Algebra Linear Cap. VI

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VI : Operadores Lineares
Prof. Hugo Pedro Boff
6.1 Definições e propriedades básicas
Sejam V eW dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F de escalares.
Definição 0: Uma transformação  : V → W é linear se e somente se
∀v1,v2 ∈ V,k ∈ F,
i v1  v2  v1  v2
ii kv1  kv1
A transformação  é também chamado operador linear.
Exemplos:
l. Qualquer isomorfismo de VF sobreWF é um operador linear;
2. Seja A qualquer matriz m,n com elementos em F. O operador  : VnF → VmF
: x → x  Ax é uma transformação linear;
3.  : VnF → V3F : x  x  x1,x2, 0 é um operador linear;
4. Seja V um espaço vetorial e S um subespaço de V. Então ∀v ∈ V, ∃ uma
decomposição única : v  s  s′ onde s ∈ S e s ′́ ∈ S. A transformação
 : V → S : v  v  s é dita projeção ortogonal de v sobre S.
Exercício 6.1 .Mostre que a projeção  é um operador linear .
Solução: Deve-se verificar: i u,v ∈ V,u  v  u  v . Sejam u ∈ V → ∃ t,
t ′ : u  t  t ′ t ∈ S, t ′ ∈ S v ∈ V →: v  s  s ′ s ∈ S, s ′ ∈ S. Vem
u  v  t  t ′  s  s ′  t  s  t ′  s′  t  s  u  v (note que t  s ∈ S pois
S é um subvetorial); ii v ∈ V,k ∈ F : kv  ks  kv →  é um operador linear.
Propriedades adicionais
Seja  : V → W um operador linear. Então:
1. Se 0 e 0′ forem os vetores nulos de V eW, então 0  0′;
2. Se S ⊂ V então S  v ∈ W : v ∈ S é um subespaço deW (imagem de S por
);
3. Se T ⊂ W então −1T  v ∈ V : v ∈ T é um subespaço de V.
4. Continuidade uniforme. Vamos supor que V eW sejam normados com a norma do
máximo: ‖x‖ maxi|xi| (pode-se também usar qualquer outra norma equivalente). Se
F1,F2, . . . ,Fn são uma base qualquer de V temos, para v, v ′ ∈ V,
‖v − v ′‖ ‖v − v ′‖ ‖∑ i Fixi − xi′‖ ‖∑ i Fixi − xi′‖≤ ∑ i‖Fixi − xi′‖≤ ∑ i‖Fi‖maxi|xi − xi′| k‖v − v ′‖, onde k  ∑ i‖Fi‖. Como k não
depende de v ou v ′,  é uniformemente contínua: se   0, tome  ≤ /k e então,
‖v − v ′‖  → ‖v − v ′‖ , para quaisquer v,v ′. Transformações que possuem esta
propriedade são chamadas Lipschitzianas. 
Sendo o vetorial V de dimensão finita, a constante k da demonstração anterior fica bem
definida. O mesmo não acontece se V tem dimensão infinita. Neste caso, uma
transformação linear  : V → W pode ser (paradoxalmente) descontínua. O exemplo
seguinte (extraído de L.Schwartz, Cours d ’Analyse, v.I, 1967) ilustra este fato.
Seja P o vetorial de todos os polinômios em x com coeficientes reais munido da norma
‖p‖ max0≤x≤1|px|. Considere a transformação linear p  p3 (verifique que ‖‖ é
uma norma e que  é linear). Tome enfim a sequência de polinômios pnx   x2 n. Então,
a sequência ‖pn‖  12 n converge para 0 enquanto que pn   32 n tende para . Logo, não é contínua. 
Definição 1: Se  : V → W é um operador linear e se 0′ é o vetor nulo deW, o
subespaço −10′  v ∈ V : v  0′ é denominado espaço nulo de  (ou nucleo de ),
notado N.
Teorema 6.1 (bijeção e núcleo)
Um operador linear sobrejetivo  : V → W é biunívoco (injetiv0) sse seu nucleo for
0.
Prova : i ← Suponha −10′  v ∈ V : v  0′  0. Temos que mostrar que
se dois vetores de V tem a mesma imagem por , então eles são iguais, e  será então
biunívoca. Seja v1  v2. Logo, v1 − v2  0′, o que implica v1 − v2  0 → v1  v2
( é biunívoca). ii →Suponha  biunívoca e tome v tal que v  0′. Pela propriedade
1, temos v  0 e, pela biunivocidade: v  0 logo, N  0. 
Definição 2: Se  : V → W for um operador linear de V sobreW e se, além disso,  for
sobrejetivo e biunívoco, existe uma transformação inversa −1 : W → V e  se diz
inversível. Um operador inversível (biunívoco) é claramente um isomorfismo.
Teorema 6.2 (linearidade da inversa)
Se  : V → W for um operador linear inversível, −1 : W → V é também linear. Além
disso, −1−1 é inversível e −1−1  
Prova: Sejam w1  v1; w2  v2 e k ∈ F. Temos, w1  w2  v1  v2 
v1  v2. Então, −1w1  w2  −1v1  v2  v1  v2  −1w1  −1w2 e
−1kw  −1kv  −1kv  kv  k−1w. Logo, −1 é linear. É fácil de ver que
se v  w e −1w  v, colocando gv  −1w vem: −1w−1  g−1w  v.
Logo, −1−1  . 
Teorema 6.3 (existência e unicidade dos operadores .lineares)
Se V eW são espaços vetoriais sobre F e E1,E2, . . . . ,En uma base qualquer de V e se
F1,F2, . . . . ,Fn for um conjunto arbitrário de n vetores (não necessariamente distintos) de
W, existe um operador linear único  : V → W : Ei  Fi i  1,2, . . . ,n.
Prova: Tome v ∈ V e v  ∑ i1n xiEi. Defina v  ∑ i1n xiFi. É fácil ver que, como
definido,  é um operador linear. Note que colocando xi  1 e xj  0 j ≠ i, temos
v  Ei e v  Fi → Ei  Fi É esta transformação única? Suponha que  ′ : V → W
também verifique  ′Ei  Fi ∀i. Então,  ′v   ′∑ i1n xiEi ∑ i1n xi ′Ei  ∑ i1n xiFi  v. Logo,  ′  . 
Vamos então definir: £V,W, o conjunto de todas as transformações lineares de V em
W. Os elementos de £ (transformações lineares) são notados ,,, etc.
6.2 Representações matriciais
Sejam E1,E2, . . . . ,En uma base de V e F1,F2, . . . . ,Fm uma base deW,
 ∈ £V,W. Dado que Ei ∈ W, temos:
E1  a11F1  a21F2 . . .am1Fm
E2  a12F1  a22F2 . . .am2Fm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En  a1nF1  a2nF2 . . .amnFm
Então, se v  ∑ i1n xiEi for um vetor qualquer do Vn, temos:v  ∑ i1n xiEi  ∑ i1n xi∑ j1m aijFj  ∑ j1m ∑ i1n xiaijFj. Defina yj  ∑ i1n xiaij.
Logo, v  ∑ j1m yjFj.
Definição 3: A matriz A  aij dos coeficientes é chamada matriz da transformação
linear  relativamente às bases E e F ( A é a transposta da matriz dos coeficientes acima).
Se Ei, x e Fj, y são escritos como vetores-coluna, e se definirmos as matrizes de ordem
n, E  E1, . . . ,En e de ordem m, F  F1, . . . ,Fm , a transformação linear descrita acima
admite a seguinte representação matricial:
v  Ex e E  FA
onde a notação E indica a matriz imagem E1, . . . ,En e A é de dimensão m,n.
Deste modo, v  Ex  FAx. Ora, v ∈ Vm; tem, portanto, uma representação na
base F : v  Fy . A identidade Fy  FAx leva então à: y  Ax, relação esta que faz
objeto do teorema seguinte.
