UA 9 ANUID - MB 2015 I

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 9: ANUIDADES – MODELO BÁSICO 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
1
 
 
U.A. 9: ANUIDADES - MODELO BÁSICO 
 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Calcular o pagamento periódico; o prazo; e a taxa de juro de um modelo básico de uma 
anuidade. 
 
2- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- Cálculo do Pagamento Periódico 
O pagamento periódico pode ser obtido das seguintes fórmulas: 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) A = R [1 − (1 + i)−n] = R an i 
 i i 
 
Ex. 1: Uma motocicleta pode ser adquirida à vista por $ 27.500; ou a prazo em vinte prestações 
mensais postecipadas. Se comprar a prazo quanto terá que pagar mensalmente, se a taxa de juros 
cobrada no financiamento é 36% a.s capitalizado mensalmente? 
 
Preço à vista = $ 27.500 i = (36%) (1/6) = 6% a.m. 
R = ? n = 20 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = E(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
E(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = A = R [1 − (1,06)−20] ou A= R (a20  6%) 
 0,06 
Preço à Vista = Preço com Desconto = $ 27.500 
Equação de Valor (DF = Zero ): R (a20  6%) = 27.500 
R [1 − (1,06)−20] = 27.500 
 0,06 
R (1 − 0,31) = 27.500 No mínimo duas casas decimais 
 0,06 
$ 27.500 
0 1 20 
DF 
A 
n = 20 
i = 6% a.m. 
meses R = ? 
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R (0,69) = 27.500 
 0,06 
R = (27.500) (0,06) 
 0,69 
R = $ 2.391,30 (Usando duas casas decimais => valor aproximado) 
Resposta: $ 2.391,30 
 
A resposta exata seria usando a memória da calculadora, então, neste caso: 
 
R [1 − (1,06)−20] = 27.500 
 0,06 
 R = $ 2.397,58 (Usando a memória da calculadora) 
Resposta: $ $ 2.397,58 
 
Nota: As respostas obtidas através dos cálculos com valores arredondados serão aceitas. 
 
 
Ex. 2: Quanto deve ser depositado ao final de cada mês, para ter um montante de $ 12.000 ao final de 
um ano, sabendo-se que a taxa de remuneração do capital será de 4% a.m? 
 
Saldo = $ 12.000 i = 4% a.m. 
R = ? n = 12 
Solução: Data Focal = Doze meses 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
∑ Dep.(DF = 12) = S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) = R [(1,04)12 − 1] = R (s12 4%) 
 i 0,04 
∑ Ret.(DF = 12) = 0 
 
R = ? ($/mês) 
0 1 12 
DF 
S 
n = 12 
i = 4% a.m. Meses 
Saldo = $ 12.000 
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Saldo(DF = 12) = 12.000 
 
Equação de Valor (DF = 12 meses): R (s12 4%) = 12.000 
R [(1,04)12 − 1] = 12.000 
 0,04 
R (1,60 − 1) = 12.000 
 0,04 
R = (12.000) (0,04) 
 0,60 
R = $ 800 (Resultado usando duas casas decimais) 
Resposta: $ 800 
Trabalhando com a memória da calculadora 
R [(1,04)12 − 1] = 12.000 
 0,04 
 R = $ 798,63 
 
Resposta: $ 798,63 (Usando a memória da calculadora) 
Nota: Pode trabalhar com mais de duas casas decimais, embora a resposta seja diferente das 
obtidas acima também será aceita nas avaliações. 
 
 
Ex. 3: Uma geladeira à vista custa $ 3.200; e a prazo tem que dar uma entrada no valor de 20% do 
preço à vista, e mais prestações mensais vencidas durante um ano e meio. Se a taxa de juros cobrada 
no financiamento for 4,4% a.m, qual será o valor da prestação mensal? 
 
Preço à vista = $ 3.200 i = 4,4% a.m. 
E = (0,2) (3.200,00) = $ 640 R = ? n = 18 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
$ 3.200 
0 1 18 
 DF 
A 
n = 18 
i = 4,4% a.m. 
$ 640 
Meses R = ? 
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Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = E(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
E(DF = 0) = $ 640 
Prestações(DF = 0) = A = R [1 − (1,044)−18] = R (a18  4,4%) 
 0,044 
Preço à Vista = Preço com Desconto = $ 3.200 
Equação de Valor (DF = Zero ): 640 + R (a18 4,4%) = 3.200 
640 + R [1 − (1,044)−18] = 3.200 
 0,044 
R [1 − (1,044)−18] = 3.200 − 640 
 0,044 
R [1 − (1,044)−18] = 2.560 
 0,044 
R = $ 208,85 
Resposta: $ 208,85 
 
 
Ex. 4: Ivo depositou inicialmente em uma poupança $ 289.000 e depois fez vinte retiradas trimestrais 
postecipadas desta mesma poupança. Se o saldo após a última retirada foi $ 46.800, e a rentabilidade 
for 11,4% a.s capitalizado trimestralmente, quanto Ivo retirou por trimestre desta poupança? 
 
