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Suma´rio 1 Diferenciac¸a˜o de func¸o˜es de va´rias varia´veis 1 1.1 Fun�c~oes de duas ou mais Vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Diferencia�c~ao Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Fun�c~oes de mais de duas vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Derivada de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Extremo absoluto e relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Teste da derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.7 Aproxima�c~ao e Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.7.1 Teorema da Aproxima�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 i SUMA´RIO SUMA´RIO 1.7.2 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.8 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.8.1 Uma vari�avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.8.2 Tre^s Vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8.3 Outros tipos de fun�c~oes compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.8.4 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.9 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.9.1 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2 Integrais Duplas e Triplas 60 2.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2 A integral dupla sobre um reta^ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Integrais duplas sobre regi~oes mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.6 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.6.1 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.6.2 Coordenadas Polar e Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.6.3 Mudando de Coordenadas Cartesianas para Coordenadas Polares . . 93 2.7 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8.1 Integral Tripla sobre uma Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.9 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.10 Integrais Triplas em Coordenadas Cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO ii CA´LCULO II SUMA´RIO SUMA´RIO 2.10.1 Coordenadas Cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.10.2 Integrais Triplas em Coordenadas Cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . 116 2.11 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO iii CA´LCULO II Cap´ıtulo 1 Diferenciac¸a˜o de func¸o˜es de va´rias varia´veis 1.1 Func¸o˜es de duas ou mais Varia´veis A fun�c~ao de duas vari�aveis �e uma regra que associa um �unico n�umero para cada par (x; y) de n�umeros para os quais a regra �e de�nida. Notac� ~ ao: z = f (x; y) : Se f for de�nida para todos os pares (x; y), representamos esta rela�c~ao por: f : R2 ! R ou (x; y) f�! z: Se f for de�nida em D � R2 (dom��nio da fun�c~ao), f : D ! R; D � R2: Gr � afico da Func� ~ ao de duas Vari � aveis: Interpretamos os pares ordenados (x; y) como pontos no plano xy. Indicamos o valor da fun�c~ao z = f(x; y) plotando o ponto 1 CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.1. FUNC¸O˜ES DE DUAS OU MAIS VARIA´VEIS (x; y; z) no espa�co. Ent~ao, a altura do ponto (x; y; z) abaixo ou acima do ponto (x; y; 0) representa o n�umero z associado pela fun�c~ao ao par ordenado (x; y) Abaixo damos dois exemplos, um de fun�c~ao de duas vari�aveis e outro de uma rela�c~ao de duas vari�aveis que n~ao �e fun�c~ao: � z = x 2 + y 2 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 y 0 2 4 6 8 z -2 -1 0 1 x 0 2 4 6 parabol�oide circular: f (x; y) = x 2 + y 2 : � z 2 = x 2 + y 2 n~ao descreve uma fun�c~ao: LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 2 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.1. FUNC¸O˜ES DE DUAS OU MAIS VARIA´VEIS -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 y -2 -1 0 1 2 z -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 Notemos que z n~ao �e �unico no cone z 2 = x 2 + y 2 . Func� ~ oes de tr ^ es ou mais vari � aveis. Fun�c~oes de tre^s ou mais vari�aveis independentes s~ao de�nidas de maneira an�aloga; w = f (x; y; z) f : R3 ! R ou (x; y; z) f�! w: Como exemplo de fun�c~oes de tre^s vari�aveis temos a temperatura w 0 de uma sala, w 0 = T (x 0 ; y 0 ; z 0 ) em que (x 0 ; y 0 ; z 0 ) �e a coordenada de um ponto da sala. Geralmente uma fun�c~ao de n vari�aveis independentes x 1 ; x 2 ; : : : ; x n tem a forma: w = f (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 3 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.1. FUNC¸O˜ES DE DUAS OU MAIS VARIA´VEIS Simb�olicamente, f : Rn ! R ou (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) f �! w: Fazer o gr�a�co de uma fun�c~ao de duas vari�aveis �e dif��cil. Existem duas t�ecnicas que d~ao uma id�eia geral do gr�a�co da fun�c~ao z = f (x; y). T � ecnica 1 Uma delas consiste em fazer com que uma das vari�aveis independentes seja constante. Assim, obtemos uma fun�c~ao de uma vari�avel cujo gr�a�co pode ser esbo�cado no plano apropriado. Se x = c em z = f(x; y), ent~ao, z = f(c; y) = g(y), cujo gr�a�co �e a intersec�c~ao do gr�a�co desejado com o plano x = c; se y = c em z = f(x; y), ent~ao, z = f(x; c) = h(x), cujo gr�a�co �e a intersec�c~ao do gr�a�co desejado com o plano y = c. As intersec�c~oes dos gr�a�cos de f com os planos x = c ou y = c s~ao denominadas tra�cos de f nos respectivos planos. Esbo�cando os tra�cos de f em v�arios planos, podemos obter uma vis~ao mais precisa do gr�a�co de f . Exemplo 1.1 Esbo�car v�arios tra�cos para o gr�a�co de z = x 2 + y 2 . Plano y = c Fun�c~ao z = f(x; c) 0 z = x 2 1 z = x 2 + 1 2 z = x 2 + 4 �1 z = x 2 + 1 �2 z = x 2 + 4 Plano x = c Fun�c~ao z = f(x; c) 0 z = y 2 1 z = y 2 + 1 2 z = y 2 + 4 �1 z = y 2 + 1 �2 z = y 2 + 4 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 4 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.1. FUNC¸O˜ES DE DUAS OU MAIS VARIA´VEIS Exemplo 1.2 z = y 2 � x 2 . Plano y = c Fun�c~ao z = f(x; c) 0 z = �x 2 1 z = 1� x 2 2 z = 4� x 2 �1 z = 1� x 2 �2 z = 4� x 2 Plano x = c Fun�c~ao z = f(x; c) 0 z = y 2 1 z = y 2 � 1 2 z = y 2 � 4 �1 z = y 2 � 1 �2 z = y 2 � 4 T � ecnica 2 A outra t�ecnica envolve um tra�cado em duas dimens~oes que fornece outras informa�c~oes sobre o gr�a�co. Plotamos os pontos que satisfazem a equa�c~ao c = f(x; y) para v�arias escolhas de c. Cada c produz a curva de n��vel do n��vel c. Exemplo 1.3 Seja z = x 2 + y 2 . Se z = c temos a equa�c~ao x 2 + y 2 = c, v�alidapara todo c � 0 As curvas de n��veis s~ao circulares conce^ntricas. -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 5 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.1. FUNC¸O˜ES DE DUAS OU MAIS VARIA´VEIS Exemplo 1.4 Seja f(x; y) = y 2 � x 2 . Se z = c temos a equa�c~ao y 2 � x 2 = c ou y = � p x 2 + c. -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 Curvas de n��veis para c = �4;�1; 0; 1; 4. Observac� ~ ao 1.1 Embora n~ao possamos esbo�car o gr�a�co de fun�c~oes de tre^s vari�aveis, podemos esbo�car suas superf��cies de n��vel. Se u = f(x; y; z), fazemos u = c e obtemos f(x; y; z) = c. Exemplos f � �sicos � Conjuntos de todos os pontos na sala para os quais a temperatura T (x; y; z) �e igual a T 0 . Tais superf��cies de temperatura constante s~ao chamadas superf��cies isot�ermicas. � Outro exemplo ocorre na teoria da eletricidade e magnetismo, em que superf��cies sobre os quais um potencial el�etrico �e constante s~ao chamadas superf��cies equipo- tenciais. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 6 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES 1.2 Limites Uma vizinhan�ca de um ponto P 0 = (x 0 ; y 0 ) �e um disco aberto N com centro (x 0 ; y 0 ), isto �e, N = � (x; y) � � � � q (x� x 0 ) 2 + (y � y 0 ) 2 < r ff em que r �e o raio do disco N . Simbolicamente, uma vizinhan�ca de Q = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) �e uma bola aberta N com centro (x 0 ; y 0 ; z 0 ), isto �e, N = � (x; y; z) � � � � q (x� x 0 ) 2 + (y � y 0 ) 2 + (z � z 0 ) 2 < r ff em que r �e o raio da bola. Em nota�c~ao vetorial podemos generalizar os dois conceitos. Uma vizinhan�ca do vetor ~x 0 �e um conjunto de vetores de�nido por N = f~x jjx� x 0 j < rg em que r �e o raio da vizinhan�ca. De�nimos vizinhan�ca exclu��da como o conjunto de todos os pontos na vizinhan�ca ~x 0 , exceto o vetor ~x 0 . Usaremos esta terminologia para de�nir o lim f(x) quando x! x 0 . Da mesma forma que para fun�c~oes de uma vari�avel a a�rma�c~ao lim ~x!~x 0 f (~x) = L signi�ca que os valores f(x) da fun�c~ao f \aproximan-se" do n�umero L quando o vetor ~x aproxima-se do vetor �xo ~x 0 . Neste caso, ~x pode aproximar-se de ~x 0 por muitos caminhos diferentes. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 7 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES Antes de formular uma de�ni�c~ao precisa para o limite de uma fun�c~ao de v�arias vari�aveis, vamos analisar o caso de uma �unica vari�avel. Consideremos a fun�c~ao f(x) = 2x+ 1 e o seguinte limite: lim x!3 f (x) = 7: Queremos que f(x) esteja \t~ao pr�oximo" de 7 para todo x 6= 3 mas su�cientemente pr�oximo de 3. Suponhamos que: 2; 75 < x < 3; 25) 5; 5 < 2x < 6; 5) 6; 5 < 2x+ 1 < 7; 5) ) 6; 5 < f (x) < 7; 5: Assim, para obter uma precis~ao de �5 em torno de 7, devemos restringir x no intervalo 2; 75 < x < 3; 25, isto �e, mater x a uma dista^ncia 0; 25 de 3. Se quisermos uma precis~ao de �1 em torno de 7, devemos exigir que x perten�ca a um intervalo menor em torno de 3, isto �e, 3; 95 < x < 3; 05) 5; 9 < 2x < 6; 1) 6; 9 < 2x+ 1 < 7; 1) ) 6; 9 < f(x) < 7; 1: Portanto, se 2; 95 < x < 3; 05 ent~ao f(x) possui uma precis~ao de 0; 1 em torno de 7. Em geral, dada qualquer precis~ao desejada de f(x) em rela�c~ao a 7, podemos encontrar um intervalo aberto I centrado em 3 tal que, se x 2 I, ent~ao, o valor f(x) difere de 7 n~ao mais do que a precis�cao prescrita. Assim, dizemos que lim x!x 0 f(x) = 7: LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 8 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES Definic� ~ ao formal de limite para func� ~ oes de uma vari � avel: Seja f(x) de�nida para todo x em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em a. Dizemos que o n�umero L �e o limite da fun�c~ao f(x) quando x se aproxima de a, e escrevemos lim x!a f(x) = L se e somente se, dado qualquer n�umero " > 0 existe um n�umero correspondente � > 0 tal que se 0 < jx� aj < �, ent~ao jf(x)� Lj < ": Associando com o exemplo anterior, temos: f(x) = 2x+ 1; a = 3 e L = 7; jf(x)� Lj < " ) j(2x+ 1)� 7j < " ) j2x� 6j < " ) jx� 3j < " 2 : (i) Se " = 0; 5) 0 < jx� 3j < " 2 = 0; 5 2 = 0; 25: Portanto, se 0 < jx� 3j < 0; 25 | {z } � ) j(2x+ 1)� 7j < 0; 5 |{z} " : (ii) Se " = 0; 1) 0 < jx� 3j < 0; 1 2 = 0; 05: Portanto, se 0 < jx� 3j < 0; 05 | {z } � ) j(2x+ 1)� 7j < 0; 1 |{z} " : Em geral, escolhemos � = " 2 . LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 9 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES Exemplo 1.5 (2 vari � aveis) Para f (x; y) = 4� x� y temos que lim (x;y)!(1;1) f (x; y) = 2: Exemplo 1.6 Seja f (x; y) = �xy x 2 + y 2 : Penso que lim (x;y)!(0;0) �xy x 2 + y 2 n~ao existe. � A primeira vista esta conclus~ao pode n~ao ser �obvia. Por exemplo, (i) fazemos y = 0 e (x; y) aproximando-se de (0; 0) atrav�es do eixo-x, isto �e, lim (x;0)!(0;0) �xy x 2 + y 2 = lim x!0 �x � 0 x 2 + 0 2 = 0; (ii) fazemos x = 0 e (x; y) aproximando-se de (0; 0) atrav�es do eixo-y, isto �e, lim (0;y)!(0;0) �xy x 2 + y 2 = lim y!0 �0 � y 0 2 + y 2 = 0; (iii) se (x; y) se aproxima de (0; 0) atrav�es da reta y = x, temos: lim (x;x)!(0;0) �xy x 2 + y 2 = lim x!0 �x 2 x 2 + y 2 = � 1 2 : Como o resultado em (iii) n~ao concorda com os resultados em (i) e (ii), conclu��mos que o limite n~ao existe. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 10 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES Definic� ~ ao 1.1 (Definic� ~ ao formal de limite) Seja ~x um vetor posi�c~ao correspondente ao ponto (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) 2 Rn. Seja f uma fun�c~ao de n vari�aveis de�nida para todo ~x em uma vizinhan�ca exclu��da de ~x 0 . Seja L um n�umero real. Dizemos que L �e o limita da fun�c~ao f quando ~x se aproxima de ~x 0 e, escrevemos lim ~x!~x 0 f (~x) = L se e somente se, para todo " > 0, existe um n�umero � tal que se 0 < j~x� ~x 0 j < � ent~ao jf (~x)� Lj < ": Exemplo 1.7 Use a de�ni�c~ao para provar que: lim (x;y)!(0;0) q 9� x 2 � y 2 = 3: Soluc� ~ ao. L = 3, ~x 0 = ~ 0 �e o vetor posi�c~ao associado com a origem. 0 < q (x� 0) 2 + (y � 0) 2 = q x 2 + y 2 < � (1.1) � � � � q 9� x 2 � y 2 � 3 � � � � < " (1.2) ou 3� q 9� x 2 � y 2 < "; pois q 9� x 2 � y 2 6 3: Resolvendo, temos: q 9� x 2 � y 2 > 3� ": Isto acontece, se e somente se, a seguinte cadeia de desigualdades equivalentes acontece: 9� � x 2 + y 2 � > (3� ") 2 (supondo " < 3) LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 11 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES x 2 + y 2 < 6"� " 2 q x 2 + y 2 < p 6"� " 2 (1.3) fazendo � = p 6"� " 2 , ent~ao (1.4) acontece sempre que a desigualdade (1.6) acontece. Como (1.6) �e equivalente �a (1.5), isto mostra que se 0 < q x 2 + y 2 < �; ent~ao � � � � q 9� x 2 � y 2 � 3 � � � � < ": � Teorema 1.1 (Propriedades) Sejam f e g fun�c~oes de duas ou tre^s vari�aveis de�nidas em uma vizinhan�ca exclu��da de ~x 0 . Suponhamos que lim ~x!~x 0 f (~x) e lim ~x!~x 0 g (~x) existam, e que sejam iguais a L e M , respectivamente. Seja k uma constante qual- quer. Ent~ao, (i) lim ~x!~x 0 [f (~x) + g (~x)] = � lim ~x!~x 0 f (~x) � + � lim ~x!~x 0 g (~x) � = L+M ; (ii) lim ~x!~x 0 (k � f (~x)) = k � � lim ~x!~x 0 f (~x) � = k � L; (iii) lim ~x!~x 0 (f (~x) � g (~x)) = � lim ~x!~x 0 f (~x) � � � lim ~x!~x 0 g (~x) � = L �M ; (iv) lim ~x!~x 0 � f (~x) g (~x) � = � lim ~x!~x 0 f (~x) � � lim ~x!~x 0 g (~x) � = L M ; desde que lim ~x!~x 0 g (~x) 6= 0: Definic� ~ ao 1.2 Seja f uma fun�c~ao que de�nida em uma vizinhan�ca de ~x 0 2 Rn. Ent~ao f �e cont��nua em ~x0 se lim ~x!~x 0 f (~x) LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 12 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES existe e lim ~x!~x 0 f (x) = f (~x) : Em outras palavras, f �e cont��nua em ~x 0 se f (~x) ! f (~x 0 ) quando ~x ! ~x 0 , independente da maneira pela qual ~x se aproxima de ~x 0 . Exemplo 1.8 A fun�c~ao f(x; y) = 4� x� y �e cont��nua em (1; 1) porque lim (x;y)!(1;1) (4� x� y) = 2 = f (1; 1) : Exemplo 1.9 A fun�c~ao f(x; y) = p 9� x 2 � y 2 �e cont��nua em (0; 0) porque lim (x;y)!(0;0) q 9� x 2 � y 2 = 3 = f (0; 0) : 1.2.1 Exerc´ıcios 1. De^ o dom��nio das fun�c~oes: (a) f (x; y) = 1 x 2 + y 2 ; (b) f (x; y) = p y � x; (c) f (x; y) = sen � x � y 2 � ; (d) f (x; y) = 1 ln (x 2 � y � z 2 ) : 2. Sejam f(x; y) = x+ y 2 e g(z) = p z. (a) Escreva a fun�c~ao composta h (x; y) = g [f (x; y)] como uma fun�c~ao expl��cita de x e y. (b) Encontre o dom��nio de h. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 13 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.2. LIMITES 3. Calcule os seguintes limites (a) lim (x;y)!(1;3) � x 2 � 2y � (b) lim (x;y)!(0;0) x 2 � 2 3 + xy (c) lim (x;y)!(3;�1) 1 p x+ y (d) lim (x;y)!(1;�2) x+ y 3 x 2 + 2xy + y 2 : 4. Mostre que lim (x;y)!(0;0) x 2 � y 2 x 2 + y 2 n~ao existe. 5. Mostre que lim (x;y)!(0;0) x 2 y x 4 + y 2 n~ao existe. 6. Esboce v�arias curvas de n��veis para as fun�c~oes: (a) f (x; y) = y � x 2 (b) f (x; y) = 2xy (c) f (x; y) = p xy: 7. A fun�c~ao f (x; y) = 8 > > < > > : x 2 y x 3 + y 3 ; se (x; y) 6= (0; 0) 0; se (x; y) = (0; 0) �e cont��nua em (0; 0)? 8. Demonstre que lim (x;y)!(0;0) � x 2 + y 2 � = 0 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 14 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL usando a de�ni�c~ao. 1.3 Diferenciac¸a˜o Parcial A derivada da fun�c~ao f de uma vari�avel �e o limite f 0 (x) = lim h!0 f (x+ h)� f (x) h (1.4) que mede a taxa de varia�c~ao de f(x) com rela�c~ao a mudan�cas em x. No caso de uma fun�c~ao de duas ou mais vari�aveis independentes, calcular a taxa de varia�c~ao para z = f(x; y) em (x 0 ; y 0 ) usando limites �e complicado, pois, (x; y) pode aproximar-se de (x 0 ; y 0 ) por um n�umero in�nito de caminhos distintos. Vamos come�car examinando taxas para as quais f(x; y) muda ao longo de caminhos paralelos aos eixos coordenados. Este �e o conceito de diferencia�c~ao parcial. Definic� ~ ao 1.3 Seja f(x; y) de�nida em uma vizinhan�ca de (x 0 ; y 0 ). AA derivada parcial de f com rela�c~ao a x em (x 0 ; y 0 ) �e o n�umero @f @x (x 0 ; y 0 ) = lim h!0 f (x 0 + h; y 0 )� f (x 0 ; y 0 ) h (1.5) se este limite existe. Analogamente, a derivada parcial de f com rela�c~ao a y em (x 0 ; y 0 ) �e o n�umero @f @y (x 0 ; y 0 ) = lim h!0 f (x 0 ; y 0 + h)� f (x 0 ; y 0 ) h (1.6) se este limite existe. Comparando (1.4) e (1.5) vemos que a derivada parcial @f @x em (x 0 ; y 0 ) �e simplesmente o resultado de manter a vari�avel y constante diferenciar a fun�c~ao z = f(x; y 0 ) como uma fun�c~ao de x apenas. Analogamente, a derivada parcial @f @y em (x 0 ; y 0 ) corresponde tratar LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 15 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL a vari�avel x como a constante x = x 0 e diferenciar z = f(x 0 ; y 0 ) como uma fun�c~ao de y apenas. Assim, derivadas parciais podem ser calculadas pelas regras desenvolvidas para a diferencia�c~ao de uma �unica vari�avel. Exemplo 1.10 Calcule as derivadas parciais com rela�c~ao a x e y para a fun�c~ao f (x; y) = x 2 y 3 + e x + ln y e avalie cada uma delas em (1; 4). Soluc� ~ ao. Quando calculamos a derivada parcial com rela�c~ao a x, consideramos y como constante. Assim, @f @x (x; y) = � d dx x 2 � y 3 + d dx (e x ) + d dx (ln y) = 2xy 3 + e x + 0 @f @y (x; y) = x 2 � d dy y 3 � + d dy (e x ) + d dy (ln y) = 3x 2 y 3 + 0 + 1 y ; y 6= 0 @f @x (1; 4) = 2 � 1 � 4 3 + e 1 + 0 = 128 + e @f @y (1; 4) = 3 � 1 2 � 4 2 + 0 + 1 4 = 48 + 1 4 = 193 4 : � Exemplo 1.11 Seja f (x; y) = sen (x � y) : Aplicamos a regra: d dt sen (a � t) = a � cos t e d da sen (a � t) = t � cos (a � t) ; de forma que, @f @x (x; y) = y � cos y e @f @y (x; y) = x � cos (x � y) : Exemplo 1.12 Calcule @f @x e @f @y em (1; 2) para f (x; y) = q 