Lista de exercício - Derivada

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1 
 
 
Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Per. Letivo: 2015.1 
Comp. Curricular: Cálculo Diferencial e Integral I C.H: (83H/83HA) 
Professor: José Doval Nunes Martins 
 
Aluno(a):_____________________________________________________________________________ 
 
 
Derivada 
 
Derivada: 
 
(1) Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico 
em cada caso. 
(a) f(x) = x2 – 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ ℝ. (d) f(x) = 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
; 𝑥 = 
1
3
, x = 3. 
(b) f(x) = x2 – 3x + 6; x = -1, x = 2. (e)𝑓(𝑥) = 
1
𝑥−𝑎
, a ∈ ℝ − {−2, 4}; x = -2, x = 4. 
(c) f(x) = x.(3x – 5); x = 1/2, x = a, a ∈ ℝ. (f) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥; x = 0, x = 3, x = a, a > 0. 
 
(2) Em cada em um dos dois itens de exercício (1), determinar a equação da reta normal à curva, nos 
pontos indicados. Esboçar o gráfico, em cada caso. 
 
(3) Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 - 𝑥2, que seja paralela à reta y = 1 – x. 
 
(4) Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1, no ponto (-2, 9). 
 
(5) Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x3 – 1, que seja perpendicular à reta y = - x. 
 
(6) Dadas as funções f(x) = 5 – 2x e g(x) = 3x2 – 1, determinar: 
(a) f ’(-1) + g ’(1) (b) 2f ’(0) – g ’(-2) 
(b) f(2) – f ’(2) (d) [g ’(0)]2 + 
1
2
.g ’(0) + g(0) 
(c) 𝑓 (
5
2
) − 
𝑓′(
5
2
)
𝑔′(
5
2
)
 
 
(7) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
(a) f(x) = 1 – 4x2 (d) 𝑓(𝑥) = 
1−𝑥
𝑥+3
 
(b) f(x) = 2x2 – x – 1 (e) 𝑓(𝑥) = 
1
√2𝑥−1
 
(c) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥+2
 (f) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3
3
 
2 
 
08. Um ponto material move-se sobre uma curva de modo que a equação horária do espaço é 
 
𝑠 = 𝑡4 − 2𝑡3 + 3𝑡2 + 6 
 
Com x em metros e t em segundos. 
(a) Calcule a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 3s e t2 = 5s. 
(b) Determine a equação horária da velocidade escalar instantânea. 
(c) Calcule a aceleração escalar média entre os instantes t1 = 1s e t2 = 5s. 
(d) Determine a equação horária da aceleração escalar instantânea. 
 
09. Consideremos uma partícula movendo-se sobre o eixo Ox de modo que a equação horária da 
abscissa x é 
 
𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
𝑡 + 
𝜋
2
) 
 
Com x em metros e t em segundos. 
(a) Determine a equação horária da velocidade escalar instantânea. 
(b) Determine a equação horária de a aceleração escalar instantânea. 
 
10. Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x3 – 1, que seja perpendicular à reta y = -x. 
 
11. A posição de uma partícula que se move no eixo x depende do tempo de acordo com a equação 
x = 3t2 – t3, em que x vem expresso em metros e t, em segundos. 
(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? 
(b) Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? 
(c) Qual a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos? 
 
12. Um corpo cai em queda livre partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de 
decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física use a equação y = vot – 1/2gt
2 para determinar a posição y do 
corpo, onde v0 é a velocidade inicial e g ≅ 9,8 m/s
2. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Derivadas laterais 
 
 Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é 
derivável. Esboçar o gráfico. 
(1) 𝑓(𝑥) = 2|𝑥 − 3| (2) 𝑓(𝑥) = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 ≥ 1
 
(3) 𝑓(𝑥) = |2𝑥 + 4| + 3 (4) 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑥2, 𝑠𝑒 |𝑥| > 1
0, 𝑠𝑒|𝑥| ≤ 1
 
(5) 𝑓(𝑥) = {
2 − 𝑥2, 𝑥 < −2
−2, 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
2𝑥 − 6, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
 
 
(6) Seja 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 1, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 − 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1
. 
(a) Esboçar o gráfico de f. 
(b) Verificar se f é continua nos pontos -1 e 1. 
(c) Calcular f ’(-1-), f ’(-1+) e f ’(1+). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras de derivação - 1: 
4 
 
 
Encontre a derivada das seguintes funções: 
(1) 
2.)( rrf 
 (2) 
1063)( 2  xxxf
 
 (3) 
baf  2.)( 
 (4) 
3
2
1
14)(  xxf
 
 (5) 
)63)(12()( 2  xxxf
 (6) 
)4)(17()(  xxxf
 
 (7) 
)2)(13()( 45 xxxf 
 (8) 
)35()35(
3
2
)( 1   xxxf
 
 (9) 
)1)(1()(  xxxf
 (10) 
)25)(13)(1()( 32 sssssf 
 
 (11) 
)(7)( 2 cbxaxxf 
 (12) 
)2)(4()( 2 uaauuf 
 
 (13) 
13
42
)(



x
x
xf
 (14) 
1
1
)(



t
t
tf
 
 (15) 
1
153
)(
2



t
tt
tf
 (16) 
2
2
)(
2



t
t
tf
 
 (17) 
25
4
)(
x
x
xf



 (18) 
22
75
)(



x
x
xf
 
 (19) 
)63(
2
1
)( 2 xx
x
x
xf 



 (20) 
bt
at
xf



2)(
)(
 
 (21) 
52
53
)(
xx
xf 
 (22) 
6
4 2
2
1
)(
x
xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras de derivação – 2: 
5 
 
 
Nos exercícios de 1 a 32 calcule a derivada das funções. 
(1) 
102 )373(10)(  xxxf
 (2) 
32 )(
1
)( axbx
a
xf 
 
