Aula_2_MovTridimensional_2013

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Física I 
 
 
2º Semestre de 2013 
 
Instituto de Física- Universidade de São Paulo 
 
 
Aula – 2 Vetores e Movimento Tridimensionais 
 
 
 
 Professor: Valdir Guimarães 
 
 E-mail: valdirg@if.usp.br 
 
 
Vetores 
Em 3D, muitas grandezas físicas são 
representadas através de vetores. 
Apresentam “módulo”, “direção” e 
“sentido”. 
Vetores não são 
localizados no 
espaço 
Soma e subtração de vetores 
Revisão sobre vetores (soma) 
Regra do paralelogramo 
Revisão sobre vetores (subtração) 
Vetores 
Em 3D, muitas grandezas físicas são 
representadas através de vetores. 
Apresentam “módulo”, “direção” e 
“sentido”. 
Vetores não são 
localizados no 
espaço 
Vetores 
Vetores não são 
localizados no 
espaço 
Precisamos de um referencial 
(3 eixos ortogonais entre si) 
)ˆ,ˆ,ˆ( kji
Sistema de coordenadas cartesianas 
)ˆ,ˆ,ˆ( r
Sistema de coordenadas esféricas 
Sistema de coordenadas geográficas 
Latitude e longitude 
22° 54' 21.64"S 47° 03' 38.06"W 
Sistema de coordenadas cilindricas parabólicas 
Sistema de coordenadas cilindricas 
)ˆ,ˆ,ˆ( zr 
Vetores 
kAjAiAA zyx
ˆˆˆ 

Decomposição vetorial em coordenadas 
Soma de vetores pelas coordenadas 
BAC


kBAjBAiBAC zzyyxx
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 

kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ




kCjCiCC zyx
ˆˆˆ 

222
zyx CCCC 
Módulo do vetor 
Deslocamento 
Vetor Posição 
Deslocamento 
trajetória 
kzjyixr
kzzjyyixxr
rrr
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 121212
12






kxjyixkrjrirr zyx
ˆˆˆˆˆˆ 

Módulo do 
deslocamento 222 zyxr kzjyixr
kzjyixr
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2222
1111




velocidade e aceleração 
Velocidade média 
Velocidade instantânea 
t
r
vmed





dt
rd
t
r
v
t






 0
lim
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v ˆˆˆ 

kvjvivv zyx
ˆˆˆ 

Módulo da Velocidade 
222
zyx vvvv 
kzjyixr ˆˆˆ 

kdzjdyidxrd ˆˆˆ 

dt
kdz
dt
jdy
dt
idx
v
dt
rd ˆˆˆ



Aceleração instantânea 
dt
vd
t
v
a
t






 0
lim
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
a z
yx ˆˆˆˆˆˆ
2
2
2
2
2
2


kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

kvjvivv zyx
ˆˆˆ 

Uma bola é lançada e sua posição é dada por r. 
Encontre suas velocidades e acelerações como função do tempo. 
Quais são as posição e velocidade iniciais ? 
 
 
 
jttitr
jtsmtsmitsmmr
ˆ)9,46,1(ˆ)125,1(
ˆ])/9,4()/6,1[(ˆ])/12(5,1[
2
22




O projétil é lançado em uma trajetória 
bidimensional, a partir da posição inicial 
(r0), com uma velocidade inicial (v0), com 
um ângulo θ em relação à horizontal, 
ficando em sua trajetória, submetido à 
uma aceleração vertical (-g). 
Movimento de projéteis 
Decomposição do movimento nas duas coordenadas 
Equações do movimento 
2
00
2
00
2
)(
2
)(
t
a
tvyty
t
a
tvxtx
y
x


ga
a
y
x

 0
000
000
sin
cos


vv
vv
y
x


2
00
00
2
)(
)(
t
g
tvyty
tvxtx
y
x


Equação da trajetória (para x0=y0=0) 
2
0
0
2
)(
)(
t
g
tvty
tvtx
y
x


2
2
00
0
2
000
0
2
)(
)/(
2
)/()(
/
x
v
g
x
v
v
xy
vx
g
vxvxy
vxt
xx
y
xxy
x















0
0
0
000
000
sin
cos



tg
v
v
vv
vv
x
y
y
x



  2
0
22
0
0
cos2
)( x
v
g
xtgxy 





 
trajetória é uma parabola 
Tempo total de vôo (T) 
2
0
0
2
)(
)(
t
g
tvty
tvtx
y
x


Para t=T, y=0 
0
00
0
2
0
22
2
0
2
0
sen
g
v
g
v
T
T
g
v
T
g
Tv
y
y
y



000
000
sin
cos


vv
vv
y
x


Alcance horizontal (R) quando x(T)= R 
00
2
0
0
cossin
2

g
v
R
TvR x


0
2
0 2sin 
g
v
R 
Para qual ângulo D é máximo ? 
2
0
0
2
)(
)(
t
g
tvty
tvtx
y
x


000
000
sin
cos


vv
vv
y
x


gtvv
vv
yy
xx


0
0
2
00
00
2
)(
)(
t
g
tvyty
tvxtx
y
x


Equação da velocidade 
gtv
dt
dy
v
v
dt
dx
tv
yy
xx


0
0)(
Tempo de subida (Ts) 
Para t=Ts, vy=0 
Altura máxima (H) 
gtvv
vv
yy
xx


0
0
0
00
0
sin
0

g
v
g
v
T
gTv
y
s
sy


0
2
2
0
2
0
sin
2
2

g
v
H
T
g
TvH ssy


2
0
0
2
)(
)(
t
g
tvty
tvtx
y
x


000
000
sin
cos


vv
vv
y
x


Para qual ângulo H é máximo ? 
Movimento Circular Uniforme 
Aceleração centrípeta 
r
v
acentr
2

Período (T) 
tempo necessário para uma volta completa 
v
r
T
T
r
v


2
2


Calcule o módulo da 
velocidade e o período de um 
satélite com órbita “baixa”. 
RT= 6370 km e g= 9,81 m/s
2 
Movimento Circular Uniforme 
Aceleração centrípeta 
Por semelhança de triângulos 
t
r
r
v
t
v
r
r
v
v
r
v
r
v













Movimento Circular Uniforme 
c
tt
a
r
v
v
r
v
a
t
r
r
v
t
v







2
00
limlim

Aceleração centrípeta 
Tratamento vetorial 
rjRiRa
jRiR
dt
vd
a
jRiR
dt
rd
v





22
22
)ˆsinˆcos(
ˆsinˆcos
ˆcosˆsin






Movimento Circular Uniforme 
r
r
v
r
r
v
rac ˆ
2
2
2
2 
 
t
jRiRr



 ˆsinˆcos

Movimento não retilíneo qualquer 
dt
dv
at 
Além da aceleração centrípeta, 
podemos ter também uma 
componente da aceleração paralela 
à direção do movimento 
(aceleração tangencial) 
Aceleração total 
tc aaa


Caso do movimento pendular 
Movimento Circular 
Analisando a aceleração 
Pêndulo