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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
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ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 As estruturas, mesmo as mais simples, estão sempre sujeitas, além das ações 
gravitacionais, às ações laterais decorrentes, principalmente, dos efeitos de ventos. No caso de 
estruturas de grande altura ou que têm relação entre altura e maior dimensão em planta grande, 
estes efeitos se tornam mais importantes e podem, inclusive, desencadear situações de 
instabilidade do edifício (efeitos de segunda ordem). Desta forma, embora em algumas situações 
as estruturas tenham rigidez suficiente para que possam ser desprezados os efeitos de segunda 
ordem devidos à instabilidade global (definidos adiante), ainda assim é preciso ao menos avaliar se 
as ações laterais (horizontais) são significativas e necessitam ser consideradas no cálculo. 
 A Figura 1 mostra o que ocorre com uma estrutura, no caso uma haste reta, vertical, 
engastada na base e solta no topo e sujeita inicialmente a uma carga vertical (no topo) excêntrica 
de um valor 0. Se não for considerada a deformação da haste, o diagrama de momento fletor, 
chamado de primeira ordem, apresenta, no trecho vertical, o mesmo valor para todas as seções e 
igual a 0PM  (Figura 1b). Quando se considera a deformação da estrutura (Figura 1c) 
surgem momentos fletores chamados de segunda ordem, que podem ser observados na 
Figura 1d. Quando a haste é submetida também à ação lateral do vento, representada por um 
carregamento uniforme de intensidade v (Figura 1e), resultam os momentos fletores de segunda 
ordem conforme vistos na Figura 1f. 
 
(f)(e)(d)(c)(b)(a)
0P
0
Momento fletor de
primeira ordem
P
estrutura sob ação de P
sem deformar
PP 2 1>
Momento fletor de
segunda ordemsegunda ordem
Momento fletor de
P 1
estrutura sob ação de P
deformada P e v deformada
> 121
v
PP
estrutura sob ação de
 
Figura 1. Estrutura submetida à carga vertical e à ação lateral de vento (v) e os 
correspondentes efeitos de segunda ordem. 
 
Os efeitos de segunda ordem são, em geral, maiores quando existem ações laterais 
significativas atuando em uma estrutura. Se essa estrutura possuir uma grande rigidez os valores, 
tanto de 1 como de 2 (Figura 1) serão pequenos, resultando em momentos de segunda ordem 
desprezíveis para efeito de cálculo. Admite-se que os momentos de segunda ordem são pequenos 
quando inferiores a 10% dos momentos de primeira ordem. Ressalta-se que os esforços de 
primeira ordem devidos ao vento devem ser considerados em qualquer estrutura, exceto nas 
situações em que também forem de baixa intensidade. 
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2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS PARA RESISTIR A AÇÕES LATERAIS 
Como as ações laterais são devidas principalmente ao vento, é dessas que se tomará como 
atuantes, mas não se tratará especificamente do cálculo das mesmas. Vento, de forma 
simplificada, é o deslocamento de massas de ar decorrentes das diferenças de temperatura e, 
principalmente, pressão na atmosfera. A massa de ar ao adquirir uma certa velocidade, quando 
encontra a superfície de uma estrutura inerte, produz nela uma pressão, resultando em forças 
horizontais que solicitam a estrutura. 
 Normalmente as estruturas de concreto armado são formadas de elementos prismáticos, 
ou seja, elementos com uma dimensão bem maior que as outras duas, e seção transversal 
constante. Um arranjo interessante para absorver as ações de ventos são os pórticos (neste caso, 
planos) constituídos por pilares (elementos geralmente verticais) e vigas (em geral horizontais), 
como o mostrado na Figura 2, inclusive com a deformação por ele sofrida. 
 
P6P5P4
P1 P2 P3F1
F2
P3P2P1
P4 P5 P6
 1
Figura 2. Pórtico sob ações só verticais e verticais junto com horizontais de vento. 
 
 Uma estrutura de concreto armado, por exemplo a da planta de formas dada na Figura 3 e 
corte da Figura 4, de pequena altura (dois pavimentos), pode ser admitida como composta, para 
efeito de resistência aos esforços laterais, de uma série de pórticos formados pelos pilares e vigas. 
 
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 3 
V
5 
(2
0X
60
)
V1 (12X30)
V2 (12X30)
V4 (12X30)
V3 (12X30)
V
6 
(2
0X
60
)
V
7(
20
X
60
)
V
8 
(1
2X
30
)
V
9 
(1
2X
30
)
P1 (20X20) P2 (20X20) P3 (20X20)
P5 (12X30) P6 (20X20)P4 (20X20)
P7 (20X20)
P10 (20X20) P11 (12X30) P12 (20X20)
P8 (12X30) P9 (20X20)
L1 L2
L5 L6
L3 L4
e=8 e=8
e=8 e=8
e=8 e=8
370 370
62
0
42
0
62
0
222 222
A
1 2 3
B
C
D
 
Figura 3. Planta de uma estrutura compostas por pilares e vigas (cotas em cm). 
 
V3 (12X30)
P8 (12X30) P9 (20X20)P7 (20X20)
VB3 (12X30)
VF3 (12X30)
321
31
0
31
0
TÉRREO
TIPO
FORRO
 
Figura 4. Corte no sentido das menores dimensões da estrutura da Figura 3. 
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 O vento incidindo sobre a face que contêm os pilares P1, P4, P7 e P10 (face esquerda) é 
resistido por pórticos como os mostrados na Figura 5. Neste caso são quatro pórticos planos, 
constituídos respectivamente pelos pilares P1, P2, P3; P4, P5, P6; P7, P8, P9; e P10, P11, P12; e 
as vigas correspondentes que unem esses pilares (Figura 3). 
 
P1 ou P10 P2 ou P11 P3 ou P12
viga de piso 2 ou 3
viga de forro 2 ou 3
31
0
31
0
370 370
viga de piso 1 ou 4
viga de forro 1 ou 4
P4 ou P7 P5 ou P8 P6 ou P9 P6 ou P9P5 ou P8P4 ou P7
viga de forro 1 ou 4
viga de piso 1 ou 4
370370
viga de forro 2 ou 3
viga de piso 2 ou 3
P3 ou P12P2 ou P11P1 ou P10
 
Figura 5. Pórticos planos que resistem à ação do vento incidente na face esquerda da 
estrutura da Figura 3. 
 
 Se essa estrutura fosse projetada sem vigas (lajes lisas), os esforços de vento seriam 
absorvidos exclusivamente pelos pilares, considerando-os então ligados apenas por tirantes (a 
função da laje) que são incapazes de transmitir momentos. 
 Segundo a NBR 6118:2003, na composição estrutural muitas vezes é interessante arranjar 
os elementos estruturais de modo a proporcionarem aumento de rigidez em direções críticas a 
estes conjuntos. A norma define, em seu item 15.4.3, contraventamento, com a seguinte redação: 
“Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido 
à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas 
ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento”. 
 As caixas de elevadores e escadas, bem como os pilares-parede de concreto armado, 
constituem exemplos de subestruturas de contraventamento. Por outro lado, mesmo elementos de 
pequena rigidez podem, em seu conjunto, contribuir de maneira significativa na rigidez a ações 
horizontais, devendo então ser incluídos na subestrutura de contraventamento. Os elementos que 
não participam da subestrutura de contraventamento são chamados de “elementos 
contraventados”. 
 É, portanto, usual em estruturas altas ou esbeltas empregar caixas de elevadores, de 
escadas, pilares paredes e, em algumas situações, até um sistema treliçado, na direção da ação 
crítica do vento, de modo a proporcionar uma maior rigidez a estrutura. Como determinar a 
rigidezda estrutura é tema dos próximos itens. 
 
