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Fundamentos de Matemática - Profa. Marina Ribeiro
Exercícios - Conjuntos (Parte II) e Relações
1. Mostre que:
(a) A = B ⇐⇒ P(A) = P(B)
(b) A ⊂ B ⇐⇒ P(A) ⊂ P(B)
(c) ∪X∈P(B)X = B
(d) A ∩B = ∅ ⇐⇒ P(A) ∩ P(B) = {∅}
(e) P(A) ∈ P(B)⇒ A ∈ B
(f) ∩X∈P(B)X = ∅
(g) (A ∪B)×X = (A×X) ∪ (B ×X)
(h) (A ∩B)×X = (A×X) ∩ (B ×X)
(i) (A \B)×X = (A×X) \ (B ×X)
2. A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida por
A∆B = (A \B) ∪ (B \A).
(a) Encontre {1, 2, 3, 4, 5}∆{1, 3, 4}.
(b) Mostre que A∆∅ = A.
(c) Mostre que A∆A = ∅.
(d) Mostre que (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
(e) Mostre que A∆B = B∆A.
3. Verifique se é verdadeira a proposição a seguir. se for verdadeira, demonstre. Caso contrário, apresente
um contra-exemplo.
(∀A,∀B, ∀C)[A ∪ (B \ C) = (A ∪B) \ (A ∪ C)]
4. Descreva geometricamente cada um dos seguintes conjuntos utilizando um plano cartesiano:
(a) {(x, y) ∈ R2|x = y} (b) {(x, y) ∈ R2|x > y} (c) {(x, y) ∈ R2|x2 = y}
5. Mostre que A×B = ∅ ⇔ (A = ∅) ∨ (B = ∅).
6. Mostre que, para quaisquer conjuntos A,B e C tal que A ⊂ B, temos A× C ⊂ B × C.
7. Mostre que, para quaisquer quatro conjuntos A, B, C e D, temos (A×C)∩(B×D) = (A∩B)×(C∩D).
8. Mostre que (a ∈ A) ∧ (x /∈ C)⇐⇒ (a ∈ A) ∧ ((a, x) /∈ A× C)
9. Mostre que A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇒ A × B ⊂ X × Y . Vale a recíproca? Em que condições valerá a
recíproca?
10. Encontre todas as relações de A = {1} em B = {a, b, c}.
11. Encontre a inversa, o domínio e a imagem das seguintes relações:
(a) A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} e R = {(b, 2), (b, 3), (d, 1), (d, 3)}
(b) A = B = R; e P (x, y) : “x2 + y2 = 1′′
(c) A = B = Z; e P (x, y) : “x2 + y2 = 1′′
(d) A = B = R; e P (x, y) : “x > y + 1′′
12. Considere as relações dadas no exercício anterior e represente geometricamente as relações e suas
inversas através do diagrama cartesiano.
13. Verifique se as relações dadas satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica.
(a) Produto cartesiano A×A, onde A é um conjunto qualquer;
1
(b) R é a relação dada por P (x, y) : �x ama y� sobre o conjunto A = {x|x é ser humano}.
(c) O conjunto A = {x|xé uma reta do espaço euclidiano} e sobre ele a relação R dada por P (x, y) :
�x é paralela a y�.
(d) O conjunto A = {x|xé um segmento de reta no plano euclidiano} e sobre ele a relação R dada
por P (x, y) : �x é congruente a y�..
14. Sejam R e S relações de equivalência sobre um conjunto A.
(a) Mostre que a classe de equivalência de x em R ∪ S, indicada por Cx(R ∪ S), é a interseção das
classes de equivalência de x em R e S, indicadas respectivamente por Cx(R) e Cx(S), ou seja,
Cx(R ∪ S) = Cx(R) ∩ Cx.
(b) Se R ∪ S é uma relação de equivalência, mostre que
Cx(R ∪ S) = Cx(R) ∪ Cx(S).
15. Quais das relações a seguir são relações de equivalência sobre o conjunto A dado?
(a) A = {a, b, c} e R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}.
(b) A = {a, b, c} e R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
(c) A um conjunto qualquer e a relação dada por A×A.
(d) A = N e a ordem usual de menor ou igual.