Teorema 6.4 (transformação das coordenadas)
Sejam V eW espaços vetoriais sobre  com bases E1,E2, . . . . ,En e F1,F2, . . . . ,Fm,
respectivamente,  : V → W um operador linear. Seja v ∈ V e x vetor coordenada de v na
base E e y a coordenada de v na base F. Então y  Ax, onde A é a matriz de  relativa
às bases E e F.
Espaços de matrizes
Na seção 3.1 vimos que o conjunto das matrizes de dimensão m,n munido da
operação  (soma entre seus elementos) e da operação  (multiplicação escalar dos seus
elementos com os elementos do corpo dos escalares) forma um espaço vetorial.
Teorema 6.5 (isomorfismo de vetorial)
Sejam V eW espaços vetoriais sobre F, de dimensões n e m e tendo bases
E1,E2, . . . . ,En e F1,F2, . . . . ,Fm, respectivamente. Seja A a matriz de  ∈ £V,W relativa
à estas duas bases eM o espaço vetorial de todas as matrizes m,n sobre F. Então,
 : £V,W → M :     A é um isomorfismo de £ sobreM.
Prova: Devemos mostrar que  é biunívoca e linear.
(i) biunívoca : pelo teorema 6.3 anterior, ∃ um operador linear  para uma escolha
arbitrária das constantes aij nas equações Ei  ∑ j1m ajiFj; i  1,2, . . . ,n. Então toda
matriz m,n sobre F é matriz de uma transformação linear () e a transformação  é
sobrejetiva. Se A  A, pelas equações da representação matricial vem:
 − Ei  Ei − Ei  Fai − Fai  Fai − ai  0, dado que as iesimas colunas
ai e ai são idênticas, por hipótesei  1,2, . . . ,n. Então,  − v  0 ∀v ∈ V, o que
implica  −   0 e   , isto é, que  é biunívoca. Como £  M, a transformação
inversa −1 existe e   A ↔ −1A   ;
(ii)  é linear : se Ei  Fai e Ei  Fai temos
Fai    Ei  Ei  Ei  Fai  Fai  Fai  ai. Como as colunas de
F são LI, temos ai  ai  ai para todo i. Portanto,
A  A  A →       . Similarmente,
Faki  kEi  kEi  Fkai, para todo i. Logo, aki  kai. Então, Ak  kA →
k  k. Assim,  é um isomorfismo. 
Uma consequência importante deste teorema é que as dimensões de £ e deM são
idênticas. Com efeito, se dim£  dimMmn, então existe uma matriz M ∈ Mmn que não é
imagem de nenhum operador de £. Isto é impossível, porque  é um isomorfismo de
vetoriais, logo, sobrejetivo. Inversamente, se dim£̇  dimMmn, ou existem operadores 
sem matriz associada A, o que é impossível (teorema 6.3) ou então a um dado par de
operadores (, ) está associado uma única matriz A, o que também é impossível, dado que
 é biunívoca.
Corolário: Se V tem dimensão n eW tem dimensão m, então £V,W tem dimensão
mn.
Prova: Pelo teorema 6.5, £ tem a mesma dimensão queM (dado que  é uma
transformação linear biunívoca). Seja A ∈ M matriz de ordem m,n e Eij  eiej′ uma
matriz com entrada 1 em i, j e 0 nas outras posições ( ei e ej são a iesima e jesima colunas das
matrizes Im e In, respectivamente). Temos A ∑ i,j1m,n aijEij. Logo, Eij é um sistema
gerador LI deM. Como o número de vetores LI em Eij é mn, temos
dimM  mn  dim£. 
Teorema 6.6 (transformações compostas)
Sejam U, V,W três espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F e as transformações
 ∈ £U,V ,  ∈ £V,W,  : U → W (transformação produto ou composta). Se os 3
espaços têm dimensão finita e admitem as bases Ei, Fi, Gi respectivamente e se
A for a matriz de  (relativa às bases F e G) A a matriz de  (relativa às bases E e F ), e
A a matriz de  (relativa às bases E e G) então  é linear e A  AA.
Prova: (i)  : U → W é linear. Com efeito, v1  v2  v1  v2 
v1  v2  v1  v2; kv  kv  kv  kv; Logo,
 ∈ £U,W. (ii) vamos agora mostrar que A  AA. Seja u ∈ U e x o vetor
coordenada de u relativamente à base E, y o vetor coordenada de u relativamente à base
F e z o vetor coordenada de u  u relativamente à base G. Pelo teorema 6.4
temos y  Ax e z  Ay. Logo, z  AAx. Mas, z  Ax e, então Ax  AAx. Como
esta relação é válida para cada x (sendo u arbitrário), obtemos necessáriamente
A  AA. 
Caso Particular: V  W. Neste caso  ∈ £V,V e podemos expressar v e v em
termos da mesma base F1,F2, . . . ,Fn de V. Então, se Fi ∑ i1n aijFj, A  aij é a
matriz de  relativamente à base F. Deste modo continua válida a identidade z  Ay onde
y e z são os vetores coordenadas de v e v respectivamente, relativos à base F.
Aplicação : Seja xcl o espaço vetorial gerado pelas colunas da matriz Xn,k e
E1,E2, . . . ,En uma base de xcl. Tome um vetor x ∈ xcl e seja  o vetor das coordenadas de
x relativamente à base E1,E2, . . . ,En, com matriz E : x  E. Considere a transformação
linear  : xcl → n : x  x com matriz A  X. Se F1,F2, . . . ,Fn é uma base qualquer
do n e y   y1,y2, . . . ,yn′ o vetor coordenada de x na base F, então x  Fy
 E  E  FX, e temos a relação : y  X, ou yj  ∑ i1k iXji 
j  1,2, . . . ,n. Explicitamos assim o operador linear  implícito em formas lineares de
uso corrente em estatística e em econometria. Nestes casos, a matriz associada à  é a
matriz do desenho experimental X.
Isomorfismo de espaços com produto interno
Considere dois espaços vetoriais V eW munidos dos produtos internos 1 e 2,
respectivamente. Seja  : V →W uma transformação linear isomorfa.
Definição 4: Um isomorfismo de vetorial  : V →W é chamado isomorfismo de
vetorial com produto interno se  satisfizer: v1  v22  v1  v21 para todos
v1,v2 ∈ V.
Proposição: (isomorfismo de vetorial com produto interno)
Se V for munido de um produto interno 1 eW for munido do produto interno padrão
, então existe um isomorfismo de vetorial com produto interno entre V eW.
Prova: Pelo teorema 5.7 sabemos que V tem uma base ortonormal F1,F2, . . . ,Fn. Então
Fi  Fj1  1 se i  j e Fi  Fj1  0 se i ≠ j. Considere a transformação linear bijetiva
(biunívoca e sobrejetiva)  que a cada vetor v ∈ V associa seu vetor coordenada x na base
F : v  x1x2, . . .xn. Em toda evidência,  : V →W é um isomorfismo de vetorial.
Tome v1  x1F1  x2F2 . . .xnFn e v2  y1F1  y2F2 . . .ynFn. Então,
v1  v21  ∑ i xiFi ∑ i yiFi1  ∑ i,j xiyjFi  Fj1  ∑ i xiyi  v1  v2. 
Exemplo 0. Considere P o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e
o produto interno introduzido no exemplo 2 da seção 5.1: p  q1  0
1 pxqxdx para
p,q ∈ P. Podemos construir uma base ortonormal para P à partir da base 1, x, x2 usando o
procedimento de Gramm-Schmidt ( veja exercício 5.4.2(a)). Assim procedendo, obteremos
a base 1, 3 2x − 1, 5 6x2 − 6x  1. Vamos agora mostrar que a proposição acima se
aplica para o isomorfismo entre P e o V3 sendo 1 o produto interno definido sobre o
primeiro vetorial e o produto interno padrão  definido sobre o segundo. Com efeito,
sejam px  b1  b2 3 2x − 1  b3 5 6x2 − 6x  1 e
qx  c1  c2 3 2x − 1  c3 5 6x2 − 6x  1 dois elementos de P. Então, sendo a base
ortogonal é fácil verificar que p  q1  0
1b1  b2 3 2x − 1  b3 5 6x2 − 6x  1
. c1  c2 3 2x − 1  c3 5 6x2 − 6x  1dx
 
0
1b1c1  b2c232x − 12  b3c356x2 − 6x  12dx e, como os polinômios tem
comprimento unitário, p  q1  b1c1  b2c2  b3c3  p  q.