9� x 2 � y 2 : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 16 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL Soluc� ~ ao. @f @x (x; y) = 1 2 � 9� x 2 � y 2 � � 1 2 (�2x) = �x p 9� x 2 � y 2 : Assim, @f @x (1; 2) = � 1 2 : Da mesma forma, @f @y (x; y) = �x p 9� x 2 � y 2 ; donde temos, @f @y (1; 2) = � 2 p 4 = � 2 2 = �1: � Notac� ~ ao para derivadas parciais Se z = f(x; y), ent~ao @f @x (x; y) = @ @x f (x; y) = z x (x; y) = z x @f @y (x; y) = @ @y f (x; y) = z y (x; y) = z y : 1.3.1 Func¸o˜es de mais de duas varia´veis Se w = f(x; y; z) �e uma fun�c~ao de tre^s vari�aveis independentes: x, y e z, as derivadas parciais s~ao de�nidas como segue: @f @x (x; y; z) = lim h!0 f (x+ h; y; z)� f (x; y; z) h ; @f @y (x; y; z) = lim h!0 f (x; y + h; z)� f (x; y; z) h ; @f @z (x; y; z) = lim h!0 f (x; y; z + h)� f (x; y; z) h : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 17 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL Exemplo 1.13 Seja f (x; y; z) = p x � e x z ; z 6= 0; x > 0: Ent~ao, @f @x (x; y; z) = � d dx p x � e y z = 1 2 p x � e y z ; @f @y (x; y; z) = p x � @ @y � e y z � � = p x � 1 2 � e y z ; @f @z (x; y; z) = p x � @ @z � e y z � � = � p x � y z 2 � e y z : Exemplo 1.14 Para os vetores ~x = x 1 ~ i + x 2 ~ j + x 3 ~ k e ~y = y 1 ~ i + y 2 ~ j + y 3 ~ k, o produto escalar ~x � ~y = x 1 � y 1 + x 2 � y 2 + x 3 � y 3 pode ser vista como uma fun�c~ao de seis vari�aveis independentes (componentes) x 1 ; x 2 ; x 3 ; y 1 ; y 2 ; y 3 . Assim, @ @x 1 (~x � ~y) = y 1 @ @y 1 (~x � ~y) = x 1 @ @x 2 (~x � ~y) = y 2 @ @y 2 (~x � ~y) = x 2 @ @x 3 (~x � ~y) = y 3 @ @y 3 (~x � ~y) = x 3 Assim, a taxa pela qual ~x�~y muda com rela�c~ao �a varia�c~ao na componente x 1 e a componente y 1 e assim por diante. Observac� ~ ao 1.2 As derivadas parciais fornecem informa�c~ao sobre fun�c~oes apenas nas dire�c~oes dos eixos coordenados. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 18 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL 1.3.2 Derivada de ordem superior Notac� ~ ao: @ 2 f @x 2 (x; y) = @ 2 @x 2 f (x; y) signi�ca @ @x � @f @x (x; y) � @ 2 f @y @x (x; y) = @ 2 @y @x f (x; y) signi�ca @ @y � @f @x (x; y) � @ 2 f @x @y (x; y) = @ 2 @x @y f (x; y) signi�ca @ @x � @f @y (x; y) � @ 2 f @y 2 (x; y) = @ 2 @y 2 f (x; y) signi�ca @ @y � @f @y (x; y) � Exemplo 1.15 Seja a fun�c~ao f (x; y) = x 2 y 3 + cosx sen y; ent~ao: @ 2 f @x 2 (x; y) = @ @x � @f @x (x; y) � = @ @x � 2xy 3 � senx sen y � = 2y 3 � cosx sen y @ 2 f @y @x (x; y) = @ @y � @f @x (x; y) � = @ @y � 2xy 3 � senx sen y � = 6xy 2 � senx cos y @ 2 f @x @y (x; y) = @ @x � @f @y (x; y) � = @ @x � 3x 2 y 2 + cosx cos y � = 6xy 2 � senx cos y @ 2 f @y 2 (x; y) = @ @y � @f @y (x; y) � = @ @y � 3x 2 y 2 + cosx cos y � = 6x 2 y � cosx sen y @ 3 f @y 3 (x; y) = @ @y @ 2 f @y 2 (x; y) ! = @ @y � 6x 2 y � cosx sen y � = 6x 2� cosx cos y: Se z = f(x; y), ent~ao f xx (x; y) ou z xx signi�cam @ 2 f @x 2 (x; y) f xy (x; y) ou z xy signi�cam @ 2 f @y @x (x; y) f yx (x; y) ou z yx signi�cam @ 2 f @x @y (x; y) f yy (x; y) ou z yy signi�cam @ 2 f @y 2 (x; y) : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 19 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL Exemplo 1.16 f(x; y; z) = x 2 y 3 z 4 f x = 2xy 3 z 4 ; f y = 3x 2 y 2 z 4 ; f z = 4x 2 y 3 z 3 : f xy = @ @y � @f @x � = @ @y � zxy 3 z 4 � = 6xy 2 z 4 f yx = @ @x (f y ) = @ @x � 3x 2 y 2 z 4 � = 6xy 2 z 4 f yz = ; f zy = ; f xz = ; f zx = ; f xx = ; f zz = ; f xyz = @ @z (f xy ) f xxx = @ @x (f xx ) = @ @x � zy 3 z 4 � = 0 f yyy = f zzz = Teorema 1.2 (Igualdade de derivadas parciais mistas) Se a fun�c~ao z = f(x; y) e as derivadas parciais @f @x ; @f @y ; @ 2 f @x 2 e @ 2 f @x @y s~ao todas cont��nuas em uma vizinhan�ca do ponto (x 0 ; y 0 ), ent~ao @ 2 f @x @y (x 0 ; y 0 ) = @ 2 f @y @x (x 0 ; y 0 ) : 1.3.3 Exerc´ıcios 1. Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem: (a) f (x; y) = xy (b) z = x tan � y 2 � (c) f (x; y) = e x 2 +y 2 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 20 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.3. DIFERENCIAC¸A˜O PARCIAL (d) f (r; �) = r cos � (e) z = ln � xy 2 + x� y � (f) f (x; y) = x y (g) f (r; �) = r 2 cos � (h) f (x; y; z) = xy 3 � yz 2 (i) f (x; y; z) = � x� y x+ y � z (j) f (r; s; t) = p r s ln t p s 2 � 2r + t 2. Calcule @f @x (2; 5) para f (x; y) = xy 3 � y: 3. Calcule z x (2; 1) para z = p x+ y 2 . 4. Calcule @ 2 f @r 2 ; @ 2 f @r @� e @ 2 f @� 2 para f (r; �) = r 2 cos �. 5. Calcule w xx + w yy + w zz para w (x; y; z) = ln � x 2 + y 2 + z 2 � : 6. Para um escoamento de volume constante de um u��do incompress��vel, atrav�es de um tubo cujo �area de sec�c~ao transversal �e vari�avel, a equa�c~ao A 1 V 1 = A 2 V 2 expressa a rela�c~ao entre essas �areas e as velocidades para os dois pontos do tubo. (a) Expresse V 2 como uma fun�c~ao de A 1 , A 2 e V 1 ; (b) calcule @V 2 @A 2 , que representa a taxa de varia�c~ao de V 2 em rela�c~ao �a varia�c~ao A 2 apenas. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 21 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.4. PLANO TANGENTE (c) Suponha que A 1 = 5 cm 2 , A 2 = 3 cm 2 e V 1 = 20 cm=s. Calcule a taxa de varia�c~ao de V 2 com rela�c~ao a A 2 se A 1 e V 1 s~ao mantidas constantes. 7. Mostre que a fun�c~ao f(x; y) = sen (x y) satisfaz a equa�c~ao diferencial x @f @x (x; y)� y @f @y (x; y) = 0: 8. Mostre que a fun�c~ao f(x; y) = sen (x y) satisfaz a equa�c~ao diferencial x 2 @ 2 f @x 2 (x; y)� y 2 @ 2 f @y 2 (x; y) = 0: 9. A equa�c~ao de Laplace para a fun�c~ao f(x; y) �e @ 2 f @x 2 + @ 2 f @y 2 = 0: Mostre que as seguintes fun�c~oes satisfazem a equa�c~ao de Laplace: (a) f (x; y) = e x sen y, (b) f (x; y) = e �x cos y. 1.4 Plano Tangente Para um fun�c~ao f de uma vari�avel, o conhecimento de f(a) e a derivada f 0 (a) �e su�ciente para escrever a equa�c~ao da reta tangente ao gr�a�co de f no ponto (a; f(a)). Veremos agora como obter uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co de uma fun�c~ao de duas vari�aveis z = f(x; y), a partir do conhecimento de suas derivadas parciais. Assumiremos que um tal plano tangente existe. Suponhamos que f �e uma fun�c~ao de duas vari�aveis de�nidas em uma vizinhan�ca do ponto (x 0 ; y 0 ). Suponhamos, ainda, que as derivadas parciais @f @x e @f @y existem (x 0 ; y 0 ). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 22 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.4. PLANO TANGENTE O plano tangente a f(x; y) no ponto (x 0 ; y 0 ) �e o plano que passa por (x 0 ; y 0 e cuja equa�c~ao �e dada por � @f @x (x 0 ; y 0 ) � (x� x 0 ) + � @f @y (x 0 ; y 0 ) � (y � y 0 )� (z � z 0 ) = 0 ou z = � @f @x (x 0 ; y 0 ) � (x� x 0 ) + � @f @y (x 0 ; y 0 ) � (y � y 0 ) + z 0 : em que ~ N = @f @x (x 0 ; y 0 ) ~ i+ @f @y (x 0 ; y 0 ) ~ j � ~ k: Exemplo 1.17 Encontre uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co de f (x; y) = x 2 + 4y 2 no ponto (2; 1; 8). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 23 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.4. PLANO TANGENTE Soluc� ~ ao. @f @x (2; 1) = 2x � � � � x=2 y=1 = 4 @f @y (2; 1) = 2x � � � � x=2 y=1 = 8 ∴ z = 4 (x� 2) + 8 (y � 1) + 8 ou z = 4x+ 8y � 8: � Exemplo 1.18 Encontre a equa�c~ao para a reta dada pela inclina�c~ao do plano tangente ao gr�a�co de x = 9� x 2 � y 2 em (1; 2; 4) e o plano x y. Soluc� ~ ao. z x (1; 2) = �2xj x=1 y=2 = �2 z y (1; 2) = �2yj x=1 y=2 = �4 Equa�c~ao do plano tangente: z = �2 (x� 1)� 4 (y � 2) + 4 ou z = �2x� 4y + 14: Fazendo z = 0, temos: 2x+ 4 y � 14 = 0: � LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 24 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.4. PLANO TANGENTE 1.4.1 Exerc´ıcios 1. Encontre uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co da fun�c~ao dada no ponto P , supondo que ela exista. (a) f (x; y) = x 2 + y 2 ; P = (1; 3; 10) (b) z = x 2 + y 2 � xy � 4x� 2y; P = (1;�1; 1) (c) f (x; y) = x� 2 y + 2 ; P = (4;�1; 2) (d) f (x; y) = ln (xy) ; P = (1; 1; 0) (e) z = x x 2 + y 2 ; P = � 1; 1; 1 2 � (f) z = ln (y x ) ; P = (1; 1; 0) (g) f (x; y) = cos (x) sen (y) ; P = � 0; � 4 ; p 2 2 � 2. Encontre a equa�c~ao da reta dada pela intersec�c~ao do plano tangente ao gr�a�co de z = x 2 + 2 y 2 � 4 y + 2 em (2; 1; 4) e o plano x y. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 25 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO 1.5 Extremo absoluto e relativo Definic� ~ ao 1.4 Seja f de�nida em S � R2. O n�umero z 0 = f (x 0 ; y 0 ) �e um m�aximo relativo para f se existe uma vizinhan�ca N de (x 0 ; y 0 ) tal que f (x 0 ; y 0 ) > f (x; y) ; 8 (x; y) 2 N \ S: O n�umero z 0 = f(x 0 ; y 0 ) �e um m��nimo relativo f se existe uma vizinhan�ca N de (x 0 ; y 0 ) tal que f (x 0 ; y 0 ) 6 f (x; y) ; 8 (x; y) 2 N \ S: O n�umero z 0 = f(x 0 ; y 0 ) �e um extremo relativo de f se ele for um m�aximo ou um m��nimo relativo. Exemplo 1.19 A fun�c~ao f(x; y) = p x 2 + y 2 tem um m��nimo relativo z 0 = 0 no ponto (x 0 ; y 0 ) = (0; 0). De fato f (x; y) = q x 2 + y 2 > 0 = f (0; 0) ; 8 (x; y) : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 26 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO f (0; 0) 6 f (x; y) ; 8 (x; y) pr�oximo a (0; 0). f(0; 0) �e um m��nimo relativo. Um meio de veri�car que o n�umero z 0 = f (x 0 ; y 0 ) �e um extremo relativo, �e comparar o n�umero z 0 com valores da fun�c~ao f para pontos (x; y) \pr�oximos" a (x 0 ; y 0 ). Este m�etodo funciona bem para um grande n�umero de fun�c~oes polinomiais de duas vari�aveis. A id�eia �e escrever x = x 0 + h e y = y 0 + h e ent~ao examinar o sinal da diferen�ca: f (x 0 ; y 0 )� f (x 0 + h; y 0 + h) : Se esta diferen�ca for n~ao negativa para todos os valores \pequenos" de h e k, conclu��mos que f (x 0 ; y 0 ) �e um m�aximo relativo. Se a diferen�ca �e n~ao positiva para todos os valores de \pequenos" de h e k, conclu��mos que f (x 0 ; y 0 ) �e um m��nimo relativo. Exemplo 1.20 Veri�que que f(1; 2) = 4 �e um m�aximo relativo para a fun�c~ao f (x; y) = 2x+ 4y � x 2 y 2 � 1: Soluc� ~ ao. x 0 = 1 e y 0 = 2: Pontos pr�oximos a (x; y) s~ao escritos por: (x; y) = (x 0 + h; y 0 + k) = (1 + h; 2 + k) :A diferen�ca �e dada por: f (1; 2) = f (1 + h; 2 + k) = 4� h 2 (1 + h) + 4 (2 + k)� (1 + h) 2 � (2 + k) 2 � 1 i = 4� 2� 2h� 8� 4k + 1 + 2h+ h 2 + 4 + 4k + k 2 + 1 = h 2 + k 2 : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 27 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO Como h 2 + k 2 > 0; 8h; k, este c�alculo mostra que a diferen�ca acima �e n~ao negativa para todo h e k \pequenos". Assim, f(1; 2) = 4 �e m�aximo relativo para a fun�c~ao f . � Teorema 1.3 Se o n�umero z 0 = f (x 0 ; y 0 ) �e um extremo relativo para a fun�c~ao f no ponto (x 0 ; y 0 ), uma das duas condi�c~oes seguinte deve acontecer: (i) @f @x (x 0 ; y 0 ) = @f @y (x 0 ; y 0 ) = 0, ou (ii) uma delas ou ambas, @f @x (x 0 ; y 0 ) e @f @y (x 0 ; y 0 ) n~ao existem. Este teorema de�ne um procedimento para encontrar um extremo relativo de f : de- terminar todos os pontos (x 0 ; y 0 ) em que @f @x (x 0 ; y 0 ) = @f @y (x 0 ; y 0 ) = 0 ou @f @x (x 0 ; y 0 ) ou @f @y (x 0 ; y 0 ) n~ao existam: Chamamos estes pontos de pontos cr��ticos. Exemplo 1.21 f (x; y) = 2x+ 4y � x 2 � y 2 � 1: @f @x (x; y) = 2� 2x = 0 ! x = 1 @f @x (x; y) = 4� 2y = 0 ! y = 2: Pontos cr��ticos: (1; 2). No exemplo 1.20, p�agina 27, veri�camos que f(1; 2) �e um m�aximo relativo. Como as derivadas parciais s~ao de�nidas para todo (x; y), n~ao existem pontos satisfazendo a condi�c~ao (ii) do Teorema 1.3. Assim, o �unico extremo relativo desta fun�c~ao �e o m�aximo relativo f(1; 2). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 28 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO Exemplo 1.22 Encontre todos os extremos relativos da fun�c~ao f(x; y) = p x 2 + y 2 . Soluc� ~ ao. @f @x (x; y) = x p x 2 + y 2 ; @f @y (x; y) = y p x 2 + y 2 : Ambas as derivadas parciais n~ao s~ao diferenciais para (x; y) = (0; 0). Para todos os outros pontos, no m��nimo uma das derivadas parciais �e n~ao nula. f (0; 0) = 0 < f (x; y) 8 (x; y) 6= (0; 0) : Portanto, f(0; 0) = 0 �e um m��nimo relativo. � Exemplo 1.23 Encontre todos os extremos relativos da fun�c~ao f(x; y) = y 2 � x 2 . Soluc� ~ ao. @f @x = �2x; @f @y = 2y: Para (0; 0), @f @x = @f @y = 0: Entretanto, f(0; 0) = 0 n~ao �e nem m�aximo relativo nem m��nimo relativo. De fato, comparando f(0; 0) com f(h; k), em que (h; k) �e um ponto \pr�oximo" de (0; 0), temos: f (0; 0)� f (h; k) = 0� � k 2 � h 2 � = h 2 � k 2 : O sinal desta diferen�ca depende de jhj e jkj. Como a diferen�ca n~ao tem sinal constante, f(0; 0) n~ao �e ponto de m�aximo, nem de m��nimo. � O ponto (0; 0) �e chamado ponto de sela. De maneira geral, um ponto (x 0 ; y 0 ) no dom��nio de uma fun�c~ao f de duas vari�aveis �e chamado ponto de sela se (x 0 ; y 0 ) for um ponto cr��tico e se f(x 0 ; y 0 ) n~ao for nem m�aximo relativo, nem m��nimo relativo. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 29 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO Observac� ~ ao 1.3 As condi�c~oes do Teorema 1.3, p�agina 28, n~ao garantem que f(x 0 ; y 0 ) seja um extremo relativo. Este teorema fornece condi�c~oes necess�arias para um extremo. Sem satisfazer as condi�c~oes (i) e (ii) deste teorema, f(x; y) n~ao pode ser um extremo relativo. 1.5.1 Teste da derivada segunda Teorema 1.4 (Teste da derivada segunda) Seja f uma fun�c~ao de duas vari�aveis. Supondo que todas as derivadas parciais de segunda ordem de f s~ao cont��nuas em uma vizinhan�ca (x 0 ; y 0 ) e que @f @x (x 0 ; y 0 ) = @f @y (x 0 ; y 0 ) = 0: Sejam A = @ 2 f @x 2 (x 0 ; y 0 ) ; B = @ 2 f @y @x (x 0 ; y 0 ) ; C = @ 2 f @y 2 (x 0 ; y 0 ) e D = B 2 � AC: Ent~ao, (i) Se D < 0 e A < 0, f(x 0 ; y 0 ) �e um m�aximo relativo. (ii) Se D < 0 e A > 0, f(x 0 ; y 0 ) �e um m��nimo relativo. (iii) Se D > 0, (x 0 ; y 0 ) �e um ponto de sela. (iv) Se D = 0, nenhuma conclus~ao pode ser tirada. Exemplo 1.24 Encontre e classi�que todos os extremos relativos da fun�c~ao f(x; y) = x 4 + y 4 � 4xy. Soluc� ~ ao. @f @x = 4x 3 � 4y = 0 ! y = x 3 ; @f @y = 4y 3 � 4x = 0 ! x = y 3 : LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 30 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO Resolvendo: y = y 9 ) y � y 9 = 0) y � 1� y 8 � = 0) 8 > > > > > > < > > > > > > : y = 0 ou y 8 = 1 ) y = �1: Portanto, y = 0 ! x = 0; y = 1 ! x = 1; y = �1 ! x = �1: Pontos cr � �ticos: (0; 0); (1; 1); (�1;�1); @ 2 f @x 2 = 12x 2 ; @ 2 f @y 2 = 12y 2 ; @ 2 f @y @x = @ @y � @f @x � = �4: Ponto cr � �tico (0; 0): A = @ 2 f @x 2 (0; 0) = 0; B = @ 2 f @y @x (0; 0) = �4; C = @ 2 f @y 2 (0; 0) = 0; D = B 2 � AC = 16 > 0: Portanto, (0; 0) �e um ponto de sela. Ponto cr � �tico: (1; 1) A = @ 2 f @x 2 (1; 1) = 12; B = @ 2 f @y @x (1; 1) = �4; C = @ 2 f @y 2 (1; 1) = 12; D = B 2 �AC = 16� 144 = �128 < 0: Como D < 0 e A > 0 implica f(1; 1) = �2 �e um m��nimo relativo. Ponto cr � �tico: (�1;�1) A = @ 2 f @x 2 (�1;�1) = 12; B = @ 2 f @y @x (�1;�1) = �4; C = @ 2 f @y 2 (�1;�1) = 12; D = B 2 �AC = 16� 144 = �128 < 0: Portanto, D < 0 e A > 0 implica f(�1;�1) = �2 �e um m��nimo relativo. � LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 31 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO Exemplo 1.25 f (x; y) = e � ( x 4 +y 4 ) : @f @x = �4x 3 e � ( x 4 +y 4 ) @ 2 f @x 2 = � 16x 2 � 12x 2 � e � ( x 4 +y 4 ) @f @y = �4y 2 e � ( x 4 +y 4 ) @ 2 f @y 2 = � 16 y 2 � 12y 2 � e � ( x 4 +y 4 ) @ 2 f @y @x = 16y 3 x 3 e � ( x 4 +y 4 ) Ponto cr´ıtico: (0; 0) A = @ 2 f @x 2 (0; 0) = 0; B = @ 2 f @y @x (0; 0) = 0; C = @ 2 f @y 2 (0; 0) = 0; D = B 2 �AC = 0: O teste da derivada segunda n~ao produziu nenhuma condi�c~ao sobre o ponto cr��tico (0; 0). Entretanto, a express~ao x 4 + y 4 tem um m�aximo em (0; 0). Portanto f (x; y) = e � ( x 4 +y 4 ) = 1 e x 4 +y 4 tem um m�aximo relativo em (0; 0). Exemplo 1.26 f (x; y) = x 4 + y 4 : Esta fun�c~ao tem um m�aximo relativo em (0; 0), visto que f (x; y) > 0; 8 (x; y) 6= (0; 0) : A = @ 2 f @x 2 (0; 0) = 12x 2 = 0; B = @ 2 f @y @x (0; 0) = 0 C = @ 2 f @y 2 (0; 0) = 12y 2 = 0; D = B 2 � AC = 0: O teste da derivada segunda n~ao permite nenhuma conclus~ao. Exemplo 1.27 f(x; y) = x 3 � y 3 . 8 > > > < > > > : @f @x (x; y) = 3x 2 = 0 @f @y (x; y) = �2y 2 = 0 ) x = y = 0: LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 32 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO (0; 0) �e o �unico ponto cr��tico. @ 2 f @x 2 = 6x; @ 2 f @y @x = 0; @ 2 f @y 2 = �6y; A = B = C = D = 0: O teste da derivada segunda n~ao d�a nenhuma informa�c~ao sobre a natureza deste ponto cr��tico. Entretanto, f(x; y) = x 3 � y 3 assume valores positivos e negativos em toda vizinhan�ca de (0; 0). Logo, o ponto cr��tico (0; 0) �e um ponto de sela. 1.5.2 Exerc´ıcios 1. Encontre todos os pontos cr��ticos da fun�c~ao f . Classi�que cada um como m�aximo relativo, m��nimo relativo ou ponto de sela. (a) f (x; y) = x 2 + y 2 + 4y + 4 (b) f (x; y) = x 2 � y 2 + 6x+ 4y + 5 (c) f (x; y) = xy + 9 (d) f (x; y) = 5x 2 + y 2 � 10x� 6y + 15 (e) f (x; y) = x 3 � y 3 (f) f (x; y) = x 2 � xy (g) f (x; y) = x 3 + y 3 + 4xy (h) f (x; y) = x cos y (i) f (x; y) = sen (x� y) (j) f (x; y) = ln � x 2 + y 2 + 1 � (k) f (x; y) = e � 1 x 2 +y 2 +1 � 2. Mostre que a fun�c~ao z = 4� p x 2 + y 2 te um m�aximo relativo em (0; 0). LILIAN MILENA RAMOSCARVALHO 33 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO 3. Mostre que a fun�c~ao f(x; y) = x 2 �y 2 +2x+4y�3 tem um ponto de sela em (�1; 2), pelo m�etodo do exemplo 1.20, p�agina 27. 4. Uma caixa retangular, com tampa, possui um volume de 16 metros c�ubicos. Encontre as dimens~oes que produzem a caixa de menor custo se o material utilizado nas laterais custa a metade do utilizado no fundo e na tampa. 5. Encontre tre^s n�umeros positivos x, y e z tal que x+ y + z = 16 e x 2 yz 2 �e m�aximo. 