Exreviso AIA 2015 2 CVV

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Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
Revisão AIA - Funções de Várias Variáveis
Um fabricante produz diariamente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B. Se P(x,y) for o lucro diário das vendas dos produtos, e , quantas unidades precisarão ser produzidas para que o fabricante receba um lucro máximo?
Para cada uma das funções a seguir, faça o que se pede:
Determine e classifique os pontos críticos
Calcule, se possível, os valores de máximo e mínimo da função
Quatro poços de petróleo estão localizados nos pontos (-300,0) , (-100, 500), (0,0) e (400, 300) de um sistema retangular de coordenadas no qual as distâncias são medidas em metros. Em que ponto M(a,b) deve ser instalado um galpão de manutenção para que a soma dos quadrados das distâncias entre o galpão e os quatro poços seja seja a menor possível?
É razoável supor que a probabilidade de que uma pessoa com uma doença infecciosa contagie outras pessoas em um lugar público é uma função f(s) da distância s entre as pessoas. Suponha que as pessoas infectadas estejam distribuídas uniformemente em uma região retangular R do plano xy. Nesse caso, a probabilidade de que uma pessoa situada na origem (0,0) seja infectada é proporcional ao índice de exposição E, dado pela integral 
onde é a distância entre os pontos (0,0) e (x,y). Determine o valor de E para o caso em que e R é a região quadrada .
Duas fábricas poluem o ar de uma pequena cidade. As autoridades sanitárias verificam que em um ponto situado a r quilômetros da fábrica A e a s quilômetros da fábrica B está sujeito a unidades de poluição. Um conjunto habitacional ocupa uma região R definida por . Qual é a poluição total no interior da região R?
Uma empresa produz dois tipos de tênis : calçados de corrida e calçados de basquete. A receita total de x unidades de calçados de corrida e y unidades de calçados de basquete é :
 R(x,y) = – 5 x ² – 8y² – 2 x y + 42 x + 102 y em que x e y estão em milhares de unidades. 
Determine os valores x e y que maximizam a receita .
Calcule a receita máxima.
Determine o valor das integrais duplas abaixo
 b) c) d) 
 f) g) h) 
 j) k) 
 8) Determine o volume da região delimitada superiormente pelo plano e inferiormente pelo quadrado e .
9) A receita total semanal (em dólares) da Acrosonic obtida na venda e na produção dos sistemas de alto-falantes portáteis é dada por onde x denota o número de unidades completamente montadas e y denota o número de kits produzidos e vendidos por semana. O custo total semanal em razão da produção desses sistemas de alto-falantes é de dólares, onde x e y tem o mesmo significado que anteriormente.
Determine quantas unidades montadas e quantos kits a Acrosonic deve produzir semanalmente para maximizar seu lucro. R: P(208,64)
Calcule o lucro máximo. R: 10.680
10) Um carpinteiro deseja construir um caixote retangular com um volume de 4 m³. Três diferentes materiais serão usados. O material para os lados do caixote custa R$ 8,00 metro quadrado, o material para o fundo custa R$ 5,00 o metro quadrado e o material para a tampa custa R$ 3,00 metro quadrado. Quais são as dimensões do caixote mais barato? R: 2 x 2 x 1.