UA 8 ANUIDADES - MOD BAS 2015 I

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 8: ANUIDADES – MODELO BÁSICO 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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U.A. 8: ANUIDADES - MODELO BÁSICO 
 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Entender o conceito de anuidades ou rendas certas; 
2- Classificar as diversas anuidades; 
 
3- Compreender o conceito de modelo básico de uma anuidade. 
 
4- Entender os conceitos de valor acumulado e valor atual do modelo básico de uma anuidade; 
 
5- Calcular valor acumulado e valor atual de um modelo básico de uma anuidade 
 
6- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA8. 
 
 
 
 
 
 
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 1- DEFINIÇÕES 
 
Anuidades ou Rendas Certas: é uma sucessão, finita ou infinita, de termos em geral iguais, feitos em 
datas pré-estabelecidas. 
 
Termos: são valores que constituem as anuidades; ou as rendas certas; ou as prestações; ou os 
pagamentos periódicos; ou recebimentos periódicos; ou depósitos. 
 
Intervalo de Pagamento ou Período: é o tempo decorrido entre os termos sucessivos de uma 
anuidade. 
 
Prazo de uma Anuidade: é o tempo decorrido entre o começo do primeiro intervalo de pagamento e 
o fim do último intervalo de pagamento. 
 
Anuidade Certa: quando o prazo de uma anuidade é fixo - datas do primeiro e do último pagamento 
são fixas. 
 
Anuidade Contingente: quando o prazo da anuidade depende de algum fato incerto. 
 
Anuidade Simples: quando o intervalo de pagamento e o período de capitalização dos juros 
coincidem. 
 
Anuidade Geral: quando o intervalo de pagamento e o período de capitalização dos juros não 
coincidem. 
 
 
2- CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES 
Classificaremos as anuidades de acordo com quatro dados: prazo, valor, forma, e período dos 
termos. 
 
 
2.1- Quanto ao Prazo dos Termos 
 Podem ser: 
 
a) temporárias: quando a duração for limitada 
 
b) perpétuas: quando a duração for ilimitada 
 
 
2.2- Quanto ao Valor dos Termos 
 Podem ser: 
 
a) Constantes: quando todos os termos são iguais. 
 
b) Variáveis: quando os termos não são iguais entre si. 
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2.3- Quanto a Forma dos Termos 
Podem ser: 
 
a) Imediatas: quando o primeiro termo ocorre no primeiro período, e sub-dividem- se em: 
a.1) Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrem no final dos períodos. 
 
a.2) Antecipadas ou a Vencer: quando os termos ocorrem no início dos períodos. 
 
b) Diferidas: quando o primeiro termo não ocorre no primeiro período, e subdividem-se em: 
 
b.1) Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrem no final dos períodos, ou seja, 
após desconsiderada a carência, o primeiro termo ocorre um período após o término da 
carência ou deferimento. 
 
b.2) Antecipadas ou a Vencer: quando os termos ocorrem no início dos períodos, ou seja, 
após desconsiderada a carência, o primeiro termo coincide com o final da carência ou 
deferimento. 
 
2.4- Quanto ao Período dos Termos 
 Podem ser: 
 
a) Periódicas: quando todos os intervalos entre os termos são iguais. 
 
b) Não-Periódicas: quando os intervalos entre os termos não são iguais. 
 
 
2.5- Quadro de Resumo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anuidades 
Certas 
Periód. 
Não periódicas 
Temporárias 
Perpétuas 
Const. 
Variáváveis
Imediatas 
Diferidas 
Postecipadas 
Antecipadas 
Contigentes 
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3- MODELO BÁSICO DE ANUIDADES 
3.1- Introdução 
 Entendemos, por modelo básico de anuidades, as anuidades que são simultaneamente: 
temporárias, constantes, imediatas postecipadas, e periódicas. 
 
 
3.2- Valor Acumulado 
 O valor acumulado "S" de uma anuidade simples de "n" termos feitos no fim dos períodos é o 
valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos no final do prazo da anuidade, isto é, no 
final do último período - último termo. 
 
A representação gráfica do modelo de uma Anuidade Postecipada é a seguinte: 
 
 
Anuidade Postecipada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 S : Valor Acumulado ou Montante de uma Anuidade: [$] 
 R : Termos de uma Anuidade: [$/T] 
 n : Número de Termos durante o Prazo da Anuidade 
 i : Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização): [1/T] 
 
Assim, o valor acumulado "S" no fim de um número de períodos (prazo) é: 
 
S = R + R (1 + i) + R (1 + i)2 + R (1 + i)3 + … + R (1 + i)n−1 (1) 
R 
0 1 n − 1 
Prazo = n 
2 n 
R R R 
Início Fim 
1º período 
de capitaliz. 
 Valor Acumulado = S 
R = [$/T] ⇒ Termos Postecipados 
Início do Prazo 
Fim do Prazo 
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Multiplicando ambos os membros da equação por (1+ i) fica: 
 
S (1 + i) = R (1 + i) + R (1 + i)2 + R (1 + i)3 + … + R (1 + i)n (2) 
 
Subtraindo a equação (2) da equação (1) fica: 
 S i = R (1 + i)n − R 
 S i = R [(1 + i)n − 1] 
 S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
Onde: (1 + i)n − 1 = sn i 
 i 
O fator de acumulação para "n" termos, ou valor acumulado de $ 1,00 por período para "n" 
termos. (lê-se "ângulo n em i"). 
 
 O fator sn i pode ser calculado, conforme expressão acima, ou então procurado em tabelas 
financeiras, onde o resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais. 
 
 
Ex. 1: Achar o valor acumulado para quinze termos mensais vencidos de $ 200 e taxa de juros de 12% 
ao semestre acumulado mensalmente. 
 
 R = $ 200/mês i = (12%) (1/6) = 2% a.m. n = 15 S = ? 
Solução: S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
S = 200 [(1,02)15 − 1] ou S = 200 (s15 2%) 
 0,02 
 
S = 200 (1,35 − 1) ou S = 200 (s15 2%) 
 0,02 
S = 200 (17,50) = $ 3.500 
Resposta: $ 3.500 
 
 
Nota: Os arredondamentos se forem feitos tem que ser no mínimo duas casas decimais. 
 
