Cinética dos Gases

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Teoria Cinética dos 
Gases
Capítulo 04 Castellan
Disciplina: Físico-Química - 205
Profª Daniela Martins Fernandes de Oliveira
Universidade estadual de Maringá
Departamento de Química
 INTRODUÇÃO
Objetivo:
Conexão entre as descrições macroscópicas (P,V,T,
energia interna) e microscópicas (velocidade,
energia cinética, momento linear) incorporando
conceitos estatísticos para compreender as
propriedades da matéria.
Teoria Cinética dos Gases
É um modelo baseado em algumas características que se supõe
importantes para a descrição do sistema físico em questão (gás ideal).
Estas características baseiam-se em intuição ou conveniência
matemática. A validade de um modelo é determinada pela
experimentação.
Teoria Cinética dos Gases
As propriedades macroscópicas de um gás são conseqüências
primárias do movimento das moléculas e é por isso que se fala em
teoria cinética dos gases.
O objetivo da Teoria Cinética dos Gases é explicar as propriedades
macroscópicas do sistema em termos de sua estrutura molecular
(propriedades microscópicas).
- Deduzir uma relação matemática entre
P, V e T que esteja em concordância com
as Leis empíricas.
- Explicar esta relação com base na
estrutura do sistema e no comportamento
do gás.
 INTRODUÇÃO
Hipóteses:
i) O gás é constituído por um grande nº de átomos
ou moléculas (massa, m) em incessante movimento
aleatório.
ii) O volume próprio das moléculas é desprezível frente ao volume do
recipiente (o tamanho das moléculas é desprezível no sentido de que os diâmetros
moleculares são muito menores do que a distância média percorrida pelas partículas
entre duas colisões sucessivas).
iii) As forças intermoleculares são desprezíveis, exceto nas colisões
elásticas (raras) e com as paredes do recipiente.
iv) Na ausência de um campo de força, as partículas movem-se em
linha reta (1ª lei de Newton).
v) Considerando que na ausência de um campo de
força, N moléculas estão distribuídas em todo
recipiente de volume V, as moléculas podem se
mover igualmente nas três direções (x, y, z)
Teoria Cinética dos Gases
Número de Avogadro (NA) : 1231002,6  molN A
Número de Mols (n)
onde N é o número de átomos ou moléculas na amostra de gás
231002,6 

N
N
Nn
A
(NA é o nº de átomos ou moléculas por mol de gás)
Teoria Cinética dos Gases
P/ calcular a PRESSÃO de um gás pela TCG é preciso considerar que:
- Não existem colisões entre as partículas, somente colisões
elásticas entre as partículas e as paredes do recipiente.
- As partículas movem-se em todas as direções (mov. aleatório) e
com velocidades variadas (umas rapidamente e outras mais
lentamente).
A PRESSÃO de um gás pela TCG depende:
- Do nº e da intensidade de colisões molécula/parede**.
- Da massa das partículas.
- Da velocidade de deslocamento das partículas.
Cálculos da Pressão de um Gás
** Nestas colisões, as moléculas transferem momento linear (mv) p/ as paredes,
dando origem à pressão do gás sobre o recipiente.
Teoria Cinética dos Gases
Considerando uma partícula de massa m, velocidade , movendo-
se paralelamente ao eixo x, no elemento de volume V :
Pressão: resultado da colisão da
partícula com a superfície de área A.
A
FP 
dt
md
dt
dmamF )(.   (1)
A partícula colide com a parede com velocidade 
 e é refletida na direção oposta com velocidade 
- , sem alterar seu módulo.
F: força agindo na partícula de massa m;
a: aceleração; : velocidade
d(m): variação do momento linear da partícula antes 
(m) e após (-m) colisão 
dt
md
dt
dmamF )(.  
m  = momento linear ou quantidade de movimento
Antes da colisão: + m 
Depois da colisão: - m 
Variação do momento linear da partícula:
d(m ) = - m  - (+ m ) = -2 m 
A partícula colide com a superfície (parede) de área A várias vezes. O 
intervalo entre as colisões é o tempo que a partícula gasta para ir até a 
parede oposta (percorrer l) e voltar (percorrer l novamente) com 
velocidade 


