Exercicio 5

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão


Uma ferramenta matemática muito importante é a
integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
vetorial, quando se depende de várias variáveis.
Considere o campo vetorial
. A integral de
linha  onde C é a curva descrita pelo caminho
 é:
F(x, y, z) = (− , , z2)2x
(x2−y2)2
2y
(x2−y2)2
∫
C
F
g(t) = (et, sen(t), t), 0 ≤ t ≤ π
2


∫
C
F = eπ − − 1π3
24


∫
C
F = e−π − + 1π3
24


∫
C
F = e−π − − 1π3
24


∫
C
F = −e−π − − 1π3
24


∫
C
F = −e−π − + 1π3
24
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira
o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A
B
C
D
E
2 Marcar para revisão
Determine o momento de Inércia em relação ao eixo y de
um objeto na forma de um quarto da circunferência no
plano XZ, de raio 2, com centro na origem, e com x e z
maiores ou iguais a zero. Sabe-se que a densidade linear
de massa do objeto vale δ(x, y, z) = z
8
16
32
64
128
A
B
C
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira
o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O momento de inércia de um objeto em relação a um
eixo é dado por: Onde: *
 é a densidade linear de massa do objeto; *
 é o volume de uma partícula infinitesimal do
objeto. No caso do objeto em questão, a densidade
linear de massa é constante, então podemos
escrever: O volume do objeto é dado
por: Substituindo na equação do momento
de inércia, obtemos: Substituindo os
valores de r, obtemos: Portanto, a
resposta correta é C.
Iy = ∫
V
ρ(x, y, z)y2 dV
ρ(x, y, z)
dV
Iy = ∫
V
z2 dV
V = r2π
4
Iy = r4π
4
Iy = (2)4 = 32
π
4
3 Marcar para revisão
Marque a alternativa abaixo que apresenta um campo
conservativo.
→
F (x, y) = 2xyx̂ + (yx3 + 1)ŷ
→
F (x, y) = 2xy2x̂ + (y + 2yx2)ŷ
→
F (x, y) = eyx̂ + (4x2 + cos(y))ŷ
D
E
A
B
C
→
F (x, y) = 2xx̂ + (y3 + x)ŷ
→
F (x, y) = (4xy + x)x̂ + (9xy − 3)ŷ
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Um campo é conservativo se a sua divergência for
nula. A divergência de
 é nula, portanto, é
um campo conservativo.
→
F (x, y) = 2xy2x̂ + (y + 2yx2)ŷ
4 Marcar para revisão


Uma ferramenta matemática muito importante é a
integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
escalar, quando se depende de várias variáveis.
Considere a curva C parametrizada por
, onde
, o valor de é:
→σ = (e−t, sen( )), 1 ≤ t ≤ 2π
t
→F = 2xcos(y), −x2sen(y) ∫
C
= F . dr
e2cos(1) − 1
e2cos(2) − 1
e2cos(1) + 1
D
E
e2cos(2) + 1
e2cos(1) − 2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira
o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
5 Marcar para revisão
Sejam os campos vetoriais
, 
 e
. Determine o módulo da
→
G (u, v,w) = ⟨u + w, v + u,w + 1⟩
→
F (x, y, z) = ⟨x − 2y, 2y − z,x + y⟩
→
H (u, v) = ⟨2 − u2, v2, 3v⟩
A
B
C
D
E
imagem do campo vetorial , para o ponto
(x,y,z) = (0,1, - 1). Sabe-se que
.
→
Q (x, y, z)
→
Q (x, y, z) = 2
→
G (x, y, z) × (
→
F (x, y, z) +
→
H (x, y))
6√3
√3
6√2
8√3
4√2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, é necessário substituir o
ponto (x,y,z) = (0,1, -1) nas expressões dos campos
vetoriais , e . Em
seguida, substituir esses resultados na expressão do
campo vetorial . Após realizar o produto
vetorial e multiplicar por 2, calcula-se o módulo do
vetor resultante. Ao realizar esses cálculos, obtemos
que o módulo da imagem do campo vetorial
 para o ponto (x,y,z) = (0,1, -1) é , que
corresponde à alternativa D.
→
G (u, v,w)
→
F (x, y, z)
→
H (u, v)
→
Q (x, y, z)
→
Q (x, y, z) 8√3
A
B
C
D
E
6 Marcar para revisão
Determine a integral com C
definida pela equação paramétrica 
com . Considere a orientação do percurso no
sentido de crescimento do parâmetro t.
∫
C
(xdx + ydy + zdz)
γ(t) = (2t2, t3, t)
0 ≤ t ≤ 1
2
3
4
5
6
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral é
.
∫
C
(xdx + ydy + zdz) = ∫ 1
0
(4t3 + 3t4 + t2)dt = 3
7 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da
função f(x,y) = 2x + y sobre a curva definida pela2
A
B
C
D
E
equação , com 0≤t≤1.γ(t) = (2t, t2)


