2012-2_ListaExercicios5

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE
PERNAMBUCO
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
QUINTA LISTA
1
a
Questa˜o:Diferencie.
(a) y = arc tg
√
x (b) y =
√
arc tgx
(c) y = arc sen(2x+ 1) (d) h(x) =
√
1− x2 arc senx
(e) H(x) = (1 + x2) arc tgx (f) arc tg (x−√1 + x2)
(g) h(t) = arc cotg (t) + arc cotg( 1t ) (h) y = x arc cosx−
√
1− x2
(i) y = arc cos (e2x) (j) y = arc tg (cosθ)
2
a
Questa˜o:Diferencie.
(a) f(x) = ln(x2 + 10) (b) f(θ) = ln(cos(θ))
(c) f(x) = cos(lnx) (d) f(x) = 5
√
lnx
(e) f(x) = ln 5
√
x (f) f(x) =
√
x lnx
(g) f(t) = 1+ln t1−ln t (h) g(x) = ln
a−x
a+x
(i) F (y) = y ln(1 + ey) (j) y = [ln (1 + ex)]
2
3
a
Questa˜o:Ache a derivada segunda das seguintes func¸o˜es
(a) y = x lnx (b) y = ln(x)x2
4
a
Questa˜o: Encontre os limites.
(a) lim
x→1
x9 − 1
x5 − 1 (b) limx→0
sin 4x
tan 5x
(c) lim
t→0
et − 1
t3
(d) lim
t→0
e3t − 1
t
(e) lim
θ→pi2
1− sin θ
csc θ
(f) lim
x→∞
lnx√
x
(g) lim
x→∞
ex
x3
(h) lim
x→−∞x
2ex
1
(i) lim
x→∞x
3e−x
2
(j) lim
x→∞x tan
(
1
x
)
(l) lim
x→∞x
1
x (m) lim
x→0+
xx
2
(n) lim
x→0
(1− 2x) 1x (o) lim
x→∞(e
x + x)
1
x
5
a
Questa˜o:
(a) Encontre os intervalos nos quais f e´ crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo local de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade(CC ou CB) e os pontos de inflexa˜o.
(5.1) f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x
(5.2) f(x) = 4x3 + 3x2 − 6x+ 1
(5.3) f(x) = x4 − 2x2 + 3
(5.4) f(x) = x5 − 5x+ 3
6
a
Questa˜o: Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a todas as condic¸o˜es
dadas.
(a) f ′(x) > 0 para todo x 6= 1 , ass´ıntota vertical x = 1 , f ′′(x) > 0 se
x < 1 ou x > 3 , f ′′(x) < 0 se 1 < x < 3
(b) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0 , f ′(x) > 0 se x < 0 ou 2 < x < 4 ,
f ′(x) < 0 se 0 < x < 2 ou x > 4 ,
f ′′(x) > 0 se 1 < x < 3 , f ′′(x) < 0 se x < 1 ou x > 3.
(c) f ′(1) = f ′(−1) = 0 , f ′(x) < 0 se |x| < 1 , f ′(x) > 0 se 1 < |x| < 2 ,
f ′(x) = −1 se |x| > 2, f ′′(x) < 0 se −2 < x < 0 e ponto de inflexa˜o em (0, 1).
(d) f(0) = f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = f ′(6) = 0 ,
f ′(x) > 0 se 0 < x < 2 ou 4 < x < 6 ,
f ′(x) < 0 se 2 < x < 4 ou x > 6 ,
f ′′(x) > 0 se 0 < x < 1 ou 3 < x < 5 ,
f ′′(x) < 0 se 1 < x < 3 ou x > 5 ,
f(−x) = f(x) .
2