ldt
dt
l 22

A força agindo na partícula durante a colisão é:
A força agindo na parede é:
l
m
l
m
dt
mdF
2
2
2)( 





l
m
l
m
dt
mdFp
2
2
2)( 



A
F
P p
V
mP
Al
mP
22 
 Pressão exercida por UMA partícula
unidimensional, sendo V o volume
que contém a partícula
Pressão: resultado da força transmitida à parede dividido pela 
área A:
(2)
Considerando a colisão de N partículas contidas no volume V, todas se 
movendo com velocidades (1, 2, 3...), paralelas a direção x, a pressão 
total será: 
V
mP ....)(
2
3
2
2
2
1 

N
....)( 23
2
2
2
12 


onde N é o n° total de partículas contidas no volume V
V
mNP
2
 Equação da pressão de um gás unidimensional
(3)
Definindo a média do quadrado das velocidades 
como sendo:
(4)
Substituindo (4) em (3):
(5)
Considerando que as moléculas deslocam-se nas 3 direções, ou seja, 
tem componentes de velocidade em x, y e z. 
u
v
w
c
z
x
y
Se os componentes de velocidade forem tomados ao longo dos 
três eixos, o quadrado do vetor velocidade será: 
2222 wvuc 
P/ qualquer molécula, as componentes de
velocidade possuem valores diferentes. Se na
eq. (6) for tomada a média de cada
componente para todas as moléculas:
2222 wvuc 
1. O movimento é aleatório: 
3
2
222 cwvu 
2. A pressão fica: 
V
cmNP
2
3
1

média das velocidades ao 
quadrado
3
2cmNPV 
(6)
Uma vez que foi feita a média de cada componente para todas as
moléculas, não há direção preferencial e:
(7)
(8) (9)
Implicações da Teoria Cinética
1. Energia Cinética Translacional das Moléculas
A energia cinética de qualquer partícula de massa m, que se desloca à
velocidade c é: 22
2
1
2
1 cmEmcE kk 
A energia cinética translacional média total das moléculas é:
(10)
Vimos na eq. (9) que: Substituindo (10) em (9):
Nm
Ec k2
2

V
cNmP
3
2

k
k EPV
Nm
Ex
V
NmP
3
22
3
 (11) Alguma semelhança com
PV=nRT ???






2
2
1 cmNEk
Ek =cte e a eq. (11) é a lei de Boyle
Implicações da Teoria Cinética
kEPV 3
2
 (11)
Ambas equações estão relacionadas, inclusive 
a explicação molecular p/  V,  P.
Gás IDEAL  É AQUELE NO QUAL TODA ENERGIA ÉENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO.
nRTPV 
T = f (Ek) T = f (P,V) 
nRTEk 3
2 TEk 
A energia cinética total de um
movimento aleatório é diretamente
proporcional à T absoluta
RTUEk 2
3
 U é a energia cinética total associada ao movimento ao 
acaso das moléculas num mol de gás ideal.
ENERGIA CINÉTICA E TEMPERATURA
Sabemos que um aumento na Temperatura de um gás é equivalente a um
aumento na energia cinética translacional de suas moléculas constituintes:
 Aumenta a Ek translacional média.
 kT f E
2
3 k
PV E  da Teoria Cinética
PV n R T  Gás Ideal),( VPfT 
Igualando ambas as equações acima:
kEnRT 3
2
 nRTEk 2
3

p/ 1 mol:
RTEk 2
3

Energia cinética translacional 
média total em 1 mol de gás
A energia cinética translacional média total do gás é a soma das Ek de todas as
moléculas presentes na amostra  quanto mais rápido as moléculas se
deslocarem, maiores suas Ek e maior a energia cinética total do gás.
(12)
ENERGIA CINÉTICA E TEMPERATURA
Resultado fascinante da TCG, pois permite verificar a
relação entre T e Ek.
RTEk 2
3
 (12)
-T é diretamente proporcional a Ek.
- Ek só depende da T (a energia do movimento aleatório é
proporcional à T absoluta; quanto maior T, maior Ek).,
- Em T = 0. o movimento molecular é nulo (o movimento
cessa completamente).
- A T está relacionada à Ek média e não à Ek de cada
partícula.
- Em dada T , gases  possuem mesma EK (independe da
natureza).
Implicações:
ENERGIA CINÉTICA E TEMPERATURA
nRTEk 2
3