6. Dado um conjunto de pontos (x 1 ; y 1 ) ; (x 2 ; y y ) ; : : : ; (x n ; y n ): a reta y = mx+ b que \melhor ajusta" estes pontos �e obtida pelo \m�etodo dos quadrados m��nimos" A dista^ncia do ponto (x j ; y j ) ao ponto sobre a reta y = mx+ b com coordenadas x j �e jy j � (mx j + b)j = jy j �mx j � bj : Om�etodo dos quadrados m��nimos de�ne a reta que melhor ajusta os dados (chamada reta de regress~ao) como sendo a reta que minimiza a soma dos quadrados destas dista^ncias individuais: S (m; b) = n X j=1 (y j �mx j � b) 2 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 34 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.6. RESUMO onde x 1 ; x 2 ; : : : ; x n e y 1 ; y 2 ; : : : ; y n s~ao constantes �xas e m e b s~ao as vari�aveis independentes. Sob estas condi�c~oes, mostre que os valores de m e b para os quais S(m; b) �e um m��nimo s~ao: m = n n P j=1 x j y j ! � n P j=1 x j ! n P j=1 y j ! n n P j=1 x 2 j ! � n P j=1 x j ! b = n P j=1 x 2 j ! n P j=1 y j ! � n P j=1 x j ! n P j=1 x j y j ! n n P j=1 x 2 j ! � n P j=1 x j ! Sugest ~ ao: @s @m (m; b) = 0 e @s @b (m; b) = 0 e resolva o sistema da equa�c~ao resultante. 7. Dados 5 pontos cujas coordenadas s~ao: x 0 1 1 2 3 y 2 4 3 6 6 (a) Encontrar a reta de regress~ao para os dados usando o m�etodo dos quadrados m��nimos. (b) Plote os pontos e a reta de regress~ao. (c) Encontrar o valor pedido para x = 4. 1.6 Resumo � Duas t�ecnicas para tra�car o gr�a�co de uma fun�c~ao de duas vari�aveis: z = f(x; y). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 35 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.6. RESUMO (a) Fazer com que uma das vari�aveis independentes seja constante. Esboce os tra�cos de f em v�arios planos. (b) Plotar os pontos que satisfazem as equa�c~ao x = f(x; y) para v�arias escolhas de c. Cada c produz uma curva de n��vel no plano x y. � Limites (a) Vizinhan�ca de um ponto P 0 = (x 0 ; y 0 ). (b) Vizinhan�ca exclu��da. (c) Se x 2 Rn e f : Rn ! R, lim ~x!~x 0 f (~x) = L signi�ca jf (~x)� Lj ! 0 quando ~x! ~x 0 . (d) A fun�c~ao f : Rn ! R �e cont��nua em ~x 0 se lim ~x!~x 0 f (~x) = f (~x 0 ) : � Derivadas parciais As derivadas parciais de f s~ao os limites: @f @x (x; y; z) = lim x!h f (x+ h; y; z)� f (x; y; z) h @f @y (x; y; z) = lim x!h f (x; y + h; z)� f (x; y; z) h @f @z (x; y; z) = lim x!h f (x; y; z + h)� f (x; y; z) h � Teorema @ 2 f @y @x (x; y) = @ 2 f @x @y (x; y) se f; @f @x ; @f @y ; @ 2 f @x @y e @ 2 f @y @x LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 36 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.7. APROXIMAC¸A˜O E DIFERENCIABILIDADE s~ao cont��nuas. � Equac� ~ ao do plano tangente ao gr � afico de z = f(x; y) em (x 0 ; y 0 ; z 0 ) @f @x (x 0 ; y 0 ) (x� x 0 ) + @f @y (x 0 ; y 0 ) (y � y 0 )� (z � z 0 ) = 0: � Teorema Se f tem um extremo relativo em (x 0 ; y 0 ), ent~ao, ou (i) @f @x (x 0 ; y 0 ) = @f @y (x 0 ; y 0 ) = 0 ou (ii) @f @x (x 0 ; y 0 ) ou @f @y (x 0 ; y 0 ) n~ao existem. � Teorema Se @f @x (x 0 ; y 0 ) = @f @y (x 0 ; y 0 ) = 0 e se A = @ 2 f @x 2 (x 0 ; y 0 ) ; B = @ 2 f @y @x (x 0 ; y 0 ) ; C = @ 2 f @y 2 (x 0 ; y 0 ) e D = B 2 � AC; ent~ao (i) Se D < 0 e A < 0, f(x 0 ; y 0 ) �e um m�aximo relativo. (ii) Se D < 0 e A > 0, f(x 0 ; y 0 ) �e um m��nimo relativo. (iii) Se D > 0, (x 0 ; y 0 ) �e um ponto de sela. (iv) Se D = 0, nenhuma conclus~ao pode ser tirada. 1.7 Aproximac¸a˜o e Diferenciabilidade Para uma fun�c~ao de uma vari�avel y = f(x), a existe^ncia da derivada nos leva �a f�ormula da aproxima�c~ao linear e �a de�ni�c~ao de diferencial: f (x+�x) � f (x) + f 0 (x) ��x dy = f 0 (x) � dx LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 37 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.7. APROXIMAC¸A˜O E DIFERENCIABILIDADE x ∆ x 0 x 0 + f( ) ∆ x ∆ y 0 x y ∆ xx 0 + f( )x 0 f ( )¢ x 0 ∆ x} Inclinação= f ( )¢ x 0 �y = f (x 0 +�x)� f (x 0 ) �y �x = f (x 0 +�x)� f (x 0 ) �x = f 0 (x 0 ) �y � f 0 (x 0 ) ��x dy = f 0 (x) � dx f (x 0 +�x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) ��x: 1.7.1 Teorema da Aproximac¸a˜o Teorema 1.5 (Teorema da Aproximac� ~ ao) Seja f uma fun�c~ao de duas vari�aveis. Suponhamos que f e suas primeiras derivadas parciais @f @x e @f @y sejam cont��nuas em um reta^ngulo aberto R = f(x; y) ja 1 < x < a 2 ; b 1 < y < b 2 g LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 38 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.7. APROXIMAC¸A˜O E DIFERENCIABILIDADE no plano xy. Suponhamos, ainda, que (x 0 ; y 0 ) e (x 0 +�x; y 0 +�y) perten�cam a R. Ent~ao f (x 0 +�x; y 0 +�y) = f (x 0 ; y 0 ) + @f @x (x 0 ; y 0 )�x+ @f @y (x 0 ; y 0 )�y + " 1 �x+ " 2 �y em que lim �x!0 �y!0 " 1 = 0 e lim �x!0 �y!0 " 2 = 0: Este teorema estabelece uma rela�c~ao entre o valor da fun�c~ao f no ponto (x 0 ; y 0 ) e o valor desta fun�c~ao para pontos pr�oximos (x 0 +�x; y 0 +�y). Ignorando o erro (" 1 �x; " 2 �y) na express~ao de�nida no teorema, obtemos a apro- xima�c~ao f (x 0 +�x; y 0 +�y) � f (x 0 ; y 0 ) + @f @x (x 0 ; y 0 )�x+ @f @y (x 0 ; y 0 )�y: Exemplo 1.28 Considere a fun�c~ao f (x; y) = 2x 2 +4y 2 e o problema de calcular f (1 + �x; 2 + �y). (x 0 ; y 0 ) = (1; 2) ; f (x 0 ; y 0 ) = f (1; 2) = 2 � 1 2 + 4 � 2 2 = 18; @f @x (x 0 ; y 0 ) = 4x � � � � x=1 = 4; @f @y (x 0 ; y 0 ) = 8y � � � � y=2 = 16: f (1 + �x; 2 + �y) = 2 (1 + �x) 2 + 4 (2 + �y) 2 = 2 � 1 + 2�x+ (�x) 2 � + 4 � 4 + 4�y + (�y) 2 � = 18 + 4�x+ 16�y + 2 (�x) 2 + 4 (�y) 2 = 18 |{z} f(1;2) + 4 |{z} @f @x (1;2) �x+ 16 |{z} @f @y (1;2) �y + (2�x) | {z } " 1 �x+ (4�y) | {z } " 2 �y LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 39 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.7. APROXIMAC¸A˜O E DIFERENCIABILIDADE f (1 + �x; 2 + �y) � 18 + 4�x+ 16�y: Erro da aproxima�c~ao: " 1 �x+ " 2 �y = 2 (�x) 2 + 4 (�y) 2 . Portanto, " 1 = 2�x e " 2 = 4�y. Exemplo 1.29 Use a f�ormula da aproxima�c~ao para estimar o valor da express~ao q (3:04) 2 + (3:95) 2 . Soluc� ~ ao. Seja f(x; y) = p x 2 + y 2 , devemos aproximar f (3:04; 3:95). Para x 0 = 3 e y 0 = 4, temos: f (x 0 ; y 0 ) = p 3 2 + 4 2 = p 25 = 5: 8 > > < > > : 3:04 = x 0 +�x 3:95 = y 0 +�y ) 8 > > < > > : �x = 0:04 �y = �0:05 @f @x (x 0 ; y 0 ) = 3 p 3 2 + 4 2 = 0:6; @f @y (x 0 ; y 0 ) = 4 p 3 2 + 4 2 = 0:8: q (3:04) 2 + (3:95) 2 � 5 + (0:6) (0:04) + 0:8 (�0:05) = 4:984: O valor desta aproxima�c~ao para quatro casas decimais �e 4:9844. O erro relativo �e, portanto, 4:9844� 4:984 4:9844 � 0:00008: � Observac� ~ ao 1.4 Outra maneira �util de escrever a f�ormula da aproxima�c~ao �e usando a nota�c~ao �f = f (x 2 +�x; y 0 +�y)� f (x 0 ; y 0 ). �f � @f @x (x 0 ; y 0 )�x+ @f @y (x 0 ; y 0 )�y: LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 40 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS1.7. APROXIMAC¸A˜O E DIFERENCIABILIDADE 1.7.2 Diferenciais De�nimos a diferencial de duas fun�c~oes f como sendo: df = @f @x (x; y) dx+ @f @y (x; y) dy: A diferencial df fornece uma aproxima�c~ao para a mudan�ca �f correspondente a pe- quenas mudan�cas em x e y. Esta express~ao �e chamada de diferencial total para a fun�c~ao z = f (x; y). Exemplo 1.30 Na teoria econo^mica, a fun�c~ao de produ�c~ao de Cobb-Douglas que relaciona a produ�c~ao de sa��da y, o trabalho de entrada L e o capital K tem a forma y = �L � K 1�� em que � e � s~ao constantes positivas. A mudan�ca �y na produ�c~ao �nal a partir de uma mudan�ca dL no trabalho de entrada e uma mudan�ca dK no capital �e aproximada pela diferencial dy = @ @L � �L � K 1�� � dL+ @ @K � �L � K 1�� � dK = ��L ��1 K 1�� dL+ (1� �) �L � K �� dK: 1.7.3 Exerc´ıcios 1. Encontre a diferencial total df . (a) f(x; y) = x 2 y 4 (b) f(x; y) = p x 2 + y 4 (c) f(x; y) = e p x cos y (d) f(x; y; z) = x 2 yz 3 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 41 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.8. REGRA DA CADEIA (e) f(x; y; z) = x y + 3 z (f) f(x; y; z) = x� y x 2 + y 2 + z 2 2. Seja f(x; y) = 2xy 2 + x 2 y, x 0 = 2, y 0 = 3, �x = 0:1 e �y = 0:2. (a) Calcule f (x 0 ; y 0 ) e f (x 0 +�x; y 0 +�y). (b) Calcule �f = f (x 0 +�x; y 0 +�y)� f (x 0 ; y 0 ). (c) Aproxime �f usando a aproxima�c~ao linear: �f = @f @x (x; y)�x+ @f @y (x; y)�y: 3. Use a aproxima�c~ao linear para aproximar o n�umero dado: (a) q (3:02) 2 + (4:08) 2 (b) (5:03) 2 (1:02) 3 1.8 Regra da Cadeia 1.8.1 Uma varia´vel (f � g) (x) = f (g (x))) (f � g) 0 (x) = f 0 (g (x)) � g 0 (x) (f � g) (x) = f (g (x)) LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 42 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.8. REGRA DA CADEIA 1.8.2 Treˆs Varia´veis w (t) = (f � r) (t) = f (r (t)) = f (x (t) ; y (t) ; z (t)) dw dt = @f @x � dx dt + @f @y � dy dt + @f @z � dz dt Teorema 1.6 Seja uma f cont��nua com derivadas parciais cont��nua para todo (x; y; z) pertencente ao conjunto aberto Q = f(x; y; z) j a 1 < x < b 1 ; a 2 < y < b 2 ; a 3 < z < b 3 g : Suponhamos que x, y e z sejam fun�c~oes de t tal que x 0 (t), y 0 (t) e z 0 (t) existem para todo t 2 (a; b), de tal modo que (x (t) ; y (t) ; z (t)) 2 Q para todo t 2 (a; b). Ent~ao, a fun�c~ao composta w (t) = f (x (t) ; y (t) ; z (t)) �e uma fun�c~ao diferenci�avel de t 2 (a; b) e dw dt = @f @x dx dt + @f @y dy dt + @f @z dz dt : Exemplo 1.31 Seja f (x; y; z) = p x y 2 e 2z ; x (t) = 3 t 2 + 2; y (t) = 6 t; z (t) = 1 � t 3 e w (t) = f (x (t) ; y (t) ; z (t)) : Calcule w 0 (t). Soluc� ~ ao. @f @x = @ @x � p x y 2 e 2z � = y 2 e 2z 2 p x @f @y = @ @y � p x y 2 e 2z � = 2 p x y e 2z @f @z = @ @z � p x y 2 e 2z � = 2 p x y 2 e 2z x 0 (t) = 6 t; y 0 (t) = 6; z 0 (t) = �3 t 2 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 43 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.8. REGRA DA CADEIA w 0 (t) = y 2 e 2z 2 p x � 6t+ 2 p x y e 2z � 6 + 2 p x y 2 e 2z � � �3 t 2 � = 36 t 2 e 2 ( 1�t 3 ) 2 p x � 6t+ 2 p 3 t 2 + 2 � 6 t � e 2 ( 1�t 3 ) � 6 + 2 p 3 t 2 + 2 � 36 t 2 � e 2 ( 1�t 3 ) � � �3 t 2 � = 108 t 3 e 2 ( 1�t 3 ) p 3 t 2 + 2 + 72 t p 3 t 2 + 2 � e 2 ( 1�t 3 ) � 216 t 4 p 3 t 2 + 2 � e 2 ( 1�t 3 ) = p 3 t 2 + 2 e 2 ( 1�t 3 ) 108 t 3 3 t 2 + 2 + 72 t� 216 t 4 ! � 1.8.3 Outros tipos de func¸o˜es compostas x = x (s; t) ; y = y (s; t) e z = z (s; t) w = f (x; y; z) w (s; t) = f (x (s; t) ; y (s; t) ; z (s; t)) @w @s = @f @x @x @s + @f @y @y @s + @f @z @z @s (t = constante) Exemplo 1.32 Seja f(x; y) = x 2 y 3 , em que x e y s~ao fun�c~oes das vari�aveis polares r e �: x (r; �) = r cos � e y (r; �) = r sen �: @f @r = @f @x @x @r + @f @y @y @r = � 2x y 3 � � cos � + � 3x 2 y 2 � � sen � = (2 r cos �) � r 3 sen 3 � � cos � + � 3 r 2 cos 2 � � � r 2 sen 2 � � sen � = 5 r 4 cos 2 � sen 3 � LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 44 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.8. REGRA DA CADEIA Exemplo 1.33 Seja f uma fun�c~ao arbitr�aria de duas vari�aveis com derivadas parciais de segunda ordem cont��nuas. Expresse @ 2 f @r 2 em termos das derivadas parciais de segunda ordem de f em rela�c~ao a x e y, em que x = r cos � e y = r sen�. Soluc� ~ ao. @f @r = @f @x @x @r + @f @y @y @r = � @f @x � cos � + � @f @y � sen � Agora, devemos aplicar novamente a regra da cadeia, a @f @x e @f @y @ @r � @f @x � = @ @x � @f @x � @x @r + @ @y � @f @x � @y @r = @ 2 f @x 2 cos � + @ 2 f @y @x sen � @ @r � @f @y � = @ @x � @f @y � @x @r + @ @y � @f @y � @y @r = @ 2 f @y @x cos � + @ 2 f @y 2 sen � Considerando que as derivadas parciais mistas s~ao iguais temos: @ 2 f @r 2 = @ @r � @f @x � cos � + @ @r � @f @y � sen � = @ 2 f @x 2 cos � + @ 2 f @y @x sen � ! cos � + @ 2 f @x @y cos � + @ 2 f @y 2 sen � ! sen � = @ 2 f @x 2 cos 2 � + 2 @ 2 f @y @x sen � cos � + @ 2 f @y 2 sen 2 � � 1.8.4 Exerc´ıcios 1. Use a regra da cadeia para calcular a taxa de varia�c~ao df dt de f ao longo das curvas dadas: � f (x; y) = x 2 + y 2 ; x (t) = 2 t; y (t) = 6� t 2 � f (x; y) = x y 2 ; ~r (t) = cos t ~ i+ sen t ~ j LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 45 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.8. REGRA DA CADEIA � f (x; y) = p x+ y; x (t) = p t; y (t) = e t 2 � f (x; y; z) = x y � x+ z 2 ; ~r (t) = t 2 ~ i� 2 t ~ j + sen t ~ k � f (x; y; z) = z � y 2 � x 2 � ; x (t) = a cos (h) t; y (t) = b sen (h) t; z (t) = e �2 t 2. Sejam f (x; y) = x 2 y 3 ; x (t) = cos t; y (t) = t sen t: Calcule df dt . 3. Sejam f (x; y; z) = x 2 + y 2 � z 2 ; x (s; t) = e s t ; y (s; t) = s t; z (s; t) = s� t: Calcule (a) @f @s (b) @f @t 4. Sejam f (x; y) = sen � x y 2 � � x 2 y; x (s; t) = s 2 � s t; y (s; t) = t 2 s 2 : Calcule (a) @f @s (b) @f @t 5. Sejam f (r; �) = r 2 (1� cos �) ; r (t) = 1 + t 3 ; � (t) = p 1 + t 2 : Calcule df dt . 6. O raio da base de um cone �e 6 cm e ele aumenta a uma taxa de 2 cm=s. A altura do cone �e de 10 cm e aumenta a uma taxa de 10 cm=s. A que taxa o volume est�a aumentando? 7. Sejam f (x; y) = x 2 + y 4 ; x (s; t) = s 2 t; y (s; t) = t 2 � s 2 : Calcule (a) @ 2 f @s 2 (b) @ 2 f @t 2 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 46 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL 1.9 Derivada direcional Se f �e uma fun�c~ao de duas vari�aveis de�nida em uma vizinhan�ca de um ponto (x 0 ; y 0 ), as derivadas parciais @f @x e @f @y em (x 0 ; y 0 ) medem a taxa de varia�c~ao de f na dire�c~ao dos eixos coordenados x e y, respectivamente. Mas, como podemos calcular a taxa de varia�c~ao de f em uma dire�c~ao arbitr�aria? A resposta a esta quest~ao �e fornecida pela derivada direcional. Teorema 1.7 Se a fun�c~ao f e suas primeiras derivadas parciais s~ao cont��nuas em uma vizinhan�ca de (x 0 ; y 0 ), a derivada direcional D ~u f (x 0 ; y 0 ) na dire�c~ao do vetor unit�ario ~u = u 1 ~ i+ u 2 ~ j �e dada por: D ~u f (x 0 ; y 0 ) = @f @x (x 0 ; y 0 ) u 1 + @f @y (x 0 ; y 0 ) u 2 : Observac� ~ ao 1.5 Se desejarmos calcular a derivada direcional de f na dire�c~ao de um vetor ~w, com j~wj 6= 1, primeiro devemos obter o vetor unit�ario ~u = ~w j~wj na dire�c~ao de ~w. Exemplo 1.34 Calcule a derivada direcional D ~uf(2; 1) para f(x; y) = x 2 e 3y e u = 1 p 5 ~ i+ 2 p 5 ~ j. Soluc� ~ ao. As derivadas parciais s~ao: @f @x (2; 1) = 2xe 3y j (2;1) = 4e 3 e @f @y (2; 1) = 3x 2 e 3y j (2;1) = 12e 3 : Como j~uj = q 1 5 + 4 5 = 1, temos de (1.7) que D ~u f(2; 1) = (4e 3 )( 1 p 5 ) + 12e 3 ( 2 p 5 ) = 28e 3 p 5 � 251; 5: LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 47 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL � Exemplo 1.35 Calcule a derivada direcional da fun�c~ao f(x; y; z) = e x cos y+xz no ponto (1; �;�1) na dire�c~ao do vetor ~w = ~ i� 3 ~ j + 4 ~ k. Soluc� ~ ao. As derivadas parciais de f s~ao: @f @x (1; �;�1) = e x cos y + zj (1;�;1) = �e� 1 @f @y (1; �;�1) = �e x sin yj (1;�;1) = 0 @f @z (1; �;�1) = xj (1;�;1) = 1: Como j~wj = p 1 2 + 3 2 + 4 2 = p 26, um vetor unit�ario na dire�c~ao de ~w �e ~u = 1 p 26 ( ~ i� 3 ~ j + 4 ~ k): Assim, u 1 = 1 p 26 , u 2 = �3 p 26 e u 3 = 4 p 26 . Portanto, D ~u f(1; �;�1) = (�e� 1)( 1 p 26 + (0)( �3 p 26 ) + (1)( 4 p 26 ) = �e+ 3 p 26 � 0; 055: � Forma alternativa da derivada direcional: Se ~u = u 1 ~ i+u 2 ~ j �e um vetor unit�ario e � �e o a^ngulo formado entre ~u e o eixo x positivo, ent~ao u 1 = u 1 j~uj = cos � e u 2 = u 2 j~uj = sin �. Podemos, ent~ao, usar estas equa�c~oes para reescrever a derivada direcional na forma: D ~u f (x 0 ; y 0 ) = @f @x (x 0 ; y 0 ) cos � + @f @y (x 0 ; y 0 ) sin �: (1.7) LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 48 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL A equa�c~ao 1.7 implica que, se f e suas primeiras derivadas parciais s~ao cont��nuas, a derivada direcional depende apenas das derivadas parciais e da dire�c~ao do vetor unit�ario u. Exemplo 1.36 Seja f(x; y) = xy � y 3 . Calcule o vetor unit�ario u para o qual a derivada direcional D u f(2; 1) �e um m�aximo. Soluc� ~ ao. Iniciamos calculando as derivadas parciais de f: @f @x (2; 1) = yj (2;1) = 1 @f @x (2; 1) = x� 3 2 j (2;1) = �1: De acordo com a equa�c~ao 1.7, a derivada direcional D u f(2; 1) �e D u f(2; 1) = (1) cos � + (�1) sin � = cos � � sin �: Devemos, portanto, encontrar o valor de � para o qual a fun�c~ao g(�) = cos � � sin � �e um m�aximo. Para isto, devemos derivar g e igualar o resultado a zero: g 0 (�) = � sin � � cos � = 0 Resolvendo esta equa�c~ao para �, obtemos: sin � � cos � = 0! sin � = � cos � , tan � = �1; cuja solu�c~oes s~ao: � = 3� 4 e � = 7� 4 para 0 � � � 2�. Como, g 00 ( 3� 4 ) = � cos( 3� 4 ) + sin( 3� 4 ) = p 2 > 0 e g 00 ( 7� 4 ) = � cos( 7� 4 ) + sin( 7� 4 ) = � p 2 < 0; LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 49 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL o a^ngulo � = 7� 4 corresponde ao m�aximo. Para este a^ngulo, u = (cos �)i+ (sin �)j = p 2 2 i� p 2 2 j �e o vetor unit�ario pedido. � O GRADIENTE: A forma da derivada direcional dada pelo teorema 1.7 pode ser reescrita como um produto escalar: D u f(x 0 ; y 0 ) = @f @x (x 0 ; y 0 )u 1 + @f @y (x 0 ; y 0 )u 2 (1.8) = � @f @x (x 0 ; y 0 )i+ @f @y (x 0 ; y 0 )j � � [u 1 i+ u 2 j]: O segundo fator no produto escalar �e justamente o vetor unit�ario u = u 1 i + u 2 j. O primeiro fator �e chamado de gradiente de f em (x 0 ; y 0 ). Esse vetor �e usualmente escrito como: rf(x 0 ; y 0 ) = @f @x (x 0 ; y 0 )i+ @f @y (x 0 ; y 0 )j (1.9) ou simplesmente rf = @f @x i+ @f @y j: Para fun�c~oes de tre^s vari�aveis, o gradiente �e: rf = @f @x i+ @f @y j + @f @z k: Assim, o gradiente de f �e um vetor cujas componentes s~ao as derivadas parciais de f. Exemplo 1.37 Para f(x; y; z) = p xe y tan �1 z, o gradiente �e: Soluc� ~ ao. rf(x; y; z) = e y tan �1 z 2 p x i+ p xe y tan �1 zj + p xe y 1 + z 2 k LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 50 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL O gradiente avaliado no ponto (4; 0; 1) �e: rf(4; 0; 1) = � 16 i+ � 2 j + k: � NOTAC¸A˜O VETORIAL E GRADIENTE: A derivada direcional pode ser expressa, em nota�c~ao vetorial, como: Duf(x) = rf(x) � u: (1.10) Observemos que: 1. Pela de�ni�c~ao de produto interno, temos: rf(x) � u = jrf(x)jjuj cos � (1.11) = jrf(x)j cos � em que � �e o a^ngulo entre os vetores rf(x) e u e juj = 1. 2. Combinando as equa�c~oes 1.10 e 1.11 temos: D u f(x) = jrf(x)j cos �: (1.12) 3. Assim, supondo que �1 � cos � � 1 para todo �, a equa�c~ao 1.12 mostra que: � �jrf(x)j � D u f(x) � jrf(x)j, � D u f(x) assume seu valor m�aximo se cos � = 1, isto �e, se � = 0. 