Lista de Álgebra Linear - Prof. Edezio

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A´lgebra Linear Edezio 1
LISTA 3 DE A´LGEBRA LINEAR - PROF. EDEZIO
1. Calcule os valores de t ∈ lR, para que a matriz A =
(
2 1
t 3
)
, seja invers´ıvel.
2. Determine a matriz inversa (caso exista) de:
a) A =
(
3 1
2 1
)
, b) B =
(
1 0
3 0
)
, c) C =
 1 0 00 1 0
1 1 1

d) A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 , e) A = ( cos θ sen θ−sen θ cos θ
)
3. Se A2 um matriz invers´ıvel. Calcule a matriz A
−1(AA−1 + A−1A)A.
4. Sejam A uma matriz n x n e C ∈ lR. Calcule det(cA), sabendo que detA = d.
5. Seja X2×2 uma matriz invers´ıvel. Determine X sabendo que X2 = 2X
6. Reduza as matrizes a` forma escalonada e determine seus respectivos postos.
a)
 1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3
 , b)
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1
 , c)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

7. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas a` forma escalonada
e determine tambe´m seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for
poss´ıvel, o grau de liberdade.
(a)

3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
(b)
{
x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
(c)
{
x − 2y + 3z = 0
2x + 5y + 6z = 0
(d)

x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0
(e)

x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
8. Resolva os seguintes sistemas pelo me´todo de Gauss-Jordan:
(a)

x + y − z = 0
x + y + z = 0
x − y − z = 0
A´lgebra Linear Edezio 2
(b)

2x + y − 2z = −2
y + z = 2
3x − 2z = −1
(c)

x + y + 2z = 2
2x + y + z = 3
4x + 3y + 5z = 3
(d)

3x − y + z = 3
x + 2y − z = 1
4x + y = 4
9. Resolva os sistemas abaixo, atrave´s da Regra de Cramer:
(a)
{
x + 2y = 13
3x − 5y = 6
(b)

3x + y − z = 2
x − y + z = 1
2x + y − 3z = 0
(c)

x + 2y − z = 1
2x + 2z = 9
3x − y + z = 5
10. Sejam λ2 e λ2 os valores distintos de λ para os quais a equac¸a˜o(
2 3
3 2
)
·
(
x1
x2
)
= λ
(
x1
x2
)
admite soluc¸a˜o
(
x1
x2
)
6=
(
0
0
)
. Calcule λ1 + λ2.
11. Encontre os valores de k ∈ lR, tais que o sistema homogeˆneo abaixo tenha uma soluc¸a˜o distinta
da soluc¸a˜o trivial(x = y = z = 0).
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
12. Para que valores de a ∈ lR o sistema abaixo tem soluc¸a˜o?
x + 2y = 1
3x − y = −11
2x + y = a
13. Para que valores de m ∈ lR o sistema
x + y = 0
x + z = 0
x + mz = 0
e´ indeterminado?
A´lgebra Linear Edezio 3
14. Determine os valores de a ∈ lR, de modo que o sistema abaixo tenha:
(i) nenhuma soluc¸a˜o;
(ii) infinitas soluc¸o˜es;
(iii) uma u´nica soluc¸a˜o.

x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
Respostas:
1. t ∈ lR, t 6= 6.
2. a)
(
1 −1
−2 3
)
, b) na˜o existe B−1 c)
 1 0 00 1 0
−1 −1 1
 ,
d)

−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21
 , e) ( cos θ −sen θsen θ cos θ
)
3.
(
2 0
0 2
)
4. cn · d
5.
(
2 0
0 2
)
6. (a)
 1 0 0 22/70 1 0 −11/7
0 0 1 −17/7
 , p = 3 e nul. = 1;
(b)
 1 0 −7/2 5/20 1 3 −2
0 0 0 0
 , p = 2 e nul. = 2;
(c)

1 0 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
 , p = 2 e nul. = 1;
7. (a) S = {( 7
16
,− 1
16
, 17
8
)}, pa = 3 = pc e g.l. = 0;
(b) S = {(17−7z
3
, −5+4z
3
, z)}, pa = 2 = pc e g.l. = 1;
(c) S = {(3z, 0, z)}, pa = 2 = pc e g.l. = 1;
(d) S = {(0, 0, 0)}, pa = 3 = pc e g.l. = 0;
(e) S = {(1− 3x2 − x5, x2, 2 + x5, 3 + 2x5, x5)}, pa = 3 = pc e g.l. = 0;
A´lgebra Linear Edezio 4
8. a) S = {(0, 0, 0)}; b) S = {(1, 0, 2)}; c) S = ∅; S = {(7−z
7
, 4z
7
, z).
9. a) S = {(7, 3)}; b) S = {(3
4
, 3
8
, 5
8
)}; c) S = {(1, 2, 4)}
10. 4
11. k = 2;
12. a = −4;
13. m = 1;
14. (i) a = −3; (ii) a = 2; (iii) a 6= 2 e a 6= 3.