P/ 1 molécula:
)º(
)º(
molsn
moléculasn
n
NN A 
RT
N
NnRTE
A
k 






2
3
2
3 p/ 1 molécula, N =1
kTE
N
RTnRTE k
A
k 2
3
2
3
2
3
 Onde k = R/NA
Constante de Boltzman
Onde NA é o nº de Avogadro
123
11
1002,6
314,8



molx
molKJk
KeVxk
ou
JKxk
/1062,8
1038,1
5
123




1 eV = 1,602177 x 10-19 J
Energia cinética translacional média do gásAN
Nn 
1
1
2
3
kEP
V
 22
2
3
kEP
V

= pressão parcial do gás 1.
Colisão elástica:
1 2 3
...
ck k k k k
E E E E E   
Como:
1 2 3 ... cP P P P P   
 Lei de Dalton.
V
EP kT 3
2

2. Mistura de Gases e Lei das Pressões Parciais de Dalton 
Numa mistura de gases, a pressão total é a soma das forças por unidade de
área produzidas pelos impactos de cada molécula de gás na parede de um
recipiente. Cada gás, contribui para a pressão com:
A lei de Dalton é 
conseqüência da TCG.
Implicações da Teoria Cinética
ENERGIA CINÉTICA E TEMPERATURA
 Velocidade média quadrática (cvmq)
Na eq. (10):
o termo , é a média dos quadrados das velocidades, assim:
Nm
Ec k22 
2
c
2cc vmq 
(13)vmq
kK
K cm
Ec
m
EccmE 






2
1
22 22
2
1
A cvmq é uma medida da energia cinética média das moléculas. É  de
velocidade média.
médiavelocidadecc vmq 
2
Raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades é 
igual a velocidade média quadrática
vmqcc 
2
A raiz quadrada de é um tipo de velocidade média
   médméd cc 22 
Note que :
APLICAÇÃO
Dadas 5 velocidades : 5; 11; 32; 67 e 300 m/s:
A-) Qual é o valor médio dessas velocidades (cméd) ?
B-) Qual é o valor cvmq dessas velocidades?
2c
smcméd /835
3006732115


 688983)( 22 médc
3,138
5
3006732115 222222  ccvmq
         
   
    22222
22
22222
)(9,191263,138)()(
0,68890,83
3,138
5
3006732115
0,83
5
3006732115
vmqmédvmqméd
méd
vmq
méd
cccc
c
c
c








médiavelocidadecc vmq 
2
ENERGIA CINÉTICA E TEMPERATURA
RTEk 2
3
1 
Aplicando a eq (12) para 2 gases na mesma T:
RTEk 2
3
2 
e na mesma T; EK1 = EK2
A partir da equação: 2
2
1 cmEk 
1
2
2
2
2
12
22
2
11 2
1
2
1
m
m
c
ccmcm  Extraindo a raiz quadrada 
de ambos os lados:
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1















m
m
c
c
1
2
2
1
m
m
c
c
vmq
vmq  (14)
A relação entre as veloc médias quadráticas de duas moléculas
diferentes é igual a relação inversa das massas
ENERGIA CINÉTICA E TEMPERATURA
O valor numérico de cvmq é dado combinando as eq. (10) e (12):
A
k N
RTE
2
3

2
2
1 cmEk 
AN
RTcm
2
3
2
1 2 
M
RTcvmq
3

(10) (12)