Depósito Inicial = $ 289.000 
i = (11,4%) (1/2) = 5,7% a.t 
R = ? → n = 20 Saldo = $ 46.800 
Solução 1: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
$ 289.000 
0 1 20 
DF 
A 
n = 20 
i = 5,7% a.t 
trim. 
R = ? 
Saldo = $ 46.800 
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∑ Dep.(DF= 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = Dep. Inicial(DF = 0) = $ 289.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
∑ Ret.(DF = 0) = = R [1 − (1,057)−20] = R (a20  5,7%) 
 0,057 
Saldo(DF = 0) = 46.800 (1,057)−20 
Equação de Valor (DF = Zero ): 289.000 − R (a20 5,7%) = 46.800 (1,057)−20 
289.000 − R (11,7546) = 15.443,51 
273.556,49 = R (11,7546) 
R = $ 23.272,29 
 
 
Solução 2: Data Focal = Vinte trimestres 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 20) − ∑ Ret.(DF = 20) = Saldo(DF = 20) 
∑ Dep.(DF = 20) = Dep. Inicial(DF = 20) = 289.000 (1,057)20 
∑ Ret.(DF = 20) = S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
∑ Ret.(DF = 20) = R [(1,057)20 − 1] = R (s20 5,7%) 
 0,057 
Saldo(DF =20) = 46.800,00 
Equação de Valor (DF = Vinte trimestres): 
$ 289.000 
0 1 20 
DF 
n = 20 
i = 5,7% a.t 
trim. 
R = ? 
$ 46.800 
S 
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 289.000 (1,057)20 − R (s20 5,7%) = 46.800 
875.785,17 − R (35,6210) = 46.800 
828.985,17 = R (35,6210) 
R = $ 23.272,37 
Resposta: $ 23.272,37 
 
Nota: A diferença entre a solução um e a solução dois é devido o arredondamento. 
 
Se pegarmos a equação de valor que obtivemos na solução dois a seguir: 
289.000 (1,057)20 − R (s20 5,7%) = 46.800; 
e multiplicarmos esta equação por (1,057)−20, teremos: 
289.000 (1,057)20 (1,057)−20 − R (s20 5,7%) (1,057)−20 = 46.800(1,057)−20 
o que resulta a seguinte equação: 
289.000 (1,057)0 − R (s20 5,7%) (1,057)−20 = 46.800 (1,057)−20 
289.000 − R (a20  5,7%) = 46.800 (1,057)−20 
 
O que é exatamente a equação queobtivemos pela solução um, porque a equação de valor em 
regime de capitalização composto não depende da data focal escolhida. 
 
 
Ex. 5: Calcula-se que uma máquina industrial precisará ser substituída daqui a dez anos a um custo de 
$ 80.000. Quanto deve ser reservado ao final de cada ano para fornecer aquela importância se as 
economias da empresa render juros de 8% ao ano? 
 
R = ? ($/ano) n = 10 i = 8% a.a. 
Saldo = $ 80.000 
Solução: Data Focal = Dez anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 10 
 DF 
n = 10 
i = 8% a.a 
Anos 
R = ? 
S 
$ 80.000 
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∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 10) = S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) = R [(1,08)10 − 1] = R (s10 8%) 
 i 0,08 
∑ Ret = 0 
Saldo(DF = 10) = $ 80.000 
Equação de Valor (DF = Dez anos): R (s10 8%) = 80.000 
R [(1,08)10 − 1] = 80.000 
 0,08 
R = $ 5.522,36 
Resposta: $ 5.522,36 
 
 
Ex. 6: Sara deve $ 7.900 vencíveis hoje; $ 14.300 vencíveis em seis meses; e $ 19.600, vencíveis em 
um ano e meio. Não podendo pagá-los nestes prazos de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a 
fazer em dezenove pagamentos trimestrais postecipados. Qual será o valor de cada pagamento se a taxa 
de juros usada na transação for de 3% a.m. capitalizado trimestralmente? 
 
$ 7.900 → n = 0 
$ 14.300 → n = 2 trim 
$ 19.600 → n = 6trim 
R = ? ($/trim) → n = 19 i = (3%) (3) = 9% a.t. 
 
Solução 1: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
∑ Obrig.(DF = 0) = 7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 
$ 7.900 
0 1 2 
DF 
A 
n = 19 
i = 9% a.t 
trim. 
R = ? 
$ 19.600 $ 14.300 
6 
19 
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∑ Pagam.(DF = 0) = A = R [1 − (1,09)−19] = R (a19  9%) 
 0,09 
7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 = R [1 − (1,09)−19] 
0,09 
Eq. de Valor (DF = Zero): 7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 = R (a19  9%) 
7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 = R (a19  9%) 
7.900 + 12.036,02 + 11.686,84 = R (a19  9%) 
31.622,86 = R (8,95) 
R = $ 3.533,28 
Resposta: $ 3.533,28 
 
Solução 2: Data Focal = Dezenove trimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Obrig.(DF = 19) = 7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)17 + 19.600 (1,09)13 
∑ Pagam.(DF = 19) = S = R [(1,09)19 − 1] = R (s19  9%) 
 0,09 
Eq. de Valor (DF = Dezenove trimestres): 
 7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)17 + 19.600 (1,09)13 = R (s19  9%) 
 
Se pegarmos a Eq. de Valor (DF = Zero): 7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 = R (a19  9%) 
e multiplicarmos por (1,09)19 fica: 
$ 7.900,00 
0 1 2 
DF 
S 
n = 19 
trim. 
R = ? 
$ 19.600,00 $ 14.300,00 
6 
19 
i = 9% a.t 
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7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)–2 (1,09)19 + 19.600 (1,09)–6 (1,09)19 = R (a19  9%) (1,09)19 
7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)17 + 19.600 (1,09)13 = R (s19  9%) 
O que é o resultado que obtivemos na solução 2. 
 
 
 
2- Cálculo do Prazo 
 O prazo pode ser obtido das seguintes fórmulas: 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i i 
 
 O cálculo de "n" terá que ser resolvido por logaritmo neperiano (ln) ou por logaritmo 
decimal (log). 
 