3. INÉRCIA EQUIVALENTE DE UM PILAR 
Como visto, normalmente considera-se que o conjunto de vigas e pilares têm 
comportamento de pórtico. Para isso, interessa definir para um determinado pórtico um pilar 
equivalente, ou seja, um pilar que tenha a mesma rigidez do pórtico. Isto é feito admitindo, por 
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exemplo, que atue no pórtico uma carga horizontal igual a F (Figura 6). Calculando o 
deslocamento do seu topo, chamando de pórtico, basta agora tomar um pilar engastado na base e 
livre na outra extremidade, com a mesma altura e submetido à mesma carga horizontal F do 
pórtico, e tendo o mesmo deslocamento (pilar = pórtico). 
 
pavimento
forroF
pórtico
H
pilar
F
 
Figura 6. Pórtico plano e pilar retangular com rigidez equivalente. 
 
O deslocamento horizontal do pilar no topo é dado por: 
 
pilar
3
pilar )IE(3
HF


 
 
Igualando as duas deformações obtém-se a expressão da rigidez equivalente do pilar: 
 
pórtico
3
pilar 3
HF)IE(


 (1) 
 
 
EXEMPLO 1 
Determinar as dimensões de um pilar que tenha rigidez equivalente à do pórtico formado pelos 
pilares P1, P2, P3 do sobrado dado nas Figuras 3, 4 e 5 e esquematizado na Figura 7. Admitir 
que a menor dimensão do pilar seja de 20 cm, que a força F valha 100 N e que o concreto tenha 
fck = 20 MPa. 
 
 
 
 
 
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 6 
 
31
0
31
0
VF1(12x40)
V1(12x40)
370370
P3 (20x20)P2 (20x20)P1 (20x20) Pequivalente(20xh)
h
Pórtico Pilar equivalente
 
Figura 7. Pórtico plano e pilar retangular com rigidez equivalente. 
 
a) Características Geométricas 
Vigas: 
Área: 2m048,040,012,0A  
Inércia à flexão: 443 m1040,612/40,012,0I  
Pilares: 
Área: 2m040,020,020,0A  
Inércia à flexão: 443 m1033,112/20,020,0I  
 
b) Características do concreto: 
Módulo de elasticidade longitudinal: 
27
ckc m/kN101287,2MPa2872120560085,0f560085,0E  
Módulo de elasticidade transversal: 
27
cc m/kN108514,0MPa5148212874,0E4,0G  
 
c) Deslocamento horizontal do pórtico 
Com a força F = 100 N e usando algum programa que calcule pórticos [FTOOL (MARTA, 
2006); PPLAN – Sistema LASER (CORREA et Alli, 1986)] obtém-se para o deslocamento 
horizontal do pórtico pórtico = 0,07495 m. 
 
d) Dimensões do pilar equivalente 
Com a expressão 1 é obtém-se o momento de inércia do pilar equivalente: 
pórtico
3
pilar 3
HF)IE(


  437
3
pilar m1098,4
07495,0101287,23
2,6100I 


 
 
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Como uma das dimensões do pilar é b = 0,20 m obtém-se a outra: 
m67,0
20,0
1098,412h 3
3




 
Dessa maneira, um pilar de 20 cm × 67 cm é equivalente, em termos de rigidez, ao pórtico com a 
configuração dada na Figura 7. 
 
4. ASSOCIAÇÃO DE PÓRTICOS 
 Quando a estrutura é composta de diversos pórticos e está submetida à ação lateral devida 
ao vento, as ações nos elementos podem ser calculadas resolvendo um pórtico tridimensional. Em 
algumas situações é possível simplificar o problema e considerar o vento atuando em uma 
associação de pórticos em série. 
Por exemplo, seja a estrutura da Figura 8, formada pelos pórticos P1, P2, etc. e 
submetida à ação lateral de vento Fv. Ao se efetuar um corte vertical junto ao pórtico 2, vê-se que 
ele, ao se deformar, apresenta no último pavimento um deslocamento horizontal pórtico, que é o 
mesmo deslocamento em planta que teriam os demais pórticos se não houvesse a rotação 
horizontal () de toda a estrutura. 
 
Fv
PÓRTICO 2
pórtico
PÓRTICO 2
PÓRTICO 1
PLANTACORTE
v
v
F
h
H
pórtico
F forro
pavimento
 
Figura 8. Distribuição da ação do vento entre pórticos admitindo a laje um septo rígido. 
 
Supondo que haja simetria de distribuição de pilares e vigas, das características 
geométricas e da ação do vento, é possível admitir que a rotação  seja nula. Nesta situação, a 
ação do vento pode ser analisada considerando que os pórticos estejam alinhados em série 
(Figura 9), ligados por elementos de grande área mas que não têm capacidade de transmitir 
momentos fletores (fazem o papel das lajes), e sujeitos à ação total do vento. 
 
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 8 
pavimento
forroF
F
v
v
forro
pavimento pavimento
forro
Pórtico 1 Pórtico 2 Pórtico 3
ligação (laje)
elemento de 
 
Figura 9. Pórticos planos associados em série que resistem à ação total do vento. 
 
Resolvendo o sistema estrutural indicado na Figura 9 obtêm-se as ações do vento em 
cada pórtico. Ressalta-se que esse procedimento se baseia no fato que a laje tem uma área muito 
grande e assim é praticamente indeformável em seu plano e, portanto, tem movimento de corpo 
rígido e funciona como um septo. Havendo simetria os deslocamentos da parte superior de todos 
os pilares serão iguais, pois a laje sofre apenas translação, e os esforços em cada pórtico serão 
proporcionais à rigidez de cada um deles. 
 
5. ESTABILIDADE ESTRUTURAL 
 Segundo a NBR 6118:2003 as estruturas de concreto devem ser projetadas, construídas e 
utilizadas de modo que sob as condições ambientais previstas e respeitadas as condições de 
manutenção preventiva especificadas no projeto, conservem suas segurança, estabilidade, aptidão 
em serviço e aparência aceitável, durante um período pré-fixado de tempo, sem exigir medidas 
extras de manutenção e reparo. 
 Os esforços calculados a partir da geometria inicial da estrutura, sem deformação, são 
chamados efeitos de primeira ordem. Aqueles advindos da deformação da estrutura são chamados 
de efeito de segunda ordem. A consideração dos efeitos de segunda ordem conduz a não 
linearidade entre a ações e deformações; esta não linearidade, devido sua origem, é chamada de 
não linearidade geométrica. A fissuração e fluência do concreto levam também a uma não 
linearidade (entre ações e deformações) chamada neste caso de não linearidade física. 
 As deformações existentes nas estruturas permitem calcular os efeitos de segunda ordem 
que, de acordo com o item 15.4.1 da NBR 6118:2003, podem ser divididos em efeitos globais, 
locais e localizados de segunda ordem. 
 Segundo esse item da norma, sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da 
estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses 
deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, os respectivos 
eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio, afetam 
principalmente os esforços solicitantes ao longo delas próprias. Em pilares parede (simples ou 
compostos) pode-se ter uma região que apresenta não retilinidade maior do que a do pilar como 
um todo; nestas regiões surgem efeitos de 2ª ordem maiores, chamados de efeito de 2ª ordem 
localizados. O efeito de 2ª ordem localizado, além de aumentar nesta região a flexão longitudinal, 
aumenta também a flexão transversal, havendo a necessidade de aumentar os estribos nestas 
regiões. 
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 Na Figura 10 estão representadas as possibilidades de instabilidade que podem ser 
causadas por cada uma das duas primeiras situações. 
 
h
b
h
b b
h
1 2 3 4
 
Figura 10. Esquema estrutural de um edifício alto: 1) perspectiva esquemática; 
2) estrutura verticalmente indeformada; 3) edificação sujeita a instabilidade global; 
4) instabilidade local dos pilares centrais inferiores. 
 
