Fórum geometria plana e espacial

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Claretiano Rede de Educação 
Licenciatura: Matemática 
Disciplina: Geometria Plana e Espacial 
Discente: Yara Karoline Sobral de Souza RA: 8078561 
Fórum – Ciclo 5 
Resolução das questões 3 e 4 
 
3 - Uma pirâmide quadrangular regular tem apótema 10 cm e apótema da base 
6 cm. Determine o volume da pirâmide e tangente do ângulo alfa que uma face 
lateral forma com o plano da base. 
Matematicamente falando, uma pirâmide é um sólido formado pelo 
conjunto de segmentos em que uma das extremidades pertence a um polígono 
e a outra pertence a um ponto V exterior ao polígono. Ou seja, é a reunião dos 
segmentos VA, VB, VC, VD, VE, VF,... em que A, B, C, D, E, F,... são pontos 
pertencentes ao polígono e V o ponto que não pertence ao polígono ABCDEF. 
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e 
as arestas laterais são congruentes entre si (isto é, têm a mesma medida!). 
Polígono regular, não custa lembrar, é aquele que possui todos os lados e todos 
os ângulos iguais. 
Existe, nas pirâmides regulares, um elemento bastante importante: o 
apótema. Chamamos de apótema de uma pirâmide regular a altura de qualquer 
um dos triângulos que compõem as faces laterais da pirâmide. 
Chamamos de apótema da base de uma pirâmide regular o segmento 
m que equivale à menor distância do centro da base até a cada um dos lados do 
polígono da base, ou seja, a menor distância entre o centro da base (projeção 
ortogonal do vértice sobre a base) e a aresta da base. 
 
Resolução do exercício 
Ab= apótema da base = 6cm 
Ap = apótema da pirâmide = 10cm 
d: diagonal da base 
b: lado da base 
 
d² = 2b² → 
d = b√2 → 
d²/4 = b²/4 + ap² → 
2b²/4 = b²/4 + 36 → 
b²/4 = 36 
b² = 4.36 = 144 → 
b = 12cm 
 
V =1/3[Bh] = 1/3[b²h] = 1/3[144h] = 48h 
h² = Ap² - ap² = 100 - 36 = 64 
h = 8cm 
V = 48.8 = 384cm³ 
 
Ap = apótema da pirâmide = 10cm 
Ab = apótema da base = 6cm 
h: altura = 8cm 
Formam um triângulo reto, tal que a hipotenusa, ap. da pirâmide, faz com o ap. 
da base um ângulo α aplicando a lei dos senos: 
10/sen90° = 8/senα 
10 = 8/senα 
senα = 8/10 = 0,8 
α = arcsen0,8 = 53,130° portanto tgα = tg53,130° = 1,3333 
 
4 - (ENADE – adaptado) Para introduzir conceitos relativos a cilindros, um 
professor de matemática do Ensino Médio pediu a seus alunos que fizessem 
uma pesquisa sobre situações práticas que envolvessem essas figuras 
geométricas. Dois estudantes trouxeram para a sala de aula as seguintes 
aplicações: 
Situação I 
 
 
 
 
 
 
O raio hidráulico é um parâmetro importante no dimensionamento de canais, 
tubos, dutos e outros componentes das obras hidráulicas. Ele é definido como a 
razão entre a área da secção transversal molhada e o perímetro molhado. Para 
a secção semicircular de raio r ilustrada abaixo, qual é o valor do raio hidráulico? 
Situação II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando-se as duas situações como possibilidades de recursos didáticos, 
quais conceitos matemáticos e geométricos poderiam ser explorados pelo 
professor? Justifique sua resposta e descreva um exercício com resolução em 
relação às duas situações. 
 
Resolução 
 
As situações I e II são adequadas, pois permitem ao professor explorar alguns 
conceitos relativos a cilindros. Na situação I, o raio hidráulico é definido como a 
razão entre a área da seção transversal e o perímetro do semicírculo: 
 
 
 
 
isto é, o raio hidráulico é metade do raio da seção circular. Por meio dessa 
aplicação podem ser desenvolvidos conceitos e a definição de área da seção 
transversal e perímetro de uma circunferência. Na situação II o professor pode 
sugerir ao estudante que estime quantas jabuticabas em média pode conter na 
lata de 1 L, dividindo o volume da lata pelo volume médio de uma fruta. O volume 
médio da jabuticaba pode ser obtido por meio da expressão para cálculo do 
volume da esfera: 
 
 
 
 
onde r é uma estimativa do raio médio da jabuticaba, que pode ser determinado 
pela média aritmética das medidas dos raios de algumas frutas. Dessa forma 
uma estimativa do número N de jabuticabas que pode conter na lata é dado por: 
 
 
 
onde VL e VJ são respectivamente o volume da lata e o volume da jabuticaba 
medidos na mesma unidade. Essa aplicação permite explorar conceitos de 
volumes de cilindros e também esferas, bem como obter estimativas de medidas 
experimentais.