6.3 Automorfismos
O espaço vetorial considerado relevante para esta seção é o das transformações lineares
de um espaço vetorial V nele mesmo: £V,V.
Álgebras lineares
Vamos dotar £V,V de duas propriedades associativas e de duas propriedades
distributivas:
A1: Se k ∈ F, , ∈ £V,V, então: k  k  k;
A2: ∀,, ∈ £V,V,   ;
D1:       ;
D2:       ;
Note que estas quatro propriedades são naturalmente atendidas pelo fato de que a
imagem por  ∈ £ de um vetor v ∈ V , pertence à V e pelo fato de que os operadores de £
são lineares.
Definição 5: Álgebra (associativa) sobre um corpo F é um conjunto A de elementos
(operadores lineares, inclusive) tais que:
(i) A é um espaço vetorial sobre F ;
(ii) Está definida uma multiplicação () entre os elementos de A tal que se a,b ∈ A,→
a.b ∈ A, e valem, para os elementos de A, as quatro propriedades A1, A2, D1, D2.
Notas:
1. £V,V é uma álgebra sobre F (verifique). A lei multitplicativa definida sobre £ é a
do produto (composição) entre operadores:   ∘. A álgebra sobre £V,V é chamada
álgebra linear;
2.Mn  {conjunto de todas as matrizes de ordem n sobreF} é uma álgebra sobre F. A
lei multiplicativa instituída sobre este conjunto é a do produto usual das matrizes de mesma
ordem. A álgebra sobreMn é chamada álgebra matricial;
Definição 6(isomorfismo de álgebra): Se A e B forem duas álgebras sobre um mesmo
corpo F, a transformação  : A → B é um isomorfismo (de álgebra) se:
(i)  é um isomorfismo (de vetorial) de A sobre B;
(ii) se a,b ∈ A, então ab  ab.
Teorema 6.7 (isomorfia entre as álgebras de £ e deM)
Se V for um espaço vetorial de dimensão n sobre F, a álgebra £V,V é isomorfa àMn,
a álgebra de todas as matrizes de ordem n sobre F.
Prova : (i) Devemos primeiro mostrar que existe uma transformação  : £V,V → Mn
que é um isomorfismo de £ sobreMn. Como £ eMn são álgebras, definimos   A. É
fácil mostrar então que  é um isomorfismo de £ sobreMn (veja teorema6.5). Note que
dim£  dimMn  n  n  n2; (ii) Devemos mostrar que se , ∈ £ então
  . Ora, pelo teorema 6.6 temos:   A  AA  . 
Teorema 6.8 (inversibilidade e regularidade da matriz da transformação)
Seja  : V → V um operador linear qualquer e V um espaço vetorial de dimensão
finita. Seja A a matriz de  relativa à base fixa E1,E2, . . . ,En. Então  é inversível se e
somente se A for não singular. Neste caso, a matriz de −1 relativa à base E é A−1.
Prova: (i) suponha  inversível. Então existe −1 tal que
−1  1 → I  A−1  AA−1 → A−1  A−1, isto é, A é não singular;
(ii) suponha agora A não singular. Precisamos mostrar que a regularidade de A
implica que  seja inversível. Considere A como a matriz de  relativa à base natural
E  I. Então, ∀v ∈ V, v  Ev  Ev  Av. Mas, A sendo não singular
v  Av  0 ↔ v  0. Logo, −10  0 e então  é biunívoca. Logo, pelo teorema
6.1,  é inversível. 
Notas:
l. De grande interesse em álgebra linear é o estudo das transformações no espaço
£V,V i.e. dos operadores lineares em V, particularmente, daqueles que realizam
isomorfias no vetorial;
2. O teorema 6.7 assegura a existência de um isomorfismo entre a álgebra dos
operadores lineares £V,V e a álgebra das matrizesMn, sempre que V for um espaço
vetorial de dimensão n finita;
3. Para n  , a equivalência entre a álgebra dos operadores e a das matrizes faz com
que, em princípio, se possa estudar os primeiros pelo cálculo matricial;
4. Duas objeções se antepõem à esta perspectiva: (a) A matriz A de um operador  não
depende apenas da base E escolhida sobre V, mas também do operador . O ponto de vista
matricial não fornece, portanto, um tratamento ”livre das coordenadas” como na teoria dos
operadores.
(b) Nos espaços de dimensão infinita, o cálculo matricial é inviabilizado.
Dimensão dos operadores lineares
Seja V um espaço vetorial a n-dimensões sobre o corpo F e  ∈ £V,V;
N  v ∈ V : v  0 espaço nulo de ; Im  v : v ∈ V espaço imagem de ;
Im ⊂ V, é um subespaço de V.
Definição 7: Se  ∈ £V,V, dimIm  posto de  e dimN  nulidade de .
Teorema 6.9 (posto e nulidade dos operadores lineares)
Se  ∈ £V,V com dimV  n, então
posto  nulidade  n ↔ dimIm  dimN  n.
Prova 1: Tome uma base qualquer E1,E2, . . . ,En de V. Seja  : V → Vn o
isomorfismo que transforma cada v ∈ V em seu vetor coordenada x  v relativa à base
E1,E2, . . . ,En. Por um resultado anterior temos:
v  Ex  Ex  EAx  Ax  Av.
Logo,  transforma o espaço nulo de  (por V) sobre o espaço nulo de A (por
Av);  também transforma Im (por v) sobre o subespaço Ax : x ∈ Vn o qual é
Acl (espaço-coluna de A). Pelo teorema 6.5 temos, dimN  dimNA e
dimIm  dimAcl . O teorema 3.2 assegura finalmente que, dimIm  dimN  n. 
Prova 2 (alternativa): Seja s  dimN. Tome uma base v1,v2, . . . ,vn de V de maneira
que v1,v2, . . . ,vs seja uma base de N. Visto que vi  0 ∀i ≤ s, segue-se que todo vetor
não nulo de Im será gerado pelos vetores vs1,vs2, . . . ,vn. Estes vetores são LI,
dado que se c1vs1 . . .cn−svn  0, então c1vs1,c2vs2, . . . ,cn−svn  0, logo
c1vs1,c2vs2, . . . ,cn−svn ∈ N, o que é uma contradição, pois vs1,vs2, . . . ,vn são vetores de
uma base de V. Assim c1vs1  c2vs2 . . .cn−svn  0 ↔ c1  c2 . . . cn−s  0
 vs1,vs2, . . . ,vn são LI. Os vetores vs1,vs2, . . . ,vn formam portanto
uma base de Im e, em consequência, dimIm  n − s → dimIm  dimN  n. 
Corolário: Se dimV  n   e  ∈ £V,V, então Im  V ↔ N  0. Quando isto
ocorre,  será biunívoca e, portanto, inversível.
Exemplo 1: Seja P o espaço vetorial sobre  de todos os polinômios px em x com
coeficientes em . Defina a transformação:  : P → P : px  px  p′x (derivada).
Como px  qx′  p′x  q′x e px′  p′x,  é uma transformação linear.
Temos também N  p ∈ P : p  p′  0  p ∈ P : px  k, k constante
∈  ≠ 0. Todavia, Im  px : px ∈ P  p′x : px ∈ P  P dado que a
derivada de um polinômio é um polinômio e que todo polinômio é a derivada de um
polinômio. Este exemplo mostra que o corolário acima não se aplica aos espaços vetoriais
de dimensão infinita (tais que P). Por outro lado, no espaço Pn dos polinômios de grau ≤ n
o corolário vale pois, neste caso, temos a sua negação: Im  Pn−1 ≠ Pn e N  px ∈
Pn : px  k ∈  ≠ 0. Temos ainda: dimIm  n  1 − dimN  n  1 − 1
 n.