 
Ex. 7: Um fundo de investimento de $ 7.998,55 deve ser acumulado em depósitos semestrais vencidos 
de $ 200. Se o fundo render 12% a.a. capitalizados semestralmente, quantos depósitos semestrais serão 
necessários para acumular tal quantia? 
 
S = $ 7.998,55 i = (12%) (1/2) = 6% a.s. 
R = $ 200/sem n = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = ”n” meses 
 
 
 
 ∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S = 200 [(1,06)n − 1] 
 0,06 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
R = $ 200/sem 
0 1 n 
DF 
S n = ? 
i = 6% a.s. Sem. 
Saldo = $7.998,55 
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Saldo(DF = n) = 7.998,55 
Eq de Valor (DF = n meses): 200 [(1,06)n − 1] = 7.998,55 
 0,06 . 
 (1,06)n − 1 = (7.998,55) (0,06) 
 200 
(1,06)n − 1= 2,39961 
(1,06)n = 2,39961 + 1 
(1,06)n = 3,3996 
Aplicando logaritmo neperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,06)n = Ln (3,3996) ou Logarítmo decimal 
Lembrando que: ln Ab = b ln A ou log Ab = b log A 
n Ln (1,06) = Ln (3,3996) 
n = Ln (3,3996) 
 Ln (1,06) 
n = 1,2237 
 0,0583 
n = 20,99 n ≈ 21 
Resposta: 21 
 
Resolvendo por Logaritmo Decimal 
Log (1,06)n = Log (3,3996) 
n Log (1,06) = Log (3,3996) 
n = Log (3,3996) 
 Log (1,06) 
n = 0,5314 = 21 
 0,0253 
 
Ex. 8: Um apartamento à vista custa $ 71.100, e a prazo tem que fazer pagamentos trimestrais 
postecipados de $ 3.850. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 4,5% a.t; quantos 
pagamentos trimestrais serão necessários na compra a prazo? 
 
Preço à vista = $ 71.100 R = $ 3.850/trim. n = ? i = 4,5% a.t. 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
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Entrada(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = A = 3.850 [1 − (1,045)−n] = 3.850 (an 4,5%) 
 0,045 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor (DF = Zero): 71.100 = 3.850 [1 − (1,045)−n]. 
 . 0,045 . 
(71.100) (0,045) = 1 − (1,045)−n 
 3.850 
(1,045)−n = 1 − 0,8310 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,045)−n = Ln (0,1690) 
Lembrando que: ln Ab = b ln A 
−n Ln (1,045) = Ln (0,1690) 
−n = Ln (0,1690) 
 Ln (1,045) 
−n = −1,7779 
 0,0440 
Multiplicando a equação acima por menos um fica: 
n = 1,7779 
 0,0440 
n = 40,4 
Resposta: 40,4 
 
 
Ex. 9: Por quanto tempo, tem que ser depositado mensalmente $ 740; em um determinado 
investimento cuja rentabilidade é 13,80% a.s. acumulado mensalmente, para no final do prazo ter $ 
27.275? 
$ 71.100 
0 1 n 
DF 
Prazo = n = ? 
i = 4,5% a.trim. 
trim. 
R = $ 3.850/trim 
A. 
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Saldo = $ 27.275 R = $ 740/mês i = (13,80%) (1/6) = 2,30% a.m. 
Prazo = n = ? 
Solução: Data Focal = ”n” meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S = 740 [(1,023)n − 1] 
 0,023 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
Saldo(DF = n) = $ 27.275,00 
Eq de Valor (DF = n meses): 740,00 [(1,023)n − 1] = 27.275,00. 
 0,023 . 
(1,023)n − 1 = (27.275) (0,023) 
 740 
(1,023)n − 1 = 0,8477 
(1,023)n = 0,8477 + 1 
(1,023)n = 1,8477 
Aplicando o logaritmoneperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,023)n = Ln (1,85) 
Lembrando que: ln A(b) = (b) ln A 
n Ln (1,023) = Ln (1,85) 
n = Ln. (1,85) 
 Ln (1,023) 
n = 0,6152 ≈ 27,10 
 0,0227 
Prazo ≈ 27 meses 
R = $ 740/mês 
0 1 n 
DF 
S Prazo = n = ? 
i = 2,30% a.m. meses 
Saldo = $ 27.275 
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Resposta: 27 meses 
 
 
NOTA: 
 � Como não está explícito no enunciado se os termos são vencidos, isto é, postecipados, 
(final de cada período) serão sempre vencidos. 
 
 
 
Ex. 10: Um apartamento à vista custa $ 455.000; e a prazo tem que dar uma entrada de $ 80.000 e mais 
prestações bimestrais de $ 11.907. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 1% a.m. 
acumulado bimestralmente, qual será o prazo do financiamento? 
 
Preço à vista = $ 455.000 E = $ 80.000 
R = $ 11.907/bim. i = (1%) (2) = 2% a.b. Prazo = n = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 80.000 
Prestações(DF = 0) = A = 11.907 [1 − (1,02)−n] = 11.907 (an 2%) 
 0,02 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 455.000 
 
Eq de Valor (DF = Zero): 80.000 + 11.907 [1 − (1,02)−n] = 455.000 
 . 0,02 . 
$ 455.000 
0 1 n 
DF 
Prazo = n = ? 
i = 2% a.b. 
Bim. 
R = $ 11.907/bim. 
A 
$ 80.000 
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80.000 + 11.907,00 [1 − (1,02)−n] = 455.000 
 0,02 
11.907 [1 − (1,02)−n] = 455.000 – 80.000 
 0,02 
11.907 [1 − (1,02)−n] = 375.000 
 0,02 
1 − (1,02)−n = (375.000) (0,02) 
 11.907 
1 − (1,02)−n = 0,6299 
1 − 0,6299 = (1,02)−n 
0,3701 = (1,02)−n 
Ln (0,3701) = Ln (1,02)−n 
Ln (0,3701) = −n Ln (1,02) 
Ln (0,3701) = −n 
 Ln (1,02) 
−0,9940 = −n 
 0,0198 
− 50,20 = −n 
Multiplicando a equação por menos um, teremos: 
50,20 = n 
Como o Prazo = n; então: 50,20 bim. 
Resposta: ≈ 50 bimestres 
 
