(2,0 pontos) Determine e justifique (com uma prova) se a relação xRy que significa |x− y| < 1, para números reais x, yR, é uma relação de equivalên...

Para determinar se a relação xRy é uma relação de equivalência, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade. 1. Reflexividade: Para ser reflexiva, cada elemento x deve estar relacionado a si mesmo. Neste caso, precisamos verificar se |x - x| < 1 para todo número real x. Como |x - x| é sempre igual a 0, que é menor que 1, a relação é reflexiva. 2. Simetria: Para ser simétrica, se x está relacionado a y, então y também deve estar relacionado a x. Neste caso, se |x - y| < 1, precisamos verificar se |y - x| < 1. Como a diferença entre x e y é a mesma que a diferença entre y e x, a relação é simétrica. 3. Transitividade: Para ser transitiva, se x está relacionado a y e y está relacionado a z, então x também deve estar relacionado a z. Neste caso, se |x - y| < 1 e |y - z| < 1, precisamos verificar se |x - z| < 1. Podemos usar a desigualdade triangular para provar isso: |x - z| ≤ |x - y| + |y - z|. Como a soma das duas diferenças é menor que 1 + 1 = 2, temos que |x - z| < 2, o que implica que |x - z| < 1. Portanto, a relação é transitiva. Portanto, a relação xRy, definida como |x - y| < 1, é uma relação de equivalência, pois satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.