)(
2 3
molarmassaM
AmN
RTc 
M
RTc 3
2

M
RTc 3
2

(15) Vemos que:
- cvmq é proporcional a T1/2 
- cvmq é proporcional a 1/M1/2
Energia cinética p/ 1 molécula 
de gás
Permite calcular a cvmq das moléculas 
de um gás em  T
e
EFUSÃO E DIFUSÃO DE GASES
Para 2 gases em uma mesma temperatura (T):
1
2
2
1
M
M
c
c
vmq
vmq  (16) Em qualquer T, moléculas mais leves se movem mais rapidamente.
A efusão e a difusão são fenômenos que permitem observar
diretamente a dependência da velocidade molecular média c/
relação à massa molar do gás.
Difusão  Processo espontâneo pelo qual moléculas de
gases diferentes misturam-se entre si.
Efusão  É a passagem de um gás através de um
pequeno orifício.
EFUSÃO E DIFUSÃO DE GASES
- P/ a efusão, foi comprovado experimentalmente que para 2 gases A e B
em uma mesma T:
A
B
vmqB
vmqA
M
M
c
c

- P/ a difusão, estão envolvidos efeitos de colisão entre as moléculas:
A
B
B
A
vmqB
vmqA
M
M
J
J
c
c

)(
)( Onde J é o fluxo de moléculas
(nº moléculas/seg)
A efusão e a difusão são fenômenos importantes quando se
trata de mistura de gases p/ determinar as velocidades de
cada gás.
EFUSÃO E DIFUSÃO DE GASES
Exercícios
)()(
)(
)(
22
2
2 4
2
32
OvmqHvmq
Ovmq
Hvmq cc
c
c

1. A partir da eq. (16) calcule a razão das cvmq do H2 e do O2 e
discuta seus resultados.
Pelo fato do H2 ser um gás mais leve que o O2, a velocidade de
suas moléculas é quatro vezes maior que a velocidade das
moléculas de O2.
EFUSÃO E DIFUSÃO DE GASES
2. Calcule a cvmq p/ o CO2 a 298K. Compare o valor de cvmq do CO2 com a
do H2. Dado: MCO2 = 44,01 g mol-1
13
11
)( 1001,44
15,298314,833
2 


Kgmolx
KxmolJKx
M
RTc COvmq 1J = Kg m2 s-2
Unidades:SI
1
)( 4112
 msc COvmq
13
11
)( 102
15,298314,833
2 


Kgmolx
KxmolJKx
M
RTc Hvmq
)()(
)(
)(
22
2
2 7,4
2
44
COvmqHvmq
COvmq
Hvmq cc
c
c

1
)( 19282
 msc Hvmq
A cvmq do H2 é 4,7 vezes
maior que a do CO2
DISTRIBUIÇÃO DAS VELOCIDADES MOLECULARES
As velocidades moleculares devem ser descritas por uma “função
distribuição” que mostra a fração de moléculas com certa
velocidade num dado intervalo. Por que????
- Moléculas  Deslocam-se com velocidades diferentes.
- Colisões  Mecanismo pelo qual as velocidades das moléculas
individuais estão mudando.
É impossível e inútil conhecer a velocidade exata de cada 
molécula a cada instante.
Solução: Usar a estatística p/ determinar a probabilidade de
encontrar moléculas c/ velocidades entre c e c+dc.
Distribuição de Velocidades entre as Moléculas
 Quantas moléculas possuem velocidade num dado intervalo de
valores.
 Qual a probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
num dado intervalo de valores, independente da direção em que ela se
mova.
 Especifica a fração de moléculas com velocidade num dado
intervalo.
A velocidade das moléculas muda constantemente mas o nº de moléculas
com velocidades dentro de um intervalo c + dc é constante.
Distribuição: divisão em classes, classificação.
A função distribuição fornece a probabilidade de uma propriedade 
estar em um dado intervalo (entre x e x + dx)
• faixa etária
• poder aquisitivo
• escolaridade, etc.
A partir da função distribuição pode-se calcular valores médios.
Ex: idade média da população.
Ex: População
Para que estes intervalos tenham significado, a largura do intervalo
deve ser grande o suficiente para eliminar detalhes que não interessem
e suficientemente estreita para salientar aspectos importantes!!!
J.C. MAXWELL (1860)  FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO
Distribuição de velocidades moleculares por considerações
estatísticas.
dcec
kT
mNdn kTmcc
22
2
3
2
2
4 






 (17)
Exprime a fração de moléculas tendo velocidade entre c e c+dc em
termos do nº total de moléculas (N), da massa das moléculas, da T e da
velocidade.
cdnN
1
onde k é a cte de Boltzman: k = R/NA
R
M
R
mN
k
m A 
Sendo,
Substituindo na eq. (17)
dcec
RT
MNdn RTMcc
22
2
3
2
2
4 