Os exemplos 2, 3, 4, 5 apresentados à frente permitem explicitar a matriz associada ao
operador e a mudança de coordenadas efetuada em cada caso.
Exemplo 2: Seja o vetorial V2 e E1,E2 a base padrão. Se  ∈ £V2,V2 é definido
por E1  2E1; E2  3E2, sua matriz associada é A  2 0
0 3
x,y  2x, 3y, e
o ponto x,y é transformado por  no ponto x ′,y ′ onde x ′  2x; y ′  3y. Se x,y estiver
sobre o círculo x2  y2  1, então x ′,y ′ satisfaz a equação x′24  y
′2
9  1. Vemos que o
círculo x2  y2  1 é transformado por  na elípse x′24  y
′2
9  1.
Definição 8: Seja V um espaço vetorial a n-dimensões sobre F e  ∈ £V,V. Se
existem n vetores LI: E1,E2, . . . ,En em V e n escalares positivos a1,a2, . . . ,an tais que
Ei  aiEi, então  é dita uma aplicação. Neste caso,  é linear e a matriz de  é a matriz
diagonal A  Diaga1,a2, . . . ,an. Geometricamente, uma aplicação é uma “dilatação ”
(ou contração) do espaço em cada uma das direções Ei por um fator ai.
Exemplo 3 (Projeção ortogonal)
Seja V3 , e a transformação Ei  Eii  1,2 e E3  0. Então,
x1,x2,x3  x1,x2, 0 e  é uma projeção do V3 sobre o subespaço gerado por
E1,E2. A matriz associada é A 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Exemplo 4. Seja V2 e E1,E2 a base padrão. Seja x o vetor obtido pela rotação de
x no sentido anti-horário de um ângulo . Tome ‖x‖  r de maneira que o ângulo entre x e
E1 seja . Então, se x  x1,x2, x1  rcos, x2  r sin e se x  x1′ ,x2′  temos:
x1′  rcos    rcoscos − sin sin; x1′  x1 cos − x2 sin e x2′ 
r sin    rsincos  cos sin; x2′  x1 sin  x2 cos. Então, a matriz da
transformação  será: x ′  Ex  Ax onde A  cos − sin
sin cos . Note que |A |  1
e A−1  cos sin− sin cos , de modo que x1  x1
′ cos  x2′ sin e
x2  x2′ cos − x1′ sin. Veja figura 6.0 abaixo.
0
τ( )x
x
θ α
x1
x2
x1
x2
,
,
E1
E2
r
r
fig.6.0 Rotação  do vetor x no
Exemplo 5 . Seja V3, E1,E2,E3 a base padrão e  ∈ LV3,V3 definida por
E1  E1, E2  E2 e E3  −E3. Então  é uma transformação linear cuja matriz
relativa à base E é: A 
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
. Claramente, x1,x2,x3  x1,x2,−x3, de
modo que cada vetor é transformado por  pela reflexão da sua terceira coordenada no
plano (x1  x2.
O
E 3
v
τ (v) E 1
E 2
x
y
z
= [x , y , -z]
[x , y , z]
Fig.6.1: Reflexão da terceira
6.4 Mudança de base
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre F e  ∈ £V,V. Temos o seguinte
teorema para as matrizes de operadores relativas a mudanças de base.
Teorema 6.10 (matrizes associadas à mudanças de base)
Sejam E1,E2, . . . ,En e F1,F2, . . . ,Fn duas bases de V e seja  ∈ LV,V. Se AE for a
matriz de  relativa à base E e AF for a matriz de  relativa à base F, então:
AF  P−1AEP onde P é a matriz de transição da base E para a base F.
Prova: Sendo P matriz de transição da base E para a base F temos: F  EP. Se x é o
vetor das coordenadas de v na base E e y o vetor das coordenadas de v na base F então
x  Py.
Seja então v  Fy  Fy  FA
Fy
Ex  Ex  EAEx
Ora: EAEx  FAFy
→ AEx  E−1FAFy  PAFP−1x.Como esta relação é válida ∀x ( v é arbitrário) teremos:
AE  PAFP−1 → AF  P−1AEP . 
Exemplo 1: Tome F1  1,2′; F2  3,−1′ como uma base do V2 e seja E1, E2 os
vetores da base padrão. Como F1  E1  2E2 e F2  3E1 − E2 , a matriz de transição da
base E  I2 para a base F será P  1 3
2 −1 . A sua inversa é P
−1  17
1 3
2 −1 .
Seja  o operador linear definido por F1  2F1 e F2  3F2. A matriz de  relativa à
base F é: AF  2 0
0 3
. Então, a matriz de  relativa à base E será:
AE  17
20 −3
−2 15 .Com efeito, pela relação A
E  PAFP−1 obtemos:
AE  1 3
2 −1
2 0
0 3
1
7
1 3
2 −1
 17
2 9
4 −3
1 3
2 −1 
1
7
20 −3
−2 15 .
Exercício 6.2: Suponha que  : V2 → V2 transforma F1  2,−1′ em
G1  4,3′ e F2  1,3′ em G2  −1,−2′. Ache a matriz de  relativa às bases: (i)
E1,E2; (ii) F1,F2 e G1,G2.
Solução: Para (i) temos: F1  2E1 − E2  2E1 −E2  G1  4E1  3E2; e
F2  E1  3E2  E1 3E2  G2  −E1 − 2E2. Em forma matricial, para
E  E1,E2, E  E1,E2 as duas relações acima escrevem-se:
E 2 1−1 3  E
4 −1
3 −2 . Logo, A
E  4 −1
3 −2
2 1
−1 3
−1
 17
4 −1
3 −2
3 −1
1 2
ou AE  17
11 −6
7 −7 . (ii) Para a obtenção da matriz
de  na base F usamos a relação AF  P−1AEP, onde a matriz de transição da base E
para a base F  F1,F2 é aqui P  F  2 1−1 3 . Sua inversa já foi calculada, e
então, AF  17
3 −1
1 2
4 −1
3 −2 
1
7
9 −1
10 −5 . Note que A
F  F−1G.
Análogamente para AG, a matriz de transição é P  G  4 −1
3 −2 , de maneira que a
fórmula AG  P−1AEP dá: AG  2 1−1 3
−1
4 −1
3 −2  A
F.
Operadores de projeção ortogonal
SejaWm o vetorial sobre F munido do produto interno w1  w2  w2′ w1 ( é
positiva definida e simétrica de ordem m). A toda transformação linear  ∈ £Vn,Wm com
posto n ( n ≤ m ) e matriz A, podemos associar um operador de projeção  sobre im, na
direção de N. Este operador é linear:  ∈ £Wm,Wm e sua matriz será o projetor P
definido à partir de A : P  AA′ A−1A′  . Com efeito, a projeção de um vetor
w ∈ Wm sobre im é w  Ax  t onde t ∈ N. Então,
t  Ax  x ′A′ t  0∀x → A′ t  0. Logo, prémultiplicando w  Ax  t por A′  e,
em seguida, invertendo vem: x  A′ A−1Aw, de modo que a projeção fica definida
pela transformação linear:  : Wm → Wm com w  Ax  Pw.
6.5 Operadores ortogonais
Tomemos agora Vn, munido do produto interno padrão  e a base natural E. Se
v  Ex pode-se calcular ‖v‖  x  x 12 . Focalizaremos a atenção sobre as tranformações
lineares que preservam os comprimentos: ‖v‖  ‖v‖ ; ∀v ∈ Vn.
Teorema 6.11 (preservação dos produtos internos)
O operador linear  : V → V preserva os comprimentos sse  preservar os produtos
internos: v1  v2  v1  v2 ∀v1,v2 ∈ V.
Prova: A prova é trivial e será deixada ao leitor.
Uma consequência imediata do teorema 6.11 é o corolário seguinte:
Corolário: Se  preserva os comprimentos,  preserva a ortogonalidade.
