quando −1 é a matriz var.-cov. do vetor  (tomado como vetor aleatório
do Vn,  é dito estimador de mínimos quadrados generalizados (MQG).
5.4 Bases ortonormais
Seja Vn um espaço Euclidiano de dimensão n.
Teorema 5.7 (independencia linear dos vetores ortogonais)
Qualquer conjunto de vetores não nulos mutuamente ortogonais de Vn é LI.
Prova: Seja x1,x2, . . . ,xr uma família de r vetores ortogonais e suponhamos, por
absurdo, que ∑ i1r ixi  0 para algum j ≠ 0. Então,
xj∑ i1r ixi  ∑ i1r ixjxi  jxjxj  0 o que implicará j  0, i.e. uma contradição.
Logo, a família é LI.
Note que, se S for um subespaço próprio de Vn dimS  n então, em virtude do
teorema 5.5, Vn contém um vetor não nulo ortogonal à S.
Exercício 5.10 : Dada uma base s1, s2, . . . , sr de um subespaço próprio Sr  n,
construa um vetor ortogonal à S.
Solução: Tome sr1 ∈ Vn um vetor não gerado por s1, s2, . . . , sr. Logo, s1, s2, . . . , sr, sr1
é LI. Construímos o vetor ortogonal à S pela combinação linear T  ∑ i1r1 aisi. Os
coeficientes a1,a2, . . . ,ar,ar1 são escolhidos resolvendo-se o sistema de r equações
sj  T  0 j  1,2, . . . , r nas r  1 incógnitas a1,a2, . . . ,ar,ar1 o qual, como sabemos,
tem solução. Por exemplo, tomando-se ar1  −1 temos a resolver:
s1  s1 s1  s2 . . . s1  sr
s2  s1 s2  s2 . . . s2  sr
. . . . . . . . . . . .
sr  s1 sr  s2 . . . sr  sr
a1
a2
. . .
ar

s1  sr1
s2  sr1
. . .
sr  sr1
Como os vetores s1, s2, . . . , sr são LI, os coeficientes ai não são todos nulos e, em
consequência, o vetor ortogonal à S não será nulo.
Definição 13: Uma base de Vn consistindo de vetores unitários mutuamente
ortogonais é chamada base ortonormal.
O teorema seguinte estabelece a existência de bases ortonormais nos espaços vetoriais
de dimensão finita.
Teorema 5.8 (existência de bases ortonormais)
Todo espaço Euclidiano não nulo tem uma base ortonormal.
Prova: Mostremos por indução. Seja S1 o espaço gerado por um vetor qualquer
x1  x11,x21, . . . ,xn1′ ∈ Vn. Como dimS1  1, sabemos que existe um vetor x2 ∈ S1 tal
que x1  x2  0 (o espaço solução desta equação tem dimensão n − 1, de modo que x2 pode
ser fácilmentedefinido: x2  −x21,x11, 0, . . . , 0′. Ora, x1 e x2 são LI, de maneira que
formam uma base para um espaço S2 de dimensão 2.
Sejam então n − 1 vetores LI mutuamente ortogonais x1,x2, . . . ,xn−1. Como o
subespaço gerado por estes vetores é próprio dimSn−1  n podemos encontrar em Vn um
nesimovetor xn ortogonal à Sn−1 (veja exercício 5.10). O conjunto x1,x2, . . . ,xn−1,xn será LI
(pelo teorema 5.7) e portanto, uma base ortogonal de Vn. Enfim, colocando ki  1‖xi‖ ,
temos que a família de vetores k1x1,k2x2, . . . ,knxn será uma base ortonormal de Vn. 
