prova1_MA63C_S43_1_13_gabarito

Prévia do material em texto

1 
 
 Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Numérico – MA63C / 1o semestre de 2013 
 
Professor: Rudimar Luiz Nós 
 
 
Aluno(a): ________________________________________________ Turma: S43 
 
Endereço eletrônico: ________________________________________ Data: 14/08/2013 
 
 
Primeira Avaliação Parcial 
Erro – Zero de funções – Sistemas de equações lineares – Ajuste de curvas 
 
 
Observações: 1a. A leitura e interpretação das questões é parte integrante da prova. 
 2a. Organização é fundamental. 
 
 
Questão 01 Questão 02 Questão 03 APS (2,0) NOTA 
 
 
01. (Valor: 2,0) A função
  31.0 xexf x 
tem uma única raiz real no intervalo
 2,2
, como ilustra 
a Figura 1. 
 
       








x
y
 
 
Figura 1: Gráfico de
   2,2-x ,31.0  xexf x
. 
 
 2 
a) (1,0) Teste as hipóteses do teorema de convergência do Método de Newton-Raphson no 
intervalo
 2,1
, garantindo que 
10 x
pode ser usado como aproximação inicial. 
 
i) 
    0111 1.0311.0  eef
 
 
    0822 2.0321.0  eef
 
 
    021 ff
 
 A hipótese do Teorema de Bolzano é satisfeita, o que garante a existência de pelo menos 
uma raiz de
 xf
 no intervalo
 2,1
. (0,2) 
 
ii) 
   1,2x 031.0 21.0'  xexf x
 
   1,2x 0' xf
 
A função
 xf
 não tem mínimos ou máximos locais no intervalo
 2,1
. (0,3) 
 
iii) 
   1,2x 0601.0 1.0''  xexf x
 
A função
 xf
 não muda de concavidade no intervalo
 2,1
. (0,3) 
 
 
 
 
 xf
xf
xx
'

 
 
 
 
 
   2,1036398.1036398.01
31.0
1
1
1
1
11
1.0
1.0
'




e
e
f
f (0,2) 
 
 As hipóteses do teorema de convergência são suficientes para garantir que a sequência 
 gerada pelo Método de Newton-Raphson é convergente para a raiz de
 xf
 quando se emprega 
 a aproximação inicial
10 x
. 
 
b) (1,0) Use o Método de Newton-Raphson para aproximar a raiz de
 xf
 em
 2,1I
 com 
aproximação inicial
10 x
, precisão 210 e aritmética de ponto flutuante com três 
algarismos significativos. 
c) 
Lei de recorrência:  
 
1,2,n ,
31.0 2
1.0
31.0
1
1
'
1
1
1
1
1
1












n
n
n
n
xe
xe
x
xf
xf
xx
x
x
n
n
n
nn
 (0,2) 
 
Tabela 1: Aproximação da raiz de 
  31.0 xexf x 
no intervalo
 2,1
através do Método de 
Newton-Raphson. (0,8) 
 
n
 
nx
 
 1nn xx
 
0 1.00 
1 1.04 0.04 > 10-2 
2 1.04 0 < 10-2 
 
 
 3 
02. (Valor: 4,0) Solucione o sistema de equações lineares 
 
(2.1) :
4
5
3
273
916
058
3
2
1

































x
x
x
 
 
a) (2,0) empregando o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de 
ponto flutuante com três algarismos significativos; 
 
 Matriz aumentada do sistema: 
 












4273
5916
3058



~












13.5212.50
75.2975.20
3058



~












75.2975.20
13.5212.50
3058



~ 
 
 L2
’=L2-(0.750)L1
 p2=3 L3
’=L3-(-0.537)L2 
 
 L3
’=L3-(0.375)L1 
 
 ~









 
01.1000
13.5212.50
3058



 (1,0) 
 
 
 
001.10 33  xx
 
 
 
00.1
12.5
13.5
13.5212.5 232  xxx
 
 
  
00.1
8
8
8
00.153
358 121 

 xxx
 
 
 Solução: 
 
 





















0
00.1
00.1
3
2
1
x
x
x
 (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 4 
b) (2,0) utilizando o Método de Gauss-Seidel, aritmética de ponto flutuante com três algarismos 
significativos,    0,0,00 x , precisão 210 e seis iterações no máximo. Antes de iniciar o 
processo, garanta a convergência do Método de Gauss-Seidel. 
 