 Teoricamente todas as três situações descritas anteriormente devem ser verificadas e, 
preferencialmente, considerando a não linearidade geométrica e física do material e também o 
comportamento tridimensional da estrutura. É fácil perceber a dificuldade na realização de um 
cálculo deste, e assim é comum separar os problemas e verificar inicialmente a estabilidade global, 
a local e finalmente a localizada. Na seqüência será estudada apenas a estabilidade global, ficando 
a local para quando forem abordados os pilares de edifícios. 
 
6. ESTABILIDADE GLOBAL 
 Para criar condições mais simples de cálculo costuma-se definir estruturas de nós fixos e 
nós moveis. No item 15.4.2 da NBR 6118:2003 define-se estruturas de nós fixos como aquelas 
em que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais 
de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2ª ordem. 
 Os efeitos de primeira ordem são aqueles obtidos com o cálculo feito com a estrutura 
considerada indeformada. 
 Estruturas de nós móveis são definidas como aquelas em que os deslocamentos 
horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes 
(superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser 
obrigatoriamente considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais. 
 Quando uma estrutura é classificada como de nós móveis, surge a necessidade de 
considerar também a parcela dos efeitos de segunda ordem no dimensionamento dos elementos 
estruturais. Esta análise exige a adoção de métodos mais sofisticados que os da análise de 
primeira ordem. 
 Diferentes tipos de abordagem já foram propostos. Observa-se, entretanto, que é o 
chamado processo P- o mais utilizado para a análise da estrutura deformada e conseqüente 
obtenção dos acréscimos sofridos pelos efeitos de primeira ordem, fornecendo resultados com 
aproximações muito boas para os casos de edifícios convencionais, como demonstram 
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MacGREGOR & HAGE (1977). Mas, apesar do P- ser um processo relativamente simples, o 
tempo despendido no cálculo é, muitas vezes, maior que o desejado. 
 Assim, passou-se a trabalhar a idéia de se utilizar um coeficiente majorador dos esforços 
de primeira ordem, de forma a prever, a partir dos resultados de primeira ordem, o acréscimo 
percentual que eles sofreriam com a adição dos efeitos de segunda ordem. Esse tipo de 
abordagem, embora bastante simplificado, pode apresentar resultados satisfatórios na análise de 
estruturas convencionais. 
 No item 15.5 a norma apresenta dois processos aproximados (apresentados em 15.5.2 e 
15.5.3 respectivamente): o do parâmetro  e o do coeficiente z , que definem as condições para 
a dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem, ou seja, se a estrutura pode ser 
classificada como de nós fixos, sem a necessidade de cálculo rigoroso. 
O parâmetro  foi desenvolvido por BECK & KÖNIG (1966), com base em diversos 
procedimentos de normas internacionais, e o coeficiente z fruto dos estudos realizados por 
FRANCO & VASCONCELOS (1991). 
O princípio é que, após a determinação dos deslocamentos horizontais, verifica-se a 
porcentagem do aumento dos momentos de segunda ordem, que são então comparados com o 
parâmetro de instabilidade  ou o coeficiente z , classificando assim a estrutura como de nós 
deslocáveis ou indeslocáveis. 
 Por outro lado, há estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes e que, não 
obstante, dispensam a consideração dos efeitos de 2ª ordem por serem pequenos, ainda assim, os 
acréscimos dos deslocamentos produzidos pelas cargas verticais. Isso pode acontecer, por 
exemplo, em postes e em certos pilares de pontes e de galpões industriais. 
 O conceito de nós fixos ou de nós moveis pode ser também aplicado às subestruturas de 
contraventamento. 
 Define ainda a norma (item 15.4.4) como elementos isolados: 
 as peças isostáticas; 
 os elementos contraventados; 
 os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; 
 os elementos das sub-estruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos esforços 
nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os determinados 
por análise global de 2ª ordem. 
Nos três itens seguintes são apresentados o parâmetro de instabilidade , o coeficiente z 
e os conceitos principais do processo P-. 
 
6.1. Parâmetro de instabilidade  
Os primeiros estudos voltados para a avaliação dos efeitos de segunda ordem enfocavam 
apenas o comportamento de barras isoladas. BECK & KÖNIG (1966), com base na teoria de 
Eüler, desenvolveram os primeiros trabalhos de repercussão que envolveram estruturas como um 
todo, trabalhando em regime elástico-linear. 
Para isso, consideraram o edifício como equivalente a um pilar único, engastado na base e 
livre no topo, de seção constante, e sujeito a uma força vertical uniformemente distribuída ao 
longo do seu comprimento. Dessa forma, esse pilar possuía rigidez igual à soma das rigidezes dos 
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pilares isolados que participavam do contraventamento da estrutura. 
Resolvendo a equação diferencial que permitia a determinação da carga crítica, Beck e 
König observaram que a perda de estabilidade da estrutura se relacionava a um coeficiente, 
denominado , que dependia do carregamento e das características geométricas do pilar 
(comprimento e rigidez). 
 Como conseqüência, uma estrutura reticulada pode ser considerada como sendo de nós 
fixos se seu parâmetro de instabilidade , dado pela expressão 2, for menor que 1 definido a 
seguir: 
 
)/(EN ccktot IH  (2) 
 
 n1,02,01  se 3n  
 6,01  se 4n  
 
Em que: 
n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível 
pouco deslocável do subsolo; 
H tot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco 
deslocável do subsolo; 
N k - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado 
para o cálculo de H tot ), com seu valor característico; 
E c I c - somatória das rigidezes de todos os pilares na direção considerada; no caso de estruturas 
de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, 
permite-se considerar produto de rigidez cc IE  de um pilar equivalente de seção 
constante; o valor de E c (módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente 
inicial) é dado em 8.2.8 da NBR 6118:2003, e o valor de I c deve ser calculado 
considerando as seções brutas dos pilares. 
 
 Para determinar a rigidez equivalente a que se refere o item 15.5.2., procede-se de 
maneira semelhante ao apresentado no item 3, da seguinte forma: 
 calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do 
carregamento horizontal característico; 
 calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no 
topo, de mesma alturaH tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo 
deslocamento no topo. 
 O valor limite 6,01  prescrito para 4n  é, em geral, aplicável às estruturas usuais 
de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-parede. 
Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por 
pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos. 
 Enquanto a norma NBR 6118:1980 previa que as ações laterais (e provavelmente os 
efeitos globais de segunda ordem) só deviam ser calculadas quando uma edificação apresentasse 
altura superior a quatro vezes a menor dimensão em planta, ou quando os pórticos em uma 
direção tivessem menos que quatro pilares em linha, na nova versão o critério se baseia em 
valores de deformação da estrutura em si. 
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EXEMPLO 2 
Seja um edifício de um pavimento e cobertura (mesma planta de forma e corte dos exemplos 
anteriores, Figuras 11 e 12, idênticas às Figuras 3 e 4). Verificar, através do parâmetro de 
instabilidade  se esse esquema estrutural pode ser admitido de nós fixos (na direção dos pilares 
P1, P2 e P3), admitindo os seguintes dados: 
 Peso próprio das lajes (piso e forro) igual a 1,5 kN/m2. 
 Revestimento no pavimento de 5 cm; carga acidental no piso igual a 1,5 kN/m2, e no forro de 
0,5 kN/m2. 
 Revestimento do forro de 2 cm; paredes de espessura igual a 20 cm quando em vigas de 20 cm 
e de 15 cm quando em vigas de 12 cm; 
 Peso específico da alvenaria e revestimento igual a 18 kN/m3; 
 Todos os pilares considerados com seção de 20 cm × 20 cm; concreto com fck = 30 MPa. 
 