É comum representar a distribuição num gráfico de que
expressa a probabilidade de encontrar uma molécula c/ velocidade entre c e
c+dc  largura do intervalo dc.
cversus
dc
dn
N
c1
Maxwell descobriu num gás em equilíbrio térmico, a distribuição das
velocidades moleculares é representada por uma função que só depende da
T e da M das moléculas.
RTMcc ec
RT
M
dc
dn
N
cf 22
2
3
2
2
41)( 







O gráfico da função distribuição é mostrado a seguir.
Exprime a fração de moléculas c/ veloc entre c e c+dc dividido pela largura do 
intervalo, dc. 
Observações:
- A probabilidade de encontrar moléculas em repouso
( c) ou c/ velocidades muito altas () é muito
pequena.
- A maioria das moléculas tem veloc próxima ao máximo
da curva (cmp).
- A distribuição de velocidade muda c/ a
temperatura. Aumentando T:
 o máximo da curva se desloca p/ c
maiores.
 alarga a distribuição pois a área sob
as curvas é a mesma.
RTMcc ec
RT
M
dc
dn
N
cf 22
2
3
2
2
41)( 







A distribuição também depende da M. Gases mais pesados (à mesma T)
tem distribuição mais estreita.
Para um mesmo gás:
 f(c) é grande p/ moléculas mais pesadas
( M) e p/  T, mas as moléculas possuem
c menores.
 Em  T e MM , as moléculas possuem c
maiores.
 ca é a velocidade p/ reagir (Ea)
 Em  T, poucas moléculas c/ c ca
 Em  T, muitas moléculas c/ c ca.
 Explica o aumento da velocidade de reações químicas com o aumento da
Temperatura.
 Explica que a evaporação é um processo de resfriamento (as moléculas c/
maior veloc escapam do estado líq e a Ek média das que ficam diminui).
 Em T=0, a distribuição é infinitamente estreita, todas as moléculas tem
Ek=0.
Análise:
Além das constantes, a f(c) depende dedois
fatores:
c2 e exp -Mc2/RT
RTMcc ec
RT
M
dc
dn
N
cf 22
2
3
2
2
41)( 







Fator quadrático (c2): predomina quando c é muito baixa.
0
1
2
exp
0
2









N
dn
RT
Mc
c
c
Curva parabólica na origem: c2 é predominante
e a função exponencial vale  1.
RTMcc ec
RT
M
dc
dn
N
cf 22
2
3
2
2
41)( 







Fator exponencial : predomina quando c 
é muito alta.
- A equação tem função exponencial
decrescente, e-x (x  c2), então,  c,  f(c) 
poucas moléculas com velocidades altas.
 Limita o n° de moléculas com c altas e favorece
o n° de moléculas com c baixa.
- Para elevados valores de c, observamos uma
queda rápida na curva.
- Quando M é grande o fator exponencial tende
e a zero, então, as moléculas mais pesadas
não possuem velocidades elevadas.
0
0
2
exp
2








N
dn
RT
Mc
c
A função produto que descreve estes dois comportamentos
apresenta um máximo e tende a zero p/ c  ou c .
Velocidade mais provável (cmp)
Vimos que poucas moléculas tem velocidades muito
baixas ou muito altas. A maioria tem velocidade próxima
ao máximo da curva:  .m pc m ax curva
Ponto de máximo: 1ª Derivada igual a zero.
Como encontrar a cmp?
Derivando a eq. de Maxwell e igualando a 0.
02
2
exp
22





















RT
Mc
RT
Mcc
3 soluções: 
02
0
2
exp
0
2
2























RT
Mc
RT
Mc
c
02
0
2
exp
0
2
2























RT
Mc
RT
Mc
c Próximo da origem
Quando c  infinito
M
RTc 22 
 
2
1
2/12 2 





M
RTcc mp
Velocidade mais provável
Velocidade mais provável (cmp)
Velocidade Média (c)
Pela termodinâmica estatística, o valor médio de qualquer variável pode 
ser calculado pela equação abaixo:
dxPxx j
máx
mín j
Valor específico 
da variável
Probabilidade
Assim, a velocidade média pode ser
determinada, integrando-se a eq. de Maxwell
de 0 a .
dcec
RT
Mcc RT
Mc

