Integrais duplas CVV 2015 2

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Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
 
Integrais Duplas
PARTE I
Revisão de Cálculo Integral 
Área de um retângulo:
Soma das áreas dos retângulos: 
A integral definida:
Cálculo de Várias Variáveis: algumas modificações
Região de integração passa de um intervalo para:
Retângulos são substituídos por:
Área do retângulo é substituída por :
Volume aproximado do sólido delimitado pela região R e pela função 
:
A Integral dupla de 
 na região R: 
Definição de integrais duplas 
	A integral dupla de uma função 
 sobre uma região de integração R é, portanto, expressa por 
.
Para as situações em que 
, esta integral dupla poderá 
Propriedades da integral dupla
a) 
b) 
c ) Se a região R é composta por duas sub-regiões R1 e R2 que não têm pontos em comum, exceto possivelmente os da fronteira, então 
Cálculo de integrais duplas: as integrais iteradas
A Integração parcial
Exemplo 1: 
 Exemplo 2: 
	
As integrais duplas e as integrais iteradas: calculando volume de sólidos em regiões de integração retangulares R
Teorema de Fubini (teorema 1)
	
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades 
 e 
. 
Se 
for contínua neste retângulo, então 
ou
Exemplo 3 – Calcule a integral dupla 
 no retângulo 
 
Exercícios da parte I
	Calcule as seguintes integrais iteradas
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Nos exercícios a seguir, calcule as integrais duplas na região retangular R
a) 
; 
b) 
 ; 
c) 
 ; 
d) 
 ; 
e) 
 ; 
Use uma integral dupla para encontrar o volume:
sob o plano 
 e acima do retângulo 
do sólido compreendido pela superfície 
 e os planos x = 0; x = 2; y = 0; y = 3 e z = 0.
Respostas dos exercícios da parte I
a) 
 b) 2 c) 2 d) 
a) 0 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
a) 19 b) 8
PARTE II
Integrais duplas em regiões não retangulares
Região do Tipo I
- Limitada à esquerda e à direita por retas verticais x = a e x = b e limitada abaixo e acima por curvas 
 e 
 com 
.
Região do Tipo II
- Limitada abaixo e acima por retas horizontais y = c e y = d e limitada à direita e à esquerda por curvas 
 e 
 que satisfazem 
Teorema 2 
	Se R é uma região do tipo I na qual 
 é contínua, então
Se R é uma região do tipo II na qual 
 é contínua, então
Como aplicar o teorema 2: estabelecendo os limites de integração
Regiões do tipo I
Começar fazendo um esboço da região R de integração.
Traçar uma reta vertical através de R. Essa reta cruza a fronteira de R duas vezes. O ponto inferior está em 
 e o superior em 
 e são, portanto, os limites inferior e superior da integração em y.
Imaginar que a reta do passo anterior se desloque primeiro para a esquerda e depois para a direita. A posição extrema à esquerda é x = a e a posição extrema à direita é x = b.
Exemplo 4 – Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y e inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e 
.
Exemplo 5 – Calcular a integral 
 onde R é a região limitada por 
 e 
Regiões do tipo II
Começar fazendo um esboço da região R de integração.
Traçar uma reta horizontal através de R. Essa reta cruza a fronteira de R duas vezes. O ponto mais à esquerda está em 
 e o mais à direita em
 e são, portanto, os limites inferior e superior da integração em x.
Imaginar que a reta do passo anterior se desloque primeiro para baixo e depois para cima. A posição extrema abaixo é y = c e a posição extrema acima é y = d.
Exemplo 6 - Calcule 
 na região triangular R entre as retas 
, 
 e y = 3.
Exemplo 7 – Integrais duplas e o cálculo de áreas
 Use uma integral dupla para calcular a área da região R compreendida entre a parábola 
 e a reta 
.
Exercícios da parte II
	4 ) Calcular 
 onde R é a região delimitada por 
 e y = 4.
5) Em cada parte, calcule 
 na região sombreada R.
6) Calcular 
 onde R é a região descrita na figura abaixo.
7) Calcular 
, onde R é a região descrita abaixo.
8) Calcular 
 onde R é a região delimitada por 
; 
y = -1 e y = 2.
9) Calcular 
 onde R é a região delimitada por 
; 
; x = -1 e x = 1.
10) Calcular 
, sendo R a região delimitada por x = 4y, y = 0 e x = 4.
11) Calcular 
 sendo R a região delimitada por y = - x, y = 4x e 
.
12) Use uma integral dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas 
 e 
, para 
.
Respostas dos exercícios da parte II
 5) a) 
 b) 38 6) 2 7) 
 8) 
 9) 0 
 10) 
 11) 0 12) 
Integrais Duplas
PARTE III
Integrais duplas em coordenadas polares
Coordenadas Polares
Integrais duplas em coordenadas polares
	Se R é uma região polar simples cujos limites são os raios 
 e 
 e as curvas 
 e 
 mostrados na figura e se 
 for contínua em R, então 
Como determinar os limites de integração 
1 . Como 
 é fixo na primeira integração, trace uma reta radial, com ponto inicial na origem, através da região R e ângulo fixo 
 (figura a). Essa reta cruza a fronteira de R, no máximo, duas vezes. O ponto de interseção mais interno está na fronteira interna 
 e o ponto mais externo está na fronteira externa 
. Essas interseções determinam os limites de integração de r.
2. Suponha que um raio do eixo polar x seja girado uma revolução no sentido anti-horário em torno da origem. O menor ângulo em que esse raio intercepta a região R é 
 e o maior ângulo é 
(figura b). Isto determina os limites de integração de 
.
Exemplo 8 – Calcule 
 onde R é a região no primeiro quadrante fora do círculo r = 2 e dentro da cardióide 
Mudança de variáveis
		A integral dupla em coordenadas retangulares pode ser calculada em coordenadas polares fazendo-se a substituição 
 e 
 e expressando a região de integração em forma polar , isto é, reescrevemos a integral dupla em coordenadas retangulares como 
Exemplo 9 – Use coordenadas polares para calcular 
Exemplo 10 – Calcular 
 sendo R a região limitada pelas curvas 
, 
 e 
.
Exercícios da parte III
	Calcule a integral iterada
a. 
 b. 
 c. 
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla 
 onde R é a região contida no círculo 
Calcule 
 onde R é a região mostrada na figura ao lado.
16) Calcule 
 onde R é a região mostrada na figura ao lado.
Calcular 
 onde R é a região da figura 
Usando coordenadas polares, calcule:
a. 
 b. 
Calcular 
, sendo R a região delimitada por x² + y² = 1 e x² + y² = 9.
Calcular 
 sendo R o círculo 
Respostas da parte III
13) a) 
 b) 
 c) 0 14) 
 15) 
 16) 
 17) 
18) a) 
 b) 
 19) 
 20) 
� EMBED Equation.3 ���
� PAGE \* MERGEFORMAT �1�
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