 
Usando a memória da calculadora: 
 
S = 200 [(1,02)15 − 1] (1/0,02) ou S = 200 (s15 2%) 
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S = $ 3.458,68 
Resposta: $ 3.458,68 
 
Ex. 2: Achar o fator de acumulação de uma anuidade postecipada para um ano e meio a uma taxa de 
juros de 3% a.t. 
 
 i = 3% a.t. prazo = 1,5 anos ⇒ n = (1,5) (4) = 6 trim. sn i = ? 
Solução: [(1 + i)n − 1] = (sn i) 
 i 
s6 3% = (1,03)6 − 1 
 0,03 
s6 3% = 1,1941 − 1 
 0,03 
 
s6 3% = 0,1941 
 0,03 
s6 3% = 6,47 
Resposta: 6,47 
 
 
Ex. 3: Achar o montante de uma anuidade de $ 350 por semestre durante seis anos e meio se o 
dinheiro valer 1% a.m. capitalizado semestralmente. 
 
R = $ 350/sem. i = (1%) (6) = 6% a.s. n = (6,5) (2) = 13 
S = ? 
Solução: Data Focal = Treze semestres. 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
S = 350 [(1,06)13 − 1] ou S = 350 (s13 6%) 
 0,06 
S = 350 (18,8821) 
S = $ 6.608,74Resposta: $ 6.608,74 
 
 
Ex. 4: A fim de constituir uma poupança, uma pessoa deposita $ 1.480 no fim de cada quadrimestre, 
numa instituição financeira que paga 7% a.q. Qual será seu montante no fim de seis semestres? 
 
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R = $ 1.480/quad i = 7% a.q. 
Prazo = 6 sem = 36 meses = 9 quad. => n = 9 dep. quad. S = ? 
Solução: Data Focal = Nove quadrimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 9) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
 
∑ Dep.(DF = 9) = 1.480 [(1,07)9 − 1] ou S = 1.480 (s9 7%) 
 0,07 
∑ Ret.(DF = 9) = 0 
Saldo(DF = 9) = X 
∑ Dep.(DF = 9) − ∑ Ret.(DF = 9) = Saldo(DF = 9) 
1.480 [(1,07)9 − 1] − 0 = X ou 1.480 (s9 7%) − 0 = X 
 0,07 
Equação de Valor na DF = 9 quadr.: 1.480 [(1,07)9 − 1] = X 
 . 0,07 . 
Ou 
 
Equação de Valor na DF = 9 quadr.: 1.480 (s9 7%) = X 
1.480 (11,9780) = X 
X = $ 17.727,44 
Resposta: $ 17.727,44 
 
 
Ex. 5: Um investidor fez depositou trimestrais vencidos de $ 450 durante trinta meses em um 
determinado investimento cuja rentabilidade foi 8,4% a.s. capitalizado trimestralmente. Calcular o 
saldo após o último depósito. 
 
R = $ 1.480/quad 
0 1 9 
 S n = 9 
i = 7% a.q Quad. 
DF 
Saldo = X = ? 
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R = $ 450/trim i = (8,4%) (1/2) = 4,2% a.t. 
 Prazo = 30 meses n = (30) (1/3) = 10 
Saldo = X = ? 
Solução: Data Focal = Dez trimestres 
 
 
∑ Dep.(DF = 10) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
 
 
∑ Dep.(DF = 10) = S = 450 [(1,042)10 − 1] ou S = 450 (s10 4,2%) 
 0,042 
∑ Ret.(DF = 10) = 0 
Saldo(DF =10) = X 
 ∑ Dep.(DF = 10) − ∑ Ret.(DF = 10) = Saldo(DF = 10) 
450 [(1,042)10 − 1] − 0 = X ou 450 (s10 4,2%) − 0 = X 
 0,042 
Equação de Valor na DF = 10 trim.: 450 [(1,042)10 − 1] = X 
 . 0,042 . 
Ou 
Equação de Valor na DF = 10 trim.: 450 (s10 4,2%) = X 
450 (12,1181) = X 
X = $ 5.453,15 
Resposta: $ 5.453,15 
 
 
Ex. 6: Um estudante efetuará depósitos mensais postecipados de $ 780 durante quatro anos, em uma 
poupança. Este dinheiro se destinará ao custeamento de sua formatura. Se a taxa de juros da poupança 
for 6% a.q. composta mensalmente, quanto ele poderá resgatar no final do prazo? 
R = $ 450/trim 
0 1 10 
S n = 10 
i = 4,2% a.t Trim. 
DF 
Saldo = X = ? 
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R = $ 780/mês i = (6%) (1/4) = 1,5% a.m. 
 Prazo = (4) (12) = 48 meses n = 48 
Saldo = X =? (final do prazo => após último depósito) 
Solução: Data Focal = Quarenta e oito meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) = X 
 
∑ Dep.(DF = 48) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
 
Dep.(DF = 48) = 780 [(1,015)48 − 1] ou S = 780 (s48 1,5%) 
 0,015 
∑ Ret.(DF = 48) = 0 
Saldo(DF = 48) = X 
Equação de Valor na DF = 48 meses: 780 (s48 1,5%) = X 
780 (69,5652)
 
 = X 
 X = $ 54.260,86 
Resposta: $ 54.260,86 
 
 
Ex. 7: Foram feitos vinte depósitos mensais postecipados de $ 1.350 em um fundo. Calcular o saldo 
um ano após o último depósito para uma taxa de juros de 10% a.q. acumulado mensalmente. 
 
