Algebra Linear com Mathematica - Luiz Rijo

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Luiz Rijo
Álbebra Linear
com
Mathematica
E
A B
F G
BA
CAPÍTULO 1
Espaços Vetoriais
Iniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2
Out[1]= 4
A noção de espaço vetorial é a base do estudo que faremos; é o terreno onde se desenvolve toda a Álgebra
Linear: Esta seção apresenta os axiomas de espaço vetorial, deduz suas conseqüências mais imediatas e exibe os
exemplos mais importantes dessa noção.
Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidos duas oper-
açõses: a adição, que a cada par de vetores u, v œ E faz corresponder un novo u + v œ E, chamado a soma de u e
v, e a multiplicação por um número real, que a cada número a œ  e a cada vetor v œ E faz corresponder um
vetor av , chamado o produto de a por v . Essas operações devem satisfazer, para quaisquer a, b œ  e u, v, w œ
E, as condições abaixo, chamadas os axiomas de espaço vetorial:
comutatividade: u + v = v + u; 
associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w) e (ab)v = a(bv); 
vetor nulo: existe um vetor 0 œ E, chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v œ E;
inverso aditivo: para cada vetor v œ E existe um vetor -v œ E, chamado o inverso aditivo, ou o simétrico de v, tal
que -v + v = v + ( -v) = 0;
distributividade: (a + b )v = a v + b v e a (u + v) = a u + a v; 
multiplicação por 1: 1 .v = v.
EXEMPLO 1.1 Para todo número natural n, o símbolo n representa o espaço vetorial euclidiano n-dimensional. Os
elementos de n são as listas ordenadas u = Ha1, . . . , anL , v = Hb1, . . . , bnL de números reais.
Por definição, a igualdade vetorial u = v significa as n igualdades numéricas a1 = b1 , ..., an = bn .
Os números a1 , ..., an são chamados as coordenadas do vetor u. As operações do espaço vetorial n são definida
pondo
 u + v = Ha1 + b1 , . . ., an + bnL,
 g u = (g a1 ,...,g an ).
O vetor zero é, por definição, aquele cujas coordenadas são todas iguais a zero: 0 = (0, 0, ... ,0). 
O inverso aditivo de u = (a1 ,...,an ). é -u = (- a1 ,...,- an ). Verifica-se, sem dificuldade, que estas definições fazem do
n espaço vetorial. Para n = 1 , tem-se 1 =  = reta numérica, 2 é o plano euclidiano e 3 é o espaço euclidiano
tri-dimensional da nossa experiência cotidiana. 
Para ajudar a compreensão, os vetores de 2 e 3 podem ser representados por flechas com origem no mesmo ponto
zero 0. A soma u + v é a flecha que liga a origem 0 ao vértice que lhe é oposto np paralelogramo que tem u e v como
lados. (Veja Figura 1.1a)
In[4]:= << Graphics`Arrow`
Graphics`Arrow` pacote Add - On para traçar setas.
In[330]:= H∗ Figura 1.1, Soma de vetores ∗L
p1 = ListPlot@882.2, 1.2<, 82.7, 2.2<, 8.5, 1<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<,
Epilog → 8Text@"O", 80.15, 0.0<D, Text@"v", 8.15, .5<D,
Text@"u", 81.1, .5<D, Text@"u + v", 81.94, 1.3<D<,
DisplayFunction → IdentityD; p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D,
Arrow@80, 0<, 82.2, 1.2<D, Arrow@80, 0<, 82.7, 2.2<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v u
u + v
Um vetor do n é representado por uma lista { a1, . . . an }.
A soma dos vetores u = 8α1, α2, α3, α4, α5< e v = 8β1, β2, β3, β4, β5< é feita assim :
In[9]:= H∗ Os vetores u, v e a soma u + v ∗L
u = 8α1, α2, α3, α4, α5<;
v = 8β1, β2, β3, β4, β5<;
u + v
Out[11]= 8α1 + β1, α2 + β2, α3 + β3, α4 + β4, α5 + β5<
Out[12]= 8γ α1, γ α2, γ α3, γ α4, γ α5<
O produto do vetor u = 8α1, α2, α3, α4, α5< pelo escalar γ.
In[21]:= H∗ O vetor u, o escalar γ e o produto γu ∗L
u = 8α1, α2, α3, α4, α5<;
γ u
Out[22]= 8γ α1, γ α2, γ α3, γ α4, γ α5<
EXEMPLO 1.2 .Os elementos do espaço vetorial ¶ são as sequências são infinitas u = Ha1, . . . , an. . .L e v = u =
Hb1, . . . , bn . . .L de números reais.O elemento zero de ¶ é a sequência 0 = (0,...,0,...) formada por infinitos zeros e o
2 Rijo AL Capítulo 1.nb
inverso aditivo da sequência u = Ha1, . . . , an. . .L é -u = H-a1, . . . , -an. . .L .As operações de adição e multiplicação
por um número real são definidas por 
 u + v = Ha1 + b1, . . . , an + bn. . .L
 g u = Hga1, . . . , g an. . .L .
EXEMPLO 1.3 Uma matriz (real) m × n a = @aij D é uma lista de números reais aij com índices duplos, onde 1§ i § m
e 1§ j § n. Costuma-se representar a matriz a como um quadro numérico com m linhas e n colunas, no qual o elemento
aij situa-se no cruzamento da i-ésima rn linha com a j-ésima coluna:
 O vetor Hai1, ai2, . . . , ai nLœ n é o i-ésimo vetor-linha da matriz a e o vetor Ha1 j, a2 j, . . . , an jLœ m é o j-ésimo
vetor-coluna de a. Quando m = n, diz-se que a é uma matriz quadrada. O conjunto M(m × n) de todas as matrizes m ×
n torna-se um espaço vetorial quando nele se define a soma das matrizes a = @aijD e b = @bijD como a + b = [aij + bij ] e
o produto da matriz a pelo número real a como ga = @gaijD . A matriz nula 0 œ M(m × n) é aquela formada por zeros e
o inverso aditivo da matriz a = @aijD e -a = @- aijD .
Uma matriz real m µ n a = @aij D é representada por uma lista de lista {{ a11, . . . a1 n },{ a21, . . . a2 n }, . . ., { am1, . 
. . amn }}
MatrixForm[lista] mostra os elementos da matriz num forma retangular.
A soma das matrizes
u = i
k
jjjjjj
α11 α12 α13 α14
α21 α22 α23 α24
α31 α32 α33 α34
y
{
zzzzzz e v =
i
k
jjjjjjj
β11 β12 β13 β14
β21 β22 β23 β24
β31 β32 β33 β34
y
{
zzzzzzz
In[17]:= H∗ As matrizes u, v e a soma u + v ∗L
u = 88α11, α12, α13, α14<, 8α21, α22, α23, α24<, 8α31, α32, α33, α34<<;
v = 88β11, β12, β13, β14<, 8β21, β22, β23, β24<, 8β31, β32, β33, β34<<;
MatrixForm@u + vD
Out[19]//MatrixForm=
i
k
jjjjjjj
α11 + β11 α12 + β12 α13 + β13 α14 + β14
α21 + β21 α22 + β22 α23 + β23 α24 + β24
α31 + β31 α32 + β32 α33 + β33 α34 + β34
y
{
zzzzzzz
O produto da matriz u = i
k
jjjjjj
α11 α12 α13 α14
α21 α22 α23 α24
α31 α32 α33 α34
y
{
zzzzzz pelo escalar γ.
In[26]:= H∗ A matriz u, o escalar γ e o produto γu ∗L
u = 88α11, α12, α13, α14<, 8α21, α22, α23, α24<, 8α31, α32, α33, α34<<;
MatrixForm@γ uD
Out[27]//MatrixForm=
i
k
jjjjjj
γ α11 γ α12 γ α13 γ α14
γ α21 γ α22 γ α23 γ α24
γ α31 γ α32 γ α33 γ α34
y
{
zzzzzz
EXEMPLO 1.4. .Seja X um conjunto não-vazio qualquer. O símbolo F(X; ) representa o conjunto de todas as 
funções reais f, g: X Ø.. Ele se torna um espaço vetorial quando se define a soma f + g de duas funções e o produto 
g.f do número g pela função f da maneira natural:
 (f + g)(x) = f(x) +g(x), (gf)(x) = gf(x)
Valem num espaço vetorial E, como conseqiiências dos axiomas, as regras operacionais habitualmente usadas nas
manipulações numéricas. Vejamos algumas delas
Rijo AL Capítulo 1.nb 3
I. Se w + u = w + v então u = v. Em particula1, w + u = w implica u = 0 e w + u = 0 implica u = - w. Se w + u = w
implica w + u = w + 0, logo u = 0. E se w + u = 0 então w + u = w + (-w) logo u = -w. 
2. Dados 0 œ  e v œ E tem-se 0. v = 0 œ E. Analogamente, dados g œ  e v œ E, vale g.0 = 0. 
3. Se g ∫ 0 e v ∫ 0 então gv ∫ 0.
4. (-1) v = - v. Escreveremos u - v pera significar u + (-v). Evidentemente, u - v = w ó u = v + w. 
EXEMPLO 1.5. Sejam u = (a, b) e v = (c, d) vetores em 2 com u ∫ 0, isto é.a ∫ 0 e b ∫ 0. A fim de que v seja
múltiplo de u, isto é, v = g u para algum g œ é necessário e suficiente que se tenha ad - bc ∫ 0. A necessidede é
imediatapois v = gu signiftca c = ga e a = gb. Multiplicando a primeirn destas igoaldedee por b e a segunda por g
obtemos bc = gab e ad = gab, logo ad = bc, ou seja, ad - bc = 0. Reciprocamente, se ad = bc então, supondo g ∫ 0
obtemos d= (c/a)b. Além disso, é claro que c = (c/a)a. Logo, pondo g = c/a, vem d = gb e c = ga, isto é v = gu. Se for b
∫ 0, tomeremos a =d/b pera ter v = gu.
Exercícios (ELL pág. 5)
1.1 Dadas as matrizes 
 a = J 1 −1 23 2 1 N , b = J
2 3 0
−2 −3 1 N e c = J
−4 −5 4
12 13 1 N
(a) Calcule a matriz 3 a - 2 b + c
In[8]:= H∗ Os vetores a, b, c e a soma 3 a −2 b +c ∗L
a = 881, −1, 2<, 83, 2, −1<<;
b = 882, 3, 0<, 8−2, −3, 1<<;
c = 88−4, −8, 4<, 812, 13, 1<<;
MatrixForm@3 a − 2 b + cD
Out[11]//MatrixForm=
J −5 −17 1025 25 −4 N
(b) Ache os números a e b, ambos diferentes de zero, tais que a a + b b + c tenha a primeira coluna nula.
In[12]:= H∗ A matriz αa + βb + c ∗L
MatrixForm@α a + β b + cD
Out[12]//MatrixForm=
J −4 + α + 2 β −8 − α + 3 β 4 + 2 α12 + 3 α − 2 β 13 + 2 α − 3 β 1 − α + β N
In[13]:= H∗ Solução do sistema −4 + α + 2 β = 0, 12 + 3 α − 2 β = 0 ∗L
Solve@8−4 + α + 2 β m 0, 12 + 3 α − 2 β m 0<, 8α, β<D
Out[13]= 88α → −2, β → 3<<
Resposta: a = -2 e b = 3.
Solve[eqns, vars] tenta resolver uma equação ou um sistema de equações com várias variáveis.