V
5 
(2
0X
60
)
V1 (12X30)
V2 (12X30)
V4 (12X30)
V3 (12X30)
V
6 
(2
0X
60
)
V
7(
20
X
60
)
V
8 
(1
2X
30
)
V
9 
(1
2X
30
)
P1 (20X20) P2 (20X20) P3 (20X20)
P5 (12X30) P6 (20X20)P4 (20X20)
P7 (20X20)
P10 (20X20) P11 (12X30) P12 (20X20)
P8 (12X30) P9 (20X20)
L1 L2
L5 L6
L3 L4
e=8 e=8
e=8 e=8
e=8 e=8
370 370
62
0
42
0
62
0
222 222
A
1 2 3
B
C
D
 
Figura 11. Planta de uma estrutura compostas por pilares e vigas (cotas em cm). 
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 13 
V3 (12X30)
P8 (12X30) P9 (20X20)P7 (20X20)
VB3 (12X30)
VF3 (12X30)
321
31
0
31
0
TÉRREO
TIPO
FORRO
 
Figura 12. Corte no sentido das menores dimensões da estrutura da Figura 3. 
 
Inicialmente calculam-se as ações verticais existentes na edificação dados na Tabela 1. 
 
Tabela 1. Cargas verticais atuantes na edificação. 
Carga Tipo Valor Total parcial (kN) 
Acidental Laje pavimento 16,8∙7,6∙1,5 = 192 
Acidental Laje de forro 16,8∙7,6∙0,5 = 64 
Total parcial Acidental 256 (9,2%) 
Permanente Laje do pavimento 16,8∙7,6∙1,5 = 192 
Permanente Laje do forro 16,8∙7,6∙1,5 = 192 
Sobrecarga permanente Pavimento 0,05∙16,8∙7,6∙18 = 115 
Sobrecarga permanente Forro 0,02∙16,8∙7,6∙18 = 46 
Permanente Paredes de 20 cm ((6,20∙2+4,20)∙0,20∙2,8)∙18∙3∙2 = 1004 
Permanente Paredes de 15 cm (4,20∙0,15∙2,8)∙18∙2∙2 = 128 
Permanente Paredes de 15 cm (direção 
P1, P2, P3) 
((3,70∙2)∙0,15∙2,80∙18∙4∙2 = 448 
Permanente Vigas de 20 cm × 60 cm ((6,20∙2+4,2)∙0,20∙0,6∙25∙3∙2 = 299 
Permanente Vigas de 12 cm  30 cm (3,7+3,7)∙0,12∙0,30∙25∙4∙2 = 53 
Permanente Pilares de 20 cm × 20 cm 0,20∙0,20 (3,1-0,6)∙25∙12∙2 = 60 
Total parcial Permanente 2537 (90,8%) 
Total final Acidental+permanente 2793 
 
Notas: 
 Não foram consideradas as ações das escadas; admitiu-se, por facilidade, que nesta região há 
uma laje normal. 
 No cálculo do peso das paredes e vigas desconsiderou-se as sobreposições, empregando para 
seus comprimentos e alturas as dimensões indicadas na planta e corte das Figuras 3 e 4. 
 No cálculo da carga permanente dos pilares, todos foram considerados com seção 
20 cm × 20 cm 
 
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 14 
 
Cálculo do coeficiente : 
 Módulo de elasticidade longitudinal do concreto: 
27
ckc m/kN106,2MPa2607230560085,0f560085,0E  
 Inércia equivalente dos pilares (valor obtido no exemplo 1 para um pórtico multiplicado pelo 
número de pórticos existentes na direção considerada, no caso quatro): 
4343
pilar m1092,19m1098,44I
  (ver exemplo 1) 
m2,61,32H tot  
kN2793Nk  
2n  (dois pavimentos) 
4,021,02,0n1,02,01  
45,0073,02,6
1092,19106,2
27932,6IH 37 


)/(EN ccktot > 4,01  
Trata-se, portanto, de uma estrutura de nós móveis. 
 
Foi analisada a estabilidade da estrutura segundo a direção menor; para a verificação na outra 
direção basta considerar a inércia equivalente dos pórticos formados pelos pilares P1, P4, P7, 
P10; P2, P5, P8, P11; e P3, P6, P9, P12. 
Com os resultados do carregamento observa-se que em edifícios residenciais de pequeno ou 
médio porte a carga permanente é bem maior que a acidental. 
 
6.2. Coeficiente  z para avaliação dos efeitos de segunda ordem 
 
6.2.1. Introdução 
O coeficiente z foi criado pelos engenheiros Mário Franco e Augusto Carlos de 
Vasconcelos, e citado pela primeira vez no trabalho "Franco, M. E Vasconcelos, A.C - Practical 
Assessment of Second Order Effects in Tall Buildings, Proceedings do Colloquium sobre o CEB-
FIP MC90, Rio de Janeiro, 1991". 
O coeficiente z é utilizado para mensurar a sensibilidade da estrutura aos efeitos de 2ª 
ordem, ou seja, aos efeitos da não linearidade geométrica, estimando a importância dos esforços 
de 2a ordem em relação aos esforços de 1ª ordem. 
As principais características do coeficiente são: 
 Indicar se uma edificação é de nós móveis ou fixos, e avaliar se a sua mobilidade é excessiva; 
 Servir para estimar a amplificação dos momentos de primeira ordem para a consideração dos 
momentos de segunda ordem, sem que seja necessário o cálculo destes. 
De acordo com as indicações de LIMA (1998), o coeficiente de majoração dos efeitos de 
primeira ordem de uma estrutura convencional, simétrica e com ações verticais e horizontais 
uniformemente distribuídas, é exatamente o z . 
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 15 
Teoricamente as deduções do z foram realizadas para edifícios regulares, ou seja, 
mesmo pavimento tipo, mesmo pé-direito, mesma inércia dos pilares, mesmas dimensões de vigas 
e mesmas condições de engastamento. 
Mesmo que na prática seja difícil encontrar essas condições, em diversos trabalhos 
acadêmicos, nos quais foram feitas comparações para estimar os efeitos de segunda ordem entre o 
coeficiente z e o processo P- (será comentado no próximo item), obtiveram-se excelentes 
resultados globais para o z , principalmente quando seu valor foi menor ou igual a 1,3 
( 3,1z  ), ou seja, até esse valor ele pode ser empregado como coeficiente majorador dos efeitos 
de primeira ordem. Para 3,1z  , geralmente outros requisitos da Norma impedem o 
prosseguimento do cálculo (por exemplo, deslocamentos horizontais acima do limite). 
Por essa razão é que o valor limite para a aplicação do z como majorador, de acordo 
com a nova NBR 6118, é 1,3. Assim sendo, tem-se: 
 1,1z  : os efeitos de segunda ordem podem se desconsiderados; 
 3,11,1 z  : o coeficiente pode ser adotado como majoradordos efeitos de primeira ordem 
na avaliação dos efeitos finais. 
 3,1z  : deve ser empregado um método mais rigoroso que forneça os valores dos efeitos de 
segunda ordem, por exemplo, o processo P-. 
Conforme o item 17.7.2 da NBR 6118:2003, uma solução aproximada para a 
determinação dos esforços globais de 2ª ordem a serem considerados no dimensionamento das 
peças, consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração 
adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada (1ª ordem) por 
z95,0  , desde que 3,1z  . 
Além de apresentar uma formulação mais apropriada, o coeficiente z possibilita a 
utilização de distribuições quaisquer de carregamento, justamente porque trabalha em termos dos 
acréscimos de momentos nas posições deslocadas. Com isso, as forças horizontais com as quais 
se calcula M1,tot,d podem ser as forças de arrasto devidas ao vento no nível de cada pavimento, o 
que não se utiliza com o coeficiente . 
Quanto à sua aplicação, o z pode ser usado para a classificação das estruturas quanto à 
deslocabilidade dos nós, de maneira análoga ao parâmetro . Seu valor é calculado e comparado 
com um valor limite, acima do qual a estrutura deve ser considerada de nós móveis. De acordo 
com o critério que dispensa a adição dos efeitos de segunda ordem se eles não ultrapassarem 10% 
dos de primeira ordem (item 15.4.2 da Norma), a estrutura pode ser considerada de nós fixos 
quando 1,1z  para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares (de acordo com item 
15.5.3 da Norma, que trata desse coeficiente). O z pode ser determinado a partir dos resultados 
de uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez dados em 15.7.3 da 
Norma. 
 
