Exercicio 4

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a
física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante
limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é 
 .
x + y + z = 2
ρ(x,  y, z) = 2x
1.


.1
3


.
5
3


.2
3


.4
3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Desenhando os limites de integração:
A
B
C
D
E
Onde
Ao fixar , temos que  vai variar:
Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta  
.Para um ponto  determinado, a variável , varia:
A massa é dada por:
Logo,
0 ≤ x ≤ 2
x y
0 ≤ y ≤ 2 − x
xy
y = 2 − x (x, y) z
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
m = 4
3
2 Marcar para revisão
As integrais podem ser usadas para calcular a massa total de um objeto em três dimensões. Determine o
centro de massa de um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano , acima pelo cone
  e dos pelo cilindro .  
z = 0
z = r,  r ≥ 0 r = 1


(0,  0, ) .3
8
(0,  0,  0) .


( ,   ,   ) .3
8
3
8
3
8


( ,  0, ) .3
8
3
8


(0,   , 0) .3
8
Lista de exercícios Integrais Triplas Sair
A
B
C
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração a partir do enunciado:
A massa, considerando a densidade constante, é dada por:
Calculando os momentos:
Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z, temos que:
Logo,
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
⎧⎪
⎨
⎪⎩
0 ≤ z ≤ r
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π
m = ∫
2π
0
∫ 1
0
∫
r
0
ρrdzdrdθ = ρ ∫
2π
0
∫ 1
0
r ⋅ rdrdθ = ρ ∫
2π
0
( )∣
∣
1
0
dθ = ρ ⋅ 2π ⋅ = ρr3
3
1
3
2π
3
Mxy = ρ ∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ r
0
z ⋅ rdzdrdθ = ρ ∫ 2π
0
∫ 1
0
( )∣
∣
r
0
rdrdθ = ρ ∫ 2π
0
∫ 1
0
drdθ = ρ ⋅ 2π ⋅ ( )∣
∣
1
0
= ρ
z2
2
r3
2
r4
8
π
4
x̄ = ȳ = 0
z̄ = = =
Mxy
m
ρ π
4
ρ 2π
3
3
8
(x̄, ȳ , z̄) = (0, 0, )3
8
3 Marcar para revisão
Determine o valor da integral onde é o sólido que ocupa a região formada por um plano de
equações e os planos coordenados.
∫ ∫
V
∫  y dxdydz V
x + y + z = 4
4
8
16
D
E
A
B
C
D
E
32
64
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O volume do sólido é dado por . Portanto, a
resposta correta é 32.
V = ∫ ∫
V
∫  1 dxdydz = ∫ 2
0
∫ 2−x
0
∫ 4−x−y
0
1 dydzdx = 8
4 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies
bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral .∫ π
0
∫ π
0
∫ π
0
cos (u + v + w) dudvdw


.π
2
π.
2π.


.3π
2
0.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Integrando de dentro para fora.
Primeiro, integrando em relação ao :
Como a derivada de   pela regra da cadeia é:
u
sen  (u + v + w)
(sen  (u + v + w))
′
= cos  (u + v + w) ∙ (u + v + w) ′ = cos  (u + v + w) ∙ (1 + 0 + 0) =
= cos  (u + v + w)
A
B
C
D
E
Voltado a integral:
Segundo, integrando em relação ao :
Terceiro, integrando em relação ao :
Sabendo que  para qualquer 
Logo:
Portanto,
Logo,
v
sen (kπ) = 0 k ∈ Z
sen (3π) = sen (2π) = sen (π) = sen (0) = 0
= [−sen (3π) + 2sen (2π) − sen (π) − (−sen (2π) + 2sen (π) − sen (0))] = 0
5 Marcar para revisão
Determine o valor de 
1
∫
0
0
∫
x
z−x
∫
0
 6(x + z)dV
0
1
2
3
4
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
A integral é dada por:
1
∫
0
0
∫
x
z−x
∫
0
 6(x + z)dV =
1
∫
0
0
∫
x
6(x + z)dzdx =
1
∫
0
6(x + z)x ∣z=1
z=0 dx =
1
∫
0
6x2dx = x3 ∣x=1
x=0= 1
6
3
6 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a integral   em coordenadas cilíndricas, onde V é o
sólido limitado inferiormente pelo cone   e superiormente pelo paraboloide 
∭
V
 e(x2+y2)3/2
dV
z2  = x2 + y2 z  = 4 − x2 − y2
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
4
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 eρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρ2eρ
3
 senθ dzdρdθ
π
∫
0
1
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
3
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρ3 dzdρdθ
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
7 Marcar para revisão
A
B
C
D
E
A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o
volume , sabendo que  compreende a região contida dentro do cilindro  e
entre os planos  e .  
∭  
E
√x2 + y2dV E x2 + y2 = 16
z = −5 z = 4
84π.
184π.
284π
384π.
484π.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A
B
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração:
Sabemos que  e que , e que a região está dentro do cilindro , logo:
Como não temos restrição para o ângulo :
Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é :
Calculando a integral, temos:
Logo,
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
x = r cos θ y = rsenθ x2 + y2 = 16
x2 + y2 ≤ 16
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 16
r2(cos2 θ + sen2 θ)

0≤r≤4
≤ 42
θ
0 ≤ θ ≤ 2π
(r)
8 Marcar para revisão
A integração tripla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e
máximos. Desta forma, determine a integral tripla de uma função contínua arbitrária  em coordenadas
cilíndricas sobre o sólido da figura abaixo.
Fonte: YDUQS, 2023.


∭  
E
dV = ∫0 ∫ 2
0
∫ 3
0
r dzdrdθ.
π
2


∭  
E
dV = ∫ π
0
∫ 3
0
∫ 2
0
r dzdrdθ.
C
D
E
A
B
C


∭  
E
dV = ∫0 ∫ 3
0
∫ 2
0
r dzdrdθ.
π
2


∭
 
E
dV = ∫ 2
0
∫ 3
0
∫0 r dzdrdθ.
π
2


∭  
E
dV = ∫0 ∫ 3
0
∫ 2
0
 dzdrdθ.
π
2 r
4
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração a partir da figura:
Portanto, a integral tripla que descreve o sólido será:
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
⎧⎪
⎨
⎪⎩
0 ≤ z ≤ 2
0 ≤ r ≤ 3
0 ≤ θ ≤ π/2
9 Marcar para revisão
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a
física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante
limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é 
 .
x + y + z = 2
ρ(x,  y, z) = 2x
1.


.1
3


.5
3
D
E


.2
3


.4
3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Desenhando os limites de integração:
Onde
Ao fixar , temos que  vai variar:
Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta  
.Para um ponto  determinado, a variável , varia:
A massa é dada por:
Logo,
0 ≤ x ≤ 2
x y
0 ≤ y ≤ 2 − x
xy
y = 2 − x (x, y) z
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
m = 4
3
10 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies
bidimensionais. Dessa forma o valor da integral  é  ∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
x2 + y2 + z2 dzdydx :
A
B
C
D
E
1/2.
1.
3/2.
5/2.
0.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Primeiro integrando em relação ao z:Segundo, integrando em relação y:
Terceiro, integrando em relação x:
Logo,