Ortogonalização (Gramm-Schmidt)
Dada uma base qualquer do Vn,y1,y2, . . . ,yn, podemos construir uma base
ortonormal x1,x2, . . . ,xn usando o seguinte procedimento recursivo (chamado de
Gramm-Schmidt):
x1  y1
x2  y2 − y2  x1x1  x1 x1
x3  y3 − y3  x2x2  x2 x2 −
y3  x1
x1  x1 x1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn  yn − yn  xn−1xn−1  xn−1 xn−1 −
yn  xn−2
xn−2  xn−2 xn−2. . .−
yn  x1
x1  x1 x1
Os vetores x1,x2, . . . ,xn constituem uma base ortogonal de Vn. A normalização xi‖xi‖
tornará os vetores de comprimento unitário gerando, portanto, uma base ortonormal.
Exemplo 7: Aplicando o procedimento de Gramm-Schmidt à base y1  1,2′,
y2  2,3′ do V2 obtemos a seguinte base ortogonal: x1  y1 e
x2  2,3′ −  85 1,2′   25 ,− 15 ′.
♣♣♣
Exercícios propostos
Seção 5.1 : Produtos internos no Vn
1. Usando o produto interno padrão prove que: a se x e y são dois vetores quaisquer
do Vn, |x  y|∥ x ∥.∥ y ∥ sse x e y forem LD; b se ∥ x  y ∥  ∥ x ∥  ∥ y ∥, então x e
y são LD;
2. Mostre que a recíproca do item (b) no exercício anterior é em geral
falsa;
3. Sejam x e y vetores do V3. Prove algébricamente que se x  y é ortogonal à x − y,
então ∥ x ∥  ∥ y ∥;
4. Verifique que os vetores 13 1,−2,−2  , 13 2,−1,2, 13 2,2,−1 formam uma base
ortonormal para V3 relativamente ao produto interno padrão;
5. Seja x  y o produto interno do exemplo 1: x  y  x1y1  2x1y2  2x2y1  5x2y2.
Mostre que os vetores 1,0 e 2,−1 formam uma base ortogonal para o V2
relativamente a este produto;
6. Usando o mesmo produto interno que no exercício anterior, prove que x1  − 25 , 35  é
um vetor unitário e ache um vetor x2 tal que x1, x2 seja uma base ortonormal para o V2.
7. Quais dos seguintes produtos definem produtos internos no V2? a
x  y  2x1y1  5x2y2; b x  y  x12 − 2x1y2 − 2x2y1  y22; c
x  y  x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1  4x2y2; d x  y  x1y1  5x1y2 5x2y1 − x2y2; e
x  y  x1y1  3x1y2  3x2y1 10x2y2. Justifique.
8. SejaM o espaço vetorial sobre  consistindo de todas as matrizes m  n com
elementos em , e seja A  aij,B  bij dois elementos quaisquer deM. Prove que
A  B  ∑ j∑ i aijbij define um produto interno no espaçoM;
9. SeM,A,B e A  B tem o mesmo significado que no exercício anterior, mostre que
AB ′ é uma matriz m,m e que A  B  TrAB ′.
formas bilineares
10. Escreva a matriz de cada uma das seguintes formas bilineares e verifique que cada
uma pode se escrever como um produto matricial x.Ay  x ′Ay . a
x1y1  x2y2  2x3y2 − 5x2y3; b 2x1y1  3x1y2  5x1y3 − 2x2y2  7x3y1  4x3y3; c
x1y1  x2y2  x3y3  x4y4; d x1y1 − 5x2y3  2x3y2.
11. Escreva a matriz simétrica de cada uma das seguintes formas quadráticas e verifique
que elas podem se escrever como produtos matriciais x ′Ax. a x12  5x22 − 7x32; b
2x1x2  6x1x3 − 4x2x3; c x12  2x22 − 5x32 − x1x2  4x2x3 − 3x3x1.
12. Se A 
2 1 5
1 3 −2
5 −2 4
, escreva explícitamente as formas quadrática x ′Ax e
bilinear x ′Ay, associadas à matriz A.