4 Rijo AL Capítulo 1.nb
In[14]:= H∗ Verificação do resultado ∗L
MatrixForm@α a + β b + cD ê. 8α → −2, β → 3<
Out[14]//MatrixForm=
J 0 3 00 0 6 N
In[188]:= m = 882, 1<, 8−3, 4<<;
b = 8−1, 2<;
a = 8x, y<;
m.a
Out[191]= 82 x + y, −3 x + 4 y<
In[192]:= Solve@m.a m b, 8x, y<D
Out[192]= 99x → − 6ccccccc11 , y →
1ccccccc11 ==
1.3 Ache o valor de t que torne a matriz abaixo igual à matriz nula:
 
i
k
jjj t
2 - 1 t2 - t
t3 - 1 t2 - 3 t + 2
y
{
zzz
In[213]:= H∗ Solução das equações t2 − 1 = 0,
t2 − t = 0, t3 − 1 = 0, t2 + 3 t + 2 = 0, ∗L
m = 88t^2 − 1 , t^2 − t<, 8t^3 − 1 , t^2 − 3 t + 2<<;
eq1 = Solve@m@@1, 1DD m 0, 8t<D;
eq2 = Solve@m@@1, 2DD m 0, 8t<D;
eq3 = Solve@m@@2, 1DD m 0, 8t<D;
eq4 = Solve@m@@2, 2DD m 0, 8t<D;
In[218]:= Intersection@eq1, eq2, eq3, eq4D
Out[218]= 88t → 1<<
Resposta: t = 1.
In[219]:= H∗ Verificação da resposta ∗L
MatrixForm@mD ê. t → 1
Out[219]//MatrixForm=
J 0 00 0 N
1.4 Determine os vetores u, v œ 4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenadas de v é 
igual a 3 e u + v = (1, 2 ,3, 4).
In[220]:= H∗ Solução do sistema u1 + v1 = 1,
u1 + v2 = 2, u1 + v3 = 3, v4 = 3 , u1 + v4 = 4 ∗L
Solve@8u1 + v1 m 1, u1 + v2 m 2, u1 + v3 == 3, v4 m 3, u1 + v4 m 4<,
8u1, v1, v2, v3, v4<D
Out[220]= 88u1 → 1, v1 → 0, v2 → 1, v3 → 2, v4 → 3<<
Resposta: u = (1, 1, 1, 1} e v = (0, 1, 2, 3).
1.5 Dados u = (1, 2 ,3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0), ache números a, b, g tais que a u + b v + g w = (1, 1, 1).
Rijo AL Capítulo 1.nb 5
In[234]:= H∗ Solução do sistema α + 3 β + 2 γ = 1, 2 α + 2 β = 1, 3 α = 1 ∗L
u = 81, 2, 3<; v = 83, 2, 0<; w = 82, 0, 0<;
Solve@8α + 3 β + 2 γ m 1, 2 α + 2 β m 1, 3 α m 1<, 8α, β, γ<D
Out[234]= 99α → 1cccc3 , β →
1cccc6 , γ →
1ccccccc12 ==
Resposta: α = 1cccc3 , β = 1cccc6 , γ = 1cccccc12
In[235]:= H∗ Verificação da resposta ∗L
Flatten@α u + β v + γ w ê. %D
Out[235]= 81, 1, 1<
1.16 Dados os vetores u = (1, 2 ,3), v = (3, 2, 1), w = (-3, 2, 7) em 3 , obtenha números a, b tais que w = a u + b 
v. Quantas soluções admite este problema?
In[240]:= H∗ Achar os vetores u, v e w ∗L
u = 81, 2, 3<; v = 83, 2, 1<; w = 8−3, −2, 7<;
Solve@8α + 3 β m −3, 2 α + 2 β m 2, 3 α + β m 7<, 8α, β<D
Out[241]= 88α → 3, β → −2<<
Resposta: a = 3 e b = -2. Admite uma única solução.
In[242]:= H∗ Verificação da resposta ∗L
Flatten@α u + β v ê. %D
Out[242]= 8−3, 2, 7<
1.17 Sejam os vetores u = (1, 1), v = (1, 2), w = (2, 1). Ache números a, b, c, a, b, g, todos não-nulos, tais que au + 
b v + c w = a u + b v + g w, com a ∫ a, b ∫ b, g ∫ c.
In[246]:= H∗ Supondo α = 1, β = 2, γ = 3, determinar αu + βv + γw ∗L
u = 81, 1<; v = 81, 2<; w = 82, 1<;
8α, β, γ< = 81, 2, 3<;
α u + β v + γ w
Out[248]= 89, 8<
In[269]:= H∗ Supondo a = −4, determinar b e c tal −4 u + bv + cw = u + 2 v + 3 w ∗L
Clear@a, b, cD;
Solve@8a m −4, a + b + 2 c m 9, a + 2 b + c m 8<, 8a, b, c<D
Out[270]= 99a → −4, b → 11ccccccc3 , c →
14ccccccc3 ==
Resposta: a = - 4, b = 11/3, c = 14/3, a = 1, b = 2, g = 3
In[271]:= H∗ Verificação da resposta ∗L
8a, b, c< = 8−4, 11ê3, 14ê3<;
8α, β, γ< = 81, 2, 3<;
a u + b v + c w m α u + β v + γ w
Out[273]= True
6 Rijo AL Capítulo 1.nb
CAPÍTULO 2
Subespaços
Iniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2
Out[1]= 4
Um subespaço vetorial do espaço vetorial E é um subconjunto F Õ E que, relativamente às operações de E, é
ainda um espaço vetorial. Os subespaços vetoriais constituem uma rica fonte de exemplos de espaços vetoriais,
como se verá nas seções seguintes. 
Seja E um espaço vetorial. Um subespaço vetorial (ou simplesmente um subespaço) de E é um subconjunto F Õ E
com as seguintes propriedades:
 1. 0 œ F;
 2. Se u e v œ F então u + v œ F;
 3. Se v œ F então, para todo a œ , av œ F . 
 Segue-se que se u e v pertencem ao subespaço F e a, b são números reais quaisquer então a.au + bv œ F. Mais
geralmente, dados v1 , ..., vm œ F e a1 , ..., am œ  tem-se v = a1 v1 + . . . + am vm œ F.
 O conjunto {0}, com o único elemento 0, e o espaço inteiro E são exemplos triviais de subespaços de E. Todo
subespaço é, em si mesmo, um espaço vetorial. 
EXEMPLO 2.1 Seja v œ E um vetor não-nulo. O conjunto F = {av; a œ } de todos os múltiplos de v é um
subespaço vetorial de E, chamado a reta que passa pela origem e contém v. 
In[22]:= H∗ Subespaços do plano HretasL gerados pelos vetores H1, −2L e H1, 4L ∗L
<< Graphics`ImplicitPlot`
ImplicitPlot@82 x + y m 0, 4 x − y m 0<, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → 8−4, 4<D;
-4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
EXEMPLO 2.2 Seja E = F(; ) o espaço vetorial das funções reais de uma variável real f:  Ø . Para cada k œ
N, o conjunto Ck () das funções k vezes continuamente deriváveis é um subespaço vetorial de E. Também são
subespaços de E o conjunto C0 () das funções contínuas, o conjunto C¶ () das funções infinitamente deriváveis, o
conjunto P = P() dos polinômios p(x) = a0 + a1 x + ...+ an xn e o conjunto Pn dos polinômios de grau § n. Para n, k
œ N quaisquer, "' tem-se: 
 C0 ()   Ck ()   Ck + 1 ()  C¶ ()   P   Pn.
Observe que o conjunto dos polinômios de grau n não é um subespaço vetorial de E pois a soma de dois polinômios de
grau n pode ter grau < n. 
In[194]:= H∗ Soma dos ploninômios p1 e p2 de P4 ∗L
p1 = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4;
p2 = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + b4 t4;
p1 + p2
Out[196]= a0 + t a1 + t2 a2 + t3 a3 + t4 a4 + b0 + t b1 + t2 b2 + t3 b3 + t4 b4
Organizando os temos obten − se a0 +
Ha1 + b1L t + Ha2 + b2L t2 + Ha3 + b3L t3 + Ha4 + b4L t4
In[201]:= H∗ Soma do ploninômio p1 de P4 pelo escalar α ∗L
p1 = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4;
α p1 êê Expand
Out[202]= α a0 + t α a1 + t2 α a2 + t3 α a3 + t4 α a4
EXEMPLO 2.3 Sejam a1 , ..., an números reais. O conjunto H de todos os vetores espaços os vetores v =
Hx1, . . . , xnL œ n tais que
 a1 x1 + . . . + an xn = 0
é um subespaço vetorial de n. No caso desinteressante em que a1 = . . . = an = 0, o subespaço H é todo n . Se, ao
contrário, pelo menos um dos ai é ∫ de 0, H chama-se um hiperplano de n que passa pela origem.2 Rijo AL Capítulo 2.nb
Subespaços S1 e S2 de 2 gerados pelos vetores {u1 = (1, 1, 1), u2 = (3, 4, -7)} e {v1 = (1, 0, -3), v2 = (3, 2, -1)}, 
respectivamente.
In[2]:= H∗ Subespaços do 3 HplanosL gerados pelos vetores: u1 = H1, 1, −1L,
u2 = H3, 4, −7L e v1 = H1, 0, −3L, v2= H3, 2, −1L ∗L
p1 = Plot3D@x + y , 8x, −5, 5<, 8y, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot3D@3 x − 4 y , 8x, −5, 5<, 8y, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-5
-2.5
0
2.5
5 -10
-5
0
5
10
-10
0
10
-5
-2.5
0
2.5
Seja X um subconjunto do espaço vetorial E. O subespaço vetorial de E gerado por X é, por definição, o conjunto
de todas as combinações lineares 
 a1 v1 + a2 v2 + . . . + am vm
de vetores v1 , . . . , vm œ X.
É fácil ver que o conjunto de todas as combinações lineares que se podem formar com vetores retirados do con-
junto X é, de fato, um subespaço vetorial, que indicaremos pelo símbolo S(X). 
O subespaço S(X), gerado pelo subconjunto X œ E, contém o conjunto .X e, além disso, é o menor subespaço de
E que contém X. Noutras palavras, se F é um subespaço vetorial de E e X œ F então S(X) œ F. Evidentemente,
se X já é um subespaço vetorial, então S(X) = X. Quando o subespaço S(X) coincide com E, diz-se que X é um
conjunto de geradores de E.
Explicitamente: um conjunto X é um conjunto de geradores do espaço vetorial E quando todo vetor w œ E pode
exprimir-se como combinação linear
 w = a1 v1 + a2 v2 + . . . + am vm
 de vetores v1 , . . . , vm pertencentes a X. 
EXEMPLO 2.5. Se v œ E é um vetor não-nulo, o subespaço gerado por v é a reta que passa pela origem e contém v. 
EXEMPLO 2.6. Sejam u = (a,b) e v = (c, d) vetores de 2 tais que nenhum deles é múltiplo do outro. Então u ∫ 0, v
∫ 0 e, pelo Exem0lo 1.5, ad - bc ∫ 0. Afirmamos que X = {u, v} é um conjunto de geradores de 2 , ou seja, que
qualquer vetor w = ( r, s ) œ 2 pode exprimir-se como uma combinação linear w = xu + yv. De fato esta igualdade
Rijo AL Capítulo 2.nb 3
vetorial em 2 equivale às duas igualdades numéricas
 ax + cy = r
 bx + dy = s. 
 Como ad - bc ∫ 0, o sistema de equações acima possui uma solução (x, y), logo existem x,y œ  tais que xu + yv =
w. Esta mesma conclusão pode também ser obtida geometricamente conforme mostra a Figura 2.1: 
In[325]:= H∗ Figura 1.1, Soma de vetores ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@880, 0<, 8.8, 1.6<, 83, 2.333<, 82.2, .733<, 80, 0<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<,
Epilog → 8Text@"O", 80, 0<D, Text@"u", 81, .2<D,
Text@"xu", 82, .5<D, Text@"v", 8.15, .5<D, Text@"yv", 8.45, 1.3<D,
Text@"w = xu + yv", 81.5, 1.3<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 81.5, .5<D,
Arrow@80, 0<, 83, 2.333<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
u
xuv
yv w = xu + yv
EXEMPLO 2.7. Os chamados vetores canônicos 
 e1 = H1, 0, 0, . . . , 0L,
e1 = H0, 1, 0, . . . , 0L,
ª
e1 = H1, 0, 0, . . . , 1L
constituem um conjunto de geradores do espaço n . Com efeito, dado or v = Ha1, a2 , . . . , anLœ n , tem-se v =
a1 e1 + a2 e2 + . . . + an en . Analogamente os monômios 1, x, x2, . . ., xn, . . . (um número infinito) f ormam um
conjunto de geradores do espaço P dos polinômios reais. Por sua vez, , os n + 1 primeiros deles, a saber, 1 , x, ..., xn
constituem um conjunto de geradores de Pn , espaço vetorial dos polinômios de grau § n.