R = $ 1.350/mês i = (10%) (1/4) = 2,5% a.m. n = 20 
 Saldo = X =? (um ano após último depósito: 20 + 12 = 32) 
Solução: Data Focal = Trinta e dois meses 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
R = $ 780/mês 
0 1 48 
S 
n = 48 
i = 1,5% a.m. Meses 
DF 
Saldo = X = ? 
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∑ Dep(DF = 32) = S (1,025)12 = R [(1 + i)n − 1] (1,025)12 = R (sn i) (1,025)12 
 i 
∑ Dep(DF = 32) = 1.350 [(1,025)20 − 1] (1,025)12 = (1.350) (s20 2,5%) (1,025)12 
 0,025 
∑ Ret.(DF = 32) = 0 
Saldo(DF = 32) = X 
1.350 [(1,025)20 − 1] (1,025)12 − 0 = X 
 0,025 
Equação de Valor na DF = 32meses: 1.350 (s20  2,5%) (1,025)12 = X 
1.350 (25,5447) (1,3449) = X 
X= $ 46.379,34 
Resposta: $ 46.379,34 
 
 
Ex. 8: Joana depositou inicialmente em um fundo $ 34.000; depois ela fez mais seis depósitos 
bimestrais vencidos de $ 1.760 neste mesmo fundo. Sabendo-se que a rentabilidade do fundo foi 4% 
a.b, qual será o valor acumulado após o último depósito? 
 
Dep. Inicial = $ 34.000 i = 4% a.b. n = 6 
R = $ 1.760/bim. Saldo = X = ? 
Solução: Data Focal = Seis bimestres 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 6) = Dep. Inicial(DF = 6) + S(DF = 6) 
Dep. Inicial(DF = 6) = 34.000 (1,04)6 
 
S(DF = 6) = R [(1 + i)n − 1] = 1.760 [(1,04)6 − 1] = 1.760 (s6 4%) 
 i 0,04 
R = $ 1.350/mês 
0 1 20 
DF 
S 
n = 20 
i = 2,5% a.m. 
Meses 
Saldo = X = ? 
32 
(1,025)12 
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∑ Dep.(DF = 6) = 34.000 (1,04)6 + 1.760 (s6 4%) 
∑ Ret.(DF = 6) = 0 
Saldo(DF = 6) = X 
34.000 (1,04)6 + 1.760(s6 4%) − 0 = X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na DF = 6 bim.: 34.000 (1,04)6 + 1.760 (s6 4%) = X 
34.000 (1,2653) + 1.760 (6,6330) = X 
X = 43.020,20 + 11.674,08 
X
 
= $ 54.694,28 
Resposta: $ 54.694,28 
 
 
Ex. 9: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 155.000; depois foram feitas retiradas 
trimestrais de $ 3.100 durante nove semestres desta mesma poupança. Se a mesma pagar uma taxa de 
juros de 3,5% a.t, qual será o saldo após a última retirada? 
 
Dep. Inicial = $ 155.000 i = 3,5% a.t. 
R = ($ 3.100/trim) n = (9) (2) = 18 Saldo = X = ? 
Solução: Data Focal = Dezoito trimestres 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 18) = Dep. Inicial(DF = 18) = 155.000 (1,035)18 
∑ Ret(DF = 18) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
R = $ 1.760/bim. 
0 1 6 
DF 
S n = 6 
i = 4% a.b. Bim. 
Saldo = X = ? 
$ 34.000 
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∑ Ret(DF = 18) = 3.100 [(1,035)18 − 1] ou S = 3.100 (s18 3,5%) 
 0,035 
Saldo(DF = 18) = X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na DF = 18 trim.: 155.000 (1,035)18 − 3.100 (s18 3,5%) = X 
155.000 (1,8575) − 3.100 (24,4997) = X 
287.912,50 − 75.949,07 = X 
X
 
= $ 211.963,43 
Resposta: $ 211.963,43 
 
 
 
NOTA: 
 � Como não está explícito no enunciado se os termos são vencidos, isto é, postecipados, 
(final de cada período) serão sempre vencidos. 
 
 
 
Ex. 10: Bia depositou ao final de cada bimestre $ 950 durante dois anos em um fundo, e depois fez 
mais dois depósitos iguais de $ 3.700 um noterceiro ano e o outro no final do quarto ano. Qual será o 
saldo do fundo no início do sexto ano para uma taxa de juros de 4% a.b? 
 
R = $ 950/bim. i = 4% a.b. n = (2) (6) = 12 
 Depósitos: $ 3.700 (3o ano ⇒ final do 3o ano); e $ 3.700,00 (final do 4o ano) 
R = $ 3.100/trim. 
0 1 18 
DF 
S 
n = 6 
i = 3,5% a.t.. 
Trim. 
Saldo = X = ? 
$ 155.000 
0 
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Saldo = X =? (início do 6o ano ⇒ final do 5o ano: 5 x 6 = 30 bim.) 
Solução: Data Focal = Trinta bimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 30) − ∑ Ret.(DF = 30) = Saldo(DF = 30) 
∑ Dep.(DF = 30) = (950) (s12  4%) (1,04)(DF − 12) + 3.700 (1,04)(DF − 18) + 3.700 (1,04)(DF − 24) 
∑ Dep.(DF = 30) = (950) (s12  4%) (1,04)(30 − 12) + 3.700 (1,04)(30 − 18) + 3.700 (1,04)(30 − 24) 
∑ Dep.(DF = 30) = (950) (s12  4%) (1,04)18 + 3.700 (1,04)12 + 3.700 (1,04)6 
∑ Ret.(DF = 30) = 0 
Saldo(DF = 30) = X (1,04)(DF − 30) = X (1,04)(30− 30) = X (1,04)0 = X 
Equação de Valor (DF = 30 bim. ): (950) (s12 4%) (1,04)18 + 3.700(1,04)12 + 3.700(1,04)6 = X 
X = 28.917,55 + 5.923,82 + 4.681,68 
X = $ $ 39.523,05 
Resposta: $ 39.523,05 
 
 
Ex. 11: Carlos depositou durante três anos e meio, $ 1.900 por trimestre em um fundo, depois fez uma 
retirada deste mesmo fundo no final do quarto ano. Se o saldo um semestre após a retirada for $ 30.170 
e a rentabilidade do fundo for 3% a.t, quanto foi retirado do fundo? 
 