 
 
3- Cálculo da Taxa de Juros 
 
O cálculo da taxa de juros pode ser feito através de pesquisas em tabelas financeiras ou pode 
ser calculado através da fórmula algébrica que neste caso a incógnita por estar tanto no numerador 
quanto no denominador, então teremos que calcular valor de “ i ” por tentativa e erro até acharmos a 
taxa “ i “ que torna o fator sn i = S/R ou o fator an i = A/R; que neste caso a utilização do 
método de interpolação linear seria o mais prático, pois, o número de tentativas e erros seriam 
menores, ou através de calculadoras financeiras. 
 
S = R sn i 
Onde: 
sn i = [(1 + i)n - 1] i ↑ ⇒ sn i ↑ 
 i 
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16
A = R
 
an i 
Onde: 
an i = [1 - (1 + i)-n] i ↑ ⇒ an i ↓ 
 i 
 
Ex. 11: Achar a taxa de juros por interpolação linear, na qual depósitos semestrais postecipados de $ 
500 que acumularão $ 6.000 em cinco anos. 
 
 Saldo = $ 6.000 i = ? 
R = $ 500/ sem prazo = 5 anos ⇒ n = 10 
Solução: Data Focal = Dez semestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 10) − ∑ Ret.(DF = 10) = Saldo(DF = 10) 
 
∑ Dep.(DF = 10) = S = 500 [(1 + i)10 −1] = 500 s10 i 
 i 
∑ Ret.(DF = 10) = 0 
Saldo(DF = 10) = $ 6.000 
 
Eq. de Valor (DF = Dez sem.): 500 [(1 + i)10 −1] = 6.000 
 i . 
 [(1 + i)10 −1] = 6.000 
 i 500 
s10 i = 12 
1o. Chute: i = 7% a.s. 
s10 7% = [(1,07)10 −1] = 13,82 
 0,07 
Como: 13,82 é maior que 12; então, temos que diminuir a taxa (sn i ↓ ⇒ i ↓) 
R = $ 500/sem. 
0 1 10 
DF 
 S n = 10 
i = ? 
Sem. 
Saldo = $ 6.000 
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2o. Chute: i = 5% a.s. 
s10 5% = [(1,05)10 −1] 
 0,05 
 s10 5% = 12,58 
Como: 12,58 é maior que 12; então, temos que diminuir a taxa (sn i ↓ ⇒ i ↓) 
3o. Chute: 3% a.s. 
s10 3% = [(1,03)10 −1] 
 0,03 
 s10 3% = 11,46 
Como o valor 11,46 é menor que o valor 12; então; temos dois valores de s10 i sendo um maior 
que 12 (s10 5% = 12,58) e outro menor que 12,00 (s10 3% = 11,46); portanto, agora podemos fazer uma 
interpolação linear entre esses valores mais próximos de 12 que são 12,58, para taxa igual a 5% e 
11,46 para a taxa igual a 3%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x = . 5% − 3% . 
12,00 − 11,46 2,58 − 11,46 
 x = 2% 
 0,54 1,12 
x = (2%) (0,54) ⇒ x = 0,96% 
1,12 
11,46 
12, 
12,58 
s10 i 
3% i = ? 5% 
i% (a.s) 
0 
x 
i = 3% + x 
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i = 3% + x 
i = 3% + 0,96 
i ≅ 3,96% a.s. 
Para uma taxa de 3,96% o fator: s10 3,96% = 11,98 ≅ 12,00 
Resposta: ≅ 3,96% a.s 
 
 
Ex. 12: Um comerciante vende um artigo por $ 540 à vista. Ele lhe permite comprá-lo por $ 860 de 
entrada, e o saldo a ser pago em prestações mensais de $ 450 durante dois anos. Qual é a taxa de juros 
aproximada por interpolação linear que está sendo cobrada no crediário? 
 
Preço à Vista = $ 5.400 Entrada = $ 860 i = ? 
R = $ 450/mês prazo = 2 anos ⇒ n = 24 
Solução: Data Focal = Zero 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 860 
Prestações(DF = 0) = A = 450 [1 − (1 + i)−24] = 450 (a24 i) 
 i 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 5.400 
Eq de Valor (DF = Zero.) 5.400 = 860 + 450 [1 – (1 + i)─24] 
 i . 
5.400 − 860 = (450) (a24 i) 
 4.540 = (450) (a24 i) 
$ 5.400 
0 1 24 
DF 
Prazo = n = 24 
i = ? 
meses 
R = $ 450/mês 
A 
$ 860 
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 10,09 = a24 i = [1 – (1 + i)─24] 
 i 
1o. Chute: 4% a.m. 
 a24 4% = 15,25 
Como 15,25 é maior que 10,09; então, para diminuirmos o fator a24 i, temos que aumentar a 
taxa de juros. 
 