Resulta do Exemplo 2.6 que os únicos subespaços vetoriais de 2 são {0}, as retas que passam pela origem e o próprio 
2 .
EXEMPLO 2.8. O sistema linear de m equações a n incógnitas 
 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a1 n xn = b2
ª
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
4 Rijo AL Capítulo 2.nb
possui uma solução Hx1 , ..., xn ) se, e somente se, o vetor b = Hb1, . . . bmL é combinação linear dos vetores-coluna
 v1 = Ha11, a21, . . . , am1L,
ª
vn = Ha1 n, a2 n, . . . , amnL,
 da matriz a = @aijD.
Sejam F1 e F1 subespaços vetoriais de E. O subespaço vetorial de E gerado pela reunião F1 ‹ F2 é; como se vê
facilmente, o conjunto de todas as somas v1 + v2 , onde v1 œ F1 e v2 œ F2 . Ele é representado pelo símbolo F1 +
F2 . 
Mais geralmente, dados os subconjuntos X, Y Õ E, indica-se com X + Y o conjunto cujos elementos são as somas
u + v, onde u œ X e v œ Y. Quando X = {u} reduz-se a um único elemento u, escreve-se u + Y em vez de {u} +
Y. Diz-se então que u + Y resulta de Y pela translação de u.
Quando os subespaços F1 , F2 œ E têm em comum apenas o elemento {0}, escreve-se F1 ∆ F2 em vez de F1 +
F2 e diz-se que F = F1 ∆ F2 é a soma direta de F1 e F2 .
Teorema 2.1. Sejam F, F1 , F2 subespaços vetoriais de E, com F1 Õ F e F2 Õ F. As seguintes afirmações são
equivalentes:
(1) F = F1 ∆ F2
(2) Todo elemento w œ F se escreve, de modo único, como soma w = v1 + v2 , onde v1 œ F1 e v2 œ F2. 
EXEMPLO 2.9. Em 4 , sejam F1 o subespaço gerado pelos vetores e1 = (1, 0, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) e F2 o sube-
spaço gerado pelos vetores e2 = (0, 1 0, 0), e = (0, 0, 0, 1). Então F1 é o conjunto dos vetores da forma Ha1 , 0, a3 , 0)
enquanto os vetores de F2 têm a forma (0, a2 , 0, a4 ). É claro que 4 = F1 ∆ F2 . 
A noção de subespaço vetorial abrange as retas, planos e seus análogos multidimensionais apenas nos casos em
que esses conjuntos contêm a origem. Para incluir retas, planos, etc. que não passam pela origem, tem-se a noção
de variedade afim, que discutiremos agora. 
Seja E um espaço vetorial. Se x, y œ E e x ∫ y, a reta que une os pontos x, y é, por definição o conjunto
 r = {(l - t)x + ty; t œ }.
Pondo v = y - x, podemos ver que r = {x + tv; t œ }. 
Um subconjunto V Õ E chama-se uma variedade afim quando a reta que une dois pontos quaisquer de V está
contida em V. Assim,V Õ E é uma variedade afim se, e somente se, cumpre a seguinte condição:
 x, y œ V, t œ  ï (1 - t)x + ty œ V.
Rijo AL Capítulo 2.nb 5
In[439]:= H∗ Representação esquemática de variedade afim ∗L
p1 = ListPlot@80, 0<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 80, −.15<D, Text@"x", 8.4, .8<D, Text@"F", 81.5, .55<D,
Text@"x + F", 81.7, 1.6<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−1, −.5<, 82, 1<<, PlotJoined → True,
Axes → False, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@88−1, .5<, 82, 2<<, PlotJoined → True,
Axes → False, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = ListPlot@880, 0<, 81, 1.5<<, PlotJoined → True,
Axes → False, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
x
F
x + F
EXEMPLO 2.10. . Um exemplo óbvio de variedade afim é um subespaço vetorial. Ao contrário dos subespaços
vetoriais, que nunca são vazios pois devem conter o zero, a definição acima é formulada de tal modo que o conjunto
vazio a cumpre, logo « é uma variedade afim. Se v1 , ..., vm œ E são variedades afins então a interseção V = V1› ...
› Vm é ainda uma variedade afim. Todo ponto p œ E é uma variedade afim.Teorema 2.2. Seja V uma variedade afim não-vazia no espaço vetorial E. Existe um único subespaço vetorial F Õ
E tal que, para todo x œ V tem-se
 V = x + F = {x + v; v œ F}. 
EXEMPLO 2.12. Vimos no exemplo 2.8 que o conjunto V das soluções de um sistema linear de m equações com n
incógnitas é uma variedade afim. Supondo V ∫ «, tomemos x0 œ V e chamemos de F o subespaço vetorial de n
formado pelas soluções do sistema homogêneo correspondente. Tem-se V = x0 + F. Diz-se então que "todas as
soluções do sistema se obtêm somando uma solução particular com a solução geral do sistema homogêneo associado". 
6 Rijo AL Capítulo 2.nb
Exercícios (ELL pág. 18)
2.7 Sejam F1 = SHu1, v1L e F2 = SHu2, v2L os subespaços de 3 gerados pelos vetores u1 = H0, 1, -2L , 
u2 = H1, 1, 1L , v1 = H-1, 0, 3L e v2 = H2, -1, 0L . Ache números a1, b1, c1 e a2, b2, c2 tais que se tenha
 F1 = 8Hx, y, zL œ 3; a1 x + b1 y + c1 z = 0<
 F2 = 8Hx, y, zL œ 3; a2 x + b2 y + c2 z = 0< 
Resposta:
Para achar os números a1, b1 e c1 basta resolver o sistema de equações b1 - 2 c1 = 0 e a1 + b1 + c1 = 0. Portanto,
In[10]:= H∗ Achar os números a1, a2 e a3 ∗L
Solve@8 b1 − 2 c1 m 0, a1 + b1 + c1 m 0<, 8a1, b1<D
Out[10]= 88a1 → −3 c1, b1 → 2 c1<<
Logo, a equação do plano gerado pelos vetores u1 e u2 é dada por - 3 c1 x + 2 c1 y + c1 z = 0. Supondo c1 ∫ 0, 
então - 3 x + 2 y + z = 0.
Para achar os números a2, b2 e c2 procede-se da mesma maneira. Então,
In[11]:= H∗ Achar os números a1, a2 e a3 ∗L
Solve@8 −a1 + 3 c1 m 0, 2 a1 − b1 m 0<, 8a1, b1<D
Out[11]= 88a1 → 3 c1, b1 → 6 c1<<
Portanto, a equação do plano gerado pelos vetores uv1 e v2 é dada por 3 c1 x + 6 c1 y + c1 z = 0. Supondo c1 ∫ 0, 
então 3 x + 6 y + z = 0.
2.10. Exiba três vetores u, v, w œ 3 com as seguintes propriedades: nenhum é múltiplo do outro, nenhuma das 
coordenadas é igual a zero e 3 não é gerado por eles. 
Resposta:
Consideremos dois vetores quaisquer de 3 em que um deles não seja múltiplo do outro. Por exemplo, os vetores u = 
( 1, 2, 3) e v = (4, 5, 6). Muliplicando o vetor v por 2 e subtraindo o vetor u, obtemos o terceiro vetor w = 2 v - u = (7, 
8 ,9). Nenhuma coordenada do vetor w é zero, nenhum dos vetores é multiplo do outro e eles não geram 3 , pois w 
esta no mesmo plano gerado por u e v. 
2.11. Seja F o subespaço de 3 gerados pelos vetores u = (1, 1, 1) e v = (1, -1, -1). Ache números a, b, c com as 
seguintes propriedades: um vetor w = (x, y, z) pertence a F se, e somente se, ax + by + cz = 0. 
2.12. Exprima o vetor (1, -3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w = (2,-3,5). 
Resposta:
 Devemos achar números a, b e c tais que a u + b v + c w = (1, -3, 10). 
Rijo AL Capítulo 2.nb 7
In[452]:= H∗ Achar números a, b, c da combinação linear au + bv + cw ∗L
Solve@8a + b + 2 c m 1, b − 3 c m −3, 5 c m 10<, 8a, b, c<D
Out[452]= 88a → −6, b → 3, c → 2<<
Portanto, a combinação linear deseja é - 6 u + 3 v + 5 w
In[453]:= H∗ Verificação da resposta ∗L
u = 81, 0, 0<; v = 81, 1, 0<; w = 82, −3, 5<;
−6 u + 3 v + 2 w
Out[453]= 81, −3, 10<
2.13. Mostre que a matriz d = J 4 −4−6 16 Npode ser escrita como combinação linear das matrizes
 a = J 1 23 4 N , b = J
−1 2
3 −4 N e c = J
1 −2
−3 4 N . 
In[473]:= H∗ Achar os númeors α, β, γ da combinação linear αa + βb + γc ∗L
Solve@8α − β + γ m 4, 2 α + 2 β − 2 γ m −4,
3 α + 3 β − 3 γ m −6, 4 α − 4 β + 4 γ m 16<, 8α, β, γ<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[473]= 88α → 1, β → −3 + γ<<
Resposta:
O sistema de equações tem uma infinidade de soluções. Portanto, a = 1, b = - 3 + g sendo g qualquer número real. 
In[470]:= H∗ Verificação da resposta para γ = 1 ∗L
a = 881, 2<, 83, 4<<; b = 88−1, 2<, 83, −4<<; c = 881, −2<, 8−3, 4<<;
MatrixForm@a − 2 b + cD
Out[471]//MatrixForm=
J 4 −4−6 16 N
In[476]:= H∗ Verificação da resposta para γ = −5 ∗L
a = 881, 2<, 83, 4<<; b = 88−1, 2<, 83, −4<<; c = 881, −2<, 8−3, 4<<;
MatrixForm@a − 8 b − 5 cD
Out[477]//MatrixForm=
J 4 −4−6 16 N
2.15. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
 (a) O conjunto X Õ 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que z = 3x e x = 2y.
 (b) O conjunto Y Õ 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que xy = 0.
 (c) O conjunto Z das matrixes 2x3 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais. 
 (d) O conjunto F = Õ F( : ) formado pelas funções f:  Ø  tais que f(x + 1) = f(x) para todo x œ . 
 (e) O conjunto L Õ n dos vetores v = (x, 2 x, . . ., n x), onde x œ  é arbitrário. 
8 Rijo AL Capítulo 2.nb
 (f) O conjunto dos vetores v œ 5 que tenham duas ou mais coordenadas nulas. 
 (g) O conjunto dos vetores de 3 que têm pelo menos uma coordenada ¥ 0.
Resposta:
 (a) Sim, é uma reta gerada pelo vetor (2, 1, 6), 
 (b) Não, a soma dos vetores (1, 0, 3) e (0, 5, -2) é (1, 5, 1) que não pertence a Y.
 (c) Não, a soma das matrizes J 2 0 32 −5 −6 Ne J
1 −3 3
4 −3 6 N é J
3 −3 6
6 −8 0 Nque não pertence a Z.
 (d) Sim, é uma reta gerada pelo vetor (2, 1, 6), 
 (e) Sim, é uma reta gerada pelo vetor (1, 2, . . ., n), 
 (f) Não, a soma dos vetores (2, 0, 0, 5, 6) e (0, 3, 4, 0, 0, 0) é (2, 3, 4, 5, 6) que não tem nenhuma coordenada 
nula,
 (g) Não, a soma dos vetores (2, -3, 0) e (-3, 2, -1) é (-1, -1,-1) que não pertence a 3 .
2.17. Obtenha números a, b, c, d tais que a variedade afim (plano) de 3 definida pela equação ax + by + cz = d 
contenha os pontos e1 = H1, 0, 0L, e2 = H0, 1, 0L e e3 = H0, 0, 1L.