Definição 9: Uma transformação linear  : V → V sobre um espaço Euclidiano V é
chamada transformação ortogonal sobre V se ela preserva os comprimentos.
Teorema 6.12 (ortogonalidade do operador e da matriz)
Seja V um espaço Euclidiano com uma base ortogonal E1,E2, . . . ,En qualquer. Uma
transformação linear  sobre V é ortogonal sse sua matriz A relativa à base E for
ortogonal.
Prova: Sejam v e w dois vetores quaisquer do Vn e x e y suas coordenadas vetoriais na
base E, v  Ex e w  Ey. Então v  w  Ex  Ey  x ′E ′Ey  x ′y  x  y e
v  w  Ax  Ay  x ′A′Ay.
(i) Suponha que  é ortogonal. Então, pelo teorema 6.11  preserva os produtos
internos. Logo, x.y  x ′y  x ′A′Ay  x.y. Sendo isto verdadeiro para todo
x,y devemos ter: A′A  I → A é ortogonal.
(ii) Por outro lado se A for ortogonal,
x.y  x ′Iy  x ′A′Ay  Ax.Ay  x.y x ′y  x ′A′Ay e assim  preserva os
produtos internos. Logo, pelo teorema 6.11, o operador  é ortogonal. 
Notas:
(i) Como a base ortonormal E é arbitrária, o teorema implica que o operador ortogonal 
tem uma matriz ortogonal relativa à toda base ortonormal;
(ii) A matriz de transição entre duas bases ortonormais também é ortogonal. Com efeito,
sendo a base F e E ortonormais e P a matriz de transição, temos: F  EP, e então,
F ′F  P ′E ′EP  I → I  P ′P. Verifica-se também que a matriz de  na base F é ortogonal
pela relação: AF  P−1AEP ;
(iii) A transformação ortogonal  é própria se |A |  1 e imprópria se |A |  −1.
Definição 10: Uma transformação ortogonal própria  : V → V chama-se rotação.
Mostra-se agora que qualquer transformação ortogonal própria no V3 é uma rotação
no sentido ordinário.
Subespaços unitários invariantes e rotações
Seja  : V3 → V3 uma transformação ortogonal própria e A uma matriz
relativa à base padrão. Visto que a base padrão é ortonormal, A é ortogonal (teorema 6.12)
e |A |  1. Então, |A − I||A′ |  |A − I|  |I − A′ |  −13|A′ − I|  −|A′ − I| 
−|A − I ′ |  −|A − I|. Logo |A − I|  − |A − I| → |A − I|  0. Assim, NA−I ≠ 0,
∃x ≠ 0 : A − Ix  0 ou Ax  x → x  Ax  x, o que implica que x é invariante
mediante .
Seja então F3  x‖x‖ o vetor unitário e I o subespaço gerado por F3 e I
 o
complemento ortogonal de I.
Matriz da rotação
Dado que  é ortogonal,  preserva a ortogonalidade. Logo, se v ∈ I, então v ∈ I.
Tomemos dois vetores F1,F2 como base ortonormal de I de maneira que F1,F2,F3 seja
uma base ortonormal de V3.
I e I são transformados em si próprios por . Com efeito, devemos ter:
F1  aF1  bF2 ; F2  cF1  dF2 e F3  F3 com Ax  x e F3  x‖x‖ . Logo, a
matriz de  relativa à base F será: AF 
a c 0
b d 0
0 0 1
. A matriz AF deve ser ortogonal,
pois  é ortogonal. A ortogonalidade requer a2  b2  c2  d2  1 ; ac  bd  0. A
rotação requer AF  1, a qual implica ad − bc  1. As seguintes definições verificam
estas equações: a  cos , b  sin, c  − sin e d  cos, onde  é o ângulo da
rotação realizada por  sobre o plano definido pelos vetores F1 e F2 0    .
O bloco diagonal principal de AF será então:
a c
b d
 cos − sin
sin cos para a rotação no plano I
 de um ângulo   0
(sentido anti-horário);
a c
b d
 cos sin− sin cos para rotação no plano I
 de um ângulo −  0
(sentido horário).
Seja então x ∈ V3, x  s  t, s ∈ I, t ∈ I. Logo, x  s  t  s  t. Nesta
última igualdade vemos que  faz girar todo o espaço V3 em torno da reta I que lhe
serve de eixo.
E1
E2
F1
F2
θ
E3
O
F3
X = τ(X) direção invariante
Plano da rotaçãoτ(F1)
Fig.6.2: Transformação ortogonal: direção
Exercício 6.3: Seja  : V3 → V3 a transformação linear x  Ax , onde
AE  17
6 2 3
2 3 −6
−3 6 2
. (i) Prove que  é uma rotação e ache o ângulo de rotação; (ii)
Encontre a matriz de transição P das coordenadas da base E para a base F dos eixos
rotacionados e verifique a identidade AE  PAFP ′.
Solução: Verifica-se primeiramente que A ′A  I e |A|  1. Logo  é ortogonal própria
(rotação). Para acharmos o eixo da rotação busquemos o vetor x invariante mediante . Seja
A − I  17
−1 2 3
2 −4 −6
−3 6 −5
e então A − Ix  0 →
−x1  2x2  −3x3
2x1 − 4x2  6x3
−3x1  6x2  5x3
, cujo espaço
solução é descrito pelas equações: x1 − 2x2  0 e x3  0. Logo, I  v ∈ V3 :
v  t2,1,0; t ∈ . Assim, F3  x‖x‖ 
2,1,0′
221202
 1
5
2,1,0′ é o vetor da base
ortonormal de I.
Para calcularmos o ângulo da rotação tomemos um vetor F1 normal à F3 : seja
F1  0,0,1′, por exemplo. Então, F1  AF1  17 −3,6,2′. Se  é o ângulo entreF1
e F1 vem: cos  F1.F1‖F1‖  ‖F1‖ 
2/7
11  27 . Logo,   Arcos 27 .
Como a rotação é própria com eixo sobre o vetor de suporte 1
5
2,1,0 na base
ortonormal F, a matriz de  será:
AF 
cos − sin 0
sin cos 0
0 0 1
 17
2 −3 5 0
3 5 2 0
0 0 7
.
Note que sin  1 −  27 2  4549  37 5 . Para se obter a matriz de transição P
basta encontrar o outro vetor unitário F2 de uma base ortogonal de I. É fácil verificar que
F2  15 1,−2,0′ é ortogonal à F1 e à F3. Logo,
P  F1,F2,F3  15
0 1 2
0 −2 1
5 0 0
. A verificação da igualdade AE  PAFP ′ é
deixada como exercício para o leitor.
Reflexões
Definição 11: Seja V um espaço vetorial Euclidiano a n-dimensões e seja E1,E2, . . . ,En
uma base ortonormal. Uma transformação linear  : V → V definida por Ej  −Ej para
algum j fixo e Ei  Ei ; ∀i ≠ j) é chamada reflexão.
Operando-se a reflexão da primeira coordenada por exemplo, tomamos j  1, e a matriz
relativa à base E será então: AE 
−1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . 1
a qual é ortogonal imprópria.
A reflexão é uma transformação ortogonal imprópria (veja figura 6.1).
Note que toda transformação ortogonal imprópria  : V → V é o produto de uma
rotação () e de uma reflexão ():   .
Com efeito, seja A matriz ortogonal imprópria. Defina A  AA′ . A matriz A é
ortogonal própria: |A |  |A ||A′ |  −1−1  1. Ora: A  AA. Logo,    e a
transformação ortogonal imprópria  (de matriz A) é o produto de uma rotação (de matriz
A) e de uma reflexão (de matriz A).
Exercício 6.4: Ache a matriz relativa à base padrão da reflexão  do V3 no plano I
de equação x1  2x2 − 2x3  0.
Solução: Tome um vetor unitário perpendicular ao plano: F1  13 1,2,−2; |F1 |  1.