(3) 
472 )13()67()(  ttttf
 (4) 
3
2 32
17
)( 








t
t
tf
 
(5) 
3 22 )263()(  xxxf
 (6) 
13
2
)(


x
x
xf
 
(7) 
1
12
)(



t
t
tf
 (8) 
xexf  3
3
1
)(
 
(9) 
xxxf 63
2
2)( 
 (10) 
sesssf 332 2)167()( 
 
(11) 
)5()( 22 ttetf
t

 (12) 
)42(log)( 2  xxf 
(13) 
1log)( 3  ssf
 (14) 







3
11
ln)(
xx
xf
 
(15) 
xx
x
b
a
xf
63
3
2
)(


 (16) 
12)12()(  tttf
 
(17) 
)ln()(
2
1
)( bxabsasf 
 (18) 
)
2
cos()( uuf 

 
(19) 
 2.cos2)( 2 senf 
 (20) 
)63()( 23 xxsenxf 
 
(21) 
xxtgxf  )12(3)(
 (22) 
x
x
xf
2sec3
)( 
 
(23) 
xexf x 3cos)( 2
 (24) 
32seccos)(  f
 
(25) 
bxaxf cos)( 
 (26) 
2).()( tguuuf 
 
(27) 
 gaf cot)( 
,a>0 (28) 
2)()( arcsenxxf 
 
(29) 
tarcttf 3cos)( 
 (30) 
)cos()( sentarctf 
 
(31) 
xarcxf sec)( 
 (32) 
)32sec(cos)( 2  tarcttf
 
 
(33) Calcular 𝑓′(0), se 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥). 
 
(34) Calcular 𝑓′(1), se 𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑥) + 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(
𝑥
2
). 
 
(35) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥, calcular 𝑓(0) + 𝑥𝑓′(0). 
 
(36) Mostrar que a função 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥 satisfaz a equação 𝑥𝑦′ = (1 − 𝑥)𝑦. 
6 
 
 
(37) Mostrar que a função 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥
2/2 satisfaz a equação 𝑥𝑦′ = (1 − 𝑥2)𝑦. 
 
(38) Mostrar que a função 𝑦 = 
1
1 + 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥
 satisfaz a equação 𝑥𝑦′ = 𝑦(𝑦𝑙𝑛𝑥 − 1). 
 
(39) Sejam f e g funções tais que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 para todo x, e 𝑓′(𝑥)𝑒 𝑔′(𝑥) existem para todo x. 
Mostrar que 𝑓′(𝑔(𝑥)) = 
1
𝑔′(𝑥)
. 
 
(40) Determine a reta tangente à curva de equação h(x) = f(g(x)) no ponto de abscissa x = 1, sabendo que 
g é derivável em x = 1, g(1) = -3 e g’(1) = -1 e que f é derivável em -3 e f(-3) = 4 e f’(-3) = 1/2. 
 
(41) Provar que: 
(a) Se 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥, então 𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥. 
(b) Se 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥, então 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐𝑥 . 𝑡𝑔𝑥. 
(c) Se 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥, então 𝑦′ = − 
1
1+ 𝑥2
.Derivadas sucessivas e Derivação implícita: 
7 
 
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
(1) y = 3x4 – 2x, n = 5 (7) 𝑦 = 
1
𝑒𝑥
 
(2) y = ax3 + bx2 + cx + d; n = 3 (8) 𝑦 = ln (2𝑥), n = 2 
(3) y = 3 – 2x2 + 4x5; n = 10 (9) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥); n = 7 
(4) 𝑦 = √3 − 𝑥2; n = 2 (10) 𝑦 = −cos (
𝑥
2
); n = 5 
(5) 𝑦 = 
1
𝑥−1
; n = 4 (11) 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥; n = 3 
(6) 𝑦 = 𝑒2𝑥+1; n = 3 (12) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥; n = 2 
 
(13) Achar a derivada de ordem 100 das funções: 
(a) y = senx (b) y = cosx 
 
(14) Mostrar que a derivada de ordem n da função 𝑦 = 1/𝑥 é dada por 𝑦(𝑛) = 
(−1)𝑛𝑛!
𝑥𝑛+1
. 
 
(15) Mostrar que a derivada de ordem n da função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é dada por 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑒𝑎𝑥. 
 
(16) Calcular y’ = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 das seguintes funções definidas implicitamente. 
(a) x3 + y3 = a3 (b) x3 + x2y + y2 = 0 
(c) √𝑥 + √𝑦 = √𝑎 (d) a cos
2(x + y) = b 
(e) ey = x + y (f) 𝑦3 = 
𝑥−𝑦
𝑥 + 𝑦
 
(g) tg y = xy 
 
(17) Para cada uma das equações, encontre dy/dx por derivação implícita. 
(a) x2 – 5xy + 3y2 = 7 (b) 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑦
= 
1
2
 
(c) cos(x + y) + sin(x + y) = 1/3 (d) 𝑥𝑒(𝑥
2+ 𝑦2) = 5 
(e) 
2𝑥+3𝑦
𝑥2+ 𝑦2
= 9 (f) x3 + y3 = 8 
(g) 4x2 – 9y2 = 17 (h) ytg(x + y) = 4 
(i) ecosx + esiny = 1/4 
 
(18) Obtenha a equação da reta tangente à curva y4 – 4x4 = 6xy, no ponto (1, 2). 
 
(19) Mostre que a reta tangente à elipse 
𝑥2
𝑎2
+ 
𝑦2
𝑏2
= 1 no ponto (𝑥0, 𝑦0) tem equação 
𝑥𝑥0
𝑎2
+ 
𝑦𝑦0
𝑏2
= 1.