Resposta:
a = b = c = 1. Com efeito, x + y + z = 1 contém os pontos e1, e2 e e3.
2.20. Sejam v1, v2, v3 os vetores-linha e w1 , w2, w3 os vetores-coluna da matriz
 
i
k
jjjjjjj
1 2 3
4 5 6
7 8 9
y
{
zzzzzzz
Verifique as relações v3 = 2 v2 - v1 , w3 = 2 w2 - w1. Exprima w1 e w2 como cobinação linear de v1 e v2 e vice-versa. 
Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço de 3 .
In[481]:= v1 = 81, 2, 3<; v2 = 84, 5, 6<; v3 = 87, 8, 9<;
w1 = 81, 4, 7<; w2 = 82, 5, 8<; w3 = 83, 6, 9<;
v3 m 2 v2 − v1
w3 m 2 w2 − w1
Out[483]= True
Out[484]= True
In[1]:= Solve@8a + 4 b m 1, 2 a + 5 b m 4, 3 a + 6 b m 7<, 8a, b<D
Out[1]= 99a → 11ccccccc3 , b → −
2cccc3 ==
In[2]:= Solve@8a + 4 b m 2, 2 a + 5 b m 5, 3 a + 6 b m 8<, 8a, b<D
Out[2]= 99a → 10ccccccc3 , b → −
1cccc3 ==
In[4]:= Solve@8a + 2 b m 1, 4 a + 5 b m 2, 7 a + 8 b m 3<, 8a, b<D
Out[4]= 99a → − 1cccc3 , b →
2cccc3 ==
In[5]:= Solve@8a + 4 b m 4, 2 a + 5 b m 5, 3 a + 6 b m 6<, 8a, b<D
Out[5]= 88a → 0, b → 1<<
Rijo AL Capítulo 2.nb 9
2.21. Dê um exemplo de uma matriz 3 × 3 cujos vetores-linha geram um subespaço de 3 diferente daquele gerado 
pelos vetores coluna.
Resposta:
 Os vetores-linha da matriz 
 
i
k
jjjjjjj
1 3 −2
0 a 0
−3 −9 6
y
{
zzzzzzz 
 geram o 2 (a teceira linha é múltipla da primeira) e os vetores-coluna geram o próprio 3 , para qualquer a ∫ 0. 
2.35. Sejam E, F espaços vetoriais. Uma função f: E Ø F chama-se par (respectivamente ímpar) quando f(-v) = f(v) 
(respectivamente f(-v) = - f(v))para todo v œ E. Prove:
O conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares são subespaços vetoriais de F(E; F) e vale F(E; F) 
= A ∆ B. 
Resposta:
 A soma de duas fun;õs pares e par. Com efeito, [f+g](-v) = f(-v) + g(-v) = f(v) + g(v) = [f + g](v), além disso, 
[lf](-v) = lf(-v) = lf(v) = [lf](v). A função identicamente zero é par. Portanto, o conjunto A das funções pares é um 
subespaço vetorial de F(E; F).
Analogamente, a soma de duas funções impar é impar. De fato, [f+g](-v) = f(-v) + g(-v) = -f(v) - g(v) = -[f + g](v) e 
também [lf](-v) = lf(-v) = -lf(v) = -[lf](v). A função identicamente zero é ímpar. Portanto, o conjunto B das funções 
impares é um subespaço vetorial de F(E; F).
Qualquer função f: E Ø F pode ser escrita como a soma de um função par e um ímpar. Com efeito, basta observar que 
as componentes par e impar de f são dadas por
 fparHxL = f HxL + f H-xLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 e fimparHxL =
f HxL - f H-xLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 .
 Finalmente, a função identicamente nula é a única função f: E Ø F que é simultaneamente par e ímpar. Portanto, F(E; 
F) = A ∆ B. 
10 Rijo AL Capítulo 2.nb
CAPÍTULO 3
Bases
Iniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2
Out[1]= 4
Os espaços vetoriais de dimensão finita, objetos centrais do nosso estudo, possuem uma estrutura algébrica
extremamente simples, evidenciada pelas idéias de base e dimensão, que apresentaremos agora. Uma vez fixada
uma base num espaço vetorial de dimensão n, seus elementos são meramente combinações lineares dos n vetores
básicos, com coeficientes univocamente determinados. Nesta seção, esses fatos serão estabelecidos e analisados
em detalhe. 
Seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto X Õ E é linearmente independente (abreviadamente, L.I.)
quando nenhum vetor v œ X é combinação linear de outros elementos de X. Para evitar ambigiiidade, no caso em
que X = {v} consta de um único elemento v, diz-se que X é L.I., por definição, quando v ∫ 0. Quando X é L.I.,
diz-se também que os elementos de X são vetores linearmente independentes. 
Quando o conjunto X é L.I. seus elementos são todos ∫ 0, pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer
outros: 0 = 0. v1 + . . . + 0. vn (Se não há "outros", X = {v}, v ∫ 0.) 
Teorema 3.1. Seja X um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se a1 v1 + . . . + am vm = 0 com
a1 = . . . = am = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de X é aquela cujos coefi-
cientes são todos iguais a zero, então X é um conjunto L.I.. 
Corolário. Se v = a1 v1 . . . + am vm = b1 v1 . . . + bm vm e os vetores v1, . . . vm são L.I. então
a1 = b1, . . . am = bm.
EXEMPLO 3.1 Os vetores canônicos e1 = (1,0,... ,0),... , en = , (0,... ,0,1) em n são L.I.. Com efeito,
a1 e1 + . . . + an en = 0 significa Ha1, . . . , an ) = 0, logo a1 = ... = an = 0.
Analogamente, os monomIos 1, x, ..., xn em Pn sâo L.L. pois a0 + a1 x + . . . + an xn = pHxL é o vetor nulo em Pn
somente quando p(x) é a função identicamente nula, isto é, p(x) = 0 para todo x œ  . Isto obriga a ser a0 = ... = an =
0 pois um polinômio não nulo de grau k tem no máximo k raízes reais. Esta observação nos permite ainda concluir que
X = {1 , x, ..., xm , ...} Õ P é um conjunto infinito L.I. 
Teorema 3.2. Sejam v1 , ..., vm vetores não-nulos do espaço vetorial E. Se nenhum deles é combinação linear dos
anteriores então o conjunto X = 8v1 , . . . vm< é L.I.. 
EXEMPLO 3.2 Os vetore u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), w = (7, 8, 9) em 3 são L.D. pois w = 2v - u. 
EXEMPLO 3.3 Quando os vetores v1 , ... , vm . são L.D., isto não significa que qualquer um deles seja combinação
linear dos demais. Por exemplo se u = (1, 2), v = (3, 4) e w = (4, 8) então {u,v,w} Õ 2 é um conjunto L.D. pois w =
4u + 0 .v porém v não é combinação linear de u e w. 
Uma base de um espaço vetorial E é um conjunto B Õ E linearmente independente que gera E. Isto significa que
todo vetor v œ E se exprime, de modo único, como combinação linear v = a1 v1 . . . + am vm de elementos v1 , ...,
vm da base B. Se B é uma base de E e v = a1 v1 . . . + am vm , entao os numeros a1 , . . . am chamam-se as coordena-
das do vetor v na base B.
EXEMPLO 3.4 Os vetores e1 = (1, 0, ... ,0), ... , en = (0, ... , 0, 1) constituem uma base 8e1, . . . en< de n , chamada
a base canônica. 
Analogamente, os monômios 1 , x, ..., xn formam uma base para o espaço vetorial Pn dos polinômios de grau § n. O
conjunto {1, x,... , xn ,...} dos monômios de graus arbitrários constitui uma base (infinita) para o espaço vetorial P de
todos os polinômios rais. 
Um sistema linear é chamado homogêneo quando o segundo membro de cada equação é igual a zero. Todo sistema
homogêneo admite pelo menos a solução trivial (0, 0, ..., 0). 
Lema 3.1. Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do que o número de equações
admite uma solução não-trivial. 
Teorema 3.3. Se os vetores v1 , ..., vm geram o espaço vetorial E então qualquer conjunto com mais de m vetores
em E é L.D. 
Diz-se que o espaço vetorial E tem dimensão finita quando admite uma base B = {v1 , ..., vn } com um número
finito n de elementos. Este número, que é o mesmo para todas as bases de E, chama-se a dimensão do espaço
vetorial E: n = dim E. Por extensão, diz-se que o espaço vetorial E = {0} tem dimensão zero. 
Corolário 3. Se a dimensão de E é n, um conjunto com n vetores gera E se, e somente se, é L.I. 
Diz-se que a variedade afim V Õ E tem dimensão r quando V = x + F, onde o subespaço vetorial F Õ E tem
dimensão r.
EXEMPLO 3.5 Os monômios 1, x, ..., xn constituem uma base do espaço vetorial Pn , dos polinômios de grau n,
logo Pn tem dimensão finita e dim Pn = n + 1. Por outro lado, o conjunto infinito {1, x, ..., xn , ...} é uma base do
espaço vetorial P de todos os polinômios, o qual tem dimensão infinita.
EXEMPLO 3.6 O espaço vetorial M ( m x n) , das matrizes m x n, tem dimensão finita, igual a m.n. Uma base para
M(m x n) é formada pelas matrizes eij , cujo ij-ésimo elemento (na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna) é
igual a 1 e os demais elementos são iguais a zero. 
EXEMPLO 3.7 Se os coeficientes a1 , ..., an não são todos iguais a zero, o hiperplano
 H = 8Hx1, . . . ,xnL œ n; a1 x1 + . . . + an xn = 0<
é um subespaço vetorial de dimensão n - 1 em n .
2 Rijo AL Capítulo 3.nb
Exercícios (ELL págs. 33 - 38)
3.1 [3.1]. Dados os vetores u = Ha1, a2, a3L , v = Hb1, b2, b3L e w = Hc1, c2, c3L , escrever u' = Ha1, a2L , v' = Hb1, b2L e 
w' = Hc1, c2L . Supondo que u' e v' L.I. existem a e b œ  tais que w' = a u' + b v'. Prove que (u, v, w) é L.D. se, 
somente se, w = a u + b v (com os mesmos a e b) Use esse critério para determinar se os vetores u, v e w abaixo são 
L.I. ou L.D.:
 (a) u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 2), w = (-1, 2, 3)
 (b) u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 2), w = (1, 4, 1) 
Resposta:
Determinação dos a e b dos vetores em (a)
In[50]:= Solve@8α + β == −1, 2 α + 3 β == 2<, 8α, β<D
Out[50]= 88α → −5, β → 4<<
In[55]:= 8−1, 2, 3< == −5 81, 2, 3< + 4 81, 3, 2<
Out[55]= False
Os vetores em (a) são L.I.
Determinação dos a e b dos vetores de (b)
In[56]:= Solve@8α + β == 1, 2 α + 3 β m 4<, 8α, β<D
Out[56]= 88α → −1, β → 2<<
In[57]:= 81, 4, 1< == −81, 2, 3< + 2 81, 3, 2<
Out[57]= True
Os vetores em (b) são L.D.
Uma outra maneira de resolver o problema é verificar se o sistema de equações a u + b v + g w = 0 tem solução trivial 
(L.I) ou não(L.D). 
In[61]:= Solve@8α + β − γ == 0, 2 α + 3 β + 2 γ == 0, 3 α + 2 β + 3 γ == 0<, 8α, β, γ<D
Out[61]= 88α → 0, β → 0, γ → 0<<
Os vetores em (a) são L.I.
In[60]:= Solve@8α + β + γ == 0, 2 α + 3 β + 4 γ == 0, 3 α + 2 β + γ == 0<, 8α, β, γ<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[60]= 88α → γ, β → −2 γ<<
Os vetores em (b) são L.D.
Rijo AL Capítulo 3.nb 3
3.2 [3.2]. Mostre que as matrizes a, b, c abaixo são L.I. 
 a = J 1 10 0 N , b = J
1 0
0 1 N , c = J
1 1
1 1 N
Resposta:
 As matrizes a e b são L.I por que uma não é múltipla da outra. A matriz c não é combinação linear de a e b por que a 
a21 + b b21 ∫ c21 = 1 para qualquer a e b. Entào pelo Teorema 3.2, a, b, c são L.I.