4. O caso � = 0 ocorre precisamente quando jrf(x)j e o vetor dire�c~ao u apontam na mesma dire�c~ao. Assim, de acordo com o item 3. a fun�c~ao f cresce mais rapidamente na dire�c~ao dorf e decresce mais rapidamente na dire�c~ao de�rf . Isto tudo supondo que as hip�oteses do teorema 1.7 estejam satisfeitas. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 51 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL Exemplo 1.38 Encontre as dire�c~oes nas quais f(x; y) = x 3 2 + y 3 2 : 1. Cresce mais rapidamente no ponto (1; 1). 2. Decresce mais rapidamente em (1; 1). 3. Tem dire�c~oes de varia�c~ao zero em (1; 1). Soluc� ~ ao. 1. A fun�c~ao aumenta mais rapidamente na dire�c~ao e no sentido de rf em (1; 1). O gradiente nesse ponto �e: rf(1; 1) = (1)i+ (1)j = i+ j. Sua dire�c~ao �e: u = i+ j ji+ jj = i+ j p 1 2 + 1 2 = 1 p 2 i+ 1 p 2 j 2. A fun�c~ao decresce mais rapidamente na dire�c~ao e no sentido de �rf em (1; 1), que �e: �u = � 1 p 2 i� 1 p 2 j 3. As dire�c~oes de varia�c~ao zero em (1; 1) s~ao as dire�c~oes ortogonais a rf . Seja n = ai + bj um vetor qualquer ortogonal a u = 1 p 2 i + 1 p 2 j. Ent~ao, para obter n basta trocar as coordenadas i e j de u e trocar o sinal de um deles, isto �e, n = � 1 p 2 i+ 1 p 2 j Assim, as dire�c~oes de varia�c~ao zero em (1; 1) s~ao exatamente n e �n que s~ao ortog- onais a rf . � Esta observa�c~ao sobre o gradiente tem importantes aplica�c~oes. Se x = (x; y) �e um ponto no dom��nio da fun�c~ao f, ent~ao rf(x) aponta na dire�c~ao do maior crescimento de f (Figura 1.1). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 52 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL Figura 1.1: O gradiente aponta na dire�c~ao de maior crescimento da fun�c~ao f em x Exemplo 1.39 Para a fun�c~ao f(x; y) = 9� x 2 +y 2 4 , o gradiente em x = (x; y) �e: Soluc� ~ ao. rf(x) = � x 2 i� y 2 j = � 1 2 (xi+ yj) = � 1 2 x: Como x = xi + yj �e o vetor posi�c~ao do ponto (x; y), o vetor rf(x) = �1 2 x aponta na dire�c~ao da origem para todo (x; y) 6= (0; 0). Em particular, x = (2; 2)! rf = �i� j x = (1; 4)! rf = � 1 2 i� 2j x = (2;�1)! rf = �i+ 1 2 j: Isto n~ao �e surpreendente, pois, o gr�a�co de f �e um parabol�oide circular. Para qualquer ponto nesta superf��cie, a coordenada z aumenta rapidamente na medida em que x e y aproximam-se de zero (Figura 1.2). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 53 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL Figura 1.2: O gradiente sempre aponta em dire�c~ao �a origem para esta fun�c~ao � CURVAS DE NI´VEIS E O GRADIENTE: Seja r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k uma parametriza�c~ao de uma curva do R 3 . Seja, ainda, w = f(x; y; z) uma fun�c~ao de tre^s vari�aveis. Utilizando o gradiente e supondo que todas as derivadas necess�arias existem, podemos escrever a regra da cadeia d dt f(x; y; z) = @f @x dx dt + @f @y dy dt + @f @z dz dt como: d dt f(r(t)) = rf(r(t)) � r 0 (t): (1.13) A equa�c~ao1.13 nos diz que a derivada da fun�c~ao composta f(r(t)) �e o produto interno do gradiente rf(r(t)) com o vetor tangente r 0 (t) = x 0 (t)i + y 0 (t)j + z 0 (t)k, para cada t. A equa�c~ao 1.13 tamb�em nos revela uma importante rela�c~ao entre gradientes e curvas de n��veis (Figura 1.3): Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis. Se f e suas primeiras derivadas parciais sa˜o cont´ınuas, enta˜o para cada ponto no domı´nio de f o vetor gradiente, se na˜o LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 54 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL nulo, e´ ortogonal a` curva de n´ıvel que passa por aquele ponto. Figura 1.3: O gradiente �e ortogonal �a curva de n��vel Exemplo 1.40 Encontre uma equa�c~ao vetorial para a reta tangente �a elipse x 2 16 + y 2 9 = 1, no ponto P = (2; 3 p 3 2 ). Soluc� ~ ao. Considere que a elipse dada seja a curva de n��vel de n��vel 1 da fun�c~ao f(x; y) = x 2 16 + y 2 9 . Ent~ao, para obter a reta tangente pedida, precisamos primeiro encontrar um vetor n que seja normal �a elipse no ponto P dado. Este vetor �e simplesmente o gradiente de f em P , isto �e, rf(x; y) = x 8 i+ 2y 9 j: Portanto, o vetor n normal �a elipse �e: n = rf(2; 3 p 3 2 ) = 1 4 i+ 1 p 3 j A seguir, precisamos encontrar um vetor ortogonal d a n que fornece a dire�c~ao da reta tangente. Conhecido n, podemos obter d trocando os coe�cientes i e j de n e, ent~ao, LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 55 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL multiplicando um destes coe�cientes por �1. Assim, o vetor d = 1 p 3 i+ �1 4 j �e um vetor dire�c~ao para a reta. Finalmente, utilizando P e d, obtemos a equa�c~ao vetorial para a reta tangente: r(t) = " 2i+ 3 p 3 2 j # + t � 1 p 3 i+ �1 4 j � = � 2 + t p 3 � i+ " 3 p 3 2 � t 4 # j � SUPERFI´CIES DE NI´VEIS E O GRADIENTE Existe semelhan�ca entre gradientes de fun�c~oes de tre^s vari�aveis e superf��cies de n��veis. Seja f uma func¸a˜o de treˆs varia´veis. Se f e suas primeiras derivadas parciais sa˜o cont´ınuas, enta˜o para cada ponto no domı´nio de f, o vetor gradiente, se diferente de zero, e´ ortogonal a` superf´ıcie de n´ıvel contendo aquele ponto. Assim, se a superf��cie de n��vel tem um plano tangente no ponto x 0 , rf(x 0 ) �e um vetor normal a esse plano (Figura 1.4). Figura 1.4: O gradiente �e normal ao plano tangente da superf��cie de n��vel em x 0 LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 56 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL Seja x = (x; y; z) um ponto arbitr�ario no plano tangente. Uma equa�c~ao para o plano tangente �e rf(x 0 ) � (x� x 0 ) = 0; que torna-se @f @x (x 0 ; y 0 ; z 0 )(x� x 0 ) + @f @y (x 0 ; y 0 ; z 0 )(y � y 0 ) + @f @z (x 0 ; y 0 ; z 0 )(z � z 0 ) = 0 (1.14) Exemplo 1.41 Encontre uma equa�c~ao para o vetor normal ao gr�a�co do elips�oide 2x 2 + 4y 2 + z 2 = 21, no ponto P = (2; 1; 3), e encontre tamb�em uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co naquele ponto. Soluc� ~ ao. Considere que o elips�oide dado seja a superf��cie de n��vel f(x; y; z) = 21 para a fun�c~ao f(x; y; z) = 2x 2 + 4y 2 + z 2 . Utilizando o vetor gradiente no ponto dado, rf(2; 1; 3) = 8i + 8j + 6k, obtemos a equa�c~ao para o plano tangente como sendo: 8(x� 2) + 8(y � 1) + 6(z � 3) = 0! 8x+ 8y + 6z = 42: Observe que o vetor normal pedido �e o vetor gradiente no ponto dado, isto �e, rf(2; 1; 3) = 8i+ 8j + 6k. � 1.9.1 Exerc´ıcios 1. Encontre o gradiente para a fun�c~ao dada, no ponto P. � f(x; y) = x 2 y, P = (3; 1). � f(x; y) = x cos(y � x), P = ( � 2 ; � 4 ). � f(x; y; z) = x 2 y + xz 2 , P = (1; 1; 2). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 57 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL � f(x; y; z) = x 2 y + xz 3 � y 2 z, P = (1; 2; 1). � f(x; y; z) = e x cos y � e y sin z, P = (0; � 4 ; � 3 ) 2. Encontre a derivada direcional da fun�c~ao dada, no ponto dado e na dire�c~ao do vetor dado. � f(x; y) = x 2 y 2 , P = (�2; 3), w = i+ j. � fx; y) = x x+y , P = (1; 2), w = p 3i+ j. � f(x; y; z) = xy + xz + yz, P = (1; 2; 1), w = i+ j � k. � f(x; y; z) = xe yz , P = (2; 0; 1), w = p 3i+ p 3j � p 5k. � f(x; y; z) = x cos y � y sin z, P = (6; � 4 ;�1). 3. Para f(x; y) = xy 2 + ye x , calcule a derivada direcional em (0; 1) na dire�c~ao do mais r�apido crescimento de f. 4. Para a fun�c~ao dada anteriormente, calcule D u f(0; 1) na dire�c~ao da origem. 5. Para f(x; y)e x sin y, calcule D u f(0; � 4 ) na dire�c~ao do ponto (1; � 2 ). 6. Para a fun�c~ao f(x; y) = x x+y , calculeD u f(1; 1) na dire�c~ao do mais r�apido crescimento de f. 7. Escreva equa�c~oes vetoriais para as retas normal e tangente �as curvas dadas, nos pontos dados. � 4x 2 � y 2 = 7, P = (2; 3). � p (x) + p (y) = 4, P = (4; 4). � sinx� cos y = 1, P = ( � 2 ; � 2 ). � lnx+ 2 ln y = 1, P = (1; p (e)). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 58 CA´LCULO II CAP´ITULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL 8. Encontre um vetor normal e uma equa�c~ao para o plano tangente a cada superf��cie dada no ponto dado. � xyz = 6, P = (2; 1; 3). � z = x 2 � y 3 + xy, P = (2; 1; 5). � y = sinx, P = ( � 2 ; 1; 5). 9. A distribui�c~ao de temperatura de uma sala obedece a fun�c~ao T (x; y; z) = 30� (x 2 + 2y 2 +3z 2 ). Um inseto, instintivamente, voa na dire�c~ao do mais r�apido decrescimento de T. Em que dire�c~ao ele deve voar quando est�a no ponto (2; 1; 1)? LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 59 CA´LCULO II Cap´ıtulo 2 Integrais Duplas e Triplas 2.1 Introduc¸a˜o Em princ��pio, a integral de�nida de uma fun�c~ao cont��nua de duas ou tre^s vari�aveis �e uma generaliza�c~ao da integral de�nida de uma fun�c~ao de uma vari�avel, ou seja, �e um limite das somas de Riemann. Entretanto, como as regi~oes sobre as quais integraremos s~ao, agora, subconjuntos do plano ou do espa�co, n�os nos valeremos de nossos estudos de curvas e superf��cies a �m de avaliar as integrais que trataremos aqui. Iniciaremos, generalizando a de�ni�c~ao de integral de�nida para uma fun�c~ao de duas vari�aveis. A seguir, discutiremos m�etodos para avaliar essas integrais, com base no conceito de integra�c~ao iterada. Com isso, reduziremos esse problema �aquele de integrais envolvendo apenas uma vari�avel. Ilustraremos tamb�em, aplica�c~oes desta teoria discutindo o c�alculo de �areas de superf��cies e de centros de massas. Finalmente, generalizaremos a integral para fun�c~oes de tre^s vari�aveis. 