2o. Chute: 12% a.m. 
 a12 24% = 7,78 
Como o menor que 10,09; então, já podemos fazer a interpolação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15,25 – 10,09 = 15,25 – 7,78 
 x 12% – 4% 
5,16 = 7,47 
 x 8% 
 (5,16) (8%) = x ⇒ x = 5,53% 
 7,47 
i = 4% + 5,53%. 
i ≅ 9,5% a.m. 
7,78 
10,09 
15,25 
a24 i 
4% i = ? 12% i% 0 
x 
i = 4% + x 
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Voltando com a taxa igual a 9,5% o fator é 9,33; mas como o fator tem que ser igual a 10,09; então, 
faremos mais uma estimativa para a taxa de juros. Usaremos para o próximo chute a taxaque achamos 
por interpolação linear (%). 
 
3o. Chute: 9,5% a.m. 
 a24 9,5% = 9,33 
Agora será feita uma interpolação linear entre os fatores 10,58 (taxa = 4%) e 9,33 (taxa = 
9,5%). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15,25 – 10,09 = 15,25 – 9,33 
 x 9,5% – 4% 
5,16 = 5,93 . 
 x 5,5% 
 x = 4,79% 
i = 4% + 4,79% ≅ 8,79% a.m. 
Como o fator a24 i para uma taxa igual a 8,79% o fator é 9,87; então, a taxa de juros 
aproximada 8,8% a.m. 
 
Resposta: 8,8% a.m. 
Nota: Para obtermos a taxa exata tem que continuar chutando, sendo que o próximo chute seria a taxa 
aproximada que acabamos de calcular. 
9,33 
10,09 
15,25 
a10 i 
4% i = ? 9,5% i% 0 
x 
i = 4% + x 
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Ex. 13: São feitos trinta e cinco depósitos mensais vencidos de $ 640 em uma poupança. Se o 
montante for $ 84.704; qual é a taxa de juro ao quadrimestre capitalizado mensalmente por 
interpolação linear? 
 Saldo = $ 84.704 
R = $ 640/ mês → n = 35 
 taxa = ? (a.q. capit. mensalm.) 
Solução: Data Focal = Trinta e cinco meses 
 ∑ Dep.(DF = 35) − ∑ Ret.(DF = 35) = Saldo(DF = 35) 
∑ Dep.(DF = 35) = S 
∑ Ret.(DF = 35) = 0 
Saldo(DF = 35) = $ 84.704 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq de Valor (DF = Trinta e cinco): 640 [(1 + i)35 −1] = 84.700 
 i . 
[(1 + i)35 −1] = 84.704 
 i 640 
s35 i = 132,35 
 1o. Chute: i = 4% a.m. 
s35 4% = [(1,04)35 −1] 
 0,04 
s35 4% = 73,65 
Como: 73,65 é menor que 132,35; então, temos que aumentar a taxa (sn i ↑ ⇒ i ↑) 
2o. Chute: i = 8% a.m. 
s35 8 % = [(1,08)35 −1] 
 0,08 
R = $ 640/mês 
0 1 35 
DF 
 S 
n = 35 
i = ? 
meses 
Saldo = $ 84.704 
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 s35 8% = 172,32 
Como 172,32 é maior que 132,35; então; temos dois valores de s35 i sendo um menor que 
132,35 e outro maior que 132,35; portanto, agora podemos fazer uma interpolação linear entre esses 
valores. (73,65 e 172,32) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x = . 8% − 4% . 
132,35 − 73,65 172,32 − 73,65 
x = 2,38% 
 i = 4% + 2,38% 
i ≅ 6,38% a.m. ≅ 6,4% 
s35 6,4% = [(1,064)35 −1] ⇒ s35 6,4% = 121,39 
 0,064 
A próxima estimativa para a taxa de juros será a que acabamos de achar por interpolação 
(6,4%) 
 
3o. Chute: i = 6,4% a.m. s35 6,4% = 121,39 
 
Agora será feita uma interpolação linear entre 6,4% (s35 i = 121,39) e 8% (s35 i = 172,32). 
 x = . 8% − 6,4% . 
132,35 − 121,39 172,32 − 121,39 
x = 0,34% 
 i = 6,4% + 0,34% 
73,65 
132,35 
172,32 
s35 i 
4% i = ? 8% i% (a.m) 0 
x 
i = 4% + x 
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i ≅ 6,74% a.m. - 
s35 6,74% = [(1,0674)35 −1] ⇒ s35 6,74% = 130,64 
 0,0674 
Como fator tem que ser igual a 132,35, então faremos mais uma estimativa, e esta será a mesma 
taxa que encontramos na última interpolação (6,74%). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4o. Chute: i = 6,74% a.m. 
Agora será feita uma interpolação linear entre 6,74% (s35 i = 130,64) e 8% (s35 i = 172,32). 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130,64 
132,35 
172,32 
s35 i 
6,74% i = ? 8% 
i% (a.m) 
0 
x 
i = 6,74% + x 
121,39 
132,35 
172,32 
s35 i 
6,4% i = ? 8% 
i% (a.m) 
0 
x 
i = 6,4% + x 
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 x = . 8% − 6,74% . 
132,35 − 130,64 172,32 − 130,64 
x = 0,05% 
 i = 6,74% + 0,05% 
i ≅ 6,79% a.m. 
Como o fator s35 i para 6,79% é igual a 132,06, então, aproximadamente, a taxa de juros é 
igual a 6,79% a.m. 
 
Taxa de juro ao quadrimestre capitalizado mensalmente será: (6,8%) (4) 
Taxa = 27,20% 
Resposta: 27,20% 
 
Ex. 14: Inicialmente foi depositado em uma poupança $ 325.000 para serem feitas retiradas bimestrais 
de $ 23.403,50 durante seis anos e meio. Calcular a taxa de juros ao semestre capitalizada 
bimestralmente da poupança. (solução por interpolação linear). 
 