3.3 [3.3]. Prove que os polinômios seguintes são linearmente independentes
 p(x) = x3 - 5 x2 + 1, q(x) = 2 x4 + 5 x - 6, r(x) = x2 - 5 x + 2 . 
Resposta:
Devemos mostra que a (0 x4 + x3 - 5 x2 + 0 x + 1) + b ( 2 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 5 x - 6) + g ( 0 
x4 + 0 x3 + x2 - 5 x + 2) = 0 implica em a = b = g = 0. Assim, 
In[2]:= Solve@82 β m 0, α m 0, −5 α + γ m 0, 5 β − 5 γ m 0, α − 6 β + 2 γ m 0<, 8α, β, γ<D
Out[2]= 88α → 0, β → 0, γ → 0<<
Como a, b e g são todos nulos segue que os polinomios p(x), q(x) e r(x) são L.I..
3.4 [3.5]. No espaço P3 dos polinômios de grau § 3, verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
 p(x) = x3 - 3 x2 + 5 x + 1,
 q(x) = x3 - x2 + 6 x + 2,
 r(x) = x3 - 7 x2 + 4 x . 
Resposta:
Devemos encontrar a (x3 - 3 x2 + 5 x + 1) + b ( x3 - x2 + 6 x + 2) + g ( x3 - 7 x2 + 4 x + 0) = 0 para saber se 
os polinômios dados são L.I. ou L.D.. Assim,
In[4]:= Solve@
8α + β + γ m 0, −3 α − β − 7 γ m 0, 5 α + 6 β + 4 γ m 0, α + 2 β m 0<, 8α, β, γ<D
Out[4]= 88α → 0, β → 0, γ → 0<<
Como a, b e g são todos nulos segue que os polinomios p(x), q(x) e r(x) são L.I..
3.5 [3.8]. Exiba uma base para cada um dos subespaços de 4 listados a seguir
 F = 8Hx1, x2, x3, x4L; x1 = x2 = x3 = x4< ,
 G = 8Hx1, x2, x3, x4L; x1 = x2 e x3 = x4< ,
 H = 8Hx1, x2, x3, x4L; x1 = x2 = x3< , 
 K = 8Hx1, x2, x3, x4L; x1 + x2 + x3 + x4 = 0< , 
Resposta:
Base de F {(1, 1, 1, 1)}, base de G { (1, 1, 0, 0), {0, 0, 1, 1)}, base de H { (1, 1, 1, 0), {0, 0, 0, 1)}, base de K { (1, 0, 
0, -1), {0, 1, 0, -1)},{0, 0, 1, -1)}
3.6 [3.10]. Seja F o subespaço vetorial (plano) de 2 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x - 2 y + 4z = 0. 
Obtenha uma base 8u1, u2, u3< Õ 3 tal que u1 e u2 pertençam a F. 
4 Rijo AL Capítulo 3.nb
Resposta:
Base de F {(1, 1, 1, 1)}, base de G { (1, 1, 0, 0), {0, 0, 1, 1)}, base de H { (1, 1, 1, 0), {0, 0, 0, 1)}, base de K { (1, 
0, 0, 0), {0, 1, 0, 0)},{0, 0, 1, 0)}
3.7 [3.11]. Mostre que polinômios 1, x - 1 e x2 - 3 x + 1 formam uma base de P2 . Exprima o polinômio 2 
x2 - 5 x + 6 como cobinação linear dos elementos dessa base. 
Resposta:
Primeiro devemos mostrar que os três polinômios dados são linearmente independentes. Então,
In[5]:= Solve@8α m 0, −3 α + β m 0, α − β + γ m 0<, 8α, β, γ<D
Out[5]= 88α → 0, β → 0, γ → 0<<
É fácil ver que eles geram P2. Logo, eles formam uma base de P2. Agora vamos achar a, b e c da combinação linear a 
(x2 - 3 x + 1) + b ( x - 1) + c = 
2 x2 - 5 x + 6
In[9]:= Solve@8a m 2, −3 a + b m −5, a − b + c m 6<, 8a, b, c<D
Out[9]= 88a → 2, b → 1, c → 5<<
Verificação do resultado:
In[8]:= 2 Hx2 − 3 x + 1L + Hx − 1L + 5 êê Simplify
Out[8]= 6 − 5 x + 2 x2
3.8 [3.12]. Mostre que os vetores u = (1, 1) e v = (-1, 1) formam uma base de 2. Exprima cada um dos vetores 
e1 = H1, 0L e e2 = H0, 1L como cobinação linear dos elementos dessa base. 
Resposta:
Primeiro devemos mostrar que os vetores u = (1, 1) e v = (-1, 1) são linearmente independentes. Então,
In[10]:= Solve@8α − β m 0, α + β m 0<, 8α, β<D
Out[10]= 88α → 0, β → 0<<
É fácil ver que eles geram 2. Logo, eles formam uma base de 2 . Agora vamos achar a e b da combinação linear a 
(1, 1) + b ( -1, 1) = 
(1, 0)
In[12]:= Solve@8a − b m 1, a + b m 0<, 8a, b<D
Out[12]= 99a → 1cccc2 , b → −
1cccc2 ==
Agora vamos achar a e b da combinação linear a H1, 1L + b H-1, 1L = H0, 1L
In[13]:= Solve@8a − b m 0, a + b m 1<, 8a, b<D
Out[13]= 99a → 1cccc2 , b →
1cccc2 ==
Portanto,
e1 = H1, 0L = 1ê2 H1, 1L − 1ê2 H−1, 1L e e2 = H0, 1L = 1ê2 H1, 1L + 1ê2 H−1, 1L
3.9 [3.13]. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) são L.D.. 
Rijo AL Capítulo 3.nb 5
Resposta:
Devemos mostrar que existem a, b e g diferentes de zero tal que a u + b v + g w = 0. Com rfeito, 
In[18]:= Solve@8α + β + 2 γ == 0, α + 2 β + γ m 0, α + β + 2 γ m 0<, 8α, β, γ<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[18]= 88α → −3 γ, β → γ<<
Por exemplo, tomando g = 1, obtemos a = -3 e b = 1. Asim, w = 3 u - v.
Verificação:
In[16]:= 3 81, 1, 1< − 81, 2, 1<
Out[16]= 82, 1, 2<
3.10 [3.20]. Ache uma solução não-trivial para o sistema homogêneo:
 x1 + 2 x2 + x3 + 4 x4 = 0
2 x1 + x2 + x3 - x4 = 0
3 x1 - 2 x2 + x3 - 2 x4 = 0
 
e a partir daí , obtenha uma cobinação linear nula dos vetores v1 = H1, 2, 3L, v2 = H2, 1, -2L , v3 = H3, 1, 1L, 
v4 = H4. - 1, -2L, na qual os coeficientesnão são todos iguais a zero.
Resposta:
Devemos mostrar que existem x1 , x2 , x3 e x4 diferentes de zero tal que x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 + x4 v4 = 0. Com 
rfeito, 
In[19]:= Solve@8x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 == 0, 2 x1 + x2 + x3 − 4 x4 == 0,
3 x1 − 2 x2 + x3 − 2 x4 == 0<, 8x1, x2, x3, x4<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[19]= 99x1 → 23 x4ccccccccccccc8 , x2 →
13 x4ccccccccccccc8 , x3 → −
27 x4ccccccccccccc8 ==
Por exemplo, tomando g = 1, obtemos a = -3 e b = 1. Asim, w = 3 u - v.
Verificação:
In[16]:= 3 81, 1, 1< − 81, 2, 1<
Out[16]= 82, 1, 2<
3.11 [3.22]. Prove que 81, ex, e2 x, e3 x, e4 x< é um conjunto L.I. no espaço C¶HL . 
Resposta:
Iniciando com a combinação linear α + β Æx + γ Æ2 x + δ Æ3 x + ζ Æ4 x = 0 e derivando-a e dividindo por ‰x , 
três vezes consecutivamente, obtemos o sistema de equações 
 α + β Æx + γ Æ2 x + δ Æ3 x + ζ Æ4 x = 0
β + 2 γ Æx + 3 δ Æ2 x + 4 ζ Æ3 x = 0
2 α + 6 δ Æx + 12 ζ Æ2 x = 0
6 δ Æx + 24 ζ Æx = 0
6 Rijo AL Capítulo 3.nb
In[31]:= Solve@8α + β Æx + γ Æ2 x + δ Æ3 x + ζ Æ4 x == 0, β + 2 γ Æx + 3 δ Æ2 x + 4 ζ Æ3 x == 0,
γ + 3 δ Æx + 4 ζ Æ2 x == 0, δ Æx + 4 ζ Æx == 0<, 8α, β, γ, δ, ζ<D
Solve::svars : 
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Out[31]= 88α → −Æ3 x H−4 + ÆxL ζ, β → 4 Æ2 x H−3 + ÆxL ζ, γ → −4 Æx H−3 + ÆxL ζ, δ → −4 ζ<<
Se ζ ≠ 0, α, β, γ, δ serão também diferentes de zero. Portanto,
o conjunto 81, Æx, Æ2 x, Æ3 x, Æ4 x< e L.I.
Verificação:
In[32]:= α + β Æx + γ Æ2 x + δ Æ3 x + ζ Æ4 x ê. % êê Simplify
Out[32]= 80<
3.12 [3.28]. Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão.
(a) polinômios pares de grau § n.
(b) polinômios ímpares de grau § n.
(c) polinômios de grau § n que se anulam para x = 2 e x = 3.
(d) vetores de n (n ¥ 6) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais
Resposta:(a) 81 , x2, . . .x2 j, . . . , x2 m< em que m = n/2. A dimwnsão é igual a (n + 1)/2.
(b) 81 , x1, . . .x2 j +1, . . . , x2 m +1< em que m = n/2. A dimwnsão é igual a (n + 1)/2.
(c) 81 , x, x2< A dimwnsão é igual 3.
(d) 8H1, 0, 0, 0, 0, 0, . . .L, H0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .L, H0, 0, 1, 0, 0, 0 . . .L,
H0, 0, 0, 0, 1, 0, . . . L , H0, 0, 0, 0, 0, 1 ....<, H0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ....< ...<.
 A dimwnsão é igual n - 2 com n ¥ 6.
3.13 [3.30]. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de 3. Exprima cada um 
dos vetores e1, e2, e3 da base canônica de 3 como combinação linear de u, v e w. 
Resposta:
Devemos mostrar que os vetores u, v, w são L.I. e que geram 3 . 
In[33]:= Solve@8α + β + γ == 0, α + 2 β + 4 γ m 0, α + 3 β + 9 γ m 0<, 8α, β, γ<D
Out[33]= 88α → 0, β → 0, γ → 0<<
Os vetores u, v, w são L.I.. É fácil ver que eles geram 3 . Agora vamos exprimir os vetores e1, e2, e3 da base 
canônica de 3 como combinação linear de u, v, w.
In[42]:= Solve@8α + β + γ m 1, α + 2 β + 4 γ == 0, α + 3 β + 9 γ == 0<, 8α, β, γ<D
Out[42]= 99α → 3, β → − 5cccc2 , γ →
1cccc2 ==
O vetor e1 = 3 u − 5ê2 v + 1ê2 w
In[43]:= 3 81, 1, 1< − 5ê2 81, 2, 3< + 1ê2 81, 4, 9< êê Simplify
Out[43]= 81, 0, 0<
Rijo AL Capítulo 3.nb 7
In[38]:= Solve@8α + β + γ m 0, α + 2 β + 4 γ m 1, α + 3 β + 9 γ == 0<, 8α, β, γ<D
Out[38]= 88α → −3, β → 4, γ → −1<<
O vetor e2 = −3 u + 4 v − w
In[45]:= −3 81, 1, 1< + 4 81, 2, 3< − 81, 4, 9< êê Simplify
Out[45]= 80, 1, 0<
In[39]:= Solve@8α + β + γ m 0, α + 2 β + 4 γ == 0, α + 3 β + 9 γ m 1<, 8α, β, γ<D
Out[39]= 99α → 1, β → − 3cccc2 , γ →
1cccc2 ==
O vetor e3 = u − 3ê2 v + 1ê2 w
In[46]:= 81, 1, 1< − 3ê2 81, 2, 3< + 1ê2 81, 4, 9< êê Simplify
Out[46]= 80, 0, 1<
8 Rijo AL Capítulo 3.nb
CAPÍTULO 4
Transformações Lineares
Iniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2
Out[1]= 4
Álgebra Linear pode ser apresentada sob três pontos de vista equivalentes: transformações lineares, matrizes ou
formas quadráticas. A ênfase (ou até mesmo a exclusividade} que se dá a uma dessas abordagens é muitas vezes
uma questão de hábito, gosto pessoal ou convicção. Neste livro, os três aspectos serão devidamente tratados
porém a primazia será concedida às transformações lineares, pelos três motivos apontados, principalmente o
último. 
