Lista de Exercícios2_AL1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Lista de Exerc´ıcios 2: A´lgebra Linear I Data: 28/01/2016
Professora: Adina Rocha
SISTEMA LINEARES E MATRIZES
1. Use o escalonamento para resolver os seguintes sistemas lineares:
(a)

x + y + t = 0
x + 2y + z + t = 1
3x + 3y + z + 2t = −1
y + 3z − t = 3
(b)

x + 3y + z = 1
2x + 6y + 9z = 7
2x + 8y + 8z = 6
.
2. Determine os valores de a e b que tornam o sistema
3x − 7y = a
x + y = b
5x + 3y = 5a+ 2b
x + 2y = a+ b− 1
poss´ıvel e determinado. Em seguida, resolva o sistema.
3. Uma considerac¸a˜o importante no estudo da transfereˆncia de calor e´ a de se determinar a
distribuic¸a˜o de temperatura assinto´tica de uma placa quando a temperatura do bordo e´
conhecida. Suponha que a placa na figura do problema represente uma sec¸a˜o transversal
de uma barra de metal, com fluxo de calor desprez´ıvel na direc¸a˜o perpendicular a` placa.
Sejam T1, T2, T3 e T4 as temperaturas nos quatro ve´rtices interiores do reticulado da figura
do problema. A temperatura num ve´rtice pode ser considerada igual (com uma pequena
margem de erro que na˜o consideraremos aqui) a` me´dia dos quatro ve´rtices vizinhos mais
pro´ximos - a` esquerda, acima, a` direita e abaixo. Por exemplo,
T1 = (192 + 192 + T2 + T3)/4 ou 4T1 − T2 − T3 = 384.
Encontre as temperaturas T1, T2, T3 e T4 da placa indicada na figura.
4. Mostre que a matriz real
A =
 1 0 0a 1 0
b c 1

e´ invert´ıvel para todos a, b ∈ R e a calcule sua inversa.
5. Decida se as matrizes abaixo sa˜o invert´ıveis ou na˜o. No caso afirmativo, determine as
inversas destas matrizes. Caso uma delas (digamos A) na˜o seja invert´ıvel, ache uma
matrix X ∈M3×1(R) tal que AX = 0.
(a)
 1 2 34 5 9
1 3 4
 (b)
 1 2 34 5 6
1 3 4
 .
6. Prove que o sistema 
x + 2y + 3z − 3t = a
2x − 5y − 3z + 12t = b
7x + y + 8z + 5t = c
admite soluc¸a˜o se, e somente se, 37a + 13b = 9c. Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema
quando a = 2 e b = 4.
7. Determine as soluc¸o˜es do sistema linear
x + y + z = 1
x − y + 2z = 2
x + 6y + 3z = 3
.
8. Considere o sistema linear
x + 2y − 2z − t = 1
2x − 2y − 2z − 3t = −1
2x − 2y − z − 5t = 9
3x − y + z − mt = 0
.
Encontre os valores de m para os quais o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o. Determine
essa soluc¸a˜o.
9. Um par de teˆnis, duas bermudas e treˆs camisetas custam juntos R$100, 00. Dois pares de
teˆnis, cinco bermudas e oito camisetas custam juntos R$235, 00. Quanto custam juntos
um par de teˆnis, uma bermuda e uma camiseta?
10. Em uma corrida de d metros, os atletas A, B e C competiram aos pares. A venceu B
com 20m de frente, B venceu C com 10m de frente e A venceu C com 28m de frente.
Qual o valor de d?
11. Determine os valores de m e n para os quais o sistema
2x − y + 3z = 1
x + 2y − z = 4
3x + y + mz = n
possui soluc¸a˜o.
2
12. Ac¸o fino e´ uma liga de ferro, cromo e n´ıquel. Um exemplo e´ o ac¸o V 2A, que conte´m 74%
de ferro, 18% de cromo e 8% de n´ıquel. Na tabela abaixo, tem-se ligas I, II, III e IV ,
as quais devemos misturar para obter uma tonelada de ac¸o V 2A.
I II III IV
Ferro 70% 72% 80% 85%
Cromo 22% 20% 10% 12%
Nı´quel 8% 8% 10% 3%
.
Quantos quilos de cada uma dessas ligas devemos tomar?
13. Encontre os valores de a para os quais o sistema linear abaixo possui soluc¸a˜o.
x + y − az = 0
ax + y − z = 2− a
x + ay − z = −a
.
14. Resolva o sistema 
x + y + z = 1
x − y + z = −2
2y = 3
.
15. O Bronze e´ uma liga de cobre e zinco, na qual a percentagem de cobre varia geralmente
entre 60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre,
deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos
de primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo tipo de bronze devem ser usados?
16. Resolva o sistema 
x + 3y + 5z + 7w = 12
3x + 5y + 7z + w = 0
5x + 7y + z + 3w = 4
7x + y + 3z + 5w = 16
.
17. Suponha que um conjunto de dados experimentais seja representado por um conjunto
de pontos no plano. Um polinoˆmio interpolador para esse conjunto de dados e´ um po-
linoˆmio cujo gra´fico passa por cada ponto. Em trabalhos cient´ıficos, esse polinoˆmio pode
ser usado, por exemplo, para obter estimativas de valores entre os pontos conhecidos.
Outra aplicac¸a˜o e´ a criac¸a˜o de curvas para imagens gra´ficas na tela de um computa-
dor. Um me´todo para se determinar um polinoˆmio interpolador e´ resolvendo um sistema
de equac¸o˜es lineares. Determine o polinoˆmio interpolador para o conjunto de dados
(1, 12), (2, 15), (3, 16). Isto e´, determine a0, a1 e a2 tais que
a0 + a1(1) + a2(1)
2 = 12
a0 + a1(2) + a2(2)
2 = 15
a0 + a1(3) + a2(3)
3 = 16
.
18. Uma editora publica um best-seller em potencial com treˆs encadernac¸o˜es diferentes: capa
mole, capa dura e encadernac¸a˜o de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo
para costura e cola, conforme mostra a tabela abaixo:
Costura Cola
Capa mole 1 min 2min
Capa dura 2min 3min
Luxo 3min 5min
3
Se o local onde sa˜o feitas as costuras fica dispon´ıvel 6 horas por dia e o local onde se cola,
11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os
locais de trabalho sejam plenamente utilizados?
19. Calcule o determinante das matrizes abaixo.
(a) A =

i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
 (b) B =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
 .
20. Considere a matriz
A =
 1 0 x1 1 x2
2 2 x2
 .
Obtenha a matriz A−1.
4