6.2.2. Determinação do coeficiente z 
O coeficiente z é obtido a partir da aplicação do método geral (método não aproximado 
para análise não-linear de 2ª ordem de elementos isolados) em que se considera inicialmente a 
deformação devido às ações de primeira ordem. Após esta primeira deformação surgem esforços 
(de segunda ordem) que provocarão novas deformações e assim sucessivamente. Os momentos de 
segunda ordem (M2) são estimados como a somatória das forças verticais multiplicadas pelo 
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 16 
deslocamento dos nós da estrutura sob ação das forças horizontais. 
Seja a haste da Figura 13. Após a deformação da peça (em função do momento fletor 
01 PM  ) surge em seu topo um deslocamento 1. O momento provocado por este estado de 
deformação (que tem como momento máximo, no pé da haste, o valor 11 PM  ) gera o 
estado de deformação da etapa 2, com o máximo deslocamento 2, gerando o momento 
22 PM  . Esse momento causa o deslocamento 3 resultando no momento 3M e assim 
sucessivamente. Se o valor de  for diminuindo e convergir para zero tem-se uma estrutura 
estável; caso contrário a estrutura não é estável. Assim, pode-se calcular o valor do momento 
fletor 2M na base (máximo) com a seguinte expressão: 
 
deformada
estrutura sob ação de P
P
0
Detalhe 1
1
2
3
4
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Detalhe 1
 
Figura 13. Deformação de segunda ordem de uma haste; em cada etapa a deformação é 
provocada pelo momento gerado na deformação da etapa anterior. 
 
n32112 M...MMMMM  (3) 
 
com 
 
....PM...;PM;PM nn2211  (4) 
 
Aplicando-se o processo P- em estruturas regulares submetidas a forças horizontais ao 
longo da altura e verticais uniformemente distribuídas ao longo do eixo vertical, observa-se que as 
razões entre os acréscimos de deslocamentos referentes a uma certa iteração e os acréscimos 
referentes à iteração anterior têm praticamente o mesmo valor, quaisquer que sejam essas 
iterações. 
Tomando como hipótese de que essa razão seja realmente igual para todas as iterações, 
pode-se aproximar o desenvolvimento progressivo dos deslocamentos horizontais por uma 
progressão geométrica decrescente. O mesmo ocorre para os momentos fletores 
[VASCONCELOS & FRANÇA (1997)], ou seja, existe proporcionalidade (geométrica) entre os 
momentos de duas etapas consecutivas do processo. Grande parte das estruturas reticulares, 
principalmente em regime linear físico (sem fissuração), tem esta propriedade. A razão desta 
progressão geométrica é dada por: 
 
1n
n
1
2
1
1
M
M
...
M
M
M
M
r







 (5) 
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 17 
 
Dividindo-se os dois membros da equação 3 por 1M , obtém-se: 
 
1
n
1
2
1
1
1
1
1
2
M
M...
M
M
M
M
M
M
M
M 




 (6) 
 
Considerando as relações apresentadas na equação 5, tem-se: 
 
rMMr
M
M
11
1
1 
 
2
1
1
1
1
1
2
1
2 r
M
rM
r
rM
rM
rM
M
r
M
M










 
3
1
1
1
2
1
3
2
3 r
M
rrM
M
rM
M
M
r
M
M









 
n
1
1n
1
1
2n
1
1n
1
n
1n
n r
M
rM
M
rrM
M
rM
M
M
r
M
M










 

 
 
 
 
 
 
 
(7) 
 
Desta forma, a partir da equação 6, com os resultados das equações 7, pode ser obtido o 
momento resultante dos efeitos de segunda ordem 2M , observando que o termo entre parênteses 
é uma progressão geométrica de razão r: 
 
  1n22n2
1
2 Mr...rr1Mr...rr1
M
M
 (8) 
 
Como os incrementos dos momentos em uma etapa devem ser sempre menores que os da 
etapa anterior (caso contrário a estrutura não atinge a condição de equilíbrio), a razão r é sempre 
menor que a unidade. Nesse caso, quando n tende ao infinito, pode-se fazer a soma dos termos de 
uma progressão geométrica, de onde se obtém: 
 
12 Mr1
1M 

 (9) 
 
E, como 
1
1
M
M
r

 , resulta: 
 
1
1
1
2 M
M
M1
1M 


 
(10) 
 
Finalmente, a expressão 10 indica a amplificação do momento M1 para a obtenção de M2. 
O fator de amplificação é o coeficiente z , ou seja: 
 
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 18 





 


1
1
z
M
M
1
1 (11) 
 
 Esta expressão equivale à que a NBR 6118:2003 apresenta em seu texto para avaliação da 
importância dos esforços de segunda ordem globais em estruturas reticuladas, no item 15.5.3, a 
seguir transcrita: 
 
 . 
M
M
1
1
d,tot,1
d,tot
z 

 
(12) 
 
 O momento d,tot,1M é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de 
todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo (estado limite último), em relação à base 
da estrutura: 
 
fi
n
i
id,tot,1 hHM  (13) 
 
Em que: 
 i – numero do andar considerado; 
 n – número do total de andares do edifício; 
 Hi – ação horizontal (geralmente vento) resultante no andar i; 
 hi – distância do andar i até a base da estrutura; 
 f – coeficiente de majoração das cargas no estado limite último. 
 
