limites_que_envolvem_infinito

Prévia do material em texto

LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO 
 
Exemplo 1: 
xx
1lim
0
=
0
1 
 
 
 
 
 
 
 

 0
1lim
0x
 não Em limite existe 
limite. 
Definição: Uma reta x = a é chamada assíntota vertical do gráfico de uma função f se 
)(xf ou )(xf quando ax  pela esquerda e pela direita. 
Exemplo 2: 
22 )2(
1lim
 xx
= 
 
Exemplo 3: 
011lim 


 xx
 
011lim 


 xx
 
Definição: Uma reta y = L é chamada assíntota horizontal do gráfico de uma função f
se Lxf )( quando x ou x . 
Teoremas sobre limites com x : 
I – Se C então: 
CC
x


lim e CC
x

_
lim 
Ex.: 44lim 
x
 
xx
1lim
0
xx
1lim
0
 
II – Se n é um nº inteiro e positivo, então: 


n
x
xlim 
Ex.: 

3lim x
x
 
 


n
x
xlim





 impar se n -
par se n 
 
Ex.: 

3lim x
x
 
Ex.: 

6lim x
x
 
III – Se n é um nº inteiro e positivo, então: 
01lim 
 nx x
 
Ex.: 01lim 5  xx
 
01lim 
 nx x
 
Ex.: 01lim 3  xx
 
IV- Se 01
1
1 ...)( axaxaxaxf
n
n
n
n 

 , 0na é uma função polinomial, então: 
n
nxx
xaxf

 lim)(lim “o termo de maior grau” 
Ex.: 
a) 

374lim 2 xx
x
 
b) 

xxx
x
332lim 45 
 
c) 

x
x
4lim 
V – Se )(xf e )(xg são funções polinomiais definidas por: 
01
1
1 ...)( axaxaxaxf
n
n
n
n 

 e 
01
1
1 ...)( bxbxbxbxg
m
n
m
n 

 
 
m
n
n
n
xx xb
xa
xg
xf

 lim
)(
)(lim 
Ex.: 
a) 


 xxx
xx
x 262
374lim 22
2
 
b) 


 195
332lim 2
45
xx
xxx
x
 
 
Limites com x envolvendo radicais: 
Exemplos: 
a)
x
x
x
32lim 

 divide por 






0
0
 -x se x
 x x se 
x que neste caso 0 x x por  
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x 1
3
1
3
22
22
lim






=
x
x
11
31 2


= 1 
b) 
3
92lim 

 x
x
x
 divide por 






0
0
 -x se x
 x x se 
x que neste caso 0 x x por  
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x









 1
9
3
9
22
22
lim =
x
x



11
91 2
= -1 
 
 
Exercícios sobre limites: 
 
1) Ache o limite: 
(a) 
4
2
2
2
lim  tt 
(b) 
4
2
2
2
lim  tt 
(c) 
x
x
x
3
lim
2
0


 
(d) 
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
 
(h) 
25
12
lim


 t
t
t
 
(i) 
583
127
lim 2
2


 xx
xx
x
 
(j) 
28
524
lim 3
23


 xx
xx
x
 
(l) 




 

2
13lim
x
x
x
 
 
(e) 




 

2
0
11
lim
xxx
 
(f) 32
0 35
2lim xxx  
(g) 








 12
1
2
1
lim
xxx
 
(m) 
5
32
lim
2


 x
xx
x
 
 
 
1) Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função 
 
(a) 2
11)(
x
xf  
(b) 
x
xf 11)(  
(c) 
4
2)(
2 

x
xf 
(d)    6312  xy 
 
 
2) Para uma pequena empresa química, cada quilograma de pólvora produzida 
custa 360 dólares e mais 7200 de despesas gerais por dia. Indique por )(xA o custo 
médio produzido da pólvora, medido em dólares por quilograma, em um dia em que são 
produzidos x quilogramas. Dar uma fórmula para )(xA e determinar os limites 
)(lim
0
xA
x 
 e )(lim xA
x 
 
 
 
4) Ache o limite: 
 
2
3 4( ) lim
2 5x
xa
x 


=
2
3
 
 
4
3
2 5( ) lim
4 1x
x xb
x 
 

=  
 
 (c) 
x
x
x
32lim 

 =1 
 
(d) 
3
92lim 

 x
x
x
 =-1 
 
(e) 




 

2
11lim xxx = 0 
 
 
 
(f) 32 35
2
lim xxx 
= 0 
 
(g) 








 12
1
lim 2xxx
= 0 
 
2
22lim)(
x
xxh
x


= 2 
 
(i) 
4
2
lim 2  tt
= 0 
 
(j) 
4
2
lim 2  t
t
t
= 0 
 
(k) 
25
12
lim


 t
t
t
=
5
2 
 
(l) 
583
127
lim 2
2


 xx
xx
x
=
3
7 
 
(m) 
28
524
lim 3
23


 xx
xx
x
=
2
1 
 
(n) 




 

2
13lim
x
x
x
=  
 
(o) 
5
32
lim
2


 x
xx
x
= -1 
 
(p) 
5
67
lim
5


 x
x
x
=  
 
 
(q) 

3lim
2x
x
 
 
(r) 
267
2
lim
x
x
x 


=
6
1 
 
(s) 
58
127
lim
2


 x
xx
x
=
8
7 
 
 
(t) 
583
125
lim 2
4


 xx
xx
x
=
3
5 
 
 
u) )1002(lim
3 xx
x


= +