Prova com Gab - 1ºEE

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Física Geral 3 – 2013.1 – 1a. Prova – 19 de junho de 2013 
 
Nome:___________________________________________Turma:________CPF:_________________ 
 
 
ORIENTAÇÕES GERAIS 
 
 
(1) NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORAS. (2) É EXPRESSAMENTE PROIBIDO O PORTE DE TELEFONES 
CELULARES, MP3 PLAYER OU QUALQUER OUTRO DISPOSITIVO ELETRÔNICO LIGADO DURANTE A PROVA. (3) NÃO 
SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA. (4) NÃO SERÃO PERMITIDOS QUESTIONAMENTOS AOS 
PROFESSORES E/OU MONITORES DURANTE A PROVA. 
 
 
QUESTÃO 1: (a) (2,0) Um fio isolante, semi-infinito, de diâmetro desprezível possui uma densidade linear de carga 
uniforme e constante . Calcule o campo elétrico a uma distância z medida perpendicularmente a extremidade do fio 
tal como mostrado na figura 1(a). (b) (2,0) O cilindro de raio R e comprimento L (L >> R), mostrado na figura 1(b), 
possui uma densidade volumétrica de cargas (r) = Ar, onde A é uma constante positiva e r é a distância ao eixo do 
cilindro. Calcule o campo elétrico a uma distância radial r do eixo da casca cilíndrica, para r < R e r > R. Faça um 
esboço da dependência da amplitude do campo elétrico, E(r), em função de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2: A figura 2(a) mostra o potencial elétrico, V = V(x), em função da posição, x, para uma determinada 
região do espaço. Responda com justificativa as perguntas a seguir: 
a) (0,5) Em quais pontos o sentido do campo elétrico é no sentido positivo do eixo x ? 
b) (0,5) Qual ponto possui maior densidade de energia potencial por unidade de volume? 
c) (0,5) Colocando-se uma carga pontual positiva, nesta região do espaço, em quais pontos a força elétrica sobre esta 
carga é nula? Quais destes pontos representam uma situação de estabilidade mediante pequenas variações de 
posição? 
d) (0,5) A figura 2(b) mostra três orientações de um dipolo elétrico localizado em torno da posição P5. Considere 
que este dipolo não perturba o potencial V(x). Se este dipolo gira da orientação (1) para a orientação (2), o trabalho 
realizado sobre o dipolo é positivo, negativo, ou nulo? 
e) (0,5) Se o dipolo gira da orientação (1) para a orientação (3), o trabalho realizado sobre ele é maior, menor ou 
igual ao trabalho do item (d)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3: Uma esfera de material condutor possui raio R e excesso de carga Q. A esfera encontra-se isolada. 
(a) (1,0) Deduza a expressão para a capacitância do sistema. (b) (1,5) Suponha que um material de constante dielétrica 
k é colocado em volta da esfera, formando uma camada uniforme de espessura d sobre toda a esfera. Determine a 
capacitância do sistema nesta nova configuração. (c) (1,0) Obtenha o trabalho necessário para colocar o dielétrico 
sobre a esfera. Observação: Expresse suas respostas em termos das grandezas dadas no enunciado e da 
permissividade do vácuo, εo. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
Figura 2(a) 
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
P8
P7
P6
P5
P4
P3
P2
Po
te
nc
ia
l, 
V 
(V
)
Posição, x (m)
P1
... 
z 
P 
. 
Figura 1(a) Figura 1(b) 
Figura 2(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) (2) 
(3) 



x 
Prova A 
 
Física Geral 3 – 2013.1 – 1a. Prova – 19 de junho de 2013 
 
Nome:___________________________________________Turma:________CPF:_________________ 
 
 
ORIENTAÇÕES GERAIS 
 
 
(1) NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORAS. (2) É EXPRESSAMENTE PROIBIDO O PORTE DE TELEFONES 
CELULARES, MP3 PLAYER OU QUALQUER OUTRO DISPOSITIVO ELETRÔNICO LIGADO DURANTE A PROVA. (3) NÃO 
SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA. (4) NÃO SERÃO PERMITIDOS QUESTIONAMENTOS AOS 
PROFESSORES E/OU MONITORES DURANTE A PROVA. 
 
 
QUESTÃO 1: (a) (2,0) Um fio isolante, semi-infinito, de diâmetro desprezível possui uma densidade linear de carga 
uniforme e constante . Calcule o campo elétrico a uma distância z medida perpendicularmente a extremidade do fio 
tal como mostrado na figura 1(a). (b) (2,0) O cilindro de raio R e comprimento L (L >> R), mostrado na figura 1(b), 
possui uma densidade volumétrica de cargas (r) = Ar, onde A é uma constante positiva e r é a distância ao eixo do 
cilindro. Calcule o campo elétrico a uma distância radial r do eixo da casca cilíndrica, para r < R e r > R. Faça um 
esboço da dependência da amplitude do campo elétrico, E(r), em função de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2: A figura 2(a) mostra o potencial elétrico, V = V(x), em função da posição, x, para uma determinada 
região do espaço. Responda com justificativa as perguntas a seguir: 
a) (0,5 pontos) Em quais pontos o sentido do campo elétrico é no sentido negativo do eixo x ? 
b) (0,5 pontos) Qual ponto possui maior densidade de energia potencial por unidade de volume? 
c) (0,5 pontos) Colocando-se uma carga pontual positiva, nesta região do espaço, em quais pontos a força elétrica 
sobre esta carga é nula? Quais destes pontos representam uma situação de estabilidade mediante pequenas 
variações de posição? 
d) (0,5 pontos) A figura 2(b) mostra três orientações de um dipolo elétrico localizado em torno da posição P4. 
Considere que este dipolo não perturba o potencial V(x). Se este dipolo gira da orientação (1) para a orientação (2), 
o trabalho realizado sobre o dipolo é positivo, negativo, ou nulo? 
e) (0,5 pontos) Se o dipolo gira da orientação (1) para a orientação (3), o trabalho realizado sobre ele é maior, menor 
ou igual ao trabalho do item (d)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3: Uma esfera de material condutor possui raio R e excesso de carga Q. A esfera encontra-se isolada. 
(a) (1,0) Deduza a expressão para a capacitância do sistema. (b) (1,5) Suponha que um material de constante dielétrica 
k é colocado em volta da esfera, formando uma camada uniforme de espessura d sobre toda a esfera. Determine a 
capacitância do sistema nesta nova configuração. (c) (1,0) Obtenha o trabalho necessário para colocar o dielétrico 
sobre a esfera. Observação: Expresse suas respostas em termos das grandezas dadas no enunciado e da 
permissividade do vácuo, εo. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
... 
z 
P 
. 
Figura 1(a) Figura 1(b) 
Figura 2(a) 
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
P8
P7
P6
P5
P4
P3
P2
Po
te
nc
ia
l, 
V 
(V
)
Posição, x (m)
P1
Figura 2(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) (2) 
(3) 



