Aula 4-Ondas

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Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves Disciplina : Física II 
 
 
Notas de Aula : Física II Curso: Engenharia Civil ( 3° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
Ondulatória 
 
 
 Uma onda é um movimento causado por uma perturbação, e esta se propaga através de um meio 
sem transportar matéria. 
 Um exemplo de onda é tido quando joga-se uma pedra em um lago de águas calmas, onde o 
impacto causará uma perturbação na água, fazendo com que ondas circulares se propagem pela superfície 
da água. 
 Existem ondas que não podemos observar a olho nu, como, por exemplo, ondas de rádio, ondas 
de televisão, ondas ultra-violeta e microondas. 
 Além destas, existem alguns tipos de ondas que conhecemos bem, mas que não identificamos 
normalmente, como a luz e o som. 
 
 Perturbação na Água 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pulsos de Onda 
 A figura (a) abaixo mostra um pulso em uma corda no tempo t = 0. A forma da corda neste 
instante pode ser representada por alguma função y = f(x). Em um tempo posterior a figura (b) , o pulso 
está mais adiante, na corda, em um novo sistema de coordenadas, com a origem o’, que se move para 
direita com a mesma rapidez do pulso, o pulso está estacionário. A corda é descrita, neste referencial por 
(fx’) em todos os tempos. As coordenada dos dois referenciais são relacionadas por: 
x’ = x – vt 
e portanto, f(x’) = f(x – vt ). Logo, a forma da corda no referencial original é: 
 
y = f(x – vt) , onda se movendo no sentido +x 
 
A mesma linha de raciocínio, para um pulso se movendo para a esquerda, nos leva a 
 
y = f(x +vt), onda se movendo no sentido – x 
 
 
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Velocidade das ondas: Uma propriedade geral das ondas é a sua rapidez em relação ao meio, 
depende de propriedades do meio, mas é independente do movimento da fonte de ondas. Um exemplo 
disso é a rapidez do som da buzina de um carro que depende apenas das propriedades do ar, e não do 
movimento do carro. 
 A velocidade de uma onda em uma corda está relacionada com a tração fornecida a corda e a 
massa da corda, pois quanto maior for a tração maior será a velocidade de propagação das ondas e a 
velocidade também será maior em uma corda mais leve do que em uma corda pesada . 
Para que isso aconteça, o meio deve possuir tanto massa ( para que possa haver energia cinética) 
quanto elasticidade( para que possa haver energia potencial). Assim as propriedades de massa e 
elasticidade do meio determinam com que rapidez a onda pode se propagar no meio. 
Sendo assim para uma corda esticada temos que a velocidade é dada por: 
 
 √
 
 
 
Exemplos: 
 
 
01 - Uma lagarta mede-palmos percorre a corda de um varal. A Corda tem 25 m de comprimento, uma 
massa de 1,0 Kg, e é mantida esticada por um bloco pendurado de 10 Kg, como mostrado. Vivian está 
pendurando seu maiô a 5,0 m de uma das extremidades, quando ela vê a lgarta a 2,5 cm da outra 
extremidade. Ela dá um puxão na corda, enviando um terrível pulso de 3,0 cm de altura ao encontro da 
lagarta. Se a lagarta rasteja a 1,0 in/s, ela conseguirá chegar na extremidade esquerda do varal antes que o 
pulso a atinja? ( 1,0 in/s = 2,54cm/s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 02 – A RAPIDEZ DE UMA ONDA DE GRAVIDADE RASA 
 
Ondas oceânicas superficiais são possíveis devido à gravidade e são chamadas de ondas de 
gravidade. Ondas de gravidade são classificadas como ondas rasas se a profundidade da água for menor 
do que a metade do comprimento de onda. A rapidez de ondas de gravidade depende da profundidade e é 
dada por √ , onde h é a profundidade. Uma onda de gravidade em mar aberto, onde a 
profundidade é de 5,0 Km, possui um comprimento de onda de 100Km. 
(a) Qual é a rapidez desta onda? 
(b) Ela é uma onda rasa? 
 
 
 
Velocidade das ondas sonoras em um Fluido: 
Para ondas sonoras em um fluido como o ar ou a água, a rapidez v é dada por √
 
 
 onde p é 
a massa específica de equilíbrio do meio e B é o módulo volumétrico(módulo volumétrico é o negativo da 
razão entre a variação de pressão e a variação relativa de volume 
 
 
). Comparando as Equações 
podemos ver que, em geral, a rapidez das ondas depende de uma propriedade elástica do meio ( a tração, 
para ondas em cordas, e o módulo volumétrico, para ondas sonoras) e de uma propriedade inercial do 
meio ( a massa específica linear ou a massa específica volumétrica). 
 
Para ondas sonoras em um gás como o ar, o módulo volumétrico isotérmico (descreve variações 
que ocorrem à temperatura constante, difere do módulo volumétrico adiabático, que descreve variações 
que ocorrem sem transferência de calor. Para ondas sonoras as frequências audíveis, as variações de 
pressão acontecem tão rapidamente que não chega a ocorrer transferência de calor apreciável; logo, o 
módulo volumétrico apropriado é o módulo volumétrico adiabático), é proporcional à pressão, que, por 
sua vez, é proporcional à massa específica p e à temperatura absoluta T do gás. A razão B/p é, portanto, 
independente da massa específica e é simplesmente proporcional à temperatura absoluta. A Equação 
equivalente é: √
 
 
 Nesta equação, T é a temperatura absoluta em Kelvins (K), que se relaciona 
com a temperatura Celsius tc por T = tc + 273,15 . A constante adimensional y depende do tipo de gás. 
Para moléculas diatômicas, como O2, e N2, Y vale 7/5. Como O2 e N2 compreendem 98 por cento da 
atmosfera, 7/5 também ém o valor de Y para o ar. (Para gases compostos de moléculas monoatômicas, 
como o He, Y vale 5/3). A constante de R é a constante universal dos gases R = 8,3145J/(mol.K) e M é a 
massa molar do gás (isto é, a massa de um mol do gás), que, para o ar, vale M = 29,0 x 10
-3
 Kg/mol. 
 