O momento d,totM é obtido pela soma dos produtos de todas as forças verticais 
atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo (estado limite 
último), pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da 
análise de 1ª ordem. 
 
  hi
n
1i
i2qf0i1qfgifd,totPPPM  

 (14) 
 
Sendo: 
 i – numero do andar considerado; 
 n – número do total de andares do edifício; 
 Pgi – resultante vertical da carga permanente no andar i; 
 f – coeficiente de majoração das cargas no estado limite último; 
 0 – fator de redução de combinação para ELU para ações variáveis secundárias; a favor da 
segurança, pode ser tomado igual à unidade; 
 Pq1i – resultante vertical da ação acidental considerada principal no andar i; 
 Pq2i – resultante vertical da ação acidental considerada secundária no andar i; 
 hi – deslocamento horizontal na direção considerada do andar i., obtido da análise de 1ª ordem 
com as ações horizontais (geralmente vento) em serviço. 
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 19 
6.3. Processo P- 
A utilização do z para majorar esforços horizontais é uma solução bem estudada e 
difundida. Mas a norma especifica e limita claramente esta utilização a estruturas reticulares com 
no mínimo quatro andares e z não maior que 1.3. Nos outros casos, é necessário usar um 
método mais refinado como, por exemplo, o P-. 
Como já visto, com a incidência das ações laterais, os nós de uma estrutura sofrem 
deslocamentos horizontais denominados de primeira ordem. Os esforços solicitantes (forças 
normais, momentos fletores e esforços cortantes) calculados com a estrutura indeformada 
produzem esforços de 1a ordem. As forças verticais aplicadas nesses nós, agora deslocados, 
provocam o aparecimento de novos esforços, que causam novos deslocamentos, e assim 
sucessivamente. Os esforços e deslocamentos adicionais podem ser obtidos pelo chamado 
processo P- (produto da força vertical P pelo deslocamento , Figuras 14 e 15), que realiza 
uma análise através de sucessivas iterações, nas quais buscam-se novas condições de equilíbrio 
para a estrutura (Figura 16). A idéia geral do processo clássico é descrita a seguir. 
 
 
Figura 14. Esquema do processo P-. 
 
 
Figura 15. Esquema simplificado do processo P- para uma barra única. 
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 20 
 
Figura 16. Posições deslocadas em iterações sucessivas no processo P-. 
 
Inicialmente, faz-se a análise da estrutura indeformada (primeira ordem), submetida às 
ações horizontais (Figura 17). Com os deslocamentos resultantes desta primeira análise, 
determinam-se os deslocamentos relativos entre pavimentos. 
 
 
Figura 17. Estrutura indeformada (1ª ordem) submetida às ações horizontais. 
 
As forças verticais em cada pavimento geram momentos proporcionais aos deslocamentos 
relativos. Esses momentos podem ser substituídos por binários equivalentes constituídos de forças 
horizontais (Figura 18a), cujas resultantes, em cada pavimento, são as chamadas forças 
horizontais fictícias (Figura 18b), dadas por: 
 
11
1i11
i
ii
i h
dV
h
dV
H

  (15) 
 
Sendo: 
 Vi e Vi+1 – forças verticais acumuladas até os pavimentos i e i+1, respectivamente; 
 hi e hi+1 – alturas dos pavimentos i e i+1, respectivamente; 
 di e di+1 – deslocamentos horizontais relativos do pavimento i em relação ao pavimento i-1 e 
do pavimento i+1 em relação ao pavimento i, respectivamente. 
 
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 21 
 
 
 
a) Estrutura deformada b) Forças verticais e horizontais fictícias 
Figura 18. Processo P- com as forças horizontais (iniciais e fictícias) e verticais atuantes 
 
Essas forças horizontais fictícias devem ser somadas às forças horizontais iniciais, 
resultando nas forças horizontais modificadas, com as quais é feita a análise seguinte. Novos 
deslocamentos são obtidos e novas forças horizontais fictícias e modificadas são calculadas, 
dando continuidade ao processo. Observe-se que as forças horizontais modificadas ao final de 
cada iteração devem ser determinadas pelo somatório das forças horizontais fictícias com as 
forças horizontais iniciais, e não com as forças horizontais modificadas da iteração anterior. 
Repetem-se as sucessivas análises até a convergência dos deslocamentos, ponto 
correspondente à posição de equilíbrio. Os esforços referentes a esta posição são os esforços 
finais procurados, que incluem os de segunda ordem. Segundo MacGREGOR (1988), o processo 
pode ser interrompido quando os deslocamentos de uma dada iteração não excederem em mais de 
5% os da iteração anterior. 
Vale ressaltar que, para computar os deslocamentos laterais com mais precisão, a rigidez 
EI das barras deveria ser modificada após cada iteração, em função dos novos valores de 
momentos e considerando os diagramas momento-curvatura. Entretanto, como essa correção 
tende a ser bastante trabalhosa e exige o conhecimento prévio das armaduras, podem ser adotados 
processos simplificados, como o indicado na NBR 6118:2003, item 15.7.3 (aqui no item 6.5.2). 
 
6.4. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS 
 Nas estruturas de nós fixos, de acordo com o item 15.6 da NBR 6118:2003, é permitido 
considerar cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos 
demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise 
da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. 
 A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser feita de acordo com o que se prescreve 
no item 15.8 da norma, que trata da análise de elementos isolados, que será vista no estudo de 
pilares. 
 Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato 
de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos 
esforços globais de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura deslocável. 
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 22 
6.5. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS 
6.5.1. Introdução 
 Nas estruturas de nós moveis (item 15.7 da NBR 6118:2003), a análise deve levar 
obrigatoriamente em conta os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física. 
No dimensionamento, consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem. 
Essa análise pode ser feita de três maneiras: 
 utilizando o coeficiente z como majorador, que é uma solução aproximada e válida apenas 
para estruturas regulares em que 3,1z  . A avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª 
ordem) é feita com a multiplicação dos momentos de 1ª ordem por z95,0  ; 
 utilizando o processo P-, para considerar a não linearidade geométrica, e os valores dos 
módulos de rigidez reduzidos do item 3.8.5 da norma (a seguir em 3.9.2), para considerar a 
não linearidade física; 
 realizando uma análise não-linear de segunda ordem, considerando a não linearidade 
geométrica através de modificações na matriz de rigidez da estrutura, e a não linearidade física 
através dos diagramas momento-curvatura de cada seção. 
 
6.5.2. Consideração aproximada da não-linearidade física 
A não-linearidade física é o fenômeno correspondente à perda de proporcionalidade entre 
tensão aplicada e deformação sofrida pelo material. No caso do concreto, isso começa a 
acontecer antes mesmo de se atingir o limite de proporcionalidade, principalmente devido a 
fatores como a formação e a abertura de fissuras nas seções transversais das peças. 
Para uma análise ideal de segunda ordem, o módulo de rigidez EI deveria refletir a 
distribuição das fissurasao longo dos elementos, a fluência, a retração e o próprio 
comportamento inelástico do concreto e do aço das armaduras. Mas essa análise, para estruturas 
de edifícios, acaba tomando muito tempo e não compensando, frente aos bons resultados que os 
métodos simplificados podem fornecer. 
A idéia atualmente mais aceita é a de considerar uma porcentagem de perda da rigidez que 
simule os diversos aspectos anteriormente citados. 
 Dessa maneira, em estruturas reticuladas com pelo menos quatro andares, a 
NBR 6118:2003, segundo o item 15.7.2 permite, para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, 
considerar a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez das peças 
estruturais os valores a seguir: 
 lajes: ccsec IE3,0)IE(  
 vigas: 
ccsec IE4,0)IE(  para A's  As 
ccsec IE5,0)IE(  para A's = As 
 pilares: ccsec IE8,0)IE(  
O módulo de elasticidade a ser adotado no cálculo de z , segundo o item 8.2.8 da 
NBR 6118:2003, é o módulo de deformação tangente inicial (Eci). Este módulo é 17.6% maior 
que o módulo de elasticidade secante utilizado em verificações de estados limites de serviço 
(correspondente ao coeficiente multiplicador de 0,85). 
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 O momento de inércia IC é o referente à seção bruta de concreto, incluindo mesas 
colaborantes se for o caso. 
 Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento for composta 
exclusivamente por vigas e pilares e z for menor que 1,3, considerar para ambos: 
 ccsec IE7,0)IE(  
 Os valores de rigidez adotados são aproximados e não podem ser usados para avaliar 
esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. 
 