R = $ 1.900/trim. ⇒ n = (3,5) (4) = 14 
Ret = X = ? (final do 4o ano ⇒ (4) (4) =16 trim.) 
R = $ 950/bim. 
0 1 12 
S 
n = 15 
i = 4% 
a.. 
 Bim. 
DF 
Saldo = X = ? 
18 24 
$ 3.700 $.3.700 
30 
 Termos postecipados 
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14
i = 3% a.t. 
Saldo = $ 30.170 (um semestre após última retirada) 
Solução: Data Focal = Dezoito Trimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 18) − ∑ Ret.(DF = 18) = Saldo(DF = 18) 
∑ Dep.(DF = 18) = S (1,03)(DF − 14) 
∑ Dep.(DF = 18) = (1.900) [(1,03)14 − 1] (1,03) (18 − 14) = (1.900) [(1,03)14 − 1] (1,03)4 
 0,03 0,03 
∑ Ret.(DF = 18) = X (1,03)(DF − 16) = X (1,03)(18 − 16) = X (1,03)2 
Saldo(DF = 18) = 30.370 (1,03)(DF − 18) = 30.370 (1,03)(18 − 18) = 30.370 (1,03)(0) = 30.370 
1.900 (s14 3%) (1,03)4 − X (1,03)2 = 30.170 
Equação de Valor (DF = 18 trim. ): 1.900 (s14 3%) (1,03)4 − X (1,03)2 = 30.170 
36.538,54 − 30.170,00 = X (1,03)2 
X = 6.368,54 = $ 6.002,96 
 (1,03)2 
Resposta: $ 6.002,96 
 
 
Ex. 12: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 67.000; em seguida foram feitos quinze 
depósitos mensais de $ 1.740; depois foram feitas duas retiradas iguais a $ 25.800, uma no 20º mês e a 
outra no início do 26º mês. Calcular o saldo no final do 29º mês para uma taxa de juros de 4% a.m. 
 
Dep. Inicial = $ 67.000 R = ($ 1.740/mês) → n = 15 
Ret. = $ 25.800 (final do 20º mês) 
R = $ 1.900/trim. 
0 1 14 
S 
n = 14 
i = 3% a.t. 
Trim. 
$ 30.170 
16 
X 
18 
 Termos postecipados 
Anuidade – Modelo Básico 
DF 
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15
Ret. = $ 25.800 (início do 26º mês ⇒ final do 25º mês) 
i = 4% a.m. 
Saldo (29º mês) = X = ? 
Solução: Data Focal = Vinte e nove meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 29) = 67.000 (1,04)(29 − 0) + 1.740 (s15 4%) (1,04) (29 − 15) 
∑ Dep.(DF = 29) = 67.000 (1,04)29 + 1.740 (s15 4%) (1,04)14 
∑ Ret.(DF = 29) = 25.800 (1,04)(29 −20) + 25.800 (1,04)(29 −25) 
∑ Ret.(DF = 29) = 25.800 (1,04)9+ 25.800 (1,04)4 
Saldo(DF = 29) = X (1,04)(29 −29) = X (1,04)(0) = X 
Equação de Valor (DF = 29 meses ): 
 67.000 (1,04)29 + 1.740 (s15 4%) (1,04)14 − 25.800 (1,04)9 − 25.800 (1,04)4 = X 
208.949,65 + 60.333,41 − 36.721,44 − 30.182,35 = X 
X
 
= $ 202.379,27 
Resposta: $ 202.379,27 
 
 
Ex. 13: Pedro deve vinte pagamentos mensais vencidos de $ 1.800. Não podendo pagar nestes prazos 
de vencimento pretende substituir por três pagamentos iguais, vencendo respectivamente no 17º; 26º e 
30º mês. Qual será o valor de cada pagamento se for cobrada uma taxa de juros nesta transação de 
4,5% a.m? 
 
R = $ 1.740/mês 
0 1 15 
DF 
S 
n = 15 
i = 4% a.m. 
meses 
$ 67.000 
20 25 29 
$ 25.800 $ 25.800 
Saldo = X = ? 
Termos postecipados 
Anuidade – Modelo Básico 
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16
R = ($ 1.800/mês) → n = 20 
3 pagam. (vencendo: 17º; 26º e 30º mês) → X1 = X2 = X3 = X =? 
i = 4,5% a.m. 
Solução: Data Focal = Trinta meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 30) = 1.800 (s20 4%) (1,045)(30 − 20) = 1.800 (s20 4%) (1,045)10 
∑ Ret.(DF = 30) = X (1,045)(30 − 17) + X (1,045)(30 − 26) + X (1,045)(30 − 30) 
∑ Ret.(DF = 30) = X (1,045)13 + X (1,045)4 + X (1,045)0 
∑ Ret.(DF = 30) = X (1,045)13 + X (1,045)4 + X 
Saldo(DF = 30) = 0 
1.800 (s20 4,5%) (1,045)10 − X (1,045)13 − X (1,045)4 − X = 0 
Equação de Valor (DF = 30 meses ): 
 1.800 (s20 4,5%) (1,045)10 = X (1,045)13 + X (1,045)4 + X 
(1.800) [(1,045)20 − 1] (1,045) (10) = X (1,045)13 + X (1,045)4 + X 
 0,045 
(1.800) (31,37) (1,55) = X (1,77) + X (1,19) + X 
 (56.466) (1,55) = (1,77+ 1,19 + 1) X 
(87.522,30) = 3,96 X 
X = $ 22.101,59 
Resposta: $ 22.101,59 
R = $ 1.800/mês 
0 1 17 
DF 
S 
n = 20 
i = 4,5% a.m. 
meses 
 X 
20 26 30 
X X 
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17
3.3- Valor Atual 
 O valor descontado, "A", de uma anuidade simples de "n" termos feitos no final dos períodos é 
o valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos, no início do prazo, isto é, o início do 
primeiro período. 
 Uma vez que "A" e "S" são valores datados do mesmo conjunto de termos eles devem ser 
equivalentes entre si. 
 