Exemplo 03 – RAPIDEZ DO SOM NO AR 
 
A temporada de competições de corrida começa, em uma escola do nordeste americano, no início do mês 
de abril, quando a temperatura do ar beira os 13,0ºC. Ao final da temporada, o clima já é mais quente e a 
temperatura já beira os 33,0 ºC. Calcule a rapidez do som produzido pela pistola do largador, no ar, a (a) 
 
 
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13,0ºC e (b) 33,0ºC. Naturalmente, os corredores podem largar ao avistarem a fumaça da pistola, não 
precisando esperar que o som do tiro chegue a eles. 
 
Conforme sua natureza as ondas são classificadas em: 
 
Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua 
propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial e depende da elasticidade do meio. Por 
isto não é capaz de propagar-se no vácuo. Alguns exemplos são os que acontecem em molas e cordas, 
sons e em superfícies de líquidos. 
Ondas Eletromagnéticas: são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes e sua propagação não depende 
do meio em que se encontram, podendo propagar-se no vácuo e em determinados meios materiais. Alguns 
exemplos são as ondas de rádio, de radar, os raios x e as microondas. 
OBS:Todas as ondas eletromagnéticas tem em comum a sua velocidade de propagação no vácuo, próxima 
a 300.000km/s 
 
Quanto a Dimensão as ondas são classificadas como: 
 
Unidimensionais: que se propagam em apenas uma direção, como as ondas em cordas e molas esticadas; 
Bidimensionais: são aquelas que se propagam por uma superfície, como as água em um lago quando se 
joga uma pedra; 
 Tridimensionais: são capazes de se propagar em todas as dimensões, como a luz e o som. 
 
Quanto à direção da vibração as ondas podem ser classificadas como: 
 
Transversais: são as que são causadas por vibrações perpendiculares à propagação da onda, como, por 
exemplo, em uma corda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Longitudinais: são ondas causadas por vibrações com mesma direção da propagação, como as ondas 
sonoras. 
 
 
 
 
 
 
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 Para descrevermos completamente uma onda em uma corda e o movimento de qualquer elemento 
ao longo do seu comprimento, precisamos de uma função que nos dê a forma da onda. Isto significa que 
precisamos de uma relação da forma y = h(x,t), na qual y é o deslocamento transversal de qualquer 
elemento de corda como uma função (h) do tempo (t) e da posição x do elemento ao longo da corda. 
 Em geral, uma forma senoidal semelhante a figura abaixo pode ser descrita sendo h uma função 
seno ou cosseno; ambas fornecem a mesma forma geral para a onda 
 Se a onda tiver função cosseno como mostra a figura abaixo a equação de onda é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que a fonte obedece, no eixo y a função horária y = a. cós (ωt + φ) e que um ponto P 
executa o mesmo MHS da fonte, mas com atraso de um intervalo de tempo 
v
x
t 
 em relação a ela, 
pode-se escrever a sua função horária da seguinte forma: y = a . cós [ω ( t – Δt) + φ ], porém: 
 
)(2cos.
,.:
.
2cos.
2
cos.
:
2
0
00
ondadefunção
x
T
t
ay
vemTvou
T
vsendo
vT
x
T
t
a
v
x
t
T
ay
temos
v
x
te
T
como

















































 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 A figura acima mostra uma onda senoidal se propagando no sentido positivo de um eixo x. Quando a 
onda passa por elementos sucessivos ( isto é seções muito curtas) da corda os elementos oscilam 
paralelamente ao eixo y . 
 Sendo assim no instante de tempo t, o deslocamento y do elemento localizado na posição x é dada 
por: 
 
y(x,t) = ym sen(kx – ωt) 
 
onde temos: 
 
y(x,t) = Deslocamento 
ym = Amplitude 
k = Número de onda angular 
x = posição 
ω = freqüência angular 
t = tempo 
 
OBS: A parte oscilatória da equação é dada por: sen(kx – ωt) 
 
Componentes de uma onda 
 
Uma onda é formada por alguns componentes básicos que são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É denominado comprimento da onda, e expresso pela letra grega lambida (λ), a distância entre 
duas cristas ou dois vales consecutivos. 
 
Chamamos período da onda (T) o tempo decorrido até que duas cristas ou dois vales consecutivos 
passem por um ponto.Ou simplesmente o tempo que um elemento qualquer leva para se mover realizando 
uma oscilação completa. Assim temos: 

2
T
 
 
 
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A amplitude ym de uma onda, como mostrado na figura acima , é a intensidade do deslocamento 
máximo dos elementos a partir das suas posições de equilíbrio quando a onda passa por eles. Como ym é 
uma intensidade, ela é sempre uma grandeza positiva mesmo se ela for medida para baixo. 
 
A fase da onda é o argumento kx-ωt da função seno. Quando a onda passa por um elemento de 
corda em uma posição particular x, a fase varia linearmente com o tempo. Isto significa que o seno 
também varia, oscilando de +1 a -1. 
 
Uma função seno começa a se repetir quando o seu ângulo ou argumento é aumentado de 2π rad, 
portanto devemos ter kλ = 2π. 
 

2
k
 ( número de onda angular ) e sua unidade no SI é o radiano por metro 
 
Freqüência da onda (f) :o número de cristas ou vales consecutivos que passam por um mesmo 
ponto, em uma determinada unidade de tempo. Portanto, o período e a freqüência são relacionados por: 
 


2
1

T
f
 
 
 
Sendo assim a freqüência angular (ω) por ser encontrada : 
T
f


2
2 
 
 
 
Velocidade de uma onda Progressiva: Como não transportam matéria em seu movimento, é 
previsível que as ondas se desloquem com velocidade contínua, logo estas devem ter um deslocamento 
que valide a expressão: 
 
fv .
 como sabemos que λ = 2π / k e f = ω / 2π , podemos escrever a velocidade de uma 
onda da seguinte forma: 
 
f
Tk
v .


 
 
 
 
 
 
 
 
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Transferência de Energia 
 
 
 A energia total de um oscilador harmônico não amortecido é constante, de modo que a energia 
potencial diminui enquanto que a energia cinética aumenta e vice-versa. 
 Numa onda progressiva as coisas acontecem de modo diverso. 
 A propagação de uma onda progressiva está associada à transmissão de energia de um ponto 
oscilante do meio a outro e essa transmissão acontece porque os pontos que estão passando pela posição 
de equilíbrio têm tanto energia potencial quanto energia cinética máximas. 
 Para discutir isso, considere-se uma onda que se propaga em uma corda. 
 
 
 
 A linha tracejada representa as posições dos pontos da corda quando, por ela, não passa a onda e, 
também, as posições de equilíbrio associadas às oscilações dos pontos da corda quando, por ela, passa a 
onda. 
 