Seção 5.2 : Áreas e Volumes no Vn
1. Ache a área do paralelogramo cujos vértices são: a 0,0, 1,3, −2,1 e −1,4;
b 2,4, 4,5, 5,2 e 7,3; c −1,3, 1,5, 3,2 e 5,4; d
0,0,0, 1,−2,2, 3,4,2 e 4,2,4; e 2,2,1, 3,0,6, 4,1,5 e 1,1,2;
2. Ache os volumes dos paralelepípedos cujas arestas adjacentes são os vetores: a
1,1,2; 3,−1,0; 5,2,−1; b 1,1,0; 1,0,1;0,1,1;
3. Prove algébricamente e geométricamente que o paralelogramo com arestas x e y tem
a mesma área que o paralelogramo cujas arestas são x e z  y  kx para qualquer escalar k;
4. Prove algébricamente e geométricamente que o volume do paralelepípedo no V3
cujas arestas são x,y e z é igual ao volume do paralelepípedo cujas arestas são x,y,
z  hx  ky, quaisquer escalares h e k;
5. Ache o 3 −volume dos pralelepípedos tridimensionais no V4 definidos pelos
vetores: a 2,1,0,−1;3,−1,5,2; 0,4,−1,2; b 1,1,0,0;0,2,2,0;0,0,3,3;
6. Ache o 2 −volume (área) do paralelogramo no V4 cujas arestas são os vetores
1,3,−1,6 e −1,2,4,3;
7. Mostre que o paralelepípedo no V3 definido pelos vetores 2,2,1, 1,−2,2 e
−2,1,2 é um cubo. Ache o volume deste cubo;
8. Prove que se os vetores x1,x2, . . . ,xr são mutuamente ortogonais, o r-volume do
paralelepípedo definido por eles é igual ao produto dos seus comprimentos.
9. Prove que dois vetores x1 e x2 do V2 são positivamente orientados sse a rotação de x1
para x2 de um ângulo menor que 180o tiver sentido anti-horário.
Seção 5.3 : Complementos e projeções ortogonais no Vn
1. Ache uma base para o complemento ortogonal no V3 do subespaço gerado por:
a 1,7,−2; b 1,−8,3;
2. Ache uma base para o complemento ortogonal no V3 do subespaço gerado pelos
vetores: a 1,2,−1; 3,1,4; b 2,2,5; 1,−7,4;
3. Ache as projeções do vetor 3,4,1 sobre o espaço gerado por 1,1,1 e sobre o seu
complemento ortogonal;
4. Ache as projeções de 1,1,2 sobre o plano  : x − 2y  3z  0 e sobre a reta
perpendicular a este plano;
5. Construa o projetor P dos vetores do 3 sobre  da questão anterior. Idem para ;
6. Ache a projeção ortogonal do vetor 2,−1,2 sobre o espaço gerado pelo vetor
1,−1,3. Explicite também as matrizes de projeção sobre este espaço e sobre o seu
complemento ortogonal.