Uma transformação linear A: E Ø F é um tipo particular de função que tem o espaço vetorial E como domínio e o
espaço F como contra-domínio. 
Definição de Transformação linear
Sejam E, F espaços vetoriais. Uma transformação linear A: E Ø F é uma correspondência que associa a cada vetor
v œ E um vetor A(v) = A. v = Av œ F de modo que valham, para quaisquer u, v œ E e a œ , as relações:
 A(u + v) = Au + Av, 
 A(a.v) = aAv. 
 O vetor A.v chama-se a imagem (ou o transformado) de v pela transformação A. 
 Se A: E Ø F é uma transformação linear então A. 0 = 0. 
Soma e Produto de transformação linear
A soma de duas transformações lineares A, B: E Ø F e o produto de uma transformação linear A: E Ø F por um
número a œ  são as transformações lineares A + B: E Ø F e aA: E Ø F , definidas respectivamente por (A +
B)v = Av + Bv e (aA)v = a.Av, para todo v œ E. O símbolo 0 indica a transformação linear nula 0: E Ø F,
definida por 0. v = 0 e, definindo -A: E Ø F por ( -A) .v = -Av, vê-se que ( -A) + A = A + ( -A) = 0. 
Operadores e funcionais lineares e espaço dual
Seja L(E; F) o conjunto das transformações lineares de E em F. As definições acima tomam L(E; F) um espaço
vetorial. Quando E = F , usaremos a notação L(E) em vez de L(E; E). As transformações lineares A: E Ø E do
espaço vetorial E em si mesmo são chamadas operadores lineares em E. Por sua vez, as transformações lineares j:
E Ø , com valores numéricos, são chamadas funcionais lineares. Escreve-se E* em vez de L(E; ) e o conjunto
E* dos funcionais lineares j: E Ø  chama-se o espaço vetorial dual de E. 
Operador identidade
Um operador linear especial é o operador identidade I: E Ø E, definido por I. v = v para todo v œ E. Quando for
necessário especificar, escreveremos IE em vez de I. 
O que toma as transformações lineares tão manejáveis é que, para se conhecer Aœ L(E; F), basta que se saibam os
valores A.v que A assume nos vetores v œ B, onde B é uma base de E. Isto é particularmente útil quando E tem
dimensão finita. Neste caso, um número finito de valores A.v1 , ..., A. vn (onde {v1 , ..., vn } œ E é uma base)
atribuídos arbitrariamente, definem inteiramente uma transformação linear A: E Ø F. Mais precisamente, vale o
Teorema 4.1. Sejam E, F espaços vetoriais e B uma base de E. A cada vetor U œ B, façamos corresponder (de
maneira arbitrária) um vetor u' œ F. Então existe uma única transformação linear A: E Ø F tal que A. U = u'
para cada U œ B. 
Matriz da transformação linear
Em virtude do Teorema 4.1, se quisermos definir uma transformação linear A: n Ø m basta escolher, para cada
j = 1, ..., n, um vetor v j = (a1 j , a2 j , ..., amj ) œ m e dizer que v j = A. e j é a imagem do j-ésimo vetor da base
canônica, e j = (0, ...,1, ...,0), pela transformação linear A. A partir daí, fica determinada a imagem A.v de qualquer
vetor v = ( x1 , ..., xn ) œ n . 
Isto significa que uma transformação linear A: n Ø m fica inteiramente determinada por uma matriz a = [aij ] œ
M(m x n). Os vetores-coluna dessa matriz são as imagens A.e j dos vetores da base canônica de n . A imagem de
A.v de um vetor arbitrário v = ( x1 , ..., xn ) œ n é o vetor w = ( y1 , ..., ym ) œ m cujas coordenadas são dadas
pelas equações
 y1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 n xn
 y2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 n xn
 ª
 ym = am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn
nas quais ocorrem os vetores-linha da matriz a. Diz-se que a é a matriz da transformação A relativa às bases
canônicas de n e m . Tem-se
 A.e j = ⁄i = 1m aij ei (j = 1, . . . , n),
onde os e j estão em n e os ei em m . Em particular, a matriz de um funcional linear j: E Ø  é do tipo 1 × n,
logo pode ser escrita simplesmente como @a1, a2, . . . , anD , onde a j = j(e j ). Para todo vetor v = ( x1 , ..., xn ) œ
n tem-se j(x) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn .
EXEMPLO 4.1 Se dim E = 1, todo operador A: E Ø E é do tipo A = a I, isto é, existe uma constante a œ  tal que
Av = a v para todo v œ E. Com efeito, seja u œ E um vetor não-nulo. Então {u}Õ E é uma base: todo vetor em E é
2 Rijo AL Capítulo 4.nb
múltiplo de u. Portanto existe a œ  tal que Au = a u. Para qualquer outro vetor v œ E, temos v = l u portanto Av =
A(l u) = l Au = l a u = a (l u) = a v. 
EXEMPLO 4.2 (Rotação de ângulo q em torno da origem em 2 ) Trata-se do operador R: 2 Ø 2 , que leva
cada vetor v no vetor Rv que dele resulta pela rotação de ângulo q em torno da origem. A Fig. 4.1 deixa claro que R(u
+ v) = R.u + R.v. É bem mais claro ainda que R (av) = a .Rv para œ 2 e a œ  , logo R é uma transformação linear.
In[2]:= H∗ Figura 4.1, Rotação de vetores ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88.8, 1.6<, 83, 2.333<, 82.2, .733<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<,
Epilog → 8Text@"O", 8−.2, 0<D, Text@"u", 81.4, .26<D, Text@"v", 8.3, 1<D,
Text@"u + v", 81.3, 1.3<D, Text@"Ru", 8−.3, 2<D, Text@"Rv", 8−1.5, .5<D,Text@"RHu + vL", 8−1.1, 1.5<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8.8, 1.6<D, Arrow@80, 0<, 82.2, .733<D,
Arrow@80, 0<, 83, 2.333<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@88−1.6, .8<, 8−2.333, 3<, 8−.733, 2.2<<,
Axes → False, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8−1.6, .8<D,
Arrow@80, 0<, 8−.733, 2.2<D, Arrow@80, 0<, 8−2.333, 3<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
u
v
u + v
Ru
Rv
RHu + vL
Para um vetor v = (x, y) œ 2 arbitrário, seja R.v = (x', y'). Sabemos que x' = a x + b y e y' = c x + d e queremos
determinar a matriz 
 J a bc d N
onde Re1 = (a, c) e Re2 = (b, d), com e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). 
Ora, pelas definições de seno e cosseno, o vetor unitário Re1 , que forma com e1 um ângulo q, tem coordenadas cos q e
sen q, o seja, Re1 = (cos q, sen q). Além disso, como e2 forma com e1 um ângulo reto, Re2 também forma com
Re1 um ângulo reto. Logo Re2 ( -sen q, cos q). (Veja Fig. 4.2.) 
Rijo AL Capítulo 4.nb 3
In[6]:= H∗ Figura 4.2, Rotação de um ângulo θ ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlotA882.5, 0<, 82.5, 1.5<, 80, 1.5<<,
PlotRange → 8−.2, 3<, PlotJoined → True, PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<,
Epilog → 9Text@"O", 8−.2, 0<D, Text@"cos θ", 82, .2<D,
Text@"sen θ", 8.5, 1.7<D, Text@"cos θ", 8.5, 2.5<D,
Text@"−sen θ", 8−1, .2<D, Text@"e1", 82.8, .2<D,
Text@"e2", 8.3, 2.8<D, TextA"Re1", 82.5, 1.7<E,
TextA"Re2", 8−1.2, 2.7<E=, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, 0<, 83, 0<D,
Arrow@80, 0<, 82.5, 1.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@
88−1.5, 0<, 8−1.5, 2.5<, 80, 2.5<<, Axes → False, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p4 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 8−1.5, 2.5<D,
Arrow@80, 0<, 80, 2.5<D, Arrow@80, 0<, 80, 3<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
O cos θ
sen θ
cos θ
−sen θ e1
e2
Re1
Re2
Portanto, a rotação R: 2 Ø 2 leva um vetor v = (x, y) no Rv = (x', y'), onde
 x' = x cos q - y sen q;
 y' = x sen q + y cos q.
A matriz de R relativa à base canônica de 2 é 
 J cos θ −sen θsen θ cos θ N .
EXEMPLO 4.3 (Projeção ortogonal sobre uma reta) A reta y = a x é o conjunto dos pontos (x, ax) œ 2 , onde x
varia em . Ela é o subespaço vetorial de 2 gerado pelo vetor (1, q). Consideremos o operador P: 2 Ø 2 que faz
corresponder a cada v = (x, y) œ 2 o vetor Pv = ( x' , ax' ) , cuja extremidade é o pé da perpendicular de v sobre a
reta y = a x. (Veja Fig. 4.3.) 
4 Rijo AL Capítulo 4.nb
In[7]:= H∗ Figura 4.3, Projeção ortogonal sobre uma reta ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−1, −.5<, 82.5, 1.25<<,
PlotRange → 88−1, 3<, 8−1, 3<<, PlotJoined → True,
Epilog → 8Text@"O", 8−.1, −.15<D, Text@"y = αx", 82.6, 1.4<D, Text@"v",
81.7, 2.4<D, Text@"Pv", 82.2, .8<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@882.1, 1.05<, 81.5, 2.5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 82.1, 1.05<D, Arrow@80, 0<, 81.5, 2.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
O
y = αx
v
Pv
Pelo teorema de Pitágoras, temos
 distHv, 0L2 = distHPv, 0L2 + distHv, PvL2 ,
ou seja,
 x2 + y2 = Hx'L2 + a2 Hx'L2 + Hx - x'L2 + Hy - y'L2
Suponhamos x'∫ 0 e simplificando esse expressão, obtemos
 x' = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + a2 x +
aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + a2
Esta expressão também é válida se x' = 0.
Vemos, em particular, que a projeção P: 2 Ø 2 é um operador linear cuja matriz na base canônica de 2 é
 
i
k
jjjjj
1ccccccccccc1 + α2 αccccccccccc1 + α2
αccccccccccc1 + α2 α
2ccccccccccc1 + α2
y
{
zzzzz .
EXEMPLO 4.4 (Reflexão em torno de uma reta) Seja S: 2 Ø 2 a reflexão em torno da reta y = ax. Para todo v
= (x, y) œ 2 , a reta y = ax é a bissetriz do ângulo entre v e Sv e é perpendicular à reta que liga v a Sv. Seja P: 2 Ø
2 a projeção ortogonal sobre a reta y = ax. A Fig. 4.4 mostra que, para todo v œ 2 , tem-se v + Sv = 2Pv, ou seja,
que I + S = 2P, onde I: 2 Ø 2 é o operador identidade. Daí vem S = 2P - I. Usando o exemplo anterior, concluímos
que, para todo v = (x, y), tem-se Sv = (x',y'), onde a matrix na base canônica de 2 é
 
i
k
jjjjj
1 − α2ccccccccccccc1 + α2 2 αccccccccccc1 + α2
2 αccccccccccc1 + α2 − 1 − α
2cccccccccccc1 + α2
y
{
zzzzz . 
