Lista 1 (Cálculo 2)

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Ca´lculo II- 2015.1
Prof.: Naldisson dos Santos.
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Calcule as seguintes integrais.
a)
∫ 1
0
1√
x
dx.
b)
∫ 1
0
1√
1−x2dx.
c)
∫∞
−∞ 2xe
−x2dx.
d)
∫∞
2
2
t2−1dt.
e)
∫∞
1
ex
x
dx.
f)
∫∞
0
1
(x+1)(x2+1)
dx.
g)
∫∞
−∞
2x
(x2+1)2
dx.
h)
∫ −2
−∞
2
x2−1dx.
2. Verifique a convergeˆncia das seguintes integrais.
a)
∫∞
1
x ln(x)dx.
b)
∫∞
pi
2+cos(x)
x
dx.
c)
∫∞
1
√
x+1
x2
dx.
d)
∫∞
1
sin(θ)√
pi−θdx.
3. Encontre os valores de p para os quais cada integral converge.
a)
∫ 2
1
1
x(ln(x))p
dx.
b)
∫∞
2
1
x(ln(x))p
dx.
4. Encontre uma fo´rmula para o termo geral an da sequeˆncia, assumindo que o padra˜o dos
primeiros termos continua.
1
a) {1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
16
, · · ·}.
b) {−1
4
, 2
9
,− 3
16
, 4
25
, · · ·}.
5. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir encontre o limite.
a) an =
3+5n2
n+n2
.
b) an =
2n
3n+1
.
c) an =
n
1+
√
n
.
d) an =
√
n + 100−√n.
e) an = (−1)n sin( 1n).
f) an = (1 + 3n)
1
n .
g) an =
1
n2
+ 2
n2
+ · · ·+ n
n2
.
h) an = arctan(2n).
6. Determine se a sequeˆncia e´ mono´tona. A sequeˆncia e´ limitada?
a) an =
1
5n
.
b) an =
2n−3
3n+4
.
c) an =
n
n2+1
.
d) an =
n
n2+1
.
7. Mostre que a sequeˆncia definida por
a1 = 2, an+1 =
1
3− an , n = 1, 2, · · ·
satisfaz 0 < an ≤ 2 e e´ decrescente. Deduza que a sequeˆncia e´ convergente e encontre seu
limite.
2