7. Ache as projeções ortogonais do vetor v  1,1,−1 sobre o plano  : x − y  2z  0
usando: a o produto interno padrão; b o produto interno do exemplo 4, seção 5.1:
x  y  y ′x, onde  
1 1 0
1 2 1
0 1 2
;
8. (a) Determine uma base natural para o espaço solução S das equações:
x  y − z  w  0; 3x  2y − 2z  4w  0;
(b) Ache a projeção ortogonal do vetor 111,1,−1,2 sobre S;
9. Dê os estimadores de mínimos quadrados (MQ) do vetor   1,2,3′ na
projeção do vetor 1,2,2′ no subvetorial gerado por 1,1,1; 1,2,3; 0,0,−1 a usando
o produto interno padrão; b usando o produto interno generalizado com matriz  do
exercício 7;
Seção 5.4 : Bases ortonormais
1. Dada a base 1,0,1;1,−1,0 e 0,1,2 do V3 construa à partir dela, pelo
processo de Gramm-Schmidt, uma base ortonormal relativamente ao produto interno
padrão;
2. Seja P o espaço vetorial sobre  consistindo de todos os polinômios em x de grau
≤ 2 com coeficientes reais. [f ∈ P → fx  a0  a1x  a2x2]. Defina o produto interno em
P por p  q  
0
1 pxqxdx. a Verifique que isto define um produto interno; b
Aplique o procedimento de Gramm-Schmidt à base 1,x,x2 de P para obter uma base
ortonormal relativamente a este produto interno; c Ache as coordenadas relativas à base
ortonormal encontrada em b de um vetor arbitrário (isto é, o polinômio) ax2  bx  c;
3. Seja P o espaço com produto interno do exercício anterior. Sejam P1  polinômios
de grau zero, com o polinômio nulo; P2  conjunto dos múltiplos escalares de x e P3 
polinômios a  bx; a,b ∈ . Prove que P1,P2,P3 são subvetoriais e ache as bases dos
subvetoriais P1, P2, P3 relativamente a este produto interno;
4. (continuação do exercício anterior) Ache as projeções ortogonais de 1 − 2x  3x2
sobre: a P1 e P1; b P2 e P2.ℶ✓ℷℵℸ
Respostas aos exercícios
Seção 5.1:
1/ Use a lei do cosseno, em (a) e (b);
2/ Coloque x  ky e verifique que a proposição inversa é falsa se k  0;
3/ Use a condição x  y. x − y  0;
6/ x2  15 11,−4;
7/a e e;
10/ (a)
1 0 0
0 1 −5
0 2 0
; (b)
2 3 5
0 −2 0
7 0 4
; (c) I4; (d)
1 0 0
0 0 −5
0 2 0
;
11/ (a)
1 0 0
0 5 0
0 0 −7
; (b)
0 1 3
1 0 −2
3 −2 0
; (c)
1 − 12 − 32
− 12 2 2
− 32 2 −5
;
12/ quadrática: 2x12  2x1x2  10x1x3  3x22 − 4x2x3  4x32;
bilinear: 2x1  x2  5x3y1  x1  3x2 − 2x3y2  5x1 − 2x2  4x3y3.
Seção 5.2:
1/ a 7; b 7; c 10; d 2 65 ; e 3 6 ;
2/ a 26; b 2;
3/ Use a propriedade 5 dos determinantes (sec.4.1) num caso e a igualdade dos
triângulos no outro;
5/ a 4359 ; b 12;
6/ 1049 ;
7/ volume  27;
8/ Use a expressão da área do paralelogramo.
Seção 5.3:
1/ a [-7, 1, 0] e [2, 0, 1] ; b [8, 1, 0] e [-3, 0, 1];
2/ a [-9, 7, 5] ; b [-43, 3, 16];
3/ a 83 1,1,1; 13 1,4,−5 (complemento ortogonal);
4/ a 114 9,24,13; 514 1,−2,3 (complemento ortogonal);
5/ P  114
13 2 −3
2 10 6
−3 6 5
; P  114
1 −2 3
−2 4 −6
3 −6 9
;
6/ 911 1,−1,3; P  111
1 −1 3
−1 1 −3
3 −3 9
;
7/ a 13 4,2,−1; b 15 7,3,−1;
8/ a base de S: 0,1,1,0; −2,1,0,1; projeção sobre S : −4,1,−1,2;
9/ a   2,−1,−2′; b   7,−9,−15′;
Seção 5.4:
1/ 1
2
1,0,1; 1
6
1,−2,−1; 1
3
−1,−1,1;
2/ b base ortonormal: 1; 3 2x − 1; 5 6x2 − 6x  1;
c coordenadas: a3  b2  c; ab12 ; a180 ;
3/ base de P1 : −2x  1; 3x2 − 1 dimP1  2;
base de P2 : 3x − 1; 2x2 − 1 dimP2  2;
base de P3 : 6x2 − 6x  1 dimP3  1;
4/ a sobre P1 : 1; sobre P1 : 3x2 − 2x;
b sobre P2 : 74 x; sobre P2 : 3x2 − 154 x  1.