 














0
22
2
3
2
2
4


2
1
8






M
RTc

Velocidade Média
1
22
m p
RTc
M
   
 
Velocidade média quadrática
Velocidade mais provável 
Velocidade média
2
1
3






M
RTcvmq
2
1
8






M
RTc

Por que a c não está no máximo da curva??????
Porque em baixas c predomina
c2 e em altas c predomina o
termo exponencial.
Curva não é simétrica !!!!!!!
A queda da curva é menos acentuada após
o máximo, implicando que mais da metade
das moléculas possuam c > cmp
A integral em um dado intervalo de c
fornece o nº de moléculas com c
neste intervalo.
cvmq=
Relação: cmp: c: cvmq = 1: 1,13: 1,22
Equipartição da Energia e Quantização
A distribuição de velocidades de Maxwell pode ser transformada numa
distribuição de energia.
A energia cinética de uma molécula é: 
assim, 
2
2
1 mcEk 
2
1
2






m
Ec k
Ek
RTE
kE deERT
Ndn k
k





 2
12
3
12


Ea  Energia mínima p/ reação
- Somente moléculas que possuem energia
maior que Ea podem reagir quimicamente;
- Em maior T, maior nº de moléculas c/ E  Ea,
por isso, a velocidade de uma reação  c/ o  T.
f(Ek)
Equipartição da Energia e Quantização
A energia cinética translacional total média de uma molécula (U) é dada
por:
kTtotalEU k 2
3)(  Onde k é R/NA
RTtotalEU k 2
3)(  Energia cinética translacional 
total média por mol de gás (1)
A eq. (1) exprime a lei da equipartição da energia que diz o seguinte:
“A energia total média é dividida entre as três componentes independentes do 
movimento que são chamadas graus de liberdade”
A lei da equipartição pode ser enunciada do seguinte modo:
“ Se a energia de uma molécula puder ser escrita na forma de uma
soma de termos, onde cada termo é proporcional ao quadrado de uma
velocidade ou deslocamento, então cada um dos termos quadrados
contribui com (1/2 kT) para a energia total média.”
 Energia Cinética Translacional Média
A energia translacional de qualquer molécula de gás monoatômico ou
poliatômico é dada por:
Aplica-se ao movimento translacional: Deslocamento da posição do
centro de massa. Três coordenadas (x, y, z) descrevem a posição do
centro de massa. Ex: Elevador (movimento paralelo aos eixos x, y, z)
kTEk 2
3

Um sistema mecânico constituído de N partículas é descrito
especificando-se 3 coordenadas (x, y, z) p/ cada partícula ou um total
de 3N componentes de movimento independente ou graus de
liberdade.
222
2
1
2
1
2
1)(
)()()()(
wmvmumtotalE
zEyExEtotalE
k
kkkk

 Cada termo contribui 
com ½ kT
Uma vez que o movimento translacional é descrito pelo deslocamento
do centro de massa nas três direções (x, y, z), então, p/ um sistema de
N moléculas existem:
)33( N Graus de liberdade interno
(rotação e vibração)
 Energia Cinética Translacional Média
modos translacionais
P/ um gás monoatômico (N=1), existem (3 x 1 -3) = 0 modos de rotação
e translação, indicando que gases monoatômicos possuem somente
energia translacional.
 Gases Monoatômicos (He, Ne, Hgvapor ):
RTE naltranslaciok 2
3
)( 
p/ um mol de gás
Ek(translacional) = U= energia cinética total do gás
 Gases Diatômicos:
(N2,, Cl2)
N=2, possui (3x2-3)= 3 graus de liberdade 
interna (rotação e vibração)
Rotação: Modelo rotor rígido
 2 graus de liberdade
Princípio da Equipartição de Energia para
cada grau de Liberdade Rotacional:
rotE RT
Se a molécula tem 3 graus de liberdade interna e dois são usados 
para rotação, resta 1 GL p/ a vibração. 
Existem 2 modos de rotação em torno
dos eixos x e y. Então:
RTRTErot 2
1
2
1