Rijo AL Capítulo 4.nb 5
In[10]:= H∗ Figura 4.4, Reflexão em torno de uma reta ∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−1, −.8<, 82.5, 2<<, PlotRange → 88−1, 4<, 8−1, 3<<,
PlotJoined → True, Epilog → 8Text@"O", 8−.1, −.15<D,
Text@"Sv", 82.2, .4<D, Text@"Pv", 81.5, 1.4<D, Text@"v", 8.8, 2<D,
Text@"2P = v + Sv", 82.6, 2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@881.9, .4<, 82.5, 2<, 80.8, 1.8<, 81.9, .4<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p3 = Graphics@8Arrow@80, 0<, 81.9, .4<D,
Arrow@80, 0<, 80.8, 1.8<D, Arrow@80, 0<, 82.5, 2<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
O
Sv
Pv
v 2P = v + Sv
EXEMPLO 4.5 Como vimos acima, o único tipo de funcional linear j: n Ø  é o da forma j(v) = a1 x1 + . . .+
an xn , para v = (x1 , . . ., xn ). Por outro lado, se E = C0 ([a, b]) é o espaço vetorial das funções contínuas f: [a, b] Ø  ,
podemos definir o funcional linear j: E Ø  pondo
 jH f L = Ÿa
b f HxL „ x .
Outro exemplo de funcional linear em E consiste em fixar um ponto c œ [a, b] e definir, para cada f œ E, (f) = f(c).
Ainda no contexto do espaço de funções E = C0 ([a, b]), podemos definir um operador linear K: E Ø E do seguinte
modo: fixamos uma função contínua k: [a, b] × [a, b] Ø  , de duas variáveis, e fazemos corresponder a cada f œ E a
função g = Kf œ E dada por
 gHxL = Ÿa
bKHx, yL f HyL „ y .
Finalmente, temos o importante operador de derivação D: C¶ ( ) Ø C¶ ( ), definido por Df = f' = derivada de f. 
Exercícios 
4.1 [4.2]. Sejam R, P, S: 2 Ø 2 respectivamente a rotação de 30° em torno da origem, a projeção ortogonal sobre a 
reta y = x/3 e a reflexão em torno da mesma reta. Dado o vetor v = ( 2, 5 ) , determine os vetores Rv, Pv e Sv. 
6 Rijo AL Capítulo 4.nb
Resposta:
In[1]:= H∗ Os operadores de rotação R, projeção P e reflexão S ∗L
Clear@opR, opP, opSD
θ = π ê6;
opR@8x_, y_<D := 8Cos@θD x − Sin@θD y, Sin@θD x + Cos@θD y<
α = 1ê3;
opP@8x_, y_<D := 8xêH1 + α2L + α yêH1 + α2L, α xêH1 + α2L + α2 yêH1 + α2L<
opS@8x_, y_<D :=8x H1 − α2LêH1 + α2L + 2 α yêH1 + α2L, 2 α xêH1 + α2L − H1 − α2L yêH1 + α2L<
In[7]:= H∗ Determonação de Rv ∗L
opR@82, 5<D
Out[7]= 9− 5cccc2 +
è!!!3 , 1 + 5
è!!!3ccccccccccccc2 =
Rv = (-5/2 + è!!!3 , 1 + 5 è!!!3 /2)
In[8]:= H∗ Determonação de Rv ∗L
opP@82, 5<D
Out[8]= 9 33ccccccc10 ,
11ccccccc10 =
Pv = (33/10, 11/10)
In[9]:= H∗ Determonação de Sv ∗L
opS@82, 5<D
Out[9]= 9 23ccccccc5 , −
14ccccccc5 =
Sv = (23/5, -14/5).
4.2 [4.5]. Dados os vetores u1 = (2, -1), u2 = (1,1), u3 = (-1, -4), v1 = (1, 3), v2 = (2, 3) e v3 = ( -5, -6), decida se 
existe ou não um operador linear A: 2 Ø 2 tal que Au1 = v1, Au2 = v2 e Au3 = v3 . Mesma pergunta com v3 = (5, 
-6) e com v3 = (5, 6). 
Resposta:
In[1]:= H∗ Resolve o sistema de equações lineares para v3 = H−5, −6L ∗L
Solve@82 a − b m 1, 2 c − d m 3, a + b m 2,
c + d m 3, −a − 4 b m −5, −c − 4 d m −6<, 8a, b, c, d<D
Out[1]= 88a → 1, b → 1, c → 2, d → 1<<
Existe e o operador A é definido por A(x,y) = {x + y, 2 x + y}, De fato,
In[2]:= H∗ Definição do operador A ∗L
opA@8x_, y_<D := 8x + y, 2 x + y<
Rijo AL Capítulo 4.nb 7
In[3]:= H∗ Os vetores u1, u2, u3, v1, v2, v3 ∗L
u1 = 82, −1<;
u2 = 81, 1<;
u3 = 8−1, −4<;
v1 = 81, 3<;
v2 = 82, 3<;
v3 = 8−5, −6<;
In[9]:= H∗ Verifica se Au1 = v1, Au2 = v2 e Au3 = v3 ∗L
opA@u1D m v1
opA@u2D m v2
opA@u3D m v3
Out[9]= True
Out[10]= True
Out[11]= True
In[12]:= H∗ Resolve o sistema de equações lineares para v3 = H5, −6L ∗L
Solve@82 a − b m 1, 2 c − d m 3, a + b m 2,
c + d m 3, −a − 4 b m 5, −c − 4 d m −6<, 8a, b, c, d<D
Out[12]= 8<
O sistema não tem solução, portanto para v3 = H5, −6L não existe tal operador.
In[13]:= H∗ Resolve o sistema de equações lineares para v3 = H5, 6L ∗L
Solve@82 a − b m 1, 2 c − d m 3, a + b m 2,
c + d m 3, −a − 4 b m 5, −c − 4 d m 6<, 8a, b, c, d<D
Out[13]= 8<
O sistema não tem solução, portanto para v3 = H5, 6L não existe tal operador.
4.3 [4.6]. A expressão geral de um operador linear A: 2 Ø 2 é A(x, y) = (ax + by, cx + dy). Determine as con-
stantes a, b, c e d de modo que A transforme os vetores u = (1,2) e v = (3, 4) nos vetores Au = (1,1) e Av = (2,2). 
Resposta:
In[1]:= H∗ Resolve o sistema de equações lineares ∗L
Solve@8a + 2 b m 1, c + 2 d m 1, 3 a + 4 b m 2, 3 c + 4 d m 2<, 8a, b, c, d<D
Out[1]= 99a → 0, b → 1cccc2 , c → 0, d →
1cccc2 ==
Verificação
In[2]:= H∗ Definição do operador A ∗L
opA@8x_, y_<D := 8yê2, yê2<;
In[3]:= H∗ Verifica o valor de Au ∗L
opA@81, 2<D
Out[3]= 81, 1<
8 Rijo AL Capítulo 4.nb
In[4]:= H∗ Verifica o valor de Av ∗L
opA@83, 4<D
Out[4]= 82, 2<
4.4 [4.7]. A expressão geral de um funcional linear A: 3 Ø  é f(x, y, z) = ax + by + cz. Dados os vetores u = (1, 2, 
3), v = (-1,2,3) e w = (1, -2, 3) determine a, b e c de modo que se tenha f(u) = 1, f(v) = 0 e f(w) = 0. 
Resposta:
In[1]:= H∗ Solução do sistema de equações lineares ∗L
Solve@8a + 2 b + 3 c m 1, −a + 2 b + 3 c m 0, a − 2 b + 3 c m 0<, 8a, b, c<D
Out[1]= 99a → 1cccc2 , b →
1cccc4 , c → 0==
In[2]:= H∗ Definição do funcional linear f ∗L
Clear@flFD
flF@8x_, y_, z_<D := xê2 + yê4;
In[4]:= H∗ Mostra que f HuL = 1 ∗L
u = 81, 2, 3<;
flF@uD
Out[5]= 1
In[6]:= H∗ Mostra que f HvL = 0 ∗L
v = 8−1, 2, 3<;
flF@vD
Out[7]= 0
In[8]:= H∗ Mostra que f HwL = 0 ∗L
w = 81, −2, 3<;
flF@wD
Out[9]= 0
4.5 [4.8]. Seja A: 2 Ø 2 o operador linear definido por A(x, y) = (5x + 4y, -3x - 2y). Ache vetores não-nulos u = 
(x, y) e v = (s, t) tais que Au = u e Av = 2v. São únicas as soluções? Será possível achar w ∫ 0 em 2 com Aw = a w, 
onde a ∫ 1 e a ∫ 2? 
Resposta:
In[1]:= H∗ Solução do sistema de equações lineares no caso de Au = u ∗L
Solve@85 x + 4 y m x, −3 x − 2 y m y<, 8x, y<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[1]= 88x → −y<<
In[2]:= H∗ Definição do operador linear A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_<D := 8−y, y<
 Uma infinidade de vetores do tipo (x, -x) com x∫ 0. 
Rijo AL Capítulo 4.nb 9
In[4]:= H∗ Mostra que A Hx,−xL = Hx,−xL ∗L
opA@8x, −x<D
Out[4]= 8x, −x<
In[5]:= H∗ Solução do sistema de equações lineares no caso de Av = v ∗L
Solve@85 x + 4 y m 2 x, −3 x − 2 y m 2 y<, 8x, y<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[5]= 99x → − 4 ycccccccc3 ==
In[6]:= H∗ Definição do operador linear A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_<D := 8−4 yê3, y<
 Uma infinidade de vetores do tipo (x, -3x/4) com x∫ 0. 
In[8]:= H∗ Mostra que A Hx,−3 xê4L = Hx,−3 xê4L ∗L
opA@8x, −3 xê4<D
Out[8]= 9x, − 3 xcccccccc4 =
4.6 [4.10]. . Tem-se uma transformação linear A: 2 Ø 3 . Sabe-se que A( -1, 1) = (1, 2, 3) e A(2, 3) = (1, 1, 1). 
Pede-se a matriz a œ M(3, 2) de A relativamente às bases canônicas de 2 e 3 . 
Resposta:
In[1]:= H∗ Solução do sistema de equações lineares ∗L
Solve@8−a + b m 1, −c + d m 2, −e + f m 3,
2 a + 3 b m 1, 2 c + 3 d m 1, 2 e + 3 f m 1<, 8a, b, c, d, e, f<D
Out[1]= 99a → − 2cccc5 , b →
3cccc5 , c → −1, d → 1, e → −
8cccc5 , f →
7cccc5 ==
In[2]:= H∗ A matriz da transformação linear A ∗L
matA = 88−2ê5, 3ê5<, 8−1, 1<, 8−8ê5, 7ê5<<;
In[3]:= H∗ Fprma explicita da matriz A ∗L
MatrixForm@matAD
Out[3]//MatrixForm=
i
k
jjjjjjjjj
− 2cccc5 3cccc5
−1 1
− 8cccc5 7cccc5
y
{
zzzzzzzzz
In[4]:= H∗ Verifica que A H−1,1L = H1, 2, 3L ∗L
matA.8−1, 1<
Out[4]= 81, 2, 3<
In[5]:= H∗ Verifica que A H2,3L = H1, 1, 1L ∗L
matA.82, 3<
Out[5]= 81, 1, 1<
10 Rijo AL Capítulo 4.nb
4.7 [4.21]. Seja f: 2 Ø  um funcional linear. Sabendo que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1 calcule f(1, 0) e f(0, 1). 
Resposta:
In[1]:= H∗ REsolver o sistema de equações lineares ∗L
Solve@8a + b m 3, 2 a + 3 b m 1<, 8a, b<D
Out[1]= 88a → 8, b → −5<<
In[2]:= H∗ Definição do operador linear A ∗L
Clear@flFD
flF@8x_, y_<D := 8 x − 5 y
In[4]:= H∗ Determina f H1,0L ∗L
flF@81, 0<D
Out[4]= 8
In[5]:= H∗ Determina f H0,1L ∗L
flF@80, 1<D
Out[5]= −5
Rijo AL Capítulo 4.nb 11
CAPÍTULO 5
Produtos de Transformações Lineares
Iniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2
Out[1]= 4
O produto de transformações lineares, que introduziremos nesta seção, é um exemplo concreto de estrutura
algébrica que apresenta variados e intessantes fenômenos, não encontrados nas operações entre números ou
entre vetares. 