Depósito inicial = $ 325.00 R = $ 23.403,50/bim. 
taxa = ? (a.q. capit. bim.) n = (6,5) (6) = 39 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = $ 325.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = 23.403,50 a39 i 
Saldo(DF = 0) = 0 
Eq de Valor (DF = Zero.): 325.000 − 23.403,50 a39 i = 0 
 325.000 = 23.403,50 a39 i 
$ 325.000 
0 1 39 
DF 
Prazo = n = 39 
i = ? 
Bim. R = $ 23.403,50/bim. 
A 
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 13,89 = a39 i = [1 – (1 + i)─39] 
 i 
1o. Chute: i = 3% a.b. 
 a39 3% = [1 – (1,03)─39] 
 0,03 
a39 3% = 22,81 
Como o fator 22,81 é maior que fator 13,89, então, teremos que aumentar a taxa de juros para o 
fator diminuir. 
 
2o. Chute: i = 8% a.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a39 8% = [1 – (1,08)─39] = 11,88 
 0,08 
22,81 – 13,89 = 22,81 – 11,88 
 x 8% – 3% 
x = 4,08% 
i = 3% + 4,08%. ≅ 7,08% a.b. 
a39 7,08% = [1 – (1,0708)─39] = 13,14 
 0,0708 
 a39 7,08% = 13,14 
Como fator para esta taxa da 13,14, então, o próximo chute será 7,08% 
11,88 
13,89 
22,81 
a39 i 
3% i = ? 8% i% 0 
x 
i = 3% + x 
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3o. Chute: i = 7,08% a.b. a39 7,08% = 13,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22,81 – 13,89 = 22,81 – 13,14 
 x 7,08% – 3% 
 
x = 3,76% 
i = 3% + 3,76%. 
i ≅ 6,76% a.b. 
Então o fator: a39 6,76% = 13,64 
Como o fator tem que ser igual a 13,89, então faremos mais um chute, que será igual a 6,76% 
a.b. 
 
4o. Chute: i =6,76% a.b. => a39 6,76% = 13,64 
22,81 – 13,89 = 22,81 – 13,64 
 x 6,76% – 3% 
 
x = 3,65% 
i = 3% + 3,65%. 
i ≅ 6,65% a.b. Taxa ao semestre capitalizada bimestralmente: (6,65%) (3) = 19,86% 
Resposta: 19,95% 
A seguir gráfico. 
13,14 
13,89 
22,81 
a39 i 
3% i = ? 7,08% i% 0 
x 
i = 3% + x 
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13,64 
13,89 
22,81 
a39 i 
3% i = ? 6,76% i% 0 
x 
i = 3% + x 
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EXERCÍCIOSPROPOSTOS: U.A.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
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Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
1) Quanto tenho que depositar em uma poupança ao final de cada semestre para no final de seis anos 
termos acumulado $ 62.000; sendo que a taxa de juros é 14% a.a. capitalizado semestralmente? 
 
2) Se um apartamento à vista custa $ 358.000; e a prazo serão necessárias prestações mensais 
postecipadas durante oito anos, qual será o valor de cada prestação a uma taxa de juros de 6% a.m? 
 
3) São feitos dezenove depósitos trimestrais vencidos em um fundo a taxa de 7% a.t. Se o montante no 
início do sétimo ano for $ 159.000; quanto foi depositado por trimestre? 
 
4) Um terreno à vista custa $ 75.000; e a prazo tem que dar uma entrada de $ 18.000 e mais quarenta 
prestações mensais. Qual será o valor de cada prestação a uma taxa de juros de 4,5% a.m? 
 
5) Um lojista deve $ 13.200 vencíveis em quatro meses; 35.400 vencíveis em quarenta meses. Não 
podendo pagá-los nestes prazos de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a fazer em trinta 
pagamentos bimestrais. Qual será o valor de cada pagamento se a taxa de juros usada na transação for 
de 4% a.b? 
 
6) São feitos depósitos mensais vencidos de $ 955 em uma poupança a uma taxa de juros de 3,8% a.m. 
Se o valor acumulado no final do prazo for $ 60.000; quantos depósitos foram feitos? 
 
7) O preço à vista de um terreno é $ 138.000, e a prazo são necessárias prestações mensais 
postecipadas de $ 7.980,55. Calcular o número de prestações mensais na compra a prazo para uma taxa 
de juros de 16% a.q. composto mensalmente. 
 
8) Um investidor fez depósitos bimestrais de $ 5.958,34 em uma poupança cuja rentabilidade foi de 
3,5% a.b. Se o saldo após o último depósito foi $ 168.500; qual foi o prazo? 
 
9) Foi depositado inicialmente em um fundo $ 177.256 para serem feitas retiradas trimestrais ao final 
de cada trimestre de $ 9.020. Para uma taxa de juros de 4,7% a.t; quantas retiradas trimestrais foram 
feitas do fundo? 
 
10) O preço à vista de um apartamento é $ 245.000 e a prazo é necessário uma entrada de $ 35.000 e 
mais prestações ao final de cada mês de $ 14.500. Se a taxa de juros for 6,5% a.m, qual é o prazo do 
financiamento? 
 
11) Rita depositou $ 380 por trimestre durante dez trimestres em uma poupança. Se o valor acumulado 
no final do prazo foi $ 5.000; qual foi a taxa de juros da poupança? 
 
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12) Uma casa à vista custa $ 75.000 e a prazo em prestações mensais de $ 6.074,59 durante três anos. 
Qual é a taxa de juros mensal que está sendo cobrada no crediário? 
 
 
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.9. 
 