Vibração: Modelo oscilador harmônico
Energia Cinética
2
2
1 mcEk 
Energia Potencial
2
2
1 xEp 
P/ cada grau de liberdade vibracional
eu tenho:
kTEkTkTE
xmcE
vibvib
vib


2
1
2
1
2
1
2
1 22 
ou RTE vib 
p/ cada GL vibracional
P/ uma molécula diatômica:
RTRTRTRTU
EEEU vibrottrans
2
7
2
3


 Moléculas Poliatômicas:
N átomos )33( N graus de liberdade interno.
 Diatômicas
3 3 3N  
 2 rotacionais
 1 vibracional
 Triatômicas****
3 3 6N  
 rotação
 vibração
***Linear ou angular
 Rotacional: 2 Graus de Liberdade
 Vibracional: (3N-5) Graus de Liberdade
Linear
RTRTRTRTU
EEEU vibrottrans
2
134
2
3


Por mol
 Rotacional: 3 Graus de Liberdade
 Vibracional: (3N-6) Graus de Liberdade
Angular
RTRTRTRTU
EEEU vibrottrans
63
2
3
2
3


por mol
Exemplos: SO2, H2O, etc.
 Linear: 3N-5 =
 Angular: 3N-6 = 
Graus de Liberdade 
Vibracionais para moléculas 
poliatômicas
Triatômica Linear
3N – 5 = 4
Ex: CO2
 Moléculas Poliatômicas CO2
L
 11 1388cm 
R
 13 2349cm 
 12 667cm 
Vibração fora do plano
Simétricos
Triatômica Angular
3N – 6 = 3
Ex: H2O
 Moléculas Poliatômicas
1
 13652cm 
2
 11595cm 
3
 13756cm 
Os modos normais da H2O.
O modo 2 é predominantemente deformação angular e ocorre em
número de onda menor que os outros dois.
H2O
Generalizando: Gases poliatômicos
Lineares
Não lineares
RTNRTRTU )53(
2
2
2
3

RTNRTRTU )63(
2
3
2
3

Gases poliatômicos:
Gases monoatômicos:
RTU
2
3

Energia Cinética, Temperatura e Capacidade Calorífica
Aberto Fechado Isolado
Energia Cinética, Temperatura e Capacidade Calorífica
Se escoar calor p/ um gás mantido à volume constante, a energia do
gás aumentará da quantidade de energia transferida pelo
escoamento de calor.
A relação entre aumento de energia e aumento da temperatura do
sistema à V= cte é a capacidade calorífica à volume constante,
definida por:
V
v T
UC 







 Capacidade Calorífica à 
Volume Constante
Gases monoatômicos: RTU
2
3
 Energia por mol
RCv 2
3
 Capacidade calorífica molarp/ gás monoatômico
Energia Cinética, Temperatura e Capacidade Calorífica
Gases poliatômicos:
(Linear)
RNRRC
RNRRC
v
v
)63(
2
3
2
3
)53(
2
3


(Angular)
 P/ gases monoatômicos: 5000,1/RCv
 P/ gases diatômicos:
5,3
2
71
2
2
2
3/ RCv
Gás CV/R (exp) CV/R (teorico)
He, Ne, Ar, Kr, Xe 1,500 1,5
H2 2,468 3,5
N2, HF, HCl 2,500 3,5
Br2 3,33 3,5
CO2 3,466 6,5
CS2 4,49 6,5
H2O 3,038 6
NO2 3,56 6
C2H2 4,283 8,5
HN3 4,04 9
P4 7,05 9
Dados de CV/R a 298,15 K
Ver Tabela 4.3 Castellan
Exercícios
Castellan:
I) Questões 4.1; 4.2; 4.3; 4.4
II) Problemas: 4.1; 4.2 e 4.3
III) Calcular a capacidade calorífica molar à volume constante (Cv/R) p/ o
Ar; para o H2 e para a água. Compare os valores obtidos com os
experimentais dados na Tabela anterior e discuta seus resultados.