Lembrando que: S = P (1 + i)n 
e S = R
 
(sn i) = R [(1 + i)n − 1] 
 i 
então: P (1 + i) n = R
 
(sn i) 
Como P se equivale a A, então fica: 
 A = R
 
[1 + i)n − 1] 
 (i) (1 + i)n 
Logo: A = R [1 − (1 + i)−n] Ou A = R (an i) 
 i 
Onde: 
an i = 1 − (1 + i)−n 
 i 
O fator an i (lê-se "a ângulo n em i") é chamado de fator de desconto de "n" termos, ou o 
valor descontado de $ 1,00 por período. 
 
O fator an i pode ser calculado, conforme expressão acima, ou então também procurado em 
tabelas financeiras, onde o resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais. 
 
A representação gráfica é a seguinte: 
 
 
 
Anuidade Postecipada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
0 1 n − 1 
Prazo = n 
2 n 
R R R 
Início Fim 
1º período 
de capitaliz. 
Início do Prazo 
Fim do Prazo 
A = Valor Atual 
R = [$/T] ⇒ Termos PostecipadosUFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 8: ANUIDADES – MODELO BÁSICO 
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18
Onde: 
 A: Valor Atual ou Valor Descontado de uma Anuidade: [$] 
 
 
Ex. 14: Achar o valor atual e uma anuidade de $ 380 feitos no fim de cada mês durante três anos a uma 
taxa de juros de 6% a.t. acumulados mensalmente. 
 
R = $ 380 / mês i = (6%) (1/3) = 2% a.m. 
prazo = 3 anos ⇒ n = (3) (12) = 36 A = ? 
Solução: A = R [1 − (1 + i)−n] ou A = R (an i) 
 i 
A = 380 (a36 2%) = 380 [1 − (1 + 0,02)−36] ou A = (380) (a36 2% ) 
 0,02 
A = 380 (a36 2%) = 380 [1 − (1,02)−36] 
 0,02 
 
A = 380 (a36 2%) = 380 (1 − 0,49) 
 0,02 
A = 380 (a36 2%) = (380) (25,50) (Arredondamento: no mínimo duas casas decimais) 
A = $ 9.690 
Resposta: $ 9.690 
Usando a memória da calculadora: 
A = 380 [1 − (1,02)−36] ou A = (380) (a36 2% ) 
 0,02 
A = $ 9.685,76 
Resposta: $ 9.685,76 
 
Ex. 15: Achar o fator de valor atual de uma anuidade de quinze termos quadrimestrais a uma taxa de 
juros de 4,8% a.q. a partir do fator de acumulação desta mesma anuidade que é 21,26. 
 
n = 15. i = 4,8% a.q. (s15 4,8%) = 21,26 an i = ? 
Solução: an i = (sn i) (1 + i)−n 
an i = (21,26) (1,048)−15 
an i = 10,52 
Resposta: 10,52 
 
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19
Ex. 16: Qual seria o preço à vista de um terreno, se a prazo são necessárias vinte prestações trimestrais 
postecipadas de $ 870; sendo que a taxa de juros cobrada no financiamento é 8% a.s. capitalizada 
trimestralmente? 
 
Preço à vista = X = ? R = $ 870/trim n = 20 i = (8%) (1/2) = 4% a.t. 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = A = R (an i) = R [1 − (1 + i)−n] 
 i 
Prestações(DF = 0) = 870 (a20 4%) = 870 [1 − (1,04)−20] 
 0,04 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto(DF = 0) = X 
 
Equação de Valor (DF = Zero ): 870 (a20 4%) = X 
X = (870) (13,59) 
X = $ 11.823,30 
Resposta: $ 11.823,30 
 
 
Ex. 17: Uma moto, a prazo está sendo vendida por $ 2.500 de entrada e o restante em prestações 
mensais vencidas de $ 270 durante dois anos e meio. Qual seria o preço à vista da moto, se a taxa de 
juros cobrada no financiamento for 3,5% a.m. 
 
X 
0 1 20 
Prazo = n = 20 
i = 4% a.t. 
trim 
R = $ 870/trim 
A 
DF 
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20
Preço à vista = X = ? i = 3,5% a.m. Entrada = $ 2.500 
 R = $ 270/mês prazo = 2,5 (12) = 30 meses ⇒ n = 30 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 2.500 
Prestações(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
Prestações(DF = 0) = 270 [1 − (1,035)−30] = 270 (a30 3,5%) 
 0,035 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto = X 
Equação de Valor na DF = Zero: 2.500 + 270 (a30 3,5%) = X 
2.500 + 270 (18,39) = X 
2.500 + 4.965.30 = X 
X = $ 7.465,30 
Resposta: $ 7.465,30 
 
 
Ex. 18: Quanto tem que ser depositado hoje em uma poupança para poder fazer serem feitas retiradas 
ao final de cada bimestre de $ 1.950; sabendo-se que a rentabilidade da poupança é 3% a.m. composto 
bimestralmente e o número de retiradas dezesseis? 
X = ? 
0 1 30 
DF 
Prazo = n = 30 
i = 3,5% a.m. 
$ 2.500 
meses 
R = $ 270/mês 
A 
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21
Dep. inicial = X = ? i = (3%) (2) = 6% a.b. 
R = $ 1.950/bim. n = 16 
Saldo = 0 
Solução: Data Focal = Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = Dep. Inicial(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
∑ Ret.(DF = 0) = 1.950 [1 − (1,06)−16] = 1.950 (a16  6%) 
 0,06 
Saldo(DF = 0) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na DF = Zero: X − 1.950 (a16  6%) = 0 
X = 1.950 (10,1059) 
X = $ 19.706,51 
Resposta: $ 19.706,51 
 
 
Ex. 19: O preço à vista de uma lancha é $ 81.000; e a prazo tem que dar uma entrada e mais trinta e 
quatro prestações mensais de $ 2.700. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 30% a.a. 
capitalizada mensalmente, qual será o valor da entrada? 
 