x 
Prova B 
Questão 1: 
a) Temos que: 
 
dxdq 
, 
2
04
1
r
dx
dE



, 
 
)(sen
4
1
2
0
 r
dx
dEx 
, 
)(cos
4
1
2
0

 r
dx
dE y 
, 
 onde: 
)(cos rz 
  
)(cos/ zr 
, 
 
)(sen rx 
  
)cos(/)(sen  zx
. 
 Deste modo: 
)(cos/ 2 dzdx 
 e integrar “
x
” de 
0
 a 

 é equivalente a integrar “

” de 
0
 a 
2/
. Assim... 
 2/
00
2/
00
)cos(
)4(
)(sen
)4(
 


z
d
z
Ex  
  
z
Ex
)4( 0


 , 
 2/
00
2/
00
)sen(
)4(
)(cos
)4(
 


z
d
z
E y  
  
z
E y
)4( 0


 , 
onde 
jEiEE yx
ˆˆ 
 . 
 
b) Para 
Rr 
, aplicando a Lei de Gauss, teremos... 
 
0)ˆ( env
SG
E qdanE  

, onde: 
 
r
SG
env rdrLrvdq
0
2)( 
; 
 SG =cascacilíndrica coaxial de comprimento L e raio r. 
Assim: 
 
 
r
env rdrLAq
0
2)2( 
  
3
3
2
r
LA
qenv 






 
 
3
03
2
)2()ˆ( r
LA
LrEdanE
SG






 

  
2
03
)( r
A
rE 







 
 
z 
Para 
Rr 
, teremos... 
 
 
R
env rdrLAq
0
2)2( 
  
3
3
2
R
LA
qenv 






 
 
3
03
2
)2()ˆ( R
LA
LrEdanE
SG






 

  
r
RA
rE
1
3
)(
0
3





 


 . 
Assim: 
 
 
 
 
 
Questão 2: 
 a) Sabe-se que 
V

E
, ou seja, neste caso como 
)(xVV 
 teremos 
dx
dV
iˆE
. Assim: 
* Prova A: 
E
 está no sentido de 
iˆ
 para os pontos P1, P2, P3, P7 e P8. 
* Prova B: 
E
 está no sentido de 
iˆ
 para os pontos P1, P2, P6, P7 e P8. 
b) Como 
2/20 Eu 
 e o campo é proporcional a derivada do potencial, a maior densidade de 
energia será em P5 (Prova A) e P4 (Prova B).
 
c) 
F
é zero nos pontos em que o campo elétrico 
E
 é nulo. Deste modo: 
* Prova A: P4 e P6, onde P4 é estável. 
* Prova B: P3 e P5, onde P5 é estável. 
d) O trabalho realizado pelo agente externo sobre o dipolo é 
if UUW 
, onde 
Ep U
. 
* Prova A: Em P5, 
E
 encontra-se no sentido de 
iˆ
. 
 Assim, 
)cos()1( EpU 
 e 
)cos()2( EpU 
 de forma que 
0W
. 
* Prova B: Em P4, 
E
 encontra-se no sentido de 
iˆ
. 
 Assim, 
)cos()1( EpU 
 e 
)cos()2( EpU 
 de forma que 
0W
. 
e) Trabalho é igual, pois 
)2()3( UU 
. 
 
E 
 
r2 E  1/r
3
0
A·R
 2
r
E(
r)
R
Questão 3: 
a) O campo elétrico tem direção radial. Dentro da esfera, em equilíbrio eletrostático, é igual a 
zero. Fora da esfera, devido à simetria, tem mesmo módulo para qualquer superfície esférica 
concêntrica à origem. Logo, utilizando a lei de Gauss, temos , onde
 
 
 
 
 
 
 
onde r é a distância radial de um ponto qualquer ao centro da esfera. Logo, a diferença de 
potencial entre um ponto na esfera condutora até o infinito será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Após um material de constante dielétrica K ser sobreposto à esfera, o campo elétrico na região 
ocupada pelo dielétrico é reduzido por um fator 1/K. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a diferença de potencial entre um ponto na esfera condutora até o infinito será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o mesmo resultado poderia ter sido encontrado considerando dois capacitores em 
série, um de capacitância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(capacitor esférico de R até R+d, preenchido com dielétrico) e 
 (espaço livre externo ao dielétrico). 
 
c) As energias potenciais do sistema antes e depois da introdução do dielétrico são iguais a 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a carga na esfera não muda, o trabalho realizado será dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, existe uma força sobre o dielétrico atraindo este para sobre a esfera condutora carregada.