Capítulo_8_-_Função_Quadrática

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Capítulo 8 Função Quadrática 
Tópicos de Matemática Aplicados a Farmácia Jhoab Negreiros 
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CAPÍTULO 8 
Função Quadrática 
 
 
 
 
 
8.1 Função Quadrática 
 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de ℝ em 
ℝ dada por uma lei da forma 2( )f x ax bx c= + + , em que ,a b e c são números reais e 0a ≠ . 
 
Exemplo 1. Vejamos alguns exemplos de funções quadrática: 
• 
2( ) 2 3 6f x x x= − + − , sendo � = _______, � = _______, � = _______; 
• 
2( ) 3f x x x= + , sendo � = _______, � = _______, � = _______; 
• 
2( ) 5f x x= − − , sendo � = _______, � = _______, � = _______; 
• 
2( )f x x= , sendo � = _______, � = _______, � = _______. 
 
O gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano gera uma curva denominada 
parábola e a concavidade desta curva é definida, de acordo com o valor do coeficiente �: 
• Se 0a > , a parábola tem a concavidade voltada pra cima; 
• Se 0a < , a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
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8.2 Zero da Função Quadrática 
 
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2ºgrau, os números reais � tais que 
�
�� = 0. Então as raízes da função são as soluções da equação do 2º grau 2 0ax bx c+ + = , as 
quais são dadas por: 
Pela Fórmula – 
2
2 4( ) 0 0
2
b b acf x ax bx c x
a
− ± −
= ⇒ + + = ⇒ = ; 
 
Exemplo 2. Obtenha o zero da função 2( ) 5 6f x x x= − + . 
 
2
2
1
2
( 5) ( 5) 4.1.6( ) 0 5 6 0
2.1
5 25 24
2
35 1
22
f x x x x
x
x
x
x
− − ± − −
= ⇒ − + = ⇒ =
± −
=
=±
= → 
=
 
 
Observe: Em algumas equações do segundo grau é possível utilizar a Relação de Girard para obter 
as soluções de uma forma bem prática, por meio da soma e do produto das raízes: 
• Soma das raízes – 
( 5) 5
1
bS
a
− − −
= = = 
• Produto das raízes – 
6 6
1
cP
a
= = = 
Então quais são os números cuja soma é igual a 5 e o produto é igual a 6? Os números procurados 
são 2 e 3. 
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Exemplo 3. Calcule os zeros das seguintes funções: 
(a) � = −�� + � + 6 
 
 
 
 
 
 
(b) � = �� − 4� + 4 
 
 
 
 
 
 
(c) � = 2�� − 50 
 
 
 
 
 
 
(d) � = �� − 7� 
 
 
 
 
 
 
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8.3 Zeros Reais 
 
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o 
radicando Δ = �� − 4��, chamado discriminante: 
 
• Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
 
• Quando ∆ é zero, há só uma raiz real com multiplicidade igual a dois; 
 
• Quando ∆ é negativo, não há raiz real (nesse caso, as duas raízes são complexas). 
 
 
 
8.4 Coordenadas do Vértice da Parábola 
 
Nosso objetivo é obter as coordenadas do ponto V, chamado vértice de parábola. Vamos 
retomar a fórmula da função quadrática e escrevê-la de outra forma. 
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5
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
( )
4 4
4
2 4
2 4
f x ax bx c
b c
a x x
a a
b b b c
a x x
a a a a
b b ac
a x
a a
b
a x
a a
= + +
 
= + + 
 
   
= + + − −   
   
 
− 
= + −     
 ∆ 
= + −     
 
Observando esta última forma, podemos notar que 2, ,2 4
b
a
a a
∆
 são constantes. Apenas � 
é variável. Concluímos que o valor de máximo ( 0a < ) ou mínimo ( 0a > ) da parábola ocorre 
quando 
2
b
x
a
= − , pois o termo ao quadrado é sempre maior ou igual à zero. 
Logo concluímos que as coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 
,
2 4
bV
a a
∆ 
− − 
  
• Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo; 
 
• Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. 
 
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Exemplo 4. Calcule as coordenadas dos vértices das parábolas obtidas pelas seguintes funções: 
(a) � = �� + 2� + 4 
 
 
 
 
 
 
(b) � = −�� − 4� + 10 
 
 
 
 
 
 
8.5 Gráfico de uma Função Quadrática 
 
É possível construir um esboço do gráfico de uma função quadrática seguindo o roteiro a 
seguir: 
• O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 
• O vértice ,
2 4
bV
a a
∆ 
− − 
 
 indica o ponto de mínimo ou máximo da parábola; 
• Os zeros da função definem os pontos em que a parábola intersecta o eixo dos x ; 
• A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 
• A parábola intersecta o eixo dos y , no ponto (0, )c . 
 
Exemplo 5. Construir o gráfico das seguintes funções: 
(a) � = �� − 4� − 5 
(b) � = −�� − 2� + 3 
 
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8.6 Atividades 
 
Exercício 1. Estima-se, daqui a x anos, o número de pessoas que irão fazer uso do medicamento 
Z será dado por 2( ) 30 120 3000N x x x= − + . 
(a) Atualmente, qual é o número de pessoas que usam o medicamento Z? 
(b) Quantas pessoas usarão o medicamento no 10º ano? 
(c) Daqui a quantos anos será registrado o menor número de pessoas que usam o medicamento? 
 
Exercício 2. A receita mensal (em reais) de uma farmácia é 220000 2000R p p= − , sendo p o 
preço de venda de cada unidade. Qual preço p que deve ser cobrado para gerar uma receita de 
R$ 50.000,00? 
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Exercício 3. O lucro mensal obtido pela venda do medicamento M-13 é dado por 
2 30 5L x x= − + − , sendo x a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível? 
Exercício 4. Os funcionários de um hospital fretaram um avião com capacidade para 200 pessoas. 
Cada funcionário comprometeu-se a pagar R$ 210,00, caso o avião ficasse totalmente cheio. Caso 
o avião não ficasse cheio, então cada funcionário pagaria um adicional de R$ 5,00 por cada lugar 
que ficasse vazio. 
(a) Qual a receita obtida se, no dia, comparecerem 160 funcionários. 
(b) Qual valor � de lugares vazios que gera receita máxima R? 
 
Exercício 5. Um paciente portador do vírus H2N1 teve a contagem desse vírus modelada pela 
equação �
�� = −2�� + 30�, onde N(t) representa a quantidade de vírus após t dias. A partir 
dessa equação determine: 
(a) Em quantos dias a quantidade de vírus se reduziu a zero? 
(b) Qual a quantidade máxima de vírus que obteve esse paciente? 
 
Exercício 6. Um laboratório farmacêutico comercializa seu principal medicamento somente com as 
seguintes condições: comprar 120 caixas do medicamento (cada uma a R$ 900,00); caso a venda 
seja abaixo das 120 caixas será cobrado um adicional de R$ 10,00 por cada caixa. Qual a 
quantidade de caixas que torna o lucro máximo para o laboratório? 
 
Exercício 7. O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 15,00, em média 500 
pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o 
público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja 
máxima?