 
EXEMPLO 3 
Verificar, através do coeficiente z , a estabilidade global da estrutura (se é de nós fixos ou 
móveis) de um edifício com quatro pavimentos cuja planta de formas do primeiro piso (admite-se 
que a do forro seja igual) e corte transversal (esquema do pórtico) estão nas Figuras 19 e 20. 
Dados: fck = 20MPa; lajes maciças com 8 cm de espessura; peso próprio das lajes (piso e forro) 
igual a 1,5 kN/m2; revestimento no pavimento de 5 cm; carga acidental no piso igual a 1,5 kN/m2, 
e no forro de 0,5 kN/m2; revestimento do forro de 2 cm; paredes de espessura igual a 20 cm 
quando em vigas de 20 cm e de 15 cm quando em vigas de 12 cm; peso específico da alvenaria e 
revestimento igual a 18 kN/m3; todos os pilares com seção de 20 cm × 20 cm. 
 
V
5 
(2
0X
60
)
V1 (12X30)
V2 (12X30)
V4 (12X30)
V13 (12X30)
V
6 
(2
0X
60
)
V
7(
20
X
60
)
V
8 
(1
2X
30
)
V
9 
(1
2X
30
)
P1 (20X60) P1 (20X60) P3 (20X60)
P5 (20x60) P6 (20X60)P4 (20X60)
P7 (20X60)
P10 (20X60) P11 (20x60) P12 (20X60)
P8 (20X60) P9 (20X60)
L1 L2
L5 L6
L3 L4
e=8 e=8
e=8 e=8
e=8 e=8
370 370
62
0
42
0
62
0
222 222
A
1 2 3
B
C
D
 
Figura 19. Planta do pavimento tipo (mesma para o forro) do exemplo 3. 
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V301 (12X40)
P8 (20X60) P9 (20X60)P7 (20X60)
VB3 (12X30)
V302 (12X40)
321
31
0
31
0
TÉRREO
TIPO
TIPO
TIPO
31
0
31
0
VF304 (12X40)
V303 (12X40)
P8 (20X60) P9 (20X60)P7 (20X60)
VF3 (12X40)
31
0
TIPO
FORRO
 
Figura 20. Esquema do pórtico do edifício do exemplo 3. 
 
Como o edifício tem quatro pisos é possível empregar o coeficiente  z para avaliar a estabilidade 
global da estrutura. Para a análise são necessárias as ações horizontais (ações de vento) e as 
verticais atuantes na edificação. 
 
a) Ações horizontais e características geométricas 
As ações de vento atuantes em cada pórtico, cujo cálculo não será aqui apresentado, são 
14,40 kN, 16,30 kN, 16,30 kN, 16,90 kN e 8,45 kN para cada altura, respectivamente. Como os 
pórticos são iguais, será resolvido apenas um pórtico. Por enquanto ainda não serão majoradas as 
cargas. 
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As características geométricas dos elementos são dadas por: 
Pilar (20 cm × 40 cm): 
 Área: 2m12,060,020,0A  
 Inércia à flexão (estádio I): 43
3
m106,3
12
60,020,0I  
Viga (12 cm × 40 cm): 
 Área: 2m048,040,012,0A  
 Inércia à flexão (estádio I): 44
3
m104,6
12
40,012,0I  
 
Para considerar a não linearidade física de maneira simplificada pode-se, neste caso (ver seção 
3.9.2), multiplicar as inércias do pilar e das vigas por 0,7. Assim, tem-se: 
 
Pilar (20 cm × 40 cm): 
 Área: 2m12,060,020,0A  
 Inércia à flexão (estádio II): 43
3
m1052,27,0
12
60,020,0I  
Viga (12 cm × 40 cm): 
 Área: 2m048,040,012,0A  
 Inércia à flexão (estádio II): 44
3
m1048,47,0
12
40,012,0I  
 
Na Figura 21 são mostrados as ações de vento atuando no pórtico do exemplo (todos os pórticos 
são iguais) e os deslocamentos horizontais obtidos através da resolução do mesmo com as 
inércias, tanto dos pilares quanto das vigas, reduzidas. 
Os deslocamentos na Figura 21 devem ser multiplicados por 1,4 se o vento for considerado como 
a carga acidental principal e 84,06,04,1  se for admitido como ação secundária (Tabela 11.2 
do item 11.7.1 da NBR 6118:2003). 
Outros aspectos importantes a destacar são que todos os pontos de cada andar têm o mesmo 
deslocamento em razão da rigidez da laje em seu plano, e a não consideração da excentricidade 
do vento. 
 
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P8 (20X60) P9 (20X60)P7 (20X60) 3
10
31
0
TIPO
31
0
31
0
P8 (20X60) P9 (20X60)P7 (20X60) 3
10
P7 (20X60) P8 (20X60)
TIPO
P7 (20X60) P8 (20X60)
8,45
16,9
16,3
16,3
14,4
1,86cm
1,48 cm
2,10 cm
0,94 cm
0,24cm
 
Figura 21. Esquema estrutural do pórtico do edifício do exemplo 3 com as cargas (kN) de 
ação de vento (sem majoração) e deslocamento horizontal resultante em cada andar. 
 
b) Ações verticais 
As ações verticais são determinadas para os pavimentos tipo (Tabela 2) e para o forro 
(Tabela 3), e separadas por ações permanentes e acidentais. 
 
Tabela 2. Cargas verticais atuantes no pavimento tipo do edifício. 
Carga Tipo Valor Total parcial (kN) 
Acidental Laje pavimento 16,8∙7,6∙1,5 = 192 
Total parcial Acidental 192 (12,8%) 
Permanente Laje do pavimento 16,8∙7,6∙1,5 = 192 
Sobrecarga permanente Pavimento 0,05∙16,8∙7,6∙18 = 115 
Permanente Paredes de 20 cm ((6,20∙2+4,20)∙0,20∙2,8)∙18∙3 = 502 
Permanente Paredes de 15 cm (4,20∙0,15∙2,8)∙18∙2 = 64 
Permanente Paredes de 15 cm (direção 
P1, P2, P3) 
((3,70∙2)∙0,15∙2,80∙18∙4 = 224 
Permanente Vigas de 20 cm × 60 cm ((6,20∙2+4,2)∙0,20∙0,6∙25∙3 = 150 
Permanente Vigas de 12 cm  30 cm (7,4∙4+4,20∙2)∙0,12∙0,30∙25 = 34 
Permanente Pilares de 20 cm × 20 cm 0,20∙0,20 (3,1-0,4)∙25∙12 = 32 
Total parcial Permanente 1313 (87,2%) 
Total final Acidental+permanente 1505 
Notas: 
 Não foram consideradas as ações das escadas; admitiu-se, por facilidade, que nesta região há 
uma laje normal. 
 No cálculo do peso das paredes e vigas desconsiderou-se as sobreposições, empregando para 
seus comprimentos e alturas as dimensões indicadas na planta e corte das Figuras 19 e 20. 
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Tabela 3. Cargas verticais no forro. 
Carga Tipo Valor Total parcial (kN) 
Acidental Laje de forro 16,8∙7,6∙0,5 = 64 
Total parcial Acidental 64 (13,2%) 
Permanente Laje do forro 16,8∙7,6∙1,5 = 192 
Sobrecarga permanente Forro 0,02∙16,8∙7,6∙18 = 46 
Permanente Vigas de 20 cm × 60 cm ((6,20∙2+4,2)∙0,20∙0,6∙25∙3 = 150 
Permanente Vigas de 12 cm  30 cm (7,4∙4+4,20∙2)∙0,12∙0,30∙25 = 34 
Total parcial Permanente 422 (86,8%) 
Total final Acidental+permanente 486 
 