 Os pontos mostrados indicam convencionalmente as posições relativas das partículas da corda 
quando passa a onda .Os pontos A e E estão momentaneamente parados e, em sua vizinhança, a corda não 
está deformada, isto é, os pontos da corda na vizinhança guardam as mesmas posições relativas que 
tinham antes de aparecer a onda. Para esses pontos, a energia cinética e a energia potencial associada à 
deformação elástica da corda são, ambas, nulas. 
 Por outro lado, os pontos C e F, que estão passando pelas respectivas posições de equilíbrio, têm 
velocidades (indicadas pelas flechas) de módulo máximo e, em suas vizinhanças, a deformação da corda 
(alongamento ou cisalhamento) é máxima. 
 Para esses pontos, a energia cinética e a energia potencial são, ambas, máximas. 
 Mas, como os pontos C e F se movem, no instante seguinte são os pontos a sua direita que ocuparão 
posições sobre a linha tracejada, pontos esses que terão recebido energia para ter, agora, energias cinética 
e potencial máximas. 
 O processo se repete com esses novos pontos e assim por diante. 
 Portanto, a transmissão de energia na onda progressiva acontece com uma velocidade de módulo igual 
ao módulo da velocidade de propagação da fase das oscilações dos pontos do meio. 
 
 Observação 
 
 Quando uma onda se propaga em uma corda, esta sofre uma deformação por cisalhamento, e, em 
conseqüência, uma mudança de forma. 
 
 
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 As ondas transversais só podem se propagar em um meio se a mudança de forma desse meio vem 
acompanhada do aparecimento de forças restauradoras. Esse tipo de propriedade é própria apenas dos 
corpos sólidos e da superfície dos líquidos, de modo que só aí podem aparecer ondas transversais 
(mecânicas). 
 A potência média, que é a taxa média com que a energia dos dois tipos é transmitida pela onda é 
então: 
22 ...
2
1
mmédia yvP  
O Princípio da Superposição de Ondas 
 Sabemos que dois objetos materiais não podem ocupar o mesmo lugar no espaço, no mesmo 
instante. Com as ondas isso é diferente: elas podem coexistir ao mesmo tempo e no mesmo local. Quando 
isso ocorre, temos o chamado fenômeno da superposição de ondas, ou de interferência de ondas. 
 
 Como, portanto, combinar duas ou mais ondas que se encontram no mesmo lugar ao mesmo 
tempo? A resposta é a seguinte: de acordo com um princípio geral, que é conhecido como princípio de 
superposição. Passando pelo mesmo pedaço do meio ao mesmo tempo, as ondas individuais causam um 
deslocamento resultante desse pedaço em relação a sua posição de equilíbrio. O princípio de superposição 
diz que este deslocamento resultante é igual à soma dos deslocamentos que seriam provocados pelas 
ondas individuais. Esse princípio vale para qualquer tipo de onda cuja amplitude é pequena em relação 
ao seu comprimento da onda, i.e., para ondas lineares. Nesse curso, vamos nos importar somente com 
esse tipo da onda. 
 
 Vamos supor que duas destas ondas se propagam simultaneamente ao longo de uma mesma corda 
esticada. Seja y1(x,t) e y2(x,t) as funções que descrevem a propagação das duas ondas. Assumiremos 
também que estas ondas se propagam independentemente uma da outra. Quando as duas ondas passam 
simultaneamente pelo mesmo ponto da corda, o deslocamento deste ponto será dado pela soma algébrica 
dos deslocamentos y1(x,t) e y2(x,t), como a seguir 
 
. (2.13) 
 
 Este resultado, denominado de princípio de superposição das ondas, estabelece que ondas 
superpostas produzem uma onda resultante. A Figura abaixo mostra uma simulação envolvendo a 
superposição de dois pulsos se propagando em uma corda.Em regiões que elas podem se superpor 
somente uma única perturbação. Observamos uma interferência. Se duas ondas com amplitudes iguais se 
somam em fase, isto é, se os máximos se encontram, então observamos uma onda com amplitude igual à 
soma das amplitudes das ondas originais. Teremos uma interferência construtiva. 
 
 
 
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Figura: Dois pulsos ondulatórios viajando ao longo da mesma corda. 
 
Esquerda: superposição de pulsos que provoca aumento da amplitude. 
Direita: superposição de pulsos que provoca diminuição da amplitude no momento do encontro. 
 
Vamos agora ver como se aplica o princípio de superposição no caso de ondas progressivas harmônicas. 
Analisaremos duas ondas que são idênticas, exceto pela diferença de fase ϕ , e que se propagam ao longo 
do eixo x no mesmo sentido. Neste caso: 
 
 
e a onda resultante é a soma algébrica dessas ondas: 
 
 
 
Usando a relação trigonométrica: 
 
 
que vale para qualquer ângulo α ou β , a equação se transforma em: 
 
 
 
 
 
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Vemos que a onda resultante também é uma onda harmônica, com mesma frequência e 
comprimento da onda como as ondas individuais, porém com amplitude que depende do ângulo ϕ que 
define a diferença de fase. Dependendo deste ângulo, podem ocorrer varias situações. 
 
1.) Quando ϕ = 0,2π ,4π ,... diremos que as duas ondas estão em fase. Neste caso ocorre interferência 
construtiva, pois a amplitudeda onda resultante é a soma das amplitudes das ondas individuais: 2⋅ A ! 
 
 
 
Logo, se a fase = 0, a interferência é construtiva 
 
 
Superposição de duas ondas harmônicas que se encontram em fase. Neste caso ocorre 
interferência construtiva. 
 
2) Quando ϕ =π ,3π ,5π ,... diremos que as duas ondas estão em contra fase. Neste caso ocorre 
interferência destrutiva, pois a amplitude da onda resultante é zero, sendo completamente anulada pela 
subtração das amplitudes das ondas individuais. 
 
 
 
 
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Enquanto que se a fase , a interferência é destrutiva 
 
 
Superposição de duas ondas harmônicas em contra fase. Nesse caso ocorre interferência 
destrutiva. 
 
 
3) Quando o ângulo ϕ tem valor que não é nem zero nem múltiplo inteiro de π , a amplitude resultante 
tem valor entre 0 e 2⋅ A , i.e., ocorre o caso da interferência que se encontra entre os extremos descritos 
nos itens 1) e 2). 
 
