Para determinar se um campo vetorial \( \mathbf{F}(x, y) = P(x, y) \hat{i} + Q(x, y) \hat{j} \) é conservativo, precisamos verificar se a condição de igualdade das derivadas parciais é satisfeita, ou seja, se: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \] Vamos analisar cada uma das alternativas: 1. \( \mathbf{F}(x, y) = e^{y} \hat{i} + (4x^2 + \cos(y)) \hat{j} \) - \( P(x, y) = e^{y} \) - \( Q(x, y) = 4x^2 + \cos(y) \) - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = 8x \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = e^{y} \) - Não é conservativo. 2. \( \mathbf{F}(x, y) = 2x \hat{i} + (y^3 + x) \hat{j} \) - \( P(x, y) = 2x \) - \( Q(x, y) = y^3 + x \) - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \) - Não é conservativo. 3. \( \mathbf{F}(x, y) = 2xy \hat{i} + (yx^3 + 1) \hat{j} \) - \( P(x, y) = 2xy \) - \( Q(x, y) = yx^3 + 1 \) - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = 3yx^2 \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = 2x \) - Não é conservativo. 4. \( \mathbf{F}(x, y) = 2xy^2 \hat{i} + (y + 2yx^2) \hat{j} \) - \( P(x, y) = 2xy^2 \) - \( Q(x, y) = y + 2yx^2 \) - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = 4xy \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = 4xy \) - É conservativo. 5. \( \mathbf{F}(x, y) = (4xy + x) \hat{i} + (9xy - 3) \hat{j} \) - \( P(x, y) = 4xy + x \) - \( Q(x, y) = 9xy - 3 \) - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = 9y \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = 4x \) - Não é conservativo. Portanto, a alternativa que apresenta um campo conservativo é a 4: \( \mathbf{F}(x, y) = 2xy^2 \hat{i} + (y + 2yx^2) \hat{j} \).