∫ 1
0 2(t3 + 4)(√t2 + 2)dt


∫ 2
0 t(t4 + 4t)(√4t2 + 1)dt


∫ 1
0 2t(t3 + 1)(√4t2 + 2)dt


∫ 1
0 t(t3 + 4)(√4t2 + 4)dt


∫ 2
0 2t(t3 + 1)(√4t2 + 2)dt
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral de linha é uma extensão do conceito de
integral definida para funções de várias variáveis. Ela
é utilizada para calcular a integral de uma função ao
longo de uma curva. No caso desta questão, a
integral de linha da função f(x,y) = 2x + y sobre a
curva definida pela equação é
solicitada.
A integral de linha em sua forma padrão é definida
por:
Portanto, a maneira correta de montar a integral em
questão seria:
Assim, a alternativa correta é a letra D.
2
γ(t) = (2t, t2)
f(y(t))|y ′(t)|
∫ 1
0 t(t3 + 4)(√4t2 + 4)dt
A
B
C
D
E
8 Marcar para revisão
Determine a integral de linha  sendo o campo
vetorial   e a curva C
definida pela equação  , para 0≤t≤1.
∫
C
→
F . d
→
γ
→
F (x, y, z) = x2zx̂ + 2xzŷ + x2ẑ
γ(t) = (t, t2, 2t2)
1
2
3
4
5
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira
o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral de linha é uma ferramenta matemática
usada para calcular a soma de infinitos produtos de
um campo vetorial e um vetor diferencial ao longo de
uma curva. Neste caso, o campo vetorial é dado por
 e a curva C é
definida pela equação , para 0≤t≤1.
Ao realizar a integral de linha, obtemos o valor 3, que
corresponde à alternativa C.
→
F (x, y, z) = x2zx̂ + 2xzŷ + x2ẑ
γ(t) = (t, t2, 2t2)
A
B
C
D
E
9 Marcar para revisão
Seja a região B desenhada na figura abaixo. Sabe-se que: 
.
Determine a área de B
∮
C1 xdy = 20, ∮
C2 ydx = 4, ∮
C3(ydx − xdy) = −8
12
20
24
28
30
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Resposta correta: 20
A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
Determine a integral de linha , onde a
curva C é um retângulo centrado na origem, percorrido no
sentido anti-horário, com lados (1,2), ( -1,2),  (-1, -2) e (1,
-2).
∮
C
eydx + 4xeydy
3(e2 − e−2)
6(e−2 + e2)
4(e−2 − 2e2)
3(2e−2 − e2)
6(e−2 − e2)
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral de linha é uma ferramenta matemática
usada para calcular a integral de uma função ao
longo de uma curva. Neste caso, a curva é um
retângulo centrado na origem, percorrido no sentido
anti-horário, com os lados especificados. Ao resolver
a integral de linha dada no enunciado, chegamos à
resposta correta, que é . Isso significa
que a integral de linha da função dada ao longo da
curva especificada é igual a .
6(e−2 − e2)
6(e−2 − e2)