 
 
Caso as amplitudes sejam diferentes a interferência é parcial. 
 
A onda resultante, devida a interferência de duas ondas transversais senoidais, também é uma onda 
transversal senoidal, com uma amplitude e um termo oscilatório. 












 
2
1
2
1
cos.2),(' tkxsenytxy m
 
 
 
 
 
 
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Reflexão e transmissão 
Ondas podem refletir em obstáculos. Na figura abaixo vemos uma onda em uma corda incidindo sobre 
uma parede, onde possui uma extremidade presa. A corda na parte da onda que chega à parede exerce 
uma força para cima sobre a mesma. Pela terceira lei de Newton, a parede exerce uma força igual e para 
baixo sobre a corda, invertendo a amplitude da onda, e enviando para trás um pulso igual e invertido. 
 
 
 
Se a corda não estiver presa à parede o pulso retorna a partir do extremo aberto, mas não há inversão do 
mesmo, pois não existe força exercida neste extremo. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
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Quando a onda passa de um meio a outro, uma parte da mesma é refletida enquanto que outra 
parte é transmitida. Veja a figura abaixo. A onda refletida pode interferir com a onda incidente resultando 
numa forma de interferência complicada e confusa. 
 
 
 
Ondas estacionárias e harmônicos 
Até agora, discutimos somente interferência das ondas que se propagam na mesma direção. Uma 
situação importante acontece, porém, quando as duas ondas idênticas se propagam ao longo da mesma 
direção, mas em sentidos opostos. 
Vamos, então, considerar uma onda progressiva que se propaga num dado meio ao longo do eixo x 
, no sentido positivo, 
 
Y1 (x,t) = Asen(kx −ωt) (5.7) 
 
e outra, idêntica, que se propaga no sentido negativo 
y2 (x,t) = Asen(kx +ωt) 
Estas duas ondas vão coexistir no mesmo meio ao mesmo tempo e, portanto, vão se sobrepor. Pelo 
princípio da superposição sabemos que a onda total será descrita pela seguinte função de onda: 
 
y(x,t) = ym sen(kx + t) + ym sen(kx - t ) = [2ym sen(kx)] cos( t) 
 
Vemos portanto, que esta relação não descreve uma onda que se propaga. Em cada ponto x, há 
uma vibração determinada pela frequência angular . Os pontos em que sen(kx) se anulam são chamados 
de nós. Estes pontos são obtidos quando kx = n , onde n = 0, 1, 2 ,... Logo, obtemos que eles acontecem 
para 
x = n 
 
 
 (nós) 
 
 
 
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enquanto que os anti-nós acontecem nas regiões intermediárias aos nós (nos máximos dos sen(kx)), ou 
seja, para 
x = ( 
 
 
 )
 
 
 (anti-nós) 
 
Para cordas presas em dois pontos fixos (como as cordas de um violão), podemos induzir ondas 
estacionárias (vibrações) onde os pontos fixos serão necessariamente nós. Logo, temos que, se a corda 
possui comprimento l, então os comprimentos de ondas possíveis são obtidos da relação substituindo x 
por l: 
λ = 2l / n (comprimentos de ondas dos harmônicos) onde n = 1, 2, 3, ... (note que o valor n = 0 
não é físico nesse caso - seria uma onda com comprimento de onda infinito, ou seja, onda nenhuma). 
Estes são conhecidos como os comprimentos de ondas dos harmônicos da corda. 
As vibrações da corda são transmitidas para as moléculas de ar e, devido à propagação da 
perturbação, chegam aos nossos ouvidos na forma de som. A frequência desses sons pode ser obtida da 
relação acima, resultando em 
 
 
 
 
 
 
 para n = 1,2,3..... (frequências dos harmônicos) 
 
 
 
 
 
 
 
Com uma fonte faz-se a outra extremidade vibrar com movimentos verticais periódicos, produzindo-se 
perturbações regulares que se propagam pela corda. 
 
 
 
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Em que: N = nós ou nodos e V= ventres. 
Ao atingirem a extremidade fica, elas se refletem, retornando com sentido de deslocamento contrário 
ao anterior. 
Dessa forma, as perturbações se superpõem às outras que estão chegando à parede, originando o 
fenômeno das ondas estacionárias. 
Uma onda estacionária se caracteriza pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há pontos da 
corda que não se movimentam (amplitude nula), chamados nós (ou nodos), e pontos que vibram com 
amplitude máxima, chamados ventres. 
É evidente que, entre nós,os pontos da corda vibram com a mesma freqüência, mas com amplitudes 
diferentes. 
Observe que: 
 Como os nós estão em repouso, não pode haver passagem de energia por eles, não havendo, 
então, em uma corda estacionária o transporte de energia. 
 A distância entre dois nós consecutivos vale . 
 A distância entre dois ventres consecutivos vale . 
 A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale 
 
 
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 - Para o primeiro modo de vibração( 1º harmônico )Se o comprimento da corda for L , essa será a 
distância entre dois nodos, e pelo fato 2 surge que: 
 
 
- O segundo modo de vibração(2º harmônico) ocorre quando entre dois nodos laterais existe mais 
um nodo. Isso implica na existência de dois antinodos, posicionados simetricamente entre os três nodos, 
neste caso a distância entre dois nodos é L 2 , e: 
 
Percebe-se que o comprimento de onda do segundo modo de vibração é diferente do que do primeiro 
modo, é exatamente duas vezes menor. 
 
 
 
 
 
 
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- No terceiro modo de vibração ( Terceiro harmônico), entre nodos laterais existem dois nodos, e 
consequentemente, três antinodos. Neste caso a distância entre dois nodos consecutivos é de L 3 e, 
portanto: 
 
É fácil de perceber que a generalização deste resultado é: 
 
Este resultado quer dizer que apenas alguns modos de vibração estacionária são permitidos numa 
corda com as extremidades fixas. Esses modos de vibração têm, necessariamente, comprimentos de onda 
da forma: 
 
isto é, eles são submúltiplos de 2L. Dito em outras palavras, uma corda com as extremidades fixas não 
pode vibrar de qualquer maneira: ela pode produzir apenas vibrações que tenham comprimento de onda 
submúltiplo de 2L! Diz-se ainda que os comprimentos de onda são quantizados (os valores são discretos, 
e não contínuos). 
 