Assim o momento de segunda ordem (na primeira iteração) pode ser calculado pela expressão 14, 
destacando que não há carga acidental secundária, reduzindo-se a: 
  hi
n
1i
i1qfgifd,tot PPM  

 
Sendo: 
 i – numero do andar considerado; 
 n – número do total de andares do edifício (no caso, quatro); 
 Pgi – resultante vertical da carga permanente no andar i; 
 f – coeficiente de majoração das cargas no estado limite último; 
 Pq1i – resultante vertical da ação acidental considerada principal no andar i; 
 hi – deslocamento horizontal na direção considerada do andar i. 
Os valores de P para os andares do pavimento e do forro para carga acidental e permanente estão 
dados nas Tabelas 2 e 3 respectivamente, e os valores de hi estão dados (sem coeficiente de 
ponderação) na Figura 20. 
Assim, considerando apenas uma combinação de ações com a carga vertical acidental como 
principal, o coeficiente de ponderação das cargas verticais é (tanto permanente como acidental) 
1,4. A expressão, portanto, fica: 
  hi
n
1i
i1qgid,tot P4,1P4,1M  

 
Os valores estão dados na Tabela 4. 
 
Tabela 4. Calculo do momento de segunda ordem (primeira situação). 
Andar P (g+q) (kN) Coeficiente hi (cm) d,totM (kNm) 
Forro 486 1,4 2,10 14,29 
4 1505 1,4 1,86 39,19 
3 1505 1,4 1,48 31,18 
2 1505 1,4 0,94 19,81 
1 1505 1,4 0,24 5,06 
Total 109,53 
 
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O momento de tombamento devido ao vento é obtido multiplicando a força do vento em cada 
andar pela respectiva altura em relação ao nível da fundação (hi), lembrando que é necessário 
considerar toda a ação do vento (nos quatro pórticos), pois as cargas verticais foram tomadas 
como as resultantes de todo o pavimento: 
kNm30,2551)5,1545,84,1290,163,930,162,630,161,340,14(4hHM iviav,1  
Para o coeficiente z resulta: 
1,104,1
30,2551
53,1091
1
M
M
1
1
av,1
d,tot
z 




 
A estrutura pode ser considerada de nós fixos. 
 
6.5.3. Imperfeições geométricas 
 As estruturas reticulares sempre apresentam imperfeições geométricas (construtivas) do 
eixo dos seus elementos quando descarregadas (desaprumos). O desaprumo consiste em uma 
inclinação acidental, um deslocamento angular em relação à posição inicial, variável de edificação 
para edificação. 
Segundo a NBR 6118:2003 os desaprumos dos eixos dos elementos da estrutura são 
admitidos como ações horizontais permanentes indiretas e devem ser considerados na verificação 
do estado limite último das estruturas reticuladas descarregadas. Essas imperfeições podem ser 
divididas em globais e locais, e no caso interessam as globais que podem comprometer a 
estabilidade da edificação. 
 O item 11.3.3.4.1 da Norma trata das imperfeições globais e estabelece que nas estruturas 
reticuladas, contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos seus elementos 
verticais, conforme indicado na Figura 22. O deslocamento máximo (amáx) no topo do edifício é 
dado por: 
 
Ha amáx  (3.16) 
Com: 
2
(1/n)1
θ1a

 e 
H100
1
θ1

 
 
(3.17) 
 
Onde: 
H é a altura total da edificação, em metros; 
n é o número de prumadas de pilares do pórtico. 
 
 Nas expressões anteriores devem ser obedecidos os seguintes limites para 1θ : 
400/1θ min1,  para estruturas de nós fixos; 
300/1θ min1,  para estruturas de nós móveis ou imperfeições locais; 
200/1θ máx1,  . 
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Figura 22. Imperfeições geométricas globais em estruturas reticuladas constituídas de 
pórticos (figura 11.1, NBR61118:2003). 
 
 A norma indica ainda que este desaprumo não deve necessariamente ser superposto ao 
carregamento do vento. Entre os dois, vento e desaprumo, deve ser considerado apenas o mais 
desfavorável, ou seja, aquele que provoca o maior momento total na base da edificação. 
 
 
EXEMPLO 4 
Verificar a estabilidade global da estrutura do edifício do exemplo 3 verificando a condição de 
imperfeição geométrica. 
 
Cálculo do desaprumo: 
394
1
50,15100
1
H100
1
θ1 



 
Como 
400
1
394
1
1  200
1
  
394
1
1  
com 
482
1
2
)3/1(1
394
1
2
(1/n)1
θ1a 



 
cm22,31550
482
1Ha amáx  
Para cada pavimento o deslocamento é obtido multiplicando a pela altura correspondente, 
obtendo os valores indicados na Tabela 5. 
A condição de desaprumo neste caso é bem mais severa que a ação do vento quando o mesmo é 
considerado carga acidental secundária (sem o coeficiente 1,4) e menos severa para quando o 
vento é considerado como condição principal. Fazendo a verificação apenas para a primeira 
situação resulta: 
  )84,0()PP(4,1)84,0(P4,11P4,1M hi
n
1i
iqighi
n
1i
iqigd,tot  

 
Os resultados estão organizados na Tabela 5, sendo os deslocamentos hi determinados para cada 
andar em função do ângulo de desaprumo a já calculado. 
 
 
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Tabela 5 Calculo do Momento de segunda ordem primeira situação 
Andar P (g+q) (kN) Coeficiente hi (cm) d,totM (kN.m) 
Forro 486 1,4 3,21 21,84 
4 1505 1,4 2,57 54,15 
3 1505 1,4 1,93 40,67 
2 1505 1,4 1,29 27,18 
1 1505 1,4 0,64 13,48 
Total 157,32 
 
O momento de primeira ordem, devido ao desaprumo, considerando o vento como ação 
secundária (os valores são os mesmos da Figura 21), como visto no exemplo 3, é dado por: 
  iviav,1 hH0,84M 
kNm10,2143)5,1545,84,1290,163,930,162,630,161,340,14(484,0M av,1  
Assim 1,108,1
10,2143
32,1571
1
M
M
1
1
av,1
d,tot
z 




 
Ainda a estrutura pode ser considerada de nós fixos. 
 
Cabe destacar que o momento de segunda ordem na base do edifício devido ao desaprumo é 
maior (157,32 kNm) que o causado pelo vento (109,53 kNm, calculado no exemplo 3), e só o 
primeiro deve ser considerado. 
 
 
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