Exercicio 3

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Você acertou 1 de 10 questões
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quiser.
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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região
definida por S e tem uma densidade de massa superficial . Sabe-se que
.
δ(x, y) = 3y
S = {(x, y) ∣ 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x2}


1
2


1
3


1
4


1
12


1
6
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S
e tem uma densidade de massa superficial é dado por:δ(x, y) = 3y
Ix = ∫
S
∫
x2
0
3y ⋅ y2 dy dx = ∫
1
0
∫
x2
0
3y3 dy dx = ∫
1
0
x4 dx = x5∣∣∣
1
0
= .
3
4
3
12
1
12
A
B
C
D
E
2 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Seja  determine o volume do sólido  limitado pelo plano  e
pelo paraboloide .
a > 0 S z = 0
z = a − x2 − y2


.πa2
3


.3πa2
2


.πa2
2


.πa
2


.a2
2
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A
B
C
D
E
O volume o que fica embaixo dessa função até o plano  vai ser:
Onde  é aquela região da função onde :
Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio .
Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares.
O intervalo de integração, para um círculo de raio  será:
Integrando:
xy
D z = 0
z = a − x2 − y2
0 = a − x2 − y2
x2 + y2 = a
√a
x = r cos θ
y = r sen θ
J = r
√a
D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π}
V = ∫ 2π
0 ∫ √a
0 [a − (r cos θ)2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π
0 ∫ √a
0 [ar − r3] drdθ
V = ∫
2π
0
−
∣
∣
∣
r=√a
r=0
dθ = ∫
2π
0
[( − )] dθ = ∫
2π
0
( − ) dθ
V = ∫
2π
0
dθ =
∣
∣
∣
2π
0
= (2π − 0) =
ar2
2
r4
4
a√a
2
2
√a
4
4
a2
2
a2
4
a2
4
a2θ
4
a2
4
a2π
2
3 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Determine o valor do volume formado pelo parabolóide  e
pelo plano , em unidades de valor, (u.v.).
z = 4 − x2 − y2
xy
8π.


.2π
3
π.


.3π
2
4π.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
A
B
Gabarito Comentado
O volume é dado por:
Do enunciado temos:
  e  
O volume será dado por:
Substituindo por coordenadas polares: 
z = 4 − x2 − y2 = 0
x2 + y2 = 4
0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ √4 − x2
r, θ
0 ≤ θ ≤ π/2 e 0 ≤ r ≤ 2
4 Marcar para revisão
Determine , usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região
definida por .
∬
S
sen (x2 + y2)dx dx
x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0
π
2π
C
D
E
A
B
C
D
E
3π
4π
5π
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A questão pede para determinar a integral dupla de na forma
polar, onde a região S é definida por . A integral dupla na forma polar
é uma técnica utilizada para simplificar a resolução de integrais duplas quando a região de
integração é mais facilmente descrita em coordenadas polares. Neste caso, a resposta
correta é , que é a alternativa B.
∬
S
sen (x2 + y2)dx dx
x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0
2π
5 Marcar para revisão
As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com
formas complicadas. O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em
relação a um sistema de coordenadas. Calcule as coordenadas  e  do centro de massa de um
conjunto B, sendo um quadrado delimitado por  e   , se a densidade da
região é dada por  .
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1
δ(x, y) = y


( , ) .2
3
1
2


( , ) .1
3
2
3


( , ) .1
2
1
3


( , ) .1
2
2
3


( , ) .3
2
2
3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
A
B
Gabarito Comentado
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas x e y do
ponto  que representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de
coordenadas. As coordenadas são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que:  e  
Calculando a coordenada :
e
Calculando a coordenada :
E
Logo, 
(xC, yC)
dm = δ(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1
x
y
( , )1
2
2
3
6 Marcar para revisão
As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com
formas complicadas. O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em
relação a um sistema de coordenadas. Calcule as coordenadas  e  do centro de massa de um
conjunto B, sendo um quadrado delimitado por  e   , se a densidade da
região é dada por  .
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1
δ(x, y) = y


( , ) .2
3
1
2


( , ) .1
3
2
3
C
D
E


( , ) .1
2
1
3


( , ) .1
2
2
3


( , ) .3
2
2
3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas x e y do
ponto  que representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de
coordenadas. As coordenadas são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que:  e  
Calculando a coordenada :
e
Calculando a coordenada :
E
Logo, 
(xC, yC)
dm = δ(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1
x
y
( , )1
2
2
3
A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Determine o valor do volume formado pelo parabolóide  e
pelo plano , em unidades de valor, (u.v.).
z = 4 − x2 − y2
xy
8π.


.2π
3
π.


.3π
2
4π.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O volume é dado por:
Do enunciado temos:
  e  
O volume será dado por:
z = 4 − x2 − y2 = 0
x2 + y2 = 4
0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ √4 − x2
A
B
C
D
E
Substituindo por coordenadas polares: r, θ
0 ≤ θ ≤ π/2 e 0 ≤ r ≤ 2
8 Marcar para revisão
As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em
uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma
lâmina ocupa a região triangular no plano delimitada pelas retas   e  com
densidade . Os valores da massa e o centro de massa, são respectivamente:
y = 1,x = 3 y = x + 1
ρ(x, y) = x


m = 5 u.m. ,  xC =  e yC = .9
7
17
9


m = 6 u.m. ,  xC =  e yC = .9
2
17
2


m = 7 u.m. ,  xC =  e yC = .9
5
17
9


m = 8 u.m. ,  xC =  e yC = .9
8
17
3


m = 9 u.m. ,  xC =  e yC = .9
4
17
8
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Lembrando que:
Desenhando os limites de integração:
Onde
Cálculo da massa:
Cálculo coordenada :
Cálculo coordenada :
Logo, 
0 ≤ x ≤ 3; 1 ≤ y ≤ x + 1
xc
yc
m = 9 u.  m. ,xC =  e yC = .9
4
17
8
9 Marcar para revisão
A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas
polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada
pela integral dupla 
é:
Questão 6
Corretas
Incorreta
Em branc
1 2 3
6 7 8
Lista de exercícios Integrais Duplas Sair
A
B
C
D
E


.a2π
5


.a3π
5


.a4π
5


.a5π
5


.a6π
5
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Substituindo por coordenadas polares :
E
Resolvendo por integral:
r, θ
0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a
y = √a2 − x2
y2 + x2 = a2
10 Marcar para revisão
A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas
polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valorda área dada
A
B
C
D
E
pela integral dupla 
é:


.a2π
5


.a3π
5


.a4π
5


.a5π
5


.a6π
5
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Substituindo por coordenadas polares :
E
Resolvendo por integral:
r, θ
0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a
y = √a2 − x2
y2 + x2 = a2