1ª Prova de Eng. Ambiental

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
Prof.: Adilandri Me´rcio Lobeiro
2a Avaliac¸a˜o de E.D.O. - 22/03/2013
Acadeˆmico(a):
1a Questa˜o: (2,0 pontos) Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe C
dy
dx
=
2x− y + 1
6x− 3y − 1
2a Questa˜o: (2,0 pontos) Resolva a equac¸a˜o de D’Alembert
y = x
(
y′ +
1
y′
)
+ (y′)4 .
3a Questa˜o: (2,0 pontos) Um grande tanque esta´ com 200 litros de um fluido no qual
foram dissolvidos 150 gramas de sal. Uma salmoura contendo
1
2
grama de sal
por litro e´ bombeado para dentro do tanque a uma taxa de 7 litros por minuto
(6 l/min). A soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o bombeada para fora a uma taxa de
4 l/min.
1. Ache a quantidade de gramas de sal no tanque apo´s 30 minutos;
2. O tamanho do tanque contendo a mistura de sal na˜o foi dado. E´ claro que,
uma vez que a salmoura esta´ se acumulando no tanque a uma taxa de 2l/min,
qualquer tanque finito deve, mais cedo ou mais tarde, derramar. Suponha
agora que o tanque tenha uma tampa aberta e uma capacidade total de 400
litros.
(a) Quando o tanque transbordara´?
(b) No instante em que estiver transbordando, qual sera´ a quantidade de
gramas de sal no tanque?
(c) Suponha que, embora o tanque esteja transbordando, a soluc¸a˜o salina
continua a ser bombeada para dentro a uma taxa de 7 l/min com concen-
trac¸a˜o de
1
2
grama de sal por litro e a soluc¸a˜o bem misturada continue
1
a ser bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min. Crie um me´todo para
determinar a quantidade de gramas de sal no tanque no instante t = 350
min.
(d) Determine a quantidade de gramas de sal no tanque quando t→∞.
4a Questa˜o: (2,0 pontos) O nu´mero de supermercados C(t) no pa´ıs que esta˜o usando
um sistema computadorizado e´ descrito pelo problema de valor inicial


dC
dt
= C(1− 0, 0005C)
C(0) = 1
em que t > 0. Quantos supermercados estara˜o usando sistemas computadorizados
quando t = 10? Quantos companhias estara˜o adotando esse novo procedimento
depois de um longo per´ıodo de tempo?
5a Questa˜o: (2,0 pontos) Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe A
dy
dx
=
x2 + y2
xy − x2
2