Como a reflexão  do V3 é feita sobre I, temos F1  −F1; F1 ∈ I. Tomemos
agora 2 outros vetores unitários mutuamente ortogonais sobre o plano I : F2  13 −2,2,1
e F3  13 2,1,2. Naturalmente  deixa invariantes os vetores de I:
→ F2  F2 → F3  F3. Logo, a matriz de  na base F será: AF 
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Naturalmente, a matriz de transição da base padrão E para a base F é P tal que
F  EP  P.→ P  F1,F2,F3  13
1 −2 2
2 2 1
−2 1 2
. A matriz de transição da base F
para E é: P−1  P ′.
Assim, pelo teorema 6.10, a matriz de  relativa à base E será:
AE  PAFP ′  19
1 −2 2
2 2 1
−2 1 2
−1 −2 2
−2 2 1
2 1 2
 19
7 −4 4
−4 1 8
4 8 1
.
♣♣♣
Exercícios propostos
Seção 6.1 : Definições e propriedades básicas
1. Seja um espaço vetorial V a soma direta dos subespaços S1, . . . ,Sr. Para qualquer
v ∈ V, v  s1  s2 . . .sr, onde si ∈ S i. Para cada i (i  1,2, . . . , r) definimos
i : V → V : v → iv  si.
a Prove que i (chamada uma projeção de V sobre S i) é uma transformação linear de
V em V e que imi  S i;
b Prove que i2  i e ij  0 se i ≠ j; c Prove que 1  2 . . .r  1.
2. Seja V um espaço vetorial e sejam i : V → V (i  1,2, . . . , r) r transformações
lineares que satisfazem b e c do exercício 1. Seja Si  imi. Prove que
V S1 ⊕ S2 ⊕. . . ⊕Sr.
3. Seja A uma matriz m  n sobre F e seja  : Vn → Vm definida por x  Ax. Prove
que:
a  é sobrejetiva se e somente se postoA  m;
b  é biunívoca se e somente se postoA  n;
c  é inversível se e somente se m  n  postoA.
Nota: biunívoca é sinônimo de injetiva.
Seção 6.2 : Representações matriciais
1. Seja E1,E2,E3 a base do V3 e F1,F2 a base padrão do V2. Escreva a matriz
A de cada uma das tranformações lineares  : V3 → V2 relativamente às bases E e
F. Escreva também as equações relacionando as coordenadas E de um vetor v com as
coordenadas F de v.
a E1  F1; E2  F2; E3  0 ;
b E1  F2;E2  F1;E3  F1  F2;
c E1  1,2;E2  −5,1;E3  7,3;
d E1  E2  E3  0;
e E1  E2  E3  4,−3.
2. Com a mesma notação que no exercício 1 acima, escreva a matriz A de cada uma
das seguintes transformações lineares  : V2 → V3 relativamente às bases E e F.
a F1  E1F2  E3
; b F1  1,2,3F2  2,−1,4
; c F1  0F2  E1
; d F1  F2 
1,2,−6; e F1  F2  0.
3. Seja  : V3 → V2 definida como no exercício 1(b) e seja
 : V2 → V3 definida como no exercício 2(b) . Calcule E1,E2 e E3 e
escreva a matriz A de  : V3 → V3 relativamente à base E, isto é, AE,E.
Verifique que A  AA.
4. Repita o exercício 3 usando  e  como definidos em:
a exercício 1(c) e 2(b);
b exercício 1(e) e 2(c);
c exercício 1(d) e 2(b);
d exercício 1(a) e 2(c).
5. Sejam  e  definidos como no exercício 3. Calcule F1,F2 e escreva a
matriz A de  : V2 → V2 relativamente à base F. Verifique que A  AA;
6. Repita o exercício 5 usando  e  como definidos no exercício 4(a) e (b);
7. Seja V um espaço vetorial sobre F com bases E1,E2, . . . ,En e seja  : V → V. Seja
A a matriz de  relativa à base E. Prove que  é inversível se e somente se A for não
singular e, neste caso, A−1  A−1.
8. Seja  : VnF → VnF uma transformação linear do VnF e seja A sua matriz
relativa à base padrão E1,E2, . . . ,En. Mostre que os vetores colunas de A são
E1, . . . ,En.
9. Seja v um vetor qualquer do V3 e v sua projeção ortogonal sobre o plano de
equação x1 − x2  2x3  0.
a Mostre que  é uma transformação linear;
b Ache a matriz de  relativa à base padrão do V3;
c Ache uma base F1,F2,F3 do V3 tal que F1 e F2 estejam no plano
x1 − x2  2x3  0 e F3 seja perpendicular a este plano;
d Escreva a matriz de  relativa à base F.
10. Seja E1,E2 a base padrão do V2 e consideremos os operadores lineares sobre
V2 definidos por: i E1  E1 − E2E2  E1  E2
; ii E1  0E2  2E1  E2
; iii
E1  −2E1
E2  5E2
.
a Escreva as matrizes de ,, relativas à base E;
b Ache, diretamente da definição, as matrizes de , e  relativas à base F1  1,−1
e F2  1,1;
c Ache as matrizes de , e  relativas à base F usando o teorema 6.10 e confira com
suas respostas ao item (b).
Seção 6.3 : Automorfismos
1. Ache uma transformação linear do V2 em si próprio que transforma o círculo de
equação x2  y2  1 na elipse x216 
y2
9  1.
2. Ache uma transformação linear do V2 em si próprio que transforma o círculo de
equação x2  y2  1 na elipse 13x2  10xy  13y2  1.
3. Se E1,E2, . . . ,En e F1,F2, . . . ,Fn forem duas bases quaisquer de um espaço vetorial V
sobre F e se  ∈ £V,V, prove que detAF  detAE. Visto que detA depende somente
de  e não da base, ele será chamado determinante da transformação linear.
4. Seja  uma transformação linear qualquer do Vn em si próprio e sejam
x1,x2, . . . ,xn n vetores LI do Vn. Prove que o n-volume do paralelepípedo determinado
por x1,x2, . . . ,xn é igual ao n-volume do paralelepípedo determinado por
x1,x2, . . . ,xn multiplicado pelo |detA | onde A é a matriz de  relativa a qualquer base.
Comente o caso em que  é singular.
5. Seja  uma transformação linear do plano V2 em si próprio. Prove que qualquer
região limitada A do plano, que seja limitada por curvas contínuas, se transforma por  em
uma região A ′ cuja área é igual à área de A multiplicada pelo valor absoluto do
determinante de . (Sugestão: use o exercício anterior com n  2 para provar isto primeiro
para áreas retangulares. Exprima depois a área A como limite de uma soma de áreas
retangulares por meio de uma integral).
6. Use o exercício 5 anterior para achar a área limitada pela elipse x
2
a2
 y2
b2
 1.
(Sugestão: Aplique uma transformação linear que transforme o círculo x2  y2  1 na dada
elipse).
7. Seja uma transformação linear qualquer do V3 em si próprio e seja R qualquer
região do V3 limitada por superfícies integráveis. Prove (vide sugestão ao exercício 5)
que R se transforma por  em uma região R ′ cujo volume é igual ao volume de R
multiplicado pelo valor absoluto do determinante de .
8. Use o exercício anterior para achar o volume limitado pelo elipsóide x
2
a2
 y2
b2

z2
c2
 1.
9. Qual é a condição necessária e suficiente para que uma transformação linear
 : V3 → V3 preserve os volumes, isto é, que  transforme toda região R do espaço
em uma região tendo o mesmo volume R ′?
10. Prove que toda transformação linear do V2 transforma duas regiões quaisquer de
áreas iguais em regiões de áreas iguais.
Seção 6.4 : Mudança de base
1. Se  : V2 → V2 transforma E1  1,0 e E2  0,1 nos vetores F1  2,5 e
F2  −1,6, respectivamente, ache as matrizes de  e −1 relativas à base (E1,E2) e
também relativas à base (F1,F2).
2. Suponhamos que  : V2 → V2 transforma F1  2,−1 em G1  4,3 e
F2  1,3 em G2  −1,−2. Ache a matriz de  relativa: a à base F1,F2; b à base
G1,G2; c à base E1  1,0, E2  0,1.