Podemos a seguir traduzir este resultado em termos da frequência. Lembrando que f = v λ e que 
a velocidade de propagação da onda não depende da frequência, temos que: 
 
 
Somente essas frequências são permitidas, sendo quantizadas, bem como os comprimentos da 
onda. Percebe-se que todas essas frequências são múltiplos inteiros de uma frequência mais baixa, v 2L , 
que é chamada frequência fundamental, ou primeiro harmônico. Outras frequências são duas, três, 
quatro etc vezes mais altas do que a fundamental, e são chamados segundo, terceiro, quarto etc 
harmônico. 
n=1: → 1 f (primeiro harmônico) 
n=2: → 2 f (segundo harmônico) 
. 
. 
. 
n=n → n f (n-gésimo harmônico) 
. 
. 
 
 
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O conjunto dos harmônicos forma o conjunto dos modos normais de vibração da corda. 
O termo quer dizer que qualquer vibração de uma corda tem necessariamente de consistir de 
combinação linear das vibrações descritas por modos normais. Então, em qualquer vibração mais 
complexa que contém uma mistura de frequências, nós sabemos exatamente quais frequências podem ser 
misturadas! 
 Sabendo que a velocidade de propagação da onda na corda é √ , onde T é a tensão da 
corda e μ sua densidade linear, as frequências dos harmônicos podem ser expressas da seguinte forma: 
 
Ondas estacionárias em colunas do ar 
 
As ondas estacionárias podem ser criadas em colunas de ar exatamente da mesma forma que nas 
cordas. O princípio é o mesmo: a onda sonora incidente é refletida, a onda refletida interfere 
construtivamente com a onda incidente e se forma o padrão da onda estacionária. 
No caso da corda, tivemos a oscilação da própria corda. No caso das colunas de ar, temos o 
movimento oscilatório das moléculas do ar, descrito pelas ondas de deslocamento e (ou) pressão, como 
ondas estacionárias que se formam em colunas de ar formam o padrão para produzir som em todos os 
instrumentos musicais de sopro (tuba, trombone, flauta...). 
Podemos usar a analogia com as cordas para perceber o que acontece nas colunas de ar. 
No caso das cordas concluímos que as extremidades têm de ser nodos porque estão fixas. No caso 
das colunas de ar discutiremos dois casos distintos, ilustrados na Figura abaixo as colunas de ar abertas 
nas duas extremidades e as colunas de ar fechadas numa das extremidades. 
 
 
Primeiramente vejamos então o que podemos dizer sobre as duas extremidades diferentes. 
 
 
 
 
 
 
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• extremidade fechada 
Se pensarmos em termos das ondas de deslocamento das partículas, compreendemos que a 
extremidade fechada tem de ser um nodo. Isso acontece porque as moléculas junto à parede não podem 
oscilar (batem na parede). Portanto, o deslocamento das moléculas encostadas à parede é zero. A 
extremidade fechada comporta-se como a extremidade fixa de uma corda, como um nodo de 
deslocamento. 
 
• extremidade aberta 
Neste caso é melhor pensar em termos de ondas de pressão. A extremidade aberta deve ser um 
nodo para as ondas de pressão. Por quê? Porque a extremidade da coluna está à pressão atmosférica, e a 
pressão atmosférica é constante, não se altera. Portanto a amplitude de variação da onda de pressão na 
extremidade da coluna deve ser nula: teremos um nodo na onda de pressão (isso vale somente 
aproximadamente, pois a pressão não se reduz à pressão atmosférica imediatamente na saída da coluna, 
mas um pouco depois). 
 Lembre-se agora que as ondas de deslocamento e pressão estão defasadas por 90º , o que significa 
que quando a onda de pressão está no máximo, a onda de deslocamento está em zero, e vice-versa. Isto 
quer dizer que um nodo da onda de pressão (amplitude de oscilação nula) é um antinodo da onda de 
deslocamento (amplitude de oscilação máxima). Portanto, enquanto uma extremidade fechada origina um 
nodo para onda de deslocamento, uma extremidade aberta origina um antinodo para onda de 
deslocamento. 
 
Condições de contorno nos casos de uma extremidadefechada e uma extremidade aberta. 
 
Colunas do ar com ambas as extremidades abertas 
 
Discutiremos primeiro as colunas abertas nas duas extremidades. De acordo com o que vimos 
antes temos de ter um antinodo em cada uma das extremidades. Lembrando o fato de que os nodos e 
antinodos são alternados e igualmente espaçados, o modo mais simples ocorre quando existe um nodo no 
meio da coluna entre dois antinodos extremos, o que está ilustrado na Figura 
 
 
 
 
 
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Modo fundamental (primeiro harmônico) da onda estacionária numa 
coluna de ar com extremidades abertas. 
 
Neste caso o comprimento da coluna ( L ) corresponde ao meio comprimento de onda, pois meio 
comprimento de onda é o que vai de um máximo da onda até o mínimo. Chega-se a mesma conclusão 
utilizando o fato que a distância entre dois antinodos é igual ao meio comprimento da onda. 
Determinamos então o comprimento de onda e a frequência do primeiro harmônico: 
 
 ; 
O segundo modo de oscilação das moléculas do ar é realizado com um antinodo no meio da 
coluna, e dois nodos entre ele e antinodos extremos, que está ilustrado na figura. 
 
 
Segundo harmônico da onda estacionária numa coluna de ar com 
extremidades abertas. 
 
Neste caso, o comprimento da coluna corresponde a um comprimento de onda, pois um 
comprimento de onda é a distância entre dois máximos sucessivos. Determinamos então o comprimento 
de onda e a frequência do segundo harmônico: 
 
 ; 
Observa-se que o comprimento de onda do segundo harmônico é metade do comprimento de onda 
do primeiro harmônico, e a frequência é dobrada. 
 
O terceiro modo de oscilação está ilustrado na figura 
 
Terceiro harmônico da onda estacionária numa 
coluna de ar com extremidades abertas. 
 
 
 
 
 
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 Neste caso, o comprimento da coluna corresponde a um e meio (3 2) comprimentos de 
onda. Portanto, o comprimento de onda e a frequência do terceiro harmônico são: 
 
 ; 
 
Podemos agora fazer uma generalização para todos os outros harmônicos, seguindo as dicas das 
equações anteriores. O comprimento de onda do n-ésimo modo é: 
 
 
com frequência correspondente: 
 
 
 
onde o v é velocidade de propagação do som no ar. Assim, concluímos que numa coluna de ar 
com as duas extremidades abertas, são possíveis todos os modos de vibração correspondentes aos 
harmônicos com múltiplo inteiro da frequência fundamental 
 
 
. 
 
