PRÁTICA 2

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Universidade Federal de São Carlos 
 
Física Experimental 
Turma NA 
 
 
 
Prática 2: Densidade de sólidos - construção de gráficos lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Dra. Thereza Cury Fortunato 
 
 
 
 
Aluno: Gabriela Peres Bianchin 
 
 R.A.: 791551 
 
Aluno: Diego Henrique Rosa Penha 
 
 
 
 R.A.: 740885 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 de Abril de 2024 
São Carlos - SP 
 
 
Resumo: Para estimar a densidade do metal constituinte de três peças metálicas, realizou-se 
medição direta da massa e do volume de tais peças, assim como suas associações. Com os 
valores obtidos, realizou-se uma medição indireta para obtenção da densidade de cada objeto 
e suas associações. Um gráfico de massa em função do volume em papel milimetrado foi 
construído e a melhor reta ,visualmente, foi traçada, e para comparação, o método dos 
mínimos quadrados (MMQ) foi aplicado, encontrando com maior precisão a melhor reta para 
os dados obtidos. Ao comparar com os valores presentes na literatura, concluiu-se que o 
material dos objetos é o alumínio. 
 
1. Objetivos 
Este experimento teve como objetivo, através da construção de gráficos e a partir das 
amostras, determinar a densidade de cada cilindro, a partir do cálculo de massa sobre volume, 
assim como buscar maneiras de minimizar as incertezas associadas às medições de massa e 
de volume, além de aplicar o método visual e o método dos mínimos quadrados nos 
resultados representados graficamente e comprovar a consistência dos métodos utilizados, ao 
comparar os resultados de densidade com o dos materiais, utilizando como base o que já está 
registrado em literatura, assim temos: 
 
● Alumínio = (2,6989 ± 0,0001) g/cm³; 
● Latão = (8,7 ± 0,2) g/cm³; 
● Cobre = (8,9 ± 0,1) g/cm³ 
 
2. Fundamentação teórica 
 
Para a realização desta prática, foi necessário compreender alguns conceitos. Um deles é a 
densidade, uma propriedade física importante, que pode ser usada para identificar substâncias 
e para entender sua estrutura molecular. A fórmula geral para calcular a densidade (𝜌) é dada 
por: 
 
𝜌 = 𝑚/𝑉 (1) 
 
Onde 𝑚 é a massa do objeto e V é o volume ocupado pelo objeto. 
 
Para deixarmos os resultados mais concisos e visualmente representados usamos gráficos, 
nesse caso, lineares e para isso é de suma importância conhecermos o método dos mínimos 
quadrados. Esse método é uma técnica muito utilizada em estatística para encontrar a melhor 
linha reta que se ajusta a um conjunto de dados experimentais, é frequentemente aplicado em 
análises de regressão linear, em que o objetivo é minimizar a soma dos quadrados das 
diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha de regressão. 
 
Na prática de densidade de sólidos com construção de gráficos lineares, esse método pode ser 
utilizado para determinar a inclinação da reta que relaciona a densidade dos sólidos com seus 
volumes. Um gráfico linear é representado, similarmente ao diagrama cartesiano, o qual 
“x” equivale ao plano horizontal, e “y” ao plano vertical. A relação de duas grandezas é 
expressa pela equação y = ax+b, em que “x” e “y” são as variáveis e “a” e “b” são as 
constantes, denominadas coeficiente angular e coeficiente linear. Essa inclinação 
corresponderá à densidade do material. De modo geral, a construção de gráficos lineares 
permite visualizar e interpretar a relação entre a densidade e o volume dos sólidos de forma 
clara e precisa. 
 
3. Materiais utilizados 
● 3 cilindros metálico de mesmo material; 
● Balança: Balanças JB; 
● Água; 
● Papel milimetrado; 
● Proveta: JProlab; e 
● Software Geogebra. 
 
4. Procedimento experimental 
 
1. Utilizamos uma proveta graduada para medir o volume inicial (Vi) de cada peça e de todas 
as suas combinações possíveis, conforme descrito na introdução teórica. Realizamos no 
mínimo 7 medições distintas. 
 
2. Determinamos a massa de cada peça e suas combinações. 
 
3. Calculamos a densidade (ρi) de cada peça e suas combinações, juntamente com a sua 
incerteza padrão combinada. 
 
4. Atraves dos dados elaboramos um gráfico onde representamos a massa (mi) no eixo das 
ordenadas (y) e o volume (Vi) no eixo das abscissas (x), utilizando papel milimetrado. 
 
5. Traçamos visualmente a reta que melhor representaria a distribuição dos pontos e 
determinamos o valor do coeficiente angular dessa reta, da qual essa inclinação representa 
fisicamente a densidade média. 
 
6. Aplicamos o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para determinar o coeficiente 
angular da reta mais provável, onde essa inclinação é numericamente igual à densidade média 
procurada, obtida pelo método dos mínimos quadrados. 
 
7. Utilizando a equação da reta determinada pelo MMQ, traçamos essa reta no gráfico de 
massa em função do volume. 
 
5. Apresentação dos resultados 
 
A tabela P2.1 apresenta a massa das três peças utilizadas e a massa das associações de ambas. 
Mostra-se também o volume das peças que foi obtido colocando 40ml de água na proveta e 
em seguida, as peças, calculando então o volume a partir da diferença dos valores 
encontrados. Dispondo então da massa e volume, foi possível encontrar a densidade e a 
incerteza padrão combinada que estão expostos na tabela. 
 