3. Escreva as matrizes de transição para as seguintes mudanças nos vetores bases: a
Da base E:
1
0
,
0
1
para a base F:
2
1
,
3
2
; b Da base E:
2
−1 ,
1
3
para a base F:
3
5
,
−2
3
; c Da base natural E1,E2,E3 no
V3 para a base E2,E3,E1; d Da base padrão no V3 para a base
F : 2, −1, 0
′
; 1, 1, 1
′
; −3, 0, 4
′
; e Da base F em d para a base
padrão; f Da base F em d para a base G : 1, 1, 0
′
; 1, 0, 1
′
;
0, 1, 1
′
.
4. Tome os vetores unitários F1,F2 ao longo das retas x  2y  0 e x − 2y  0 como
base no V2. Ache:
a A matriz de transição de base padrão para a base F;
b As coordenadas dos pontos 1,0; 0,1; 2,5 relativas ao sistema de coordenadas
da base F;
c Uma equação do círculo x2  y2  r2 no sistema de coordenadas de base F.
5. Escreva as equações abaixo nas coordenadas x ′,y ′ definidas pela transformação linear
y  ax e y  −bx a,b  0 das coordenadas originais, usando as mesmas unidades de
medida a y  bx  k; b x2  y2  r2.
6. Ache as coordenadas do vetor x  2, 1, 3, 4
′
relativas aos vetores base
F1  1, 1, 0, 0
′
; F2  1, 0, 1, 1
′
; F3  2, 0, 0, 2
′
e
F4  0, 0, 2, 2
′
.
7. Ache uma equação da hipérbole x
2
a2
− y2
b2
 1 relativa a um sistema de coordenadas,
tendo suas assíntotas como eixos e a mesma unidade de comprimento que o sistema de
coordenadas originais.
8. Ache uma equação da curva 8x2 − 10xy − 3y2  12 relativa ao sistema de
coordenadas cujos vetores base são F1  17 1/2, −2
′
; F2  17 3/2, 1
′
.
9. Ache uma base ortonormal do V3 cujo primeiro vetor base é 13 1, 2, 2
′
e
escreva a matriz de transição da base padrão para esta nova base.
10. Verifique que as transformações de coordenadas da base padrão do V3 para
cada uma das seguintes bases são ortogonais, e escreva a matriz de transição em cada caso:
a F  F1,F2,F3 
2
3 − 23 13
2
3
1
3 − 23
1
3
2
3
2
3
; b G  G1,G2,G3 
2
7
6
7
3
7
3
7
2
7 − 67
6
7 − 37 27
;
c H  H1,H2,H3 
3
5
4
5 0
0 0 1
− 45 35 0
.
11. Ache a matriz relativa às bases F1   23 , 23 ,− 13 , F2   13 ,− 23 ,− 23  e
F3   23 ,− 13 , 23  do V3, de uma transformação linear  : V3 → V3 cuja matriz
relativa à base padrão é AE 
2 0 0
0 4 0
0 0 3
. (Sugestão: Note que a base F é ortonormal
relativa ao produto interno padrão e então a matriz de transição da base padrão para a base
F é ortogonal).
12. Se X  x1,x2,x3 e Y  y1,y2,y3 forem dois vetores LI do V3, o seu produto
vetorial é o vetor: X  Y  x2y3 − x3y2,x3y1 − x1y3,x1y2 − x2y1. Prove que X,Y e X  Y
são positivamente orientados.
Seção 6.5 : Transformações ortogonais
1. Sejam ,, operadores lineares no V2 com matrizes relativas à base padrão:
A  4 6−2 −3 ;A 
1
2 − 32
3
2
1
2
;A  7 3−10 −4 . a Mostre que se
F1  2,−1 e F2  3,−2, então F1  F1 e F2  0;
b Ache a matriz de  relativa à base F1,F2;
c Descreva o efeito geométrico de ;
d Mostre que  é uma rotação do plano em torno da origem. Qual é o ângulo da
rotação?
e Se F1  1,−2 e F2  3,−5, ache F1 e F2 escreva a matriz de  relativa à
base F1,F2; f Descreva o efeito geométrico de ;
2. Seja  a transformação que gira cada vetor do V2 no sentido anti-horário de um
ângulo cuja tangente é 43 . Seja  a transformação linear que multiplica a primeira
coordenada de cada vetor do V2 por 3. Ache as matrizes de  e de  relativas à base
padrão.
3. Seja  : V2 → V2 a transformação linear cuja matriz relativa à base padrão é
AE  12
−1 −5
−5 −1 . Ache a matriz de  relativa a uma nova base obtida fazendo-se a
rotação da base original de um ângulo de 45o, e deduza desta nova matriz o efeito
geométrico de  sobre o plano xy.
4. Mostre que a transformação linear do V3, cuja matriz relativa à base padrão é
A  13
2 2 1
−2 1 2
1 −2 2
é uma rotação. Ache o eixo de rotação e o ângulo de giro do
plano perpendicular a este eixo. Dê também a matriz de  na base F;
5. Prove que uma rotação num espaço Euclidiano de dimensão n deixa um vetor não
nulo invariante se n for ímpar.
6. Ache a matriz relativa à base F1   23 ,− 23 , 13 ′,F2   23 , 13 ,− 23 
′; e
F3   13 , 23 , 23 ′ de a uma rotação de 45o em torno do eixo dos x no sentido anti-horário
do V3; b uma reflexão do V3 no plano xy.
7. Ache a matriz relativa à base padrão dos seguintes operadores no V3:
a Uma reflexão no plano x2,x3;
b Uma reflexão no plano x1 − x2  0;
c Uma reflexão no plano 2x1  x2 − x3  0;
d Uma rotação no sentido anti-horário de 45o em torno do eixo dos x;
e Uma rotação no sentido anti-horário de um ângulo de 120o em torno da reta
x1  x2  x3.
8. Se A for uma matriz ortogonal imprópria, prove que |A  I|  0.
9. Se  for a reflexão no V3 descrita no exercício 7(b) e  for a reflexão no
exercício 7(c), ache a matriz de transformação , mostre que  é uma rotação, e ache o
eixo de tal rotação.
10. Prove que toda matriz ortogonal própria de 2a ordem tem a forma
cos − sin
sin cos e que toda matriz imprópria de 2
a ordem tem a forma
cos sin
sin −cos ;
11. Seja  uma reflexão em um plano 1 e  uma reflexão em um plano 2. Mostre que
a transformação  deixa a reta interseção de 1 e 2 invariante e representa então uma
rotação em torno desta reta.
12. a Ache uma equação da superfície x12  2x22  3x32 − 4x1x2 − 4x2x3  10 relativa as
sistema de coordenadas com os vetores bases, F1  13 2, 2, 1
′
;
F2  13 1, −2, 2
′
; F3  13 2, −1, −2
′
. b Mostre que a transformação da
base padrão para a base F é uma rotação de eixos.
Seção 6.6 : Subespaços unitários invariantes
1. Seja  um operador linear do V2 cuja matriz relativa à base padrão é
A  a b
c d
. a Prove que se existirem dois vetores linearmente independentes F1 e
F2 no V2 e dois escalares reais k1,k2 tais que F1  k1F1 e F2  k2F2 então
P−1AP  k1 0
0 k2
onde P é a matriz de transição da base padrão para a base F1,F2;
b Prove que  deixa algum vetor invariante (isto é, x  x) se e somente se
a − 1 b
c d − 1  0; c Prove que  transforma algum subespaço do V2 de dimensão
1 em si próprio se e somente se para algum número real k, temos:
a − k b
c d − k  0;
2. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja  : V → V uma transformação linear.
Um subespaço I de V diz-se “invariante mediante ” se s ∈ I ∀s ∈ I. Supondo
V  I ⊕ T onde dimI  r, dimT  n − r e I e T são ambos invariantes mediante . Mostre
que se pode tomar umabase F1,F2, . . . ,Fn de V tal que AF tenha a forma
A1 0
0 A2
,
onde A1 é uma matriz r, r e A2 uma matriz n − r,n − r.