60 CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO 2.2 A integral dupla sobre um retaˆngulo Iniciaremos nosso estudo relembrando o conceito de integral de�nida de uma fun�c~ao cont��nua de uma vari�avel, analisando um problema de �area. Seja f uma fun�c~ao n~ao nega- tiva. Queremos encontrar a �area de uma regi~ao R limitada pelo gr�a�co de y = f(x) e o eixo x, para a � x � b (Figura 2.1) Figura 2.1: Regi~ao limitada pelo gr�a�co de uma fun�c~ao f cont��nua e n~ao negativa. Inicialmente, particionamos o intervalo [a; b] em subintervalos de comprimento �x j = x j � x j�1 . Depois, escolhemos um n�umero t j arbitrariamente em cada intervalo, e for- mamos a soma aproximada de Riemann S n = n X j=1 f(t j )�x j ; que representa a soma das �areas dos reta^ngulos ilustrados na Figura 2.2. Figura 2.2: A Soma de Riemann aproxima a regi~ao R por reta^ngulos. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 61 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO N�os,ent~ao, provamos que o limite desta Soma de Riemann, quando n ! 1 e quando a norma da parti�c~ao jjP n jj! 0, �e a �area desejada. Isso nos leva a de�ni�c~aoda integral de�nida como um limite da soma de Riemann, isto �e, Z b a f(x)dx = lim n!1 n X j=1 f(t j )�x j Esta integral de�nida resolve n~ao s�o este problema de �area, mas geralmente ela fornece um procedimento de soma pelo qual n�os podemos calcular qualquer quantidade que possa ser interpretada como uma soma de uma fun�c~ao que varia continuamente. Agora, utilizare- mos a mesma abordagem para de�nir a integral de�nida de uma fun�c~ao de duas vari�aveis. Iniciamos com uma regi~ao retangular R no dom��nio de uma fun�c~ao n~ao negativa f de duas vari�aveis. O reta^ngulo R e o gr�a�co z = f(x; y) sobre R determina um s�olido no espa�co, conforme ilustra a Figura 2.3. Figura 2.3: O gr�a�co de z = f(x; y) sobre o reta^ngulo R determina um s�olido no espa�co. N�os aproximamos o volume deste s�olido por prismas retangulares (Figura 2.4). Esta aproxima�c~ao �e conhecida como soma dupla de Riemann. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 62 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO Figura 2.4: O volume do s�olido limitado pelo gr�a�co de f sobre R �e aproximado usando prismas retangulares. Desenvolvendo a integral dupla sobre um retaˆngulo Vamos calcular o volume V de um s�olido limitado acima pelo gr�a�co da fun�c~ao cont��nua n~ao negativa z = f(x; y), abaixo pelo reta^ngulo R = (x; y)=a � x � b; c � y � d no plano xy, e sobre quatro lados pelos planos verticais x = a; x = b; y = c e y = d. Usando a mesma terminologia para o caso de uma vari�avel, seja P 1 = a = x 0 ; x 1 ; x 2 ; � � � ; x n = b uma parti�c~ao do intervalo [a; b], e seja P 2 = c = y 0 ; y 1 ; y 2 ; � � � ; y n = d uma parti�c~ao do in- tervalo [c; d]. Sejam, ainda, �x j = x x j � x j 1 ; j = 1; 2; � � �n �y k = y k � y k�1 ; k = 1; 2; � � �m: Como ilustra a Figura 2.5, essas parti�c~oes determinam uma grade que divide a regi~ao R em reta^ngulos R jk de �area �A jk = �x j �y k para j = 1; 2; � � � ; n e k = 1; 2; � � � ;m. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 63 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO Figura 2.5: As parti�c~oes de [a,b] e [c,d] determinam uma grade que divide R em reta^ngulos R jk . A �area de R jk �e �A jk = �x j �y k Nos referimos a esta grade como a parti�c~ao P de R determinada pelas parti�c~oes P 1 e P 2 . De�nimos a norma jjP jj desta parti�c~ao como sendo a maior das normas jjP 1 jj e jjP 2 jj das parti�c~oes P 1 e P 2 . Isto �e, jjP jj = max jjP 1 jj; jjP 2 jj = max�x 1 ;�x 2 ; � � � ;�x n ;�y 1 ;�y 2 ; � � � ;�y m : Aproximamos o volume da regi~ao acima do reta^ngulo R jk e abaixo do gr�a�co de f pelo volume do prisma retangular com base de �area �A jk = �x j �y k . Para a altura deste prisma usamos o valor da fun�c~ao f(s j ; t k ), em que o ponto teste (s j ; t k ) �e escolhido arbitrariamente no reta^ngulo R jk (Figura 2.6). LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 64 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO Figura 2.6: O volume deste prisma retangular �e f(s j ; t k )�x j �y k , em que (s j ; t k ) �e um ponto no reta^ngulo R jk Isto nos leva �a soma dupla: S m;n = n X j=1 m X k=1 f(s j ; t k )�A jk ; �A jk = �x j �y k ; (2.1) que �e chamada uma soma de Riemann para a fun�c~ao f sobre o reta^ngulo R. Como no caso de uma vari�avel, obtemos a integral de�nida como o limite dessas somas de Riemann quando �x j e �y k aproximam-se de zero (Figura 2.7). Figura 2.7: Quando �x j e �y k ! 0, as correspondentes somas de Riemann aproximam-se do volume desejado. Teorema 2.1 Se f �e cont��nua em um reta^ngulo R, ent~ao existe um �unico n�umero I tal que I = lim nm!1 S n;m = lim nm!1 n X j=1 m X k=1 f(s j ; t k )�A jk ; �A jk = �x j �y k ; (2.2) para todas as somas de Riemann S n;m correspondentes �as parti�c~oes P n;m , para as quais jjP n;m jj ! 0 quando ambos m e n ! 1. LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 65 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO Este teorema fornece os fundamentos para a teoria da integral de�nida, conforme podemos ver na de�ni�c~ao que segue. Definic� ~ ao 2.1 seja f uma fun�c~ao cont��nua de duas vari�aveis sobre o reta^ngulo R. Ent~ao o n�umero I de�nido no teorema 2.1 �e chamado de integral definida de f sobre o retaˆngulo R. Ela �e usualmente escrita como: Z R Z f(x; y)dA N�os utilizamos dois sinais de integrais para indicar que esta integral representa o resultado de um processo limite duplo. R denota o reta^ngulo sobre o qual a integral �e avaliada. Por enquanto, o s��mbolo dA (que tamb�em pode ser escrito dxdy) indica que a soma de Riemann tem sido obtida particionando R em reta^ngulos de �areas �A jk = �x j �y k . Como para o caso de uma vari�avel, a fun�c~ao f �e referida como sendo o integrando. Conforme o desenvolvimento feito, conclu��mos que o volume V do s�olido limitado acima pelo gr�a�co da fun�c~ao cont��nua n~ao negativa f e abaixo pelo reta^ngulo R no plano xy �e: V = Z R Z f(x; y)dA (2.3) No caso de uma vari�avel, se f(x) < 0 para todo x�[a; b], ent~ao a �area limitada pelo gr�a�co de y = f(x) e o eixo x �e igual a � R b a f(x)dx. Uma a�rma�c~ao an�aloga tamb�em pode ser feita para fun�c~oes negativas f(x; y) de duas vari�aveis. Se f(x; y) < 0 para todo (x; y)�R, ent~ao o volume do s�olido determinado por R e o gr�a�co z = f(x; y) �e � R R R f(x; y)dA. Assim, o teorema 2.1 e a de�ni�c~ao 2.1 se aplicam a todas as fun�c~oes cont��nuas f de duas vari�aveis. Para uma tal f,o valor da integral resultante pode ser interpretado geometricamente como a diferen�ca entre o volume do s�olido determinado por aquela por�c~ao do gr�a�co de z = f(x; y) que est�a acima do plano xy e o volume do s�olido determinado por aquela por�c~ao do gr�a�co LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 66 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO que est�a abaixo do plano xy. Integrais Iteradas Embora o teorema 2.1 forne�ca fundamentos te�oricos para a integral de�nida e um meio pela qual a integral possa ser aproximada, gostar��amos de ter algum m�etodo similar ao Teorema Fundamental do C�alculo para calcular o valor da integral. Considerando o caso em que f �e n~ao negativa sobre R, podemos obter um tal m�etodo. Lembremos que o volume V na equa�c~ao (2.3) �e dado pela integral de�nida V = Z b a A(x)dx; a < b (2.4) em que A(x) �e a �area da sec�c~ao transversal tomada perpendicular ao eixo x. Mas, se x 0 �[a; b] �e �xado, a �area desta sec�c~ao transversal �e justamente A(x 0 ) = Z d c f(x 0 ; y)dy; c < d (2.5) visto que a sec�c~ao transversal �e limitada acima pela fun�c~ao cont��nua g(y) = f(x 0 ; y), como mostra a Figura 2.8. Figura 2.8: A �area A(x 0 ) da sec�c~ao transversal em x 0 �e A(x 0 ) = R d c f(x 0 ; y)dy Combinando as equa�c~oes (2.4) e (2.5) n�os conclu��mos que V = Z b a " Z d c f(x; y)dy # dx; a < b; c < d (2.6) A equa�c~ao (2.6) indica que o volume V �e calculado, primeiro integrando f com rela�c~ao a y (tratando x como constante) de c at�e d, e ent~ao integrando a fun�c~ao resultante de x, LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 67 CA´LCULO II CAP´ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETAˆNGULO de a at�e b. Como a Figura 2.9 ilustra, n�os podemos tamb�em �xar y 0 e obter a �area da sec�c~ao transversal perpendicular ao eixo y em y = y 0 como A(y 0 ) = Z b a f(x; y 0 )dx; a < b (2.7) Figura 2.9: A �area A(y 0 ) da sec�c~ao transversal em y 0 �e A(y 0 ) = R b a f(x; y 0 )dx O c�alculo resultante para o volume �e V = Z d c " Z b a f(x; y)dx # dy; a < b; c < d (2.8) As integrais em (2.6) e (2.8) s~ao chamadas integrais iteradas porque elas envolvem a composi�c~ao de duas sucessivas
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