 
1) R = ? ($/sem). i = (14%) (1/2) = 7% a.s 
Prazo = 6 anos n = (6) (2) = 12 Saldo = $ 62.000 
Solução: Data Focal = Doze semestres 
62.000 = R [(1,07)12 − 1] 
 0,07 
R = $ 3.465,92 
Resposta: $ 3.465,92 
2) Preço à Vista = $ 358.000 R = ? i = 6% a.m n = (8) (12) = 96 
Solução: Data Focal: Zero 
 358.000 = R [1 − (1,06)−96] 
 0,06 
R = $ 21.560,22/mês 
Resposta: $ 21.560,22 
3) i = 7% a.t n = 19 
Saldo (6 x 4 = 24º) = $ 159.000 R = ? 
Solução: Data Focal = Vinte e quatro trimestres 
 R [(1,07)19 − 1] (1,07)(24 − 19) = 159.000 
 0,07 
R [(1,07)19 − 1] (1,07)(5) = 159.000 
 0,07 
R = $ 3.032,85 
Resposta: $ 3.032,85 
 
4) Preço à Vista = $ 75.000 E = $ 18.000 
i = 4,5% a.m n = 40 R = ? 
Solução: Data Focal: Zero 
 75.000 = 18.000 + R [1 − (1,045)−40] 
 0,045 
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31
R = $ 3.097,56 
5) $ 13.200 → n = 4 meses = 2 bim. 
$ 35.400 → n = 40 meses = 20 bim. 
R = ? ($/bim.) → n = 30 i = 4% a.b. 
Equação de Valor: Data Focal = Trinta bimestres 
13.200 (1,04)(30 − 2) + 35.400 (1,04)(30 − 20) = R [(1,04)30 − 1] 
0,04 
13.200 (1,04)(28) + 35.400 (1,04)(10) = R [(1,04)30 − 1] 
 0,04 
13.200 (1,04)(28) + 35.400 (1,04)(10) = R (56,08) 
39.582,88 + 52.400,65 = R 
 56,08 
R = $ 1.640,22 
Resposta: $ 1.640,22 
 
6) R = $ 955/mês i = 3,8% a.m n = ? Saldo = $ 60.900 
Solução: Data Focal: n 
955 [(1,038)n − 1] = 60.000 
 0,038 
2,387 + 1 = 1,038n 
n = Ln 3,387 / Ln 1,038 
n = 32,71 
Resposta: ≈ 33 
7) Preço à vista = $ 138.000 n = ? 
R = $ 7.980,55/mês i = (16%) (1/4) = 4% a.m 
Solução: Data Focal: Zero 
 138.000 = 7.980,55 [1 − [(1,04)−n] 
 0,04 
1,04−n = 0,3083 
n = −Ln 0,3083 / Ln 1,04 
n = 30 
Resposta: 30 
8) R = $ 5.958,34/mês i = 3,5% a.b Prazo = n = ? Saldo = $ 168.500 
Solução: Data Focal: “n” meses 
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 5.958,34 [(1,035)n − 1] = 168.500 
 0,035 
1,988 = 1,035n 
 n = Ln 1,988 / Ln 1,035 
n = 20 
Resposta: 20 bim. 
9) Dep. In. = $ 177.256 i = 4,7% a.t. R = $ 9.020/trim. n = ? 
Solução: Data Focal: Zero 
 9.020 [1 − (1,047)−n] = 177.256 
 0,047 
0,0764 = (1,047)−n 
 n = − Ln 0,0764 
 Ln 1,047 
n = 56 
Resposta: 56 
10) Preço à vista = $ 245.000 E = $ 35.000 
i = 6,5% a.m R = $ 14.500/mês 
Prazo = n = ? 
Solução: Data Focal: Zero 
 245.000 = 35.000 + 14.500 [1 − (1,065)−n] 
 0,065 
0,9414 = 1 − (1,065)−n 
(1,065)−n = 1 − 0,9414 
 n = − Ln 0,0586 
 Ln 1,065 
n = 45 
Resposta: 45 meses 
11) R = $ 380/trim n = 10 S = $ 5.000 i = ? 
Solução: Data Focal: Dez trimestres 
 5.000 = 380 [(1 + i)n − 1] = 380 s10┐i 
 i 
 13,16 = s10┐i 
1º Chute: i = 2% s10┐2% = 10,95 
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2º Chute: i = 7% s10┐7% = 13,82 
 
 x = 7% – 2% . 
 13,16 – 10,95 13,82 – 10,95 
x = 3,85% 
i = 2% + 3,85% 
i = 5,85% => s10┐5,85% = 13,09 
3o Chute: i = 5,85% => s10┐5,85% = 13,09 
 
 
 x = 7% – 5,85% . 
13,16 – 13,09 13,82 – 13,09 
x = 0,11% 
 i = 5,85% + 0,11% = 5,96% ⇒ s10┐5,96% = 13,16 
s10┐i 
i (%) 
13,09 
13,16 
13,82 
5,85% i 7% 
x 
s10┐i 
i (%) 
10,95 
13,16 
13,82 
2% i 7% 
x 
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Então a taxa é 5,96% a.t. 
Resposta: 5,96% a.t. 
 
12) Preço à Vista = $ 75.000 R = $ 6.074,59/mês n = 36 i = ? 
Solução: Data Focal: Zero 
75.000 = 6.074,59 [1 −(1 + i)−1] 
 
 
 i 
12,35 = a36┐i 
1º Chute: i = 12% ⇒ a36┐12% = 8,19 
2º Chute: i = 4% ⇒ a36┐4% = 18,91 
 x . = . 12% − 4% . 
18,91 − 12,35 18,91 − 8,19 
x = 4,90% 
i = 4% +4,90% 
i ≅ 8,90% a.m. 
 