Preço à vista = $ 81.000 i = (30%) (1/12) = 2,5% a.m. 
R = $ 2.700,00/mês n = 34 
Entrada = X = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
X = ? 
0 1 16 
DF 
A 
n = 16 
i = 6% a.b. 
Bim. 
R = $ 1.950/bim. 
Saldo = 0 
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22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = X 
Prestações(DF = 0) = A = 2.700 [1 − (1,025)−34] ou A = 2.700 (a34  2,5%) 
 0,025 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto(DF = 0) = $ 81.000 
Equação de Valor (DF = Zero ): X + 2.700 (a34  2,5%) = 81.000 
81.000 − 2.700 (22,7238) = X 
81.000, − 61.354,26 = X 
X = $ 19.645,74 
Resposta: $ 19.645,74 
 
 
NOTA: 
 � Como não está explícito no enunciado se os termos são vencidos, isto é, postecipados, 
(final de cada período) serão sempre vencidos (ao final de cada período). 
 
 
 
Ex. 20: Inicialmente foi depositado uma determinada quantia em um fundo de investimento, depois 
forem feitas retiradas bimestrais de $ 850 durante dois anos e meio. Se ainda restar um saldo de $ 
4.500 um ano após a última retirada e se a rentabilidade do fundo for 3,8% a.b; quanto foi depositado 
inicialmente no fundo? 
$ 81.000 
0 1 34 
DF 
A 
n = 34 
i = 2,5% a.m. 
X = ? 
meses 
R = $ 2.700/mês 
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23
Dep. inicial = X = ? i = 3,8% a.b. 
R = $ 850/bim n = (2,5) (6) = 15 Saldo = $ 4.500 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 0) = Dep. Inicial(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
A = 850 [1 − (1,038)−15] ou A = 850 (a15  3,8%) 
0,038 
Saldo(DF = 0) = 4.500 (1,038)(DF − 21) = 4.500 (1,038)(0 − 21) = 4.500 (1,038)− 21 
Equação de Valor (DF = Zero ): X − 850 (a15  3,8%) = 4.500 (1,038)−21 
 X = 850 (a15  3,8%) + 4.500 (1,038)−21 
X = 9.584,18 + 2.056,21 
X = $ 11.640,39 
Resposta: $ 11.640,39 
 
 
 
 
 
 
X = ? 
0 1 15 
DF 
A 
n = 15 
i = 3,8% a.b Bim. 
R = $ 860/bim. 
Saldo = $ 4.500 
21 
 Termos postecipados 
Anuidade – Modelo Básico 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
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25
Lembrete: 
 1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
 2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
 3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O 
ideal seria usar a memória da calculadora. 
 
 
 
1) São feito vinte depósitos mensais postecipados de $ 760 em uma poupança. Se a taxa de juros da 
poupança for 24% a.s. capitalizado mensalmente, qual será o valor acumulado após o último depósito? 
 
2) Saulo depositou ao final de cada trimestre $ 1.350 durante dois anos e meio em um fundo. Se a 
rentabilidade do fundo foi 3,7% a.t, qual será o montante? 
 
3) Se Ana fizer quinze depósitos vencidos quadrimestrais de $ 2.800 à uma taxa de juros de 4,5% a.q, 
qual será o valor de resgate? 
 
4) Um atacadista depositou inicialmente em uma poupança $ 23.000, depois ele fez mais treze 
depósitos mensais de $ 1.100. Se a rentabilidade foi 3% a.m, qual será o saldo da poupança após o 
último depósito? 
 
5) São feitos depósitos ao final de cada bimestre em um fundo durante três anos, $ 820. Calcular o 
saldo do fundo no quarto ano a uma taxa de juros de 2,5% a.b. 
 
6) Foi depositado inicialmente 48.000 depois são feitas trinta retiradas mensais vencidas de $ 1.150 
durante. Calcular o saldo um ano após a última retirada para uma taxa de juros de 12% a.s. compostos 
mensalmente. 
 
7) São feitos depósitos postecipados de $ 930 durante quatro anos em uma poupança, e no final do 
quinto ano foi feita uma retirada de $ 30.000. Calcular o saldo no sexto ano a uma taxa de juros de 3% 
a.m. 
 
8) Foram feitos quinze depósitos mensais de $ 1.740, depois no final do 20º e no início do 26º meses 
foram feitas duas retiradas iguais a $ 13.000. Calcular o saldo no 30º mês para uma taxa de juros de 
48% a.a. composta mensalmente 
 
9) Inicialmente foi depositado em uma poupança $ 67.000; em seguida foram feitos dezoito depósitos 
trimestrais de $ 1.700; depois foi feita uma retirada no final do 22º trimestre de $ 145.000 desta mesma 
poupança. Calcular o saldo dois anos e meio após a retirada para uma taxa de juros de 1,5% a.m. 
acumulado trimestralmente. 
 
10) Foram feitos depósitos bimestrais postecipados de $ 2.450 durante quatro anos em um fundo; 
depois foram feitas duas retiradas uma no quinto ano e a outra no sexto ano. Se o saldo meio ano após 
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a última retirada for $ $ 10.300; o valor da primeira retirada for 50% superior ao valor da segunda e a 
taxa for 2,8% a.b, qual foi o valor da primeira retirada? 
 
11) Calcular o preço à vista de uma mercadoria, se a prazo tem que dar uma entrada de $ 1.900; e mais 
prestações no final de cada mês de $ 375 durante um ano e meio. A taxa de juros cobrada no 
financiamento é 13,5% a.t. capitalizado mensalmente. 
 
12) Quanto tem que ser depositado inicialmente em uma poupança para poder fazer retiradas 
trimestrais de $ 1.500 durante dois anos e meio a uma rentabilidade de 3,75% a.t? 
 