Colunas de ar com uma extremidade aberta e outra fechada 
 
Vamos, a seguir, considerar colunas de ar fechadas somente numa das extremidades. A onda 
estacionária mais simples tem um nodo na extremidade fechada e um antinodo na extremidade aberta, tal 
como ilustrado na Figura. 
 
 
Modo fundamental (primeiro harmônico) da onda estacionária numa 
coluna de ar com uma extremidade aberta e outra fechada. 
 
 
 
 
 
 
 
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Neste caso todo o comprimento da coluna L é atravessado por apenas um quarto de comprimento 
de onda. Então, o modo fundamental é caracterizado pelo seguinte comprimento de onda e frequência: 
 
; 
 
Em comparação com o caso de coluna com ambas as extremidades abertas, o comprimento de 
onda é duas vezes maior, enquanto a frequência é duas vezes menor. O segundo modo está ilustrado na 
Figura. Este modo tem mais um nodo e um antinodo no meio. 
 
 
Segundo modo de oscilação da onda estacionária (terceiro harmônico) 
numa coluna de ar com uma extremidade aberta e outra fechada. 
 
 Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por três quartos de comprimento de onda. 
Então, para o segundo modo temos: 
 
 ; 
 
A última igualdade permite compreender porque se usou o subscrito 3 e não 2: porque 
efetivamente a frequência do segundo modo é tripla do modo fundamental. Portanto podemos dizer que 
não há segundo harmônico, há só terceiro harmônico. O terceiro modo, que corresponde ao quinto 
harmônico, tem dois nodos e dois antinodos no meio, e está ilustrado na Figura. 
 
 
Terceiro modo de oscilação da onda estacionária (quinto harmônico) numa 
coluna de ar com uma extremidade aberta e outra fechada. 
 
 
 
 
 
 
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Esse modo tem, em total, três nodos e três antinodos. O comprimento da coluna corresponde a um 
comprimento de onda inteiro e mais ainda um quarto de comprimento de onda, ou seja, a 5/4 de 
comprimento de onda. Portanto: 
 
 ; 
 
o que mostra que realmente se trata do quinto harmônico. Generalizando a sequência estabelecida 
pelas equações podemos concluir que o comprimento de onda do n-ésimo modo é: 
 
 
 
 
 
Os valores de 2n −1 correspondem aos números ímpares. Assim, concluímos que numa coluna de 
ar com uma extremidade fechada são possíveis apenas modos de vibração correspondentes aos múltiplos 
inteiros ímpares da frequência fundamental v 4L . 
A partir das equações acima podemos discutir como funcionam os instrumentos musicais de 
sopro. Obviamente, existe uma única maneira de mudar frequências dos harmônicos, e, portanto, de variar 
o som do instrumento: variando o comprimento da coluna do ar! Nos instrumentos de madeira isso se faz 
com dedos, tampando os furos (furo se comporta como extremidade aberta). No caso dos instrumentos de 
metal, o comprimento da coluna de ar é mudado por uma seção ajustável. 
 
Batimentos 
Até agora discutimos somente superposição das ondas com mesma frequência. A interferência 
entre essas ondas ocorre devido ao deslocamento espacial, diferentes caminhos que elas percorrem. Esse 
tipo de interferência é chamado interferência espacial. Quando se trata da combinação de ondas com 
frequências diferentes, digamos que ocorre interferência temporal. Neste caso não se forma um padrão 
estávelde interferência, pois as posições de ocorrência dos máximos e mínimos mudam com tempo. 
Designamos por batimento um fenômeno que acontece quando existe uma superposição entre 
duas ondas que possuam a mesma direção, amplitude e frequências diferentes, mas próximas. 
Pelo fato das frequências diferirem uma da outra, haverá momentos de interferência construtiva, onde a 
amplitude resultante será grande e momentos de interferência destrutiva, resultando numa amplitude 
diminuída. 
 
 
 
 
 
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Vamos analisar essa situação matematicamente. Consideraremos um ponto particular do espaço, x 
= 0 (pode ser a posição do nosso ouvido, por exemplo), e veremos o que acontece. Duas ondas chegam 
nesse ponto: 
 
 
e se superpõem, formando uma onda resultante: 
 
 
 
Usando a identidade trigonométrica: 
 
a onda resultante tem a seguinte forma: 
 
 
O resultado é apresentado pelo gráfico na figura abaixo. Em certos instantes as ondas y1 e y2 estão 
em fase: seus máximos coincidem e as duas amplitudes se somam. Porém, como as frequências são 
diferentes, duas ondas não podem ficar sempre em fase. Em certos instantes elas se encontram 
completamente fora de fase, produzindo cancelamento total de amplitude. 
 
 
 
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Superposição de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes. É 
mostrado como a elongação de certo elemento do meio depende do tempo. 
 
Os máximos de amplitude correspondem aos batimentos. Como existem dois máximos de 
amplitude em cada ciclo completo, a frequência dos batimentos é: 
 
igual a diferença das frequências das ondas individuais. Um exemplo familiar do batimento é 
aquele produzido por dois diapasões, ou por duas cordas de guitarra de frequências parecidas. Neste caso, 
ouvimos um som de intensidade variável, cuja frequência de batimento b f é a subtração das duas 
frequências envolvidas. 
 
 
 
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 Batimentos produzidos por dois diapasões com frequências ligeiramente diferentes. 
 
Se o primeiro diapasão produz som com uma frequência de 100 Hz, e outro de 110 Hz, o 
instrumento vai registrar batimentos com frequência de 10 Hz, i.e., 10 batimentos por segundo. 
 
