Lista de Calculo de integrais ( Primitivas )

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO
CEARÁ
Disciplina: Cálculo Dif. e Integral II Curso: Física 1a Lista
Prof.: Loester Sá 11/02/2016
Aluno(a): Nota:
Todas as questões devem ser devidamente justificadas com explicações ou
cálculos. Questões escritas com grafite não serão revisadas.
1. a) Defina primitiva de uma função f : I ⊆ R −→ R
b) Justifique o fato:
∫
sin(x) + x3dx = − cos(x) + x44 + k
Calcule as seguintes integrais indefinidas.
a)
∫
3 3
√
x− x3dx b)∫ 3x4−xx dx c)∫ x+ 3ex − cos 3xdx
d)
∫
sec2 x− 1dx e)∫ cscx cotx− x5dx f)∫ (x− 3)3 + tanxdx.
2. Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado:
a) limn→∞
∑n
i=1
∆x
1+xi
, [0, 1]
b) limn→∞
∑n
i=1
√
x∗i + 3(x
∗
i )
2∆x, [1, 8]
3. Expresse a integral como um limite de somas.
a)
∫ 6
2
x
1+x5 dx b)
∫ 10
1
(x− 2ln x)dx
4. Calcule a integral, interpretando-a em termos de área. (desenhe o gráfico
do integrando)
a)
∫ 3
1
(1 + 2x)dx b)
∫ 2
−2
√
4− x2dx
c)
∫ 0
−3(1 +
√
9− x2)dx d) ∫ 2−1 |x|dx.
5. Use as propriedades de intergral para verificar ou calcular:
a)
∫ 9
0
[2f(x)− 3g(x)]dx, sendo ∫ 9
0
f(x)dx = 3 e
∫ 9
0
g(x)dx = −4.
b)
∫ 1
0
√
1 + x2dx ≤ ∫ 1
0
√
1 + xdx.
c) 2 ≤ ∫ 1−1√1 + x2dx ≤ 2√2.
6. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x(t),
t > 0. Determine a função x(t), sabendo que:
d2x
dt2
= e−t, v(0) = 0, onde
v é a função velocidade, e x(0) = 1.
7. Determine a área da região delimitada pelo gráfico de f : [−1, 1] −→ R e
o eixo x, sendo:
a)f(x) = x2 + 2x+ 10 b)f(x) = x+ 8
c)f(x) = x√
x2+1
d) f(x) = 2x(x2 − 2)3.
8. Calcule a área da região limitada por:
a) x = 0, x = 1, y = 2 e pelo gráfico de f(x) = x3.
b) x = 1, x = 4, y = 0 e pelo g¯afico de y =
√
x.
c) y = 3x, y = −x+ 9 e x = 0.
d) y = 3x, y = −x+ 9 e 0 ≤ x ≤ 1.
9. Calcule o espaço percorrido e o deslocamento de uma partícula que se
move sobre o eixo x com velocidade:
a) v(t) = 2t− 3 entre os instantes t = 0 e t = 3.
b) v(t) = | sin 2t|, 0 ≤ t ≤ pi
10. Calcule:
a)
∫ 2
1
x2
(x+1)2 dx b)
∫ pi
6
0
cosx sin5 x+ tgxdx
c)
∫ 2
1
2x
√
1 + x2dx d)
∫ 4
2
ln x
x dx
11. Uma mola de constante k esta presa ao suporte A e a um corpo B de
massa m. O comprimento normal da mola é l. Desprezando o atrito entre
o corpo B e a barra horizontal, mostre que a força resultante atuando no
corpo ao longo da barra é dada por:
F (x) = −kx(1− l√
x2 + l2
)
.
Calcule o trabalho realizado durante o deslocamento da posição x = −1
para a posição x = 1. (Lembre que a força elastica da mola é Felas =
−ks onde s é o valor da posição da mola em relação a posição natural,
deformação da mola. Depois decomponha a força na direção da barra
horizontal)
12. Calcule os seguintes limites.
a)limn→∞
∑n
i=1
i3
n4
b)limn→∞
1
n
(√
1
n
+
√
2
n
+
√
3
n
+ · · ·+
√
n− 1
n
+
√
n
n
)
2