3º Chute: i = 8,90% => a36┐8,90% = 10,71 
 x . = . 8,9% − 4% . 
18,91 − 12,35 18,91 − 10,71 
 x = 3,92% 
i = 4% +3,92% 
i ≅ 7,92% a.m. => a36┐7,92% = 11,81 
 
a36┐i 
i (%) 
 
8,19 
12,35 
18,91 
4% i 12% 
x 
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4º Chute: i = 7,92% => a36┐7,92% = 11,71 
 x . = . 7,92% − 4% . 
18,91 − 12,35 18,91 − 11,81 
x = 3,62% 
 i = 4% + 3,62% 
i ≅ 7,62% a.m. => a36┐7,92% = 12,19 
Resposta: ≈ 7,6% 
 
 
QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 
1) Um fundo de investimento de $ 44.200 deve ser acumulado em depósitos mensais vencidos de $ 
615. Se a rentabilidade do fundo for 2% a.m, quantos depósitos mensais serão necessários para 
acumular tal quantia? (AP2/2014/II) 
 
S = $ 44.200 i = 2% a.m. R = $ 615/mês n = ? 
Solução: Equação de Valor na Data Focal = ”n” meses 
 615 [(1,02)n − 1] = 44.200 
 0,02 
 (1,02)n = [(44.200) (0,02)] + 1 
 615 
(1,02)n = 2,44 (No mínimo duas casas decimais) 
n Ln (1,02) = Ln (2,44) 
a36┐i 
i (%) 
10,71 
12,35 
18,91 
4% i 8,90% 
x 
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n = Ln (2,44) = 0,89 = 44,50 
 Ln (1,02) 0,02 
n ≈ 45 
Nota: Também pode usar logarítimo decimal ao invés de logarítimo neperiano. 
 
(1,02)n = 2,44 (No mínimo duas casas decimais) 
n Lg (1,02) = Lg (2,44) 
n = Lg (2,44) = 44,50 
 Lg (1,02) 
n ≈ 45 
Resposta: 45 
 
2) Um freezer à vista custa $ 4.100; e a prazo tem que dar uma entrada no valor de 25% do preço à 
vista, e mais prestações mensais durante dois anos e meio. Se a taxa de juros cobrada no financiamento 
for 4% a.m, qual será o valor da prestação mensal? (AP3/2014/II) 
 
Preço à vista = $ 4.100 E = (0,25) (4.100) = $ 1.025 
i = 4% a.m. n = (2,5) (12) = 30 R = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
Equação de Valor (DF = Zero ): 
1.025 + R (a30 4%) = 4.100 
Ou 
1.025 + R [1 − (1,04)−30] = 4.100 
 0,04 
R [1 − (1,04)−30] = 4.100 – 1.025 
 0,04 
R = (3.075) (0,04) 
 1 − (1,04)−30 
R = $ 177,83 
Resposta: $ 177,83 
 
3) Um cortador de grama à vista custa $ 2.300; e a prazo tem que dar uma entrada no valor de 15% do 
preço à vista, e mais prestações mensais durante dois anos e meio. Se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 3% a.m, qual será o valor da prestação mensal? (AP2/2014/I) 
 
Preço à vista = $ 2.300 i = 3% a.m. n = (2,5) (12) = 30 
E = (0,15) (2.300) = $ 345 R = ? 
Solução: Equação de Valor (DF = Zero ): 345 + R (a30 3%) = 2.300 
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345 + R [1 − (1,03)−30] = 2.300 
 0,03 
R [1 − (1,03)−30] = 2.300 − 345 = 1.955 
0,03 
R = $ 99,74 
Resposta: $ 99,74 
 
4) Um fundo de investimento de $ 47.600 deve ser acumulado em depósitos mensais postecipados de $ 
2.100. Se o fundo render 2,5% a.m, quantos depósitos mensais serão necessários para acumular tal 
quantia? (AP3/2014/I) 
 
S = $ 47.600 i = 2,5% a.m. R = $ 2.100/mês n = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = ”n” meses 
2.100 [(1,025)n − 1] = 47.600 
 0,025 
 (1,025)n = 1 + (47.600) (0,025) 
 2.100 
n Ln (1,025) = Ln (1,567) 
n = Ln (1,567) 
 Ln (1,025) 
n = 18,19 ≈ 18 
Resposta: 18 
5) Inicialmente depositou-se $ 125.700 em uma poupança, depois foram feitas quinze retiradas 
mensais desta mesma poupança. Se o saldo um ano após a última retirada for $ 89.978 para uma taxa 
de juros de 2,5% a.m, quanto retirou mensalmente? (AP3) 
 
Dep. In. = $ 125.700 i = 2,5% a.m. 
Saldo = $ 89.978 (15 + 12 = 27) R = ? ($/mês) n = 15 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = 27 meses 
 125.700 (1,025)27 − R (s15 2,5%) (1,025)12 = 89.978 
 R = $ 6.421,36 
Resposta: $ 6.421,36 
6) Uma máquina à vista custa $ 138.700; e a prazo são necessárias prestações mensais de $ 6.450. Se a 
taxa de juros cobrada no financiamento for de 4% a.m, quantas prestações serão necessárias na compra 
a prazo? (2012) 
 
Preço à vista = $ 138.7000 R = $ 6.450/mês i = 4% a.m. n = ? 
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6.450 [1 − (1,04)−n] = 138.700 
 0,04 
1 − (1,04)−n = 0,86 
Ln (0,14) = Ln (1,04)−n 
Ln (0,14) = −n Ln (1,04) 
n = 50 
Resposta: 50