ℶ✓ℷℵℸ
Respostas aos exercícios
Seção 6.1:
1/ b Use o fato que v  s1  s2 . . .sr e que si  0 . . .0  si  0 . . .0;
c 1  2 . . .rv  1v  2v . . .rv
 s1  s2 . . .sr  v  1v → 1  2 . . .r  1;
2/ Basta provar que S i∩S j  0 (use o resultado (b) da questão anterior);
Seção 6.2:
1/ a A  1 0 0
0 1 0
; x1  y1 ; x2  y2;
b A  0 1 1
1 0 1
; y1  x1  x2 ; y2  x1  x3;
c A  1 −5 7
2 1 3
; y1  x1 −5x2  7x3 ; y2  2x1  x2  3x3;
d A  0 ; y  0;
e A  4 4 4−3 −3 −3 ; y1  4x1 x2  x3 ; y2  −3x1  x2  x3;
2/ a A 
1 0
0 0
0 1
; y1  x1 ; y2  0; y3  x2;
b A 
1 2
2 −1
3 4
; y1  x1  2x2 ; y2  2x1 − x2; y3  3x1  4x2;
c A 
0 1
0 0
0 0
; y1  x2 ; y2  y3  0; d
A 
1 1
2 2
−6 −6
; e A 
0 0
0 0
0 0
;
3/ E1  2,−1,4 ; E2  1,2,3 ;E3  3,1,7;
A 
2 1 3
−1 2 1
4 3 7
;
4/ a A 
5 −3 13
0 −11 11
11 −11 33
; b A 
−3 −3 −3
0 0 0
0 0 0
;
c A  0 ; d A 
0 1 0
0 0 0
0 0 0
;
5/ A  5 3
4 6
;
6/ a A  12 35
13 15
; b A  0 4
0 −3 ;
7/ Use o fato que  é inversível sse  for biunívoca (bijetiva);
9/ a v  Av ; b A  16
5 1 −2
1 5 2
−2 2 2
; c
F1  1,1,0; F2  1,−1,−1; F3  1,−1,2 (respostas múltiplas);
d AF 
2 0 0
0 3 0
0 0 0
;
10/ a : AE  1 1−1 1 ; A
E  0 2
0 1
;
AE  −2 0
0 5
; b AF  1 1−1 1 ; A
F  −
1
2
1
2
− 32 32
;
AF 
3
2 − 72
− 72 32
; c Use A∗F  P−1A∗EP, onde P é a matriz de transição da base
E para a base F : P  1 1−1 1 ;
Seção 6.3:
1/ Transformação  com matriz A  4 0
0 3
;
2/ Transformação  com matriz A 
1
6
1
6
1
4 − 14
;
3/ Tome o determinante de AF  P−1AEP;
4/ Notando X  x1,x2, . . . ,xn matriz de ordem n e X  x1,x2, . . . ,xn,
vem X  AX. Use então o corolário ao teorema 5.5;
6/ Use a transformação  das coordenadas do círculo unitário com matriz
A  a 0
0 b
e o resultado do exercício anterior. Área da elipse: |ab|;
8/ Considere a matriz da transformação linear :A 
a 0 0
0 b 0
0 0 c
; volume do
elipsóide: |abc| 43 .
Seção 6.4:
1/ AE  AF  2 −1
5 6
; A−1
E  A−1F  117
6 1
−5 2 ;
2/ a AF  17
9 −1
10 −5 ; b A
G  AF; c AE 
11
7 − 67
1 −1
;
3/ a P  2 3
1 2
; b
4
7 − 97
13
7
4
7
; c
0 0 1
1 0 0
0 1 0
; d
2 1 −3
−1 1 0
0 1 4
; e 115
4 −7 3
4 8 3
−1 −2 3
; f 115
−3 7 −4
12 7 11
−3 2 1
;
4/ a P  F  1
5
2 2
−1 1 ; b coordenadas na base F:
5
4 1,1′; 52 −1,1′ ;
5 −2,3; c x2  y2  x ′2  4y ′2  85 r2;
5/ a x ′  kba 1  a2 ; b x ′2  y ′2  21−ab1a21b2 x
′y ′  r2;
6/ x  F1  0.F2  12 F3  32 F4;
7/ 4x ′y ′  a2  b2;
8/ x ′y ′  12;
9/ Aplique o procedimento Gramm-Schmidt ao conjunto de vetores formado pelo vetor
dado e por dois outros arbitrários (p.ex., E2 e E3. Respostas múltiplas;
10/ a P  F; b P  G; c P  H;
11/ AF  13
9 −2 −2
−2 10 0
−2 0 8
;
12/ |X, Y, X  Y| x1y2 − y1x22  x3y1 − y3x12  x2y3 − y2x32  0;
Seção 6.5:
1/ b AF  1 0
0 0
;
c Projeção dos vetores do plano Cartesiano (de base E sobre o primeiro vetor
coordenada (de base F;
d   arcos 12   3 ;
e F1  F1; F2  2F2; AF  1 0
0 2
; f  é invariante na direção
da coordenada 1 e dilata o plano na direção da coordenada 2;
2/ A  15
9 −12
4 3
; A  15
9 −4
12 3
;
3/ A  −3 0
0 2
: dilatação do plano na direção do eixo 2 e reflexão sobre o eixo
1;
4/ Eixo da rotação: t1,0,1 ; Ângulo:   arcos 13  ≃ /2.552 radianos;
A  13
1 −2 2 0
2 2 1 0
0 0 3
;
5/ Sendo  uma rotação, use o fato que |A − I| |I − A|;
6/ a AF  19
4  5
2
 4 − 7
2
 2  4
2

4 − 1
2
 4  5
2
 2 − 8
2

2 − 8
2
 2  4
2
 1  8
2

;
b AF  19
7 4 −4
4 1 8
−4 8 1
;
7/ a AE 
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
; b AE 
0 1 0
1 0 0
0 0 1
; c
AE  13
−1 −2 2
−2 2 1
2 1 2
; d AE  1
2
2 0 0
0 1 −1
0 1 1
; e
AE 
0 0 1
1 0 0
0 1 0
;
8/ Tome o determinante de ambos os lados de A  I  A  A ′A;
9/ A  13
−2 2 1
−1 −2 1
2 1 2
; eixo da rotação: 1,1,3;
11/ Tome uma base F de 1 e G de 2 e note que AF  AG. Defina P a matriz
ortogonal de transição dos vetores da base G para a base F. Mostre então que a matriz de
 é ortogonal própria à partir da identidade AF  AFAF;
12/ a − y12  5y22  2y32  10;
b F  F1,F2,F3 é ortogonal;
Seção 6.6:
1/ a Note que Fi  AFi  kiFi; i  1,2 → AF  F, onde F  F1,F2 e
  k1 0
0 k2
. O resultado segue pelo fato de que P  F; b
x  Ax  x ↔ A − Ix  0 com x ≠ 0 ↔ |A − I| 0; (c) Use o desenvolvimento
feito em b à partir da identidade Ax  kx.
2/ Solução: Tome uma base F1  F1,F2, . . . ,Fr e F2  Fr1,Fr2, . . . ,Fn para S e T
respectivamente. Seja A1 a matriz de  sobre S (de ordem r e A2 a matriz do operador
sobre T (de ordem n − r. Sejam k, u as coordenadas de s ∈ S e t ∈ T na base E . Como
 é invariante sobre S e sobre T temos: s  F1A1k ∈ S e, da mesma forma,
t  F2A2u ∈ T. Seja um vetor v ∈ Vn. Então, v  s  t , de maneira que x  k,u′ é o
vetor coordenada de v na base E.
Então, v  s  t  F1A1k  F2A2u  F
1A1 0
0 F2A2
k
u
 F1,F2 A1 0
0 A2
 Ex. Dado que E  FAF, podemos definir a base F1,F2, . . . ,Fn por F  F1, F2 e
a matriz de  por AF  A1 0
0 A2
.