 Convergência: (0,5) 
 
A matriz 










273
916
058
não é estritamente diagonal dominante










 

n
ijj
ijii aa
,1
. Porém, 
permutando-se a segunda e terceira linhas, a matriz 










916
273
058
é estritamente diagonal 
dominante, o que garante a convergência do Método de Gauss-Seidel (Critério das Linhas). 
 
 Equações do processo iterativo: (0,5) 
 
    
      
      121113
3
1
1
1
2
2
1
1
65111.0
234143.0
53125.0






kkk
kkk
kk
xxx
xxx
xx
 
 
Tabela 2: Aproximação da solução do sistema (2.1) através do Método de Gauss-Seidel. (1,0) 
 
k
 
 k
x1
  k
x2
  k
x3
           kkkk vvvVar 321 ,,max 
0 0 0 0 
1 -0.375 0.734 -0.386 1 
2 -0.834 1.04 -0.115 max{0.550,0.294,2.36} = 2.36 
3 -1.03 1.05 0.0144 max{0.190,0.00952,8.99} = 8.99 
4 -1.03 1.01 0.0189 max{0,0.0396,0.238} = 0.238 
5 -1.01 1.00 0.00666 max{0.0198,0.01,1.84} = 1.84 
6 -1.00 0.999 0.000111 max{0.010,0.00100,59.0} = 59.0 
 
 
 
   
 
 
   
   

















 0 e 0 se ,1 
0 se ,0 
0 se ,
1
1
1
k
i
k
i
k
i
k
i
k
ik
i
k
i
k
i
k
i
xx
xx
x
x
xx
v
 
 
 5 
03. (Valor: 2,0) Empregando o Método dos Mínimos Quadrados, aproxime a função
 
3
x
xf 
, 
  ,-x
, pela função 
      


7
1
0 cosxg
k
kk kxsenbkxaa
. Escreva todos os termos da 
função aproximadora. 
 
       


x
y
 
Figura 2: Gráfico de
    ,x ,
3

x
xf
. 
 
 
        0,- emímpar é 0  kaaxfxfxf  (0,5) 
 
      

  0 
 
- 
senx 
3
2
sen xf 
1
dxkxdxkxbk
 (3.1) 
Calculando a integral indefinida (integração por partes)
  dxkxxsen
: 
   .cos
1
 v,dv
dx;du ,
kx
k
dxkxsen
xu


 
 
 
          Ckxsen
k
kx
k
x
dxkx
k
kx
k
x
dxkxxsen   2
1
coscos
1
cos
 (0,5) (3.2) 
 
Substituindo (3.2) em (3.1), tem-se que: 
 
 
 6 
          1
0
2
1
3
2
cos
3
2
cos
3
21
cos
3
2 









k
k
k
k
k
k
k
kxsen
k
kx
k
x
b 
; 
 
 
  .1
3
2 1

k
kk
b
 (0,5) 
 
Assim: 
 
 
 ;
1
3
2
7
1
1





k
k
kxsen
k
xg
 
 
             
 .7
21
2
 
6
9
1
5
15
2
4
6
1
3
9
2
2
3
1
3
2
xsen
xsenxsenxsenxsenxsenxsenxg


 (0,5) 
 
                   


x
y
 
 
Figura 3: Gráfico de  
 
 




7
1
1
1
3
2
k
k
kxsen
k
xg
 (vermelho).