Teoria das Filas - Parte 6

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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Curso: Engenharia de Produção
λ = número médio de clientes que entram no
sistema por unidade de tempo;
µ = número médio de clientes atendidos (que
saem do sistema) por unidade de tempo;
R = Servidores (mecânicos) no sistema;
K = número de máquinas ou aparelhos no
sistema;
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L = número médio de clientes no sistema;
Lq = número médio de clientes na fila;
Ls = número médio de clientes sendo atendidos;
W = tempo médio que o cliente fica no sistema;
Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser
atendido.
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Para um sistema de filas está em estado
estacionário, tem-se: L = λW Lq =λWq Ls = λWs
L é expresso em número de clientes, λ é
expresso em termos de clientes por hora e W é
expresso em horas. Assim λW tem a mesma
unidade (clientes) de L.
As três equações acima são válidas para
qualquer sistema de filas.
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Com exceção do Modelo
M/M/1/GD/c/∞ todos os modelos que
foram vistos apresentaram taxas que são
independentes do estado do sistema. No
entanto existem situações em que essa
hipótese pode não se válida.
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Se os clientes não querem enfrentar longas
filas a taxa de chegada pode ser uma função
decrescente do número de pessoas presentes
na fila.
Se as chegadas ao sistema são provenientes
de uma população pequena, então a taxa pode
depender do estado do sistema.
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Por exemplo, se um banco possui somente
10 depositantes então no instante em que todos
estiverem no banco a taxa de chegadas será
zero.
Modelos em que as chegadas são retiradas
de populações pequenas são denominados de
modelos de fonte finita.
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No modelo da oficina de manutenção o
sistema consiste de K máquinas e R pessoas
encarregadas do serviço. A qualquer instante
de tempo uma máquina está em boas ou más
condições. O tempo em que uma máquina está
em boas condições é exponencial com taxa λ.
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Sempre que uma máquina quebrar ela será
enviada para o centro de reparos com R
pessoas em serviço. No centro de serviços é
como se as máquinas estivessem chegando a
um sistema M/M/R/GD/K/K.
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Assim se j ≤ R máquinas estiverem
quebradas a máquina que quebrar será
imediatamente enviada para conserto. Se j > R
então j – R máquinas estarão na fila para serem
consertadas. O tempo necessário para consertar
uma máquina é exponencial com taxa µ (ou
tempo médio de conserto de 1/µ).
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Sempre que uma máquina for consertada
ela volta ao serviço e pode quebrar novamente.
Utilizando a notação de Kendall o modelo pode
ser expresso como M/M/R/GD/K/K. O
primeiro K indica que a qualquer tempo não
mais do K consumidores (ou máquinas) estão
presentes e o segundo que as chegadas são de
uma fonte finita de tamanho K.
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Para determinar o estado do sistema em “j”
deve-se observar que existem k – j máquinas
em boas condições. Uma vez que as máquinas
quebram a uma taxa λ, a taxa total de quebra
quando o estado do sistema é j é:
λj = λ + λ + λ + ... + λ = (K – j)λ
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Para determinar a taxa de saídas do
modelo lembrar que no estado j, min(j, r)
atendentes estarão ocupados. Como cada um
trabalha a uma taxa de µ, a taxa de saída é
dada por:
µj = jµ se (j = 0, 1, 2, ..., R)
µj = Rµ se (j = R + 1, R + 2, ..., K)
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Define-se ρ = λ/µ e uma aplicação do
Teorema um fornece as seguintes
probabilidades para o estado estacionário:
K ..., 2,R 1,R j se 
R!R
p!jj
K
p
R ..., 2, 1, 0, j se pj
K
p
Rj
0
j
j
0
j
j
++=
ρ





=
=ρ





=
−
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Nesse caso, tem-se:














∑
ρ





+∑ ρ





=∑+∑=∑
+=
−
=+===
K
1Rj
Rj
j
R
j
j
K
Rj
j
R
j
j
K
j
j
R!R
!j
j
K
 
j
K
pppp
0
0
100
Como: 1
0
=∑
=
K
j
jp
Vem:














∑
ρ





+∑ ρ





=
+=
−
=
−
K
1Rj
Rj
j
R
j
j
R!R
!j
j
K
 
j
K
p
0
1
0
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Com essas probabilidades é possível então
determinar L = número médio de máquinas no
sistema, Lq = número médio de máquinas
esperando para serem consertadas, W = tempo
médio que uma máquina fica quebrada e Wq =
tempo médio que uma máquina espera para ser
consertada.
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Aqui não existem expressões simples para
esses valores:














∑
ρ





+∑ ρ





=∑=
+=
−
==
K
1Rj
Rj
j
R
j
j
K
j
j
R
!j
j
K
j 
R!
1
 
j
K
jp jpL
0
0
0
∑ −=
=
K
Rj
jq p)Rj(L
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Como a taxa de chegadas depende do
sistema o número de chegadas por unidade de
tempo é dado por , onde:
Assim: e
)LK( pj)-(K p
K
j
j
K
j
jj −λ=∑ λ=∑ λ=λ
== 00
λ
)Lk(
LL
W
−λ
=
λ
=
)LK(
LL
W
qq
q
−λ
=
λ
=
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A polícia de Pokofurto tem 5 carros
patrulha. Cada carro quebra em média a cada
30 dias. A oficina tem dois mecânicos com
cada um levando uma média de 3 dias para
consertar um carro. Os tempos envolvidos
podem ser considerados exponenciais.
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1. Determine o número médio de carros em
serviço.
2. Qual o tempo médio que um carro fica for a
de serviço?
3. Encontre a fração de tempo que um mecânico
fica ocioso?
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Esse é um modelo de reparo com K = 5, R =
2, λ = 1/30 carros por dia e µ = 1/3 carros por
dia. Então:
ρ = (1/30)/(1/3) = 1/10
p1,0p
10
1
2
5
p 00
2
2 =













=
p5,0p
10
1
1
5
p 001 =












=
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p,
!
p!
p
023
0
3
3
0150
22
3
10
1
3
5
=












=
−
p,
!
p!
p
024
0
4
4
00150
22
4
10
1
4
5
=












=
−
p,
!
p!
p
025
0
5
5
00010
22
5
10
1
5
5
=












=
−
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Então:
p0(1+ 0,5 + 0,1 + 0,015 + 0,0015 +0,0001) =
1,6166
Assim p0 = 0,6186.
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Portanto: p1 = 0,3093, p2 = 0,0619, p3 =
0,0093, p4 = 0,0009 e p5 = 0,0000.
1. O número esperado de carros em boas
condições é K – L que é dado por:
5 – [0.0,6186 +1.0,3093 + 2.0,0619 +
+ 3.0,0093 + 4.0,0009 + 5.0,0000] = 4,964 ≅ 4,96
carros em bos condições.
=∑−
=
5
0j
j jpK
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Procuramos W = L/ onde:
= 0,1512 carros por dia.
Ou λ(K – L) = 4,5584/30 = 0,1512 carros por dia.
Como L = 0,4648 carros, encontramos que
W = 0,4648/0,1512 = 3,07 dias.
λ
=+++++=∑ −λ=λ
=
)p0pp2p3p4p5(
30
1
p)j5( 543210
5
0j
j
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3. A fração de tempo que um mecânico, em
particular, fica ocioso é dado por p0 + 0,5p1 =
0,6186 + 0,5.0,3093 = 0,77.
Se existissem três pessoas a fração de
tempo que cada um fica ocioso seria dado por:
p0 + (2/3)p1 + (1/3)p2 . De modo geral, tem-se:
p
R
1
...p
R
2R
p
R
1R
p 1R210 −++
−
+
−
+
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GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R.
Probability and Random Processes. Oxford
(London): Oxford University Press, 1991.
KLEINROCK, Leonard. Queueing Systems: v. 1:
Theory. New York: John Wiley, 1975.
WISTON, Wayne L. Operations Research:
Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont
(CA): Duxbury Press, 1994.