(e) A = N e R = {(x, y) ∈ N× N|x + y = 5}.
16. Seja A um conjunto não-vazio e E um subconjunto fixo de A. Dados X e Y ∈ P(A), mostre que as
relações R e S dadas a seguir são de equivalência em P(A).
(a) XRY ⇔ X ∩ E = Y ∩ E.
(b) XSY ⇔ X ∪ E = Y ∪ E.
17. Escolha um conjunto A e encontre relações sobre este conjunto A diferentes dos exemplos apresentados,
que não sejam de equivalência porque:
(a) não satisfaz nenhuma das três propriedades;
(b) satisfaz apenas uma das três propriedades;
(c) satisfaz apenas duas das três propriedades.
18. Qual é a relação de equivalência associada a cada uma das seguintes partições?
(a) A/R = {{a, b}, {c, d, e}}.
(b) A/R = {{a, b, c}, {d}, {e}}.
(c) A/R = {{0,±2,±4, . . .}, {±1,±3,±5, . . .}}.
19. Mostre que uma relação R é de equivalência se, e somente sem, sua inversa R−1 também o for.
20. Sejam E = {1, 3, 5, 7} e F = {0, 2, 4, 6}
(a) Enumere os elementos das seguintes relações de E em F :
R1 = {(x, y)|y = x− 1}
R2 = {(x, y)|x < y}
R3 = {(x, y)|y = 3x}
(b) Estabeleça o domínio e a imagem de cada uma.
21. Sejam E e F dois conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente.
2
(a) Qual o número de elementos de E × F?
(b) Qual é o número de relações de E em F?
22. Seja R uma relação binária sobre o conjunto E e R′ a negação de R, isto é, R′ = {(x, y)|x��Ry}. O que
se pode concluir sobre R ∩R′ e R ∪R′?
23. Seja E o conjunto das retas que contêm os lados de um hexágono regular abcdef .
(a) Quantos elementos tem o conjunto E?
(b) Indique quais são os pares ordenados que constituem a relação R em E assim definida
xRy ⇐⇒ x é paralela a y.
(c) Quais são as propriedades que R apresenta?
Nota: Considere que x é paralela a y quando x = y ou x ∩ y = ∅, com x e y coplanares.
24. Construa sobre o conjunto E = {1, 2, 3, 4} quatro relações, R1, R2, R3 e R4 de modo que R1 só tem a
propriedade reflexiva, R2 só a simétrica, R3 só a transitiva e R4 só a anti-simétrica.
25. Dê um exemplo de relção R sobre o conjunto E = {a, b, c} que tenha as propriedades simétrica e
anti-simétrica. Dê um exemplo de relação S sobre E que não tenha as propriedades simétrica e anti-
simétrica.
26. Considere as seguintes relações sobre R:
R1 = {(x, y)|x + y ≤ 2}
R2 = {(x, y)|x2 = y2}
R3 = {(x, y)|y ≥ x3}
(a) Esboce os gráficos cartesianos das seguintes relações sobre R.
(b) Quais, entre as relações dadas, são reflexivas? Quais são simétricas?
27. Quais das sentenças abertas abaixo definem uma relação de equivalência em Z?
(a) mdc(x, y) = 1
(b) x|y (x é divisível por y)
(c) x ≡ y(mod3) (ou seja, 3 é divisível por x− y)
(d) x + y = 7
28. Considere a relação R sobre N definida por
(a, b)R(c, d) se, e somente se, a + b = c + d.
Prove que R é uma relação de equivalência.
29. Considere a relação S sobre Z× Z∗ definida por
(a, b)S(c, d) se, e somente se, a.d = b.c.
Prove que R é uma relação de equivalência.
30. Seja E = {x ∈ Z| − 5 ≤ x ≤ 5} e seja R a relação sobre E definida por
xRy se, e somente se,x2 + 2x = y2 + 2y.
(a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
(b) Descreva as classes de equivalência 0¯, −¯2, 4¯.
31. Mostre que a relação T sobre R2 definida por
(x1, y1)T (x2, y2) se, e somente se,x1 − y1 = x2 − y2
é uma relação de equivalência. A seguir, descreva (1, 1), (1, 3), e R2/T .
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