13) Um carro à vista custa $ 35 800; e a prazo tem que dar uma entrada e mais prestações mensais de $ 
2.800 durante um ano. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 18% a.q. composta 
mensalmente, qual será o valor da entrada? 
 
14) Foi depositado inicialmente em uma poupança uma determinada quantia e durante os cinco anos 
primeiros anos foram feitas retiradas semestrais vencidas de $ 6.200. Se o saldo um ano após a última 
retirada for $ 23.400; e taxa de juros 1,5% a.t. acumulada semestralmente, qual foi o depósito inicial? 
 
 
 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.8. 
 
 
1) R = $ 760/mês i = (24%) (1/6) = 4% a.m. n = 20 S = X = ? 
Solução: Data Focal = Vinte meses 
 X = 760 [(1,04)20 − 1] 
 0,04 
X = $ 22.631,34 
Resposta: $ 22.631,34 
 
2) R = $ 1.350/trim. .i = 3,7% a.t n = (2,5) (4) = 10 S = X = ? 
Solução: Data Focal = Dez trimestres 
X = 1.350 [(1,037)10 − 1] 
 0,037 
X = $ 15.984,55 
Resposta: $ 15.984,55 
 
 
3) R = $ 2.800/quad. i = 4,5% a.q. n = 15 Valor resgate = S = X = ? 
Solução: Data Focal = Quinze quadrimestres 
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X = 2.800[(1,045)15 − 1] 
 0,45 
X = $ 58.195,35 
Resposta: $ 58.195,35 
 
 
4) Dep. Inic. = $ 23.000 R = $ 1.100/mês i = 3% a.m n = 13 
Saldo = S = X = ? 
Solução: Data Focal = Treze meses 
 23.000 (1,03)(13 − 0) + 1.100 [(1,03)13 − 1] ) (1,03)(13 − 13) = X 
 0,03 
23.000 (1,03)13 + 1.100 [(1,03)13 − 1] = X 
 0,03 
X = $ 50.955,84 
Resposta: $ 50.955,84 
 
 
5) R
 
= $820/bim. n
 
=(3) (6) = 18 i = 2,5% a.b 
Saldo (4 x 6 = 24º bim) = X = ? 
Solução: Data Focal = Vinte e quatro bim. 
 820 [(1,025)18 − 1] (1,025)(24 −18 = 6) = X 
 0,025 
820 [(1,025)18 − 1] (1,025)6 = X 
 0,025 
X = $ 21.288,27 
Resposta: $ 21.288,27 
 
 
6) Dep. Inicial = $ 48.000 R
 
= $ 1.150/mês. n
 
= 30 
i = (12%) (1/6) = 2% a.m. Saldo (42º mês) = X = ? 
Solução: Data Focal = Quarenta e dois meses 
48.000 (1,02)(42 − 0) − 1.150 [(1,02)30 − 1] (1,02)(42 − 30) = X 
 0,02 
48.000 (1,02)42 − 1.150 [(1,02)30 − 1] (1,02)12 = X 
 0,02 
 
X = $ 51.100,08 
Resposta: $ 51.100,08 
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7) R
 
= $ 930/mês. n
 
= 48 
i = 3% a.m 60º mês (5 x 12) => Retirada de $ 30.000 
Saldo 72º mês (6 x 12 ) = X = ? 
Solução: Data Focal: 72º mês 
 X = 930[(1,03)48− 1] (1,03)(72 − 48 = 24) − 30.000 (1,03)(72 − 60 = 12) 
 0,03 
X = 930[(1,03)48− 1] (1,03)24 − 30.000 (1,03)12 
 0,03 
X = $ 154.611,09 
Resposta: $ 154.611,09 
 
 
8) R
 
= $ 1.740/mês. n
 
= 15 
Final 20º mês: Retirada de $ 13.000 
Início 26º mês = Final 25º mês: Retirada de $ 13.000Saldo (30º mês ⇒ Final 30 mês) = X = ? 
i = (48%) (1/12) = 4% a.m 
Solução: Data Focal: Trigésimo mês 
1.740 (s15 4%) (1,04)(30 − 15) – 13.000 (1,04)(30 − 20) − 13.000 (1,04)(30 − 25) = X 
1.740 (s15 4%) (1,04)15 – 13.000 (1,04)10 − 13.000 (1,04)5 = X 
X= $ 27.687,09 
Resposta: $ 27.687,09 
 
9) Depósito inicial = $ 67.000 i = (1,5%) (3) = 4,5% a.t 
R
 
= $ 1.700/trim. n
 
= 18 
Final 22º trim.: Retirada de $ 145.000 Saldo (22 + 10 = 32) = X = ? 
Solução: Data Focal: 32º trim. 
67.000 (1,045)(32 − 0) + 1.700 (s18 4,5%) (1,045)(32 − 18) − 145.000 (1,045)(32 − 22) = X (1,045)(32 − 22) 
67.000 (1,045)32 + 1.700 (s18 4,5%) (1,045)14 − 145.000 (1,045)10 = X 
X
 
= $ 133.396,19 
Resposta: $ 133.396,19 
 
 
10) R
 
= $ 2.450/bim. (dep.) n
 
= (4) (6) = 24 
 1ª ret. = 1,5 X → (5 X 6 = 30º bim.) 2ª ret. = X → (6 X 6 = 36º bim.) 
 Saldo = $ 10.300 → (36 + 3 = 39º bim.) 
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Solução: Data Focal: 39º trim. 
2.450 (s24 2,8%) (1,028)(39 − 24) − 1,5 X (1,028)(39 − 30) − X (1,028)(39 − 36) = 10.300 (1,028)(39 − 39) 
Solução: Data Focal: 39º bim. 
2.450 (s24 2,8%) (1,028)(15) − 1,5 X (1,028)(9) − X (1,028)(3) = 10.300 
X = $ 37.938,77 (2º ret.) 
 1,5 X = (1,5) (37.938,77) = $ 56.908,15 (1ª ret.) 
 