Tabela 1.1: Massa, volume e densidade das peças 
Peças ou 
associações 
mi ± u(mi) 
(g) (± 0,1g) 
Vi ± u(Vi) 
(mL) (± 0,7 mL) 
ρi ± u(ρi) 
(g/cm³) 
1 25 10 2,50 ± 0,25 
2 36 15 2,40 ± 0,16 
3 82 32 2,56 ± 0,08 
1+2 61 24 2,54 ± 0,10 
1+3 107 41 2,56 ± 0,05 
2+3 118 46 2,60 ± 0,06 
1+2+3 143 55 2,60 ± 0,05 
 
A tabela 1.2 expõe os resultados encontrados para auxiliar na aplicação do Método de 
Mínimos Quadrados (MMQ) utilizando os valores da tabela 1.1, a fim de determinar o 
coeficiente angular da reta que seja mais provável, junto da sua incerteza. 
 
Tabela 1.2: Para determinação do MMQ 
 
Peças ou 
associações 
mi 
(g) (± 0,1g) 
Vi 
(mL) (± 0,7 mL) 
miVi 
(g*mL) 
Vi² 
(mL²) 
1 25 10 250 100 
2 36 15 540 225 
3 82 32 2.624 1024 
1+2 61 24 1.464 576 
1+3 107 41 4.387 1.681 
2+3 118 46 5.428 2.116 
1+2+3 143 55 7.865 3.025 
 Σ miVi = 22.558 Σ Vi² = 8747 
 
Está apresentado na tabela 1,3 os valores de densidade e suas respectivas incertezas obtidos 
através dos métodos de ajustes gráficos conhecidos como Método Visual e Método dos 
Mínimos Quadrados (MMQ), bem como o valor teórico de densidade do alumínio e sua 
respectiva incerteza descritos na literatura. A tabela pode ser usada para efeito de comparação 
entre os valores experimentais e o valor teórico. 
Para o cálculo da incerteza associada ao cálculo da densidade, temos: 
 
𝓊(𝜌) = (2) 1
𝑉2 𝓊(𝑚)2 + 𝑚2
𝑉4 𝓊(𝑉)2 
 
Sendo a incerteza relacionada ao volume: 
𝓊 ) = (3) (𝑉
𝑖
𝑢2(𝑉
2
) + 𝑢2(𝑉
1
) 
 
Por fim, para o cálculo usando mínimos quadrados e sua incerteza, utilizou-se: 
 
𝜌 = (4) 
Σ 𝑉
𝑖
𝑚
𝑖
Σ 𝑉
𝑖
2
 
𝓊(𝜌) = (5) 1
𝑛−1 
Σ 𝑚
𝑖
−𝜌 𝑉
𝑖[ ]2
Σ 𝑉
𝑖
2
 
Tabela 1.3: Valores de ρvis, ρMMQ, suas respectivas incertezas e valores tabelados 
 
ρvis ± u(ρvis) 
(g/cm³) 
2,50 ± 1,08 
ρMMQ ± u(ρMMQ) 
(g/cm³) 
2,578 ± 0,015 
ρalumínio ± u(ρalumínio) 
(g/cm³) 
2, 6989 ± 0, 0001 
 
A figura 1.1 e a figura 1.2 apresentam os gráficos massa X volume, construídos através dos 
pontos experimentais obtidos pelas medições realizadas das peças metálicas e suas 
associações; a melhor reta visual e a reta do MMQ. Já a figura 1.3 representa a melhor reta 
através do ajuste feito pelo software Geogebra, cujo comando utilizado foi FitLine(). 
 
 
Figura 1.1: Representação dos pontos experimentais da melhor reta visual do gráfico 
massa (g) versus volume (mL). 
 
Figura 1.2: Representação dos pontos experimentais da reta obtida por MMQ do 
gráfico massa (g) versus volume (mL) utilizando o software Geogebra. 
 
Figura 1.3: Representação dos pontos experimentais da reta obtida pelo comando 
FitLine do gráfico massa (g) versus volume (mL) utilizando o software Geogebra. 
 
Utilizando o comando de melhor retapara os dados experimentais apresentados, a equação de 
reta obtida é y = 2,639x - 2,360. Porém, sabe-se que o valor de b = 0, nesse caso, pois a reta 
passa, necessariamente, no ponto (0,0), o que não foi possível alterar no comando desse 
software, que por fim, considerou o coeficiente linear, fazendo com que o valor da densidade, 
dado pelo coeficiente angular da reta, não seja tão preciso nesse contexto. 
 
6. Conclusão 
 
Com as medições realizadas da massa e de volume consegue-se obter, por medição indireta, o 
valor da densidade de objetos. Ao medir as peças metálicas feitas de mesmo material de 
variados tamanhos e suas respectivas associações, também é possível, através de construção 
gráfica, determinar a densidade, utilizando os métodos visual e MMQ. Ambos métodos se 
provaram eficazes, visto que os valores obtidos se aproximam dos valores presentes na 
literatura. No entanto, o método dos mínimos quadrados se mostra mais preciso, por conta da 
menor incerteza em relação ao método visual. Ao comparar os valores experimentais com os 
valores encontrados na literatura, chega-se à conclusão de que as peças são feitas de 
alumínio. 
 
 
7. Bibliografia 
 
Apostila do Laboratório de Física Experimental A, Livro de Práticas, DEP - UFSCar, 2024. 
 
SILVA, R. R. da; BOCCHI, N.; ROCHA-FILHO, R. C.; MACHADO, P. F. L. Introdução à 
Química Experimental. 2ª Edição, EdUFSCar, 2014.