 
Representação gráfica da interferência temporal das ondas sonoras produzidas 
por dois diapasões (fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
1) Uma onda possui uma freqüência angular de 110 rad/s e um comprimento de onda de 1,80 m. 
Calcule: 
a) O número de onda angular; R : 3,49 rad/m 
b) A velocidade da onda. R : 31,5 m/s 
 
2) Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda. O tempo para que um ponto particular se 
mova do deslocamento máximo até zero é de 0,170 s. Quais são: 
a) o período; R: 0,68 s 
b) a freqüência; R: 1,47 Hz 
c) O comprimento de onda é igual a 1,40m; qual a velocidade da onda. R : 2,06 m 
 
3) A velocidade de omdas eletromagnéticas (que incluem a luz visível, o rádio e os raios-x) no vácuo 
é de 3,0x10
8
 m/s. 
a) Os comprimentos de onda de ondas de luz visível variam de 400 nm no violeta até cerca de 700 
nm no vermelho. Qual a faixa de freqüência dessas ondas? F1 = 7,5.10
14
Hz e f2 = 4,3.10
14
Hz 
 
 
b) A faixa de freqüências para ondas curtas de rádio variam de 1,5 a 300 MHz. Qual a faixa 
correspondente de comprimento de onda? 
 
m
m
1
200
2
1



 
 
4) Escreva a equação para uma onda senoidal se propagando no sentido negativo ao longo do eixo x 
e tendo uma amplitude de 0,010 m, uma freqüência de 550Hz e uma velocidade de 330 m/s. 
Resposta 
)10.45,347,10(.01,0),( 3 txsentxy 
 
 
5) A equação de uma onda transversal se propagando ao longo de uma corda muito comprida é y = 
6,0 sen(0,020πx + 4,0πt), onde x e y estão expressos em centímetros e t em segundos. Determine: 
 
a) a amplitude; = 6 cm 
b) o comprimento de onda; 
cm100
 
c) a freqüência; 
Hzf 2
 
d) a velocidade; 
smv /2
 
e) o sentido de propagação; O sentido é o x negativo 
f) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda; 
smv /75max 
 
 
 
 
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6) Escreva uma equação que descreva uma onda transversal senoidal se propagando em uma corda 
no sentido +x com comprimento de onda de 10 cm, uma freqüência de 400 Hz e uma amplitude de 
2,0 cm. Qual a velocidade máxima de um ponto na corda? Qual a velocidade da onda? 
Solução: 
 
smvc
smvb
txsenya
/40)
/2,50)
)4001,0(2..2)
max


 
 
 
7) Uma onda senoidal com freqüência de 500 Hz possui uma velocidade de 350 m/s. 
 
a) Qual a separação entre dois pontos que diferem de fase de π / 3 rad? 
b) Qual a diferença de fase entre dói deslocamentos em um certo ponto em tempos separados de 1,0 
ms? 
Solução: 
 
8) A corda mais pesada e a mais leve de um violino possuem massas específicas lineares de 3,0 e 2,9 g/m. 
Qual a razão entre o diâmetro da corda mais pesada e o da corda mais leve, supondo que as cordas sejam 
de mesmo material? 
R 
 
 
9) Qual a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 2,0 m de comprimento e massa igual 
a 60,0 g , sujeita a uma tração de 500N? 
R: 129,1 m/s 
 
10) A tração em umfio metálico preso por fixadores nas duas extremidades é dobrada sem que haja 
uma mudança apreciável do comprimento do fio entre os fixadores. Qual a razão entre a nova 
velocidade da onda e a antiga para ondas transversais se propagando ao longo deste fio? 
R: 1,4 
 
 
 
 
 
 
radb
cma
)
7,11)
 
 
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11) A massa específica linear de uma corda é 1,6 x 10-4 kg/m. Uma onda transversal na corda é 
descrita pela equação: y = (0,021 m) sen [(2,0 m
-1
)x + (30 s
-1
)t]. 
 
a. Qual a velocidade da onda? R: 15m/s 
b. A tração na corda? R : 3,6.10-2 N 
 
12) A equação de uma onda transversal em uma corda é y = (2,0 mm) sen [(20m-1)x – (600 s-1)t]. a 
tração na corda é de 15N. 
a. Qual a velocidade da onda? R: 30 m/s 
b. Encontre a massa específica linear desta corda em gramas por metro. R : 16,67 g/m 
 
13) Uma corda esticada possui uma massa por unidade de comprimento de 5,0 g/cm e uma tração de 
10N. Uma onda senoidal na corda possui uma amplitude de 0,12 mm e uma freqüência de 100 Hz 
e está se propagando no sentido negativo de x. Escreva uma equação para esta onda. 
])628().141[(.)12,0(: 11 tsmsenmmyR  
 
14)Uma corda ao longo da qual ondas podem se propagar possui 2,70 m de comprimento e uma massa de 
260 g. A tração na corda é de 36,0N. Qual deve ser a freqüência das ondas progressivas de amplitude 7,70 
mm para que a potência média seja de 85,0 W ? 
R : 198 Hz 
15) Uma corda esticada possui massa específica linear µ = 525 g/m e está sujeita a uma tração de 45 
N. Enviamos uma onda senoidal com freqüência f = 120 Hz e amplitude ym = 8,5 mm ao longo da corda 
a partir de uma extremidade. A que taxa média a onda transporta energia? R: 100w 
16) que diferença de fase entre duas ondas progressivas, idênticas quanto ao resto, que se movem no 
mesmo sentido ao longo de uma corda esticada, resultará em uma onda combinada com amplitude igual a 
1,50 vez a amplitude comum às duas ondas sendo combinadas? Expresse a sua resposta em (a) graus ; 
(b) radianos ; (c) em comprimento de onda. 
R : a) 82,8º , b) 1,45 rad c) 0,23 comprimento de onda 
17) Duas ondas progressivas idênticas, movendo-se no mesmo sentido, estão fora de fase 90º. Qual a 
amplitude da onda resultante em termos da amplitude ym comum às duas ondas sendo combinadas? R: 
1,41 ym 
18) duas ondas senoidais idênticas, movendo-se no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada, 
interferem uma com a outra. A amplitude ym de cada onda é igual a 9,8 mm, e a diferença de fase entre 
elas é de 100º. 
a) qual a amplitude y’m da onda resultante devida à interferência destas duas ondas, e qual tipo de 
interferência ocorre? R :13mm 
 
 
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b) Que diferença de fase, em radianos e em comprimentos de onda, fará com que a amplitude da onda 
resultante seja de 4,9 mm? , R: 2,6 rad 
19) Uma corda sujeita a uma tração t1 oscila no terceiro harmônico com freqüência f3 e as ondas na corda 
tem comprimento de onda λ3. Se a tração for aumentada para tf = 4t1 e fizermos a corda oscilar novamente 
no terceiro harmônico, quais serão então: 