Definição de produto de transformações lineares
Dadas as transformações lineares A: E Ø F, B: F Ø G, onde o domínio de B coincide com o contra-domínio de A,
define-se o praduto BA: E Ø G pondo para cada v œ E, (BA)v = B(Av),
 E ØA F ØB G
 ØBA
Vê-se imediatamente que BA é uma transformação linear, Observe-se também que BA nada mais é do que a
composta BoA das funções B e A. Segue-se então dos princípios gerais que se C: G Ø H é outra transformação
linear, vale a
Associatividade: (CB)A = C(BA),
Diltributividade à esquerda: (B + C)A = BA + CA, 
Diltributividadeà direita: C(A + B) = CA + CB, 
Homogeneidade: B(aA) = a(BA). 
EXEMPLO 5.1 Sejam f, g, h:  Ø  definidas por f(x) = x, g(x) - x + 1 e h(x) = x2 . Então [h o (f + g)](x) = 4 x2 +
4x + 1, enquanto [(h o f) + (h o g)](x) = 2 x2 + 2x + 1, logo h o (f + g) ∫ h o f + h o g. Isto se dá porque h não é linear. 
Evidentemente, dada A: E Ø F, tem-se AIE = A = IF A, de modo que as aplicações identidade IE : E Ø E, IF : F Ø
F são elementos neutros para a multiplicação, cada uma delas do lado apropriado. 
Diferenças entre produto de transformações lineares e produto de números reaisDiferenças notáveis entre o produto de transformações lineares e o produto de números reais são as ausências da
comutatividade, da lei do corte e da inversa multiplicativa para uma transformação ∫ 0, além da presença de
transformações nilpotentes, para as quais tem-se An = 0 com A ∫ 0. Deve-se ainda mencionar a restrição de que o
produto BA só está definido quando A toma valores no domínio de B. Esta restrição desaparece, naturalmente,
quando se trata de operadores lineares no mesmo espaço E: então o produto BA está definido quaisquer que sejam
A, B œ L(E). 
EXEMPLO 5.2 Sejam P, R: 2 Ø 2 respectivamente a projeção ortogonal sobre a reta y = x e a rotação de um
ângulo de 90° em torno da origem. Então, para todo v = (x, y) œ 2 , tem-se Pv = 1/2(x + y, x + y), Rv = (-y, x).
Segue-se que
 RPv = 1/2 (-x - y, x + y)
e
 PRv = 1/2 (x - y, x - y)
Portanto RPv ∫ PRv, para todo v, exceto para v = (0, 0). Observe que bastaria que RPv ∫ PRv para um único v a fim
de termos RPv ∫ PRv.
EXEMPLO 5.3 Seja P: 2 Ø 2 a projeção ortogonal sobre uma certa reta r. Para todo v sobre a reta r, tem-se Pv =
v. Assim, para qualquer v œ 2 , tem-se PPv = Pv, pois Pv está sobre r. Noutras palavras, valePP = P, ou seja PP = PI,
embora P ∫ I. Assim, não é permitido cortar o fator P à esquerda em ambos os membros da igualdade PP = PI. Seg-
ue-se que não existe Q œ L(2 ) tal que QP = I. Com efeito, se um tal operador Q existisse, de PP = P concluiríamos
QPP = QP , isto é, IP = I, donde P = I. 
EXEMPLO 5.4 . Sejam P, Q: 2 Ø 2 projeções ortogonais sobre duas retas do plano, uma das quais é perpendicu-
lar à outra. Todo vetor v œ 2 é a diagonal de um retângulo que tem Pv e Qv como lados. (Veja Fig. 5.1.).
In[2]:= H∗ Figura 5.1 Projeções ortogonais sobre duas retas do plano∗L
<< Graphics`Arrow`
p1 = ListPlot@88−.4, 1.35<, 81.7, 2<, 82.1, .733<<,
Axes → False, PlotJoined → True, PlotStyle → 8Dashing@8.02<D<,
Epilog → 8Text@"Pv", 82.2, .5<D, Text@"v", 81.9, 2<D,
Text@"Qv", 8−.2, 1.6<D<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ListPlot@88−.5, −.18<, 82.5, .88<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
p3 = ListPlot@88.1, −.5<, 8−.55, 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD; p4 = Graphics@8Arrow@8−.03, 0<, 8−.4, 1.35<D,
Arrow@80, 0<, 82.1, .733<D, Arrow@80, 0<, 81.7, 2<D<,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p4<, AspectRatio → Automatic,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
Pv
v
Qv
2 Rijo AL Capítulo 5.nb
Segue-se então que v = Pv + Qv para todo v œ 2 , ou seja, P + Q = I e Q = I - P. Portanto PQ = P{I - P) = P - P2 = P
- P = 0. Obtemos assim dois operadores não-nulos P, Q com PQ = 0. É possível mesmo que um operador não-nulo A
œ L(2 ) cumpra A2 = 0. Basta pôr A(x, y) = (x - y, x - y). 
Operador nilpotente
Um operador A chama-se nilpotente quando, para algum n œ N, tem-se An = 0. Um exemplo significativo de
operador nilpotente é a derivação D : Pn Ø Pn . Para todo polinômio p de grau § n tem-se Dn + 1 p = 0, logo Dn + 1 =
0.
EXEMPLO 5.5 Se Ra , Rb : 2 Ø 2 são rotações em torno da origem com ângulos a e b respectivamente, então
Ra .Rb = Ra + b . (Isto pode ser visto geometricamente na Fig. 5.2 ou usando as fórmulas de cos(a + b) e sen(a + b)).
Se S: 2 Ø 2 é a reflexão em torno de uma reta então S.S = I. Isto se segue da expressão S = lP - I, levando em
conta que P.P = P, mas também pode ser visto geometricamente. 
Exercícios 
5.1 [5.2]. Considere os operadores lineares R, P, S: 2 Ø 2 , onde R a rotação de 30° em torno da origem, S é a 
reflexão em torno da reta y = 2x e P é a projeção ortogonal sobre a mesma reta. 
(i) Mostre que se tem PS = SP = P.
(ii) Verifique a igualdade RSR = S.
(iii) Mostre que R não comuta com S nem com P.
(iv) Determine todos os vetores v tais que PRv = 0 e RPv ∫ 0. 
Resposta:
In[1]:= H∗ Os operadores de rotação R, de projeção P e de reflexão S ∗L
Clear@opR, opP, opSD
θ = π ê6;
opR@8x_, y_<D := 8Cos@θD x − Sin@θD y, Sin@θD x + Cos@θD y<
α = 2;
opP@8x_, y_<D := 9 1ccccccccccccccccc1 + α2 x +
αccccccccccccccccc1 + α2 y,
αccccccccccccccccc1 + α2 x +
α2ccccccccccccccccc1 + α2 y=
opS@8x_, y_<D := 9 1 − α
2
ccccccccccccccccc1 + α2 x +
2 αccccccccccccccccc1 + α2 y,
2 αccccccccccccccccc1 + α2 x −
1 − α2ccccccccccccccccc1 + α2 y=
(i) Mostre que se tem PS = SP = P.
In[6]:= opP@opS@8x, y<DD m opS@opP@8x, y<DD m opP@8x, y<D êê Simplify
Out[6]= True
(ii) Verifique a igualdade RSR = S.
Rijo AL Capítulo 5.nb 3
In[7]:= opR@opS@opR@8x, y<DDD m opS@8x, y<D êê Simplify
Out[7]= True
(iii) Mostre que R não comuta com S nem com P.
In[8]:= H∗ R não comuta com S ∗L
opR@opS@8x, y<DD m opS@opR@8x, y<DD ê. 8x → 1, y → 2< êê Simplify
Out[8]= False
In[9]:= H∗ R não comuta com S ∗L
opR@opP@8x, y<DD m opP@opR@8x, y<DD ê. 8x → 1, y → 2< êê Simplify
Out[9]= False
(iv) Determine todos os vetores v tais que PRv = 0 e RPv ∫ 0.
In[10]:= Solve@opP@opR@8x, y<DD m 0, 8x, y<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[10]= 99x → − I−1 + 2
è!!!3 M ycccccccccccccccccccccccccccccccccc2 + è!!!3 ==
In[11]:= opP@opR@8x, y<DD ê. 9x −> − I−1 + 2
è!!!!3 M y
ccccccccccccccccccccccccccccccccccc
2 + è!!!!3
, y → y= êê Simplify
Out[11]= 80, 0<
Os vetores v tais que PRv = 0 são I- -1 + 2 
è!!!!3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 + è!!!!3 y, yM com y real.
In[12]:= Solve@opR@opP@8x, y<DD m 0, 8x, y<D
Solve::svars : 
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[12]= 88x → −2 y<<
In[13]:= opR@opP@8x, y<DD ê. 8x −> −2 y, y → y< êê Simplify
Out[13]= 80, 0<
Os vetores v tais que RPv ∫ 0 devem ser diferentes de H- yÅÅÅÅ2 , yL com y real.
5.2 [5.6]. Dados os operadores A, B: 2 Ø 2 dados por A(x, y) = (x + y, 0) e B(x, y) = (-y, x), obtenha as 
expressões dos operadores A + B, AB, BA, A2 e B2 . Descreva geometricamente esses cinco operadores. (Exemplo: A 
é a projeção sobre o eixo x paralelamente a uma certa reta. (Qual?)). 
Resposta:
In[1]:= H∗ Os operadores A e B ∗L
Clear@opA, opBD
opA@8x_, y_<D := 8x + y, 0<
opB@8x_, y_<D := 8 −y, x<
4 Rijo AL Capítulo 5.nb
In[3]:= H∗ O operador A + B ∗L
opA@8x, y<D + opB@8x, y<D
Out[3]= 8x, x<
In[4]:= H∗ O operador AB ∗L
opA@opB@8x, y<DD
Out[4]= 8x − y, 0<
In[5]:= H∗ O operador AB ∗L
opB@opA@8x, y<DD
Out[5]= 80, x + y<
In[6]:= H∗ O operador AB ∗L
opA@opA@8x, y<DD
Out[6]= 8x + y, 0<
In[7]:= H∗ O operador AB ∗L
opB@opB@8x, y<DD
Out[7]= 8−x, −y<
5.3 [5.7]. Seja A: 3 Ø 3 dado por A(x, y, z) = (ay + bz, cz, 0). Mostre que A3 = 0. 
Resposta:
In[1]:= H∗ O operador A ∗L
Clear@opAD
opA@8x_, y_, z_<D := 8a y + b z, c z, 0<
In[2]:= H∗ O operador A3 ∗L
Nest@opA, 8x, y, z<, 4D
Out[2]= 80, 0, 0<
Nest[f, arg, n] aplica recursivamente uma função f[arg] n vezes. 
5.4 [5.8]. Sejam A, B, C, D: 2 Ø 2 os operadores dados por A(x, y) = (x, 0), B(x, y) = (-y, x), C(x, y) = (0, y) e 
D(x, y) = (y, -x). Determine o operador ABCD. 
Resposta:
In[1]:= H∗ Os operadores A, B, C, D ∗L
Clear@opA, opB, opC, opDD
opA@8x_, y_<D := 8x, 0<
opB@8x_, y_<D := 8−y, x<
opC@8x_, y_<D := 80, y<
opD@8x_, y_<D := 8y, −x<
In[5]:= H∗ O operador ABCD ∗L
opA@opB@opC@opD@8x, y<DDDD
Out[5]= 8x, 0<
Rijo AL Capítulo 5.nb 5
Em resumo, ABCD = A
5.5 [5.9]. Considere as transformações lineares A: 2 Ø 3 e B: 3 Ø 2 , definidas por: A(x, y) = (x, y, x + y) e 
B(x, y, z) = (ax + (a - l) y + (1- a) z, - b x + (1- b ) y + b z). Determme o operador BA: 2 Ø 2 .