11) X = ? E = $ 1.900 
R = $ 375 n = 18 i = (13,5%)(1/3) = 4,5% a.m 
Solução: Data Focal = Zero 
 X = 1.900 + 375 [1 − (1,045)−18] 
 0,045 
X = $ 6.460 
Resposta: $ 6.460 
 
12) X = ? R = $ 1.500/trim. i = 3,75% a.t 
n = (2,5)(4) = 10 
Solução: Data Focal = Zero 
 X = 1.500 [1 − (1,0375)−10] 
 0,0375 
X = $ 12.319,18 
Resposta: $ 12.319,18 
 
13) Preço à Vista = $ 35.800 R = $ 2.800/mês 
i = (18%) (1/4) = 4,5% a.m. n = 38 E = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 35.800 = E + 2.800 [1 − [(1,045)−12] 
 0,045 
E = $ 10.267,97 
Resposta: $ 10.267,97 
 
14) X = ? R = $ 6.200/sem n = (5) (2) =10 
i = (1,5%)(2) = 3% a.s Saldo (12º) = $ 23.400 
 
Solução: Data Focal = Zero 
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 X − 6.200 [1 − (1,03)−10] = 23.400 (1,03) (0 − 12= −12) 
 0,03 
X = $ 69.299,55 
Resposta: $ 69.299,55 
 
QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 
1) A fim de constituir uma poupança, uma pessoa deposita $ 3.200 ao final de cada trimestre, em uma 
instituição financeira que paga 7% a.s. capitalizado trimestralmente. Qual será o montante no fim de 
dois anos? (AP2/2014/II) 
 
R = $ 3.200/trim. i = (7%) (1/2) = 3,5% a.t. 
Prazo = 2 anos prazo = (2) (4) = 8 trim. n = 8 
 S = X = ? 
Solução: Data Focal = Oito trimestres 
 
X = S = R [(1 + i)n − 1] ou X = S = R (sn i) 
 i 
 
X = 3.200 [(1,035)8 − 1] ou X = 3.200 (s8 3,5%) 
 0,035 
X = $ 28.965,40 
Resposta: $ 28.965,40 
 
2) A fim de constituir uma poupança, uma pessoa deposita $ 3.200 ao final de cada trimestre, em uma 
instituição financeira que paga 7% a.s. capitalizado trimestralmente. Qual será o montante no fim de 
dois anos? (AP2/2014/I) 
 
R = $ 3.200/trim. i = (7%) (1/2) = 3,5% a.t. 
Prazo = 2 anos prazo = (2) (4) = 8 trim. n = 8 
 S = X = ? 
Solução: Data Focal = Oito trimestres 
 
X = S = R [(1 + i)n − 1] ou X = S = R (sn i) 
 i 
 
X = 3.200 [(1,035)8 − 1] ou X = 3.200 (s8 3,5%) 
 0,035 
X = $ 28.965,40 
Resposta: $ 28.965,40 
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3) O preço à vista de um terreno é $ 65.000; e a prazo tem que dar uma entrada e mais quarenta 
prestações mensais de $ 2.670. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 3,5% a.m; qual será o 
valor da entrada? (AP3/2013/II) 
 
Preço à vista = $ 65.000 i = 3,5% a.m. R = $ 2.670 /mês 
n = 40 Entrada = X = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = X = ? 
 Prestações(DF = 0) = A = 2.670 [1 − (1,035)−40] ou A = 2.670 (a40  3,5%) 
 0,035 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto(DF = 0) = $ 65.000 
Equação de Valor (DF = Zero ): X + 2.670 (a40  3,5%) = 65.000 
65.000 − 2.670 [1 − (1,035)−40] = X 
 0,035 
X = $ 7.981,96 
Resposta: $ 7.981,96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Foi depositado ao final de cada mês $ 1.800, durante quatro anos em uma poupança. Se a 
rentabilidade da mesma for 2% a.m; qual será o saldo após o último depósito (final do 4º ano)? 
(AP3/2013/II) 
 
 
R = $ 1.800/mês. Prazo = (4) (12) = 48 i = 2% a.m. Saldo = X =? 
$ 65.000 
0 1 40 
DF 
A 
n = 40 
i = 3,5% a.m. 
X = ? 
meses 
R = $ 2.670/mês 
Modelo Básico 
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Solução: Equação de Valor: Data Focal = Quarenta e oito meses 
∑ Dep.(DF = 48) − ∑ Ret.(DF = 48) = Saldo(DF = 48) 
∑ Dep.(DF = 48) = 1.800 [(1,02)48 − 1] ou S = 1.800 (s48  2%) 
 0,02 
∑ Ret.(DF = 48) = 0 
Saldo(DF = 48) = X 
Equação de Valor: 1.800 [(1,02)48 − 1] − 0 = X 
 0,02 
 X = $ 142.836,33 
Resposta: $ 142.836,33 
5) Qual seria o preço à vista de um faqueiro, se a prazo tem que dar uma entrada de $ 750 e o restante 
em prestações mensais de $ 140 durante um ano, sendo que a taxa de juros cobrada no financiamento é 
4% a.m. (AP3/2014/I) 
 
Preço à vista = X = ? i = 4% a.m. Entrada = $ 750 
R = $ 140/mês prazo = (1) (12) = 12 meses ⇒ n = 12 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
750 + 140 [1 − (1,04)−12] = X ou 750 + 140 (a12 4%) = X 
 0,04 
X = $ 2.063,91 
Resposta: $ 2.063,91 
 
 
6) Um investidor fez depositou trimestrais postecipados de $ 830 durante quatro anos em um 
determinado investimento. Calcular o saldo no quinto ano para uma taxa de juros de 3,5% a.t. (AP3/ 
2013/I) 
 
R = $ 830/trim n = 4 x 4 = 16 
Saldo = X = ? (5º ano = 5 x 4 = 20) i = 3,5% a.t. 
Solução: Eq. de Valor: Data Focal = Vinte trimestres 
830 [(1,035)16 − 1[ (1,035)4] = X 
 0,035 
X = $ 19.973,73 
Resposta: $ 19.973,73