(2,0 pontos) Prove que para todos x, y ∈ R, temos |xy| = |x||y|.

Para provar que |xy| = |x||y| para todos x, y ∈ R, podemos seguir os seguintes passos: 1. Considere x e y como números reais quaisquer. 2. Vamos analisar os casos em que x e y são positivos, negativos ou um deles é zero: - Caso 1: Se x e y são positivos, então |x| = x e |y| = y. Portanto, |xy| = xy = |x||y|. - Caso 2: Se x e y são negativos, então |x| = -x e |y| = -y. Nesse caso, |xy| = (-x)(-y) = xy = |x||y|. - Caso 3: Se um dos números, digamos x, é zero, então |x| = 0 e |xy| = |0y| = 0 = |x||y|. O mesmo raciocínio se aplica se y for zero. 3. Portanto, em todos os casos possíveis, temos |xy| = |x||y|. Assim, provamos que para todos x, y ∈ R, temos |xy| = |x||y|.