T
L
n
L
nv
f n .
22

 
a) a freqüência de oscilação em termos de f3 R : 2f3 
b) o comprimento de onda das ondas em termos de λ3 ? R = 
 
20) Uma corda de violão de náilon possui uma massa específica linear de 7,2 g/m e está sujeita a uma 
tração de 150N. Os apoios fixos estão separados de 90 cm. A corda está vibrando no padrão de onda 
estacionária. Calcule: 
 
 
a) A velocidade R: 1,4.10
2
 m/s 
b) O comprimento de onda R: 60 cm 
c) A freqüência das ondas progressivas cuja superposição fornece esta onda estacionária. R: 2,4.10
2
Hz 
21) Duas ondas em uma corda são descritas pelas funções de onda:
 
onde y e x estão em centímetros e t está em segundos. Encontre a superposição das ondas y1 + y2 nos 
pontos (a) x = 1,00, t = 1,00, (b) x = 1,00, t = 0,500, e (c) x = 0,500, t= 0. (Lembre-se de que os 
argumentos das funções trigonométricas estão em radianos.)
 
 
 
 
 
 
 
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Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves Disciplina : Física II 
 
 
Notas de Aula : Física II Curso: Engenharia Civil ( 3° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
 
22) Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitude idênticos se propagam em sentidos 
opostos ao longo de uma corda com uma velocidade de 10 cm/s. Se o intervalo de tempo entre os 
instantes em que a corda está sem curvatura for de 0,50 s, qual o comprimento de onda das ondas? R: 10 
cm 
23) Duas ondas propagam-se no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. As ondas estão 90° 
fora de fase. Cada onda tem uma amplitude de 4,00 cm. Encontre a amplitude da onda resultante. R : 5,66 
cm 
24) Uma corda fixada nas duas extremidades tem 8,40 m de comprimento e uma massa de 0,120 Kg. Ela 
está sujeita a uma tração de 96,0 N e é posta para vibrar. 
a) Qual a velocidade das ondas na corda? R: 82 m/s 
b) Qual o maior comprimento de onda possível para uma onda possível para uma onda estacionária? 
R: 16,8m 
c) Forneça a freqüência dessa onda. R: 4,88 Hz 
25) Duas ondas senoidais idênticas com comprimentos de onda de 3,00 m propagam-se no mesmo sentido 
a uma velocidade de 2,00 m/s. A segunda onda se origina do mesmo ponto que a primeira, mas em 
um instante posterior. Determine o intervalo de tempo mínimo entre os instantes iniciais das duas 
ondas se a amplitude da onda resultante for a mesma que aquela de cada uma das duas ondas iniciais. 
R: 0,5 s 
 
26) Uma corda de 125 cm de comprimento possui uma massa de 2,00 g. Ela é esticada com uma tração de 
7,00 N entre apoios fixos. 
a) Qual a velocidade de onda para esta corda? R : 66,14 m/s 
b) Qual a freqüência de ressonância mais baixa desta corda? R: f1 = 26,4 Hz 
27) Quais as três freqüências mais baixas para ondas estacionárias em um fio metálico de 10,0 m de 
comprimento que possui uma massa de 100g e que está alongado sujeito a uma tração de 250 N? 
R: f1 = 7,9 Hz ; f2 = 15,8 Hz ; f3 = 23,7 Hz 
 
 
 
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28) Uma corda A é esticada entre dois fixadores separados por uma distância L. Uma corda B, com 
mesma massa específica linear e sujeita à mesma tração que a corda A, é esticada entre dois fixadores 
separados por uma distância 4L. Considere os oito primeiros harmônicos da corda B. Qual, se houver, 
possui uma freqüência de ressonância que coincide com uma freqüência de ressonância da corda A? 
R: f1 , A = f 4,A e f2,A = f8,A 
 
29) Uma corda de violão de náilon tem uma massa específica linear de 7,20 g/m e está sujeita a uma 
tração de 150N. Os suportes fixos estão separados por uma distância D = 90,0 cm. A corda está oscilando 
de forma mostrada na figura. Calcule: 
a) A velocidade; R : 1,44.10
2
N 
 
b)O comprimento de onda R : 60 cm 
 
c) a frequência das ondas progressivas cuja a superposição produz a onda estacionária. R: 241 Hz 
 
30) Uma corda com 3,0 m de comprimento está oscilando como uma onda estacionária de três laços com 
uma amplitude de 1,0 cm. A velocidade de onda é igual a 100 m/s. 
a) Qual a freqüência? R: 50 Hz 
b) Escreva equações para as duas ondas que, quando combinadas resultarão nesta onda estacionária. 
Resposta 
])314()14,3[(.)10.5(
])314()14,3[(.)10.5(
113
2
113
1
tsxmsenmy
tsxmsenmy




 
31) Ao tentar afinar a nota dó a 523 Hz, uma afinadora de piano ouve 2 batimentos/s entre um oscilador 
de referencia e a corda. (a) Quais são as frequências possíveis da corda? (b) Quando ela aperta a corda 
ligeiramente, ouve 3 batimentos/s. Qual é a frequência da corda agora? (c) Para qual porcentagem deveria 
a afinadora de piano mudar agora a tensão na corda para que ela fique afinada? 
 R: a) 521 ou 525 Hz ; b) 526 Hz ; c) 2,2% 
 
 
 
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32) Em determinadas escalas de um teclado de piano, mais de uma corda é afinada à mesma nota para 
fornecer sonoridade reforçada. Por exemplo, a nota a 110 Hz tem duas cordas nessa frequência. Se uma 
corda diminuir sua tensão normal de 600 N para 540 N, que frequência de batimento será ouvida quando 
as duas cordas forem excitadas simultaneamente? R: 6 Hz 
 
 
33) Um estudante usa um oscilador de áudio de frequência ajustável para medir a profundidade de um 
poço de água. Duas ressonâncias sucessivas são ouvidas em 51,5 Hz e em 60,0 Hz. Qual é a profundidade 
do poço? R : 10,1 m 
 
 
Bibliografia consultada 
Alonso, M. S. e Finn, E. J., Física, Ed. Edgard Blucher Editora, São Paulo, 1999. 
Young, H. D. e Freedman, R. A. Física II - Termodinâmica e Ondas, Pearson Education do Brasil 
(qualquer edição). 
Halliday, D., Resnick, R, Walker, J Fundamentos de Física 2- Gravitação, Ondas e 
Termodinâmica, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. (9ª Edição).