Aula 1 1- FUNÇÃO COMPLEXA-FUNÇÕES ELEMENTARES

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04/08/2020
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Aula 1.1 - Funções Complexas
Disciplina: Noções de Variáveis Complexas
Turma: 7º Período de Matemática
Profa. Joerlen Alves de Souza
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE PARINTINS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
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Função Complexa
Definição 1.1: Uma função complexa é uma função � cujos domínio 
e imagem são subconjuntos do conjunto dos números complexos
Exemplo 1: A expressão �� − 2 + � � pode ser calculada para qualquer 
número complexo � e sempre resultará em um único número número 
complexo, de modo que � � = �� − 2 + � � define uma função complexa. 
Por exemplo, nos pontos � = � e � = 1 + � obtemos: 
 � = �� − � + � �
 � = −
 − �� + ��
 � = −
 − �� − ��
 � = −
 − �� − −
 � = −
 − �� + 
 � = −��
 � + � = (
 + �)�− � + � (
 + �)
 � = 
 + �� + �� − � + �� + � + ��
 � = 
 + �� − 
 − � − �� − ��
 � = −� − � − (−
)
 � = −
 − �
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Parte Real e parte Imaginária de uma Função Complexa 
Muitas vezes é útil expressar as entradas e saídas de uma função complexa em
termos de suas partes real e imaginária. Se � = �(�) for uma função complexa,
então a imagem de um número complexo � = � + �� sob � é um número
complexo � = � + ��. Simplificando a expressão �(� + ��), podemos escrever
as variáveis reais � e � em termos das variáveis reais � e �. Por exemplo,
substituindo o símbolo � = � + �� na função complexa � = ��, obtemos:
� = � + �� = (� + ��)�= �� + 2��� − �� = �� + �� + 2��� (
)
De (
) vemos que as variáveis reais � e � são dadas por � = �� + �� e � = ���
Logo, escrevendo � = � + ��, podemos expressar qualquer função
complexa � = �(�) em termos de duas funções reais como:
 � = � �, � + ��(�, �) (�)
As funções �(�, �) e �(�, �) em (2) são denominadas parte real e parte imaginária
de �, respectivamente.
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Exemplo 2: Determine as partes real e imaginária das funções:
a) � � = �� − 2 + 2� �
b) g � = � + 2��(�)
Solução: Em cada caso, substituímos o símbolo � por � + �� e , então,
simplificamos.
a) 
 � = 
(� + ��) = � + �� � − � + �� (� + ��)
 � = �� +���� − �� − �� + ��� + ��� − ��
 � = �� +���� − �� − �� − ��� − ��� + ��
 � = �� −�� − �� + �� + ��� − �� − �� �
Portanto, � �, � = �� −�� − �� + �� e � �, � = ��� − �� − ��
b) � � = � + �� = � + �� + �!"(� + ��)
g � = � + �� + ��
g � = �� + ��
Portanto, � �, � = �� e � �, � = �
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Definição 1.2: Função Exponencial Complexa
A função �#, definida por: 
�# = �$%&' = �$�&' = �$ cos � + �+�, � = �$ cos � + ��$+�, � ( 3)
é denominada função exponencial complexa.
Pela Definição 1.2, as partes real e imaginária da função exponencial complexa são
� �, � = �$-.+� e v �, � = �$+�, �, respectivamente.
Exemplo 3: Determine os valores da função exponencial complexa "� nos seguintes
pontos:
a) � = 0 b) � = 2 + 1�
Solução: Em cada parte, substituímos � = ��(�) e � = 23(�) e, a seguir, simplificamos. 
Para � = 0, temos � = 0 e y = 0; portanto, � � = �5 = �5 cos 0 + ��5+�, 0 = 1 
b) Para � =2 + 1�, temos � = 2 e y = 1; portanto,
� � = �2 + 6& = �� cos 1 + ���+�,1 = −��
As funções exponenciais complexas têm propriedades semelhantes às das funções
exponenciais reais. Por exemplo, �#7 · �#9 = �#7%#9,
:;7
:;9
= �#7 � =
"�� �
=
��
"�� �
@A= �
=
"�� �
=
�("��% "?��)
"���� + @A=�� = 
="> −� = −="> �

 + F �� = ="@��
cos −� = @A= �
="> �
 + �� = ="> �
@A= �� + @A= �
="> ��
@A= �
 + �� = @A= �
@A= �� − ="> �
="> ��
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Definição 1.4: Funções Hiperbólicas
As funções hiperbólicas são definidas como segue:
=">K � =
"�K �
=
�
"�K �
@A=K �
=
"�K �
=
"�% "?�
"�K�� = 
=">K −� = −=">K �

 − F K�� = ="@K��
cosh −� = @A=K �
=">K �
 + �� = =">K �
@A=K �� + @A=K �
=">K ��
@A=K �
 + �� = @A=K �
@A=K �� + =">K �
=">K ��
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Exercícios
1. Calcule o valor da função complexa 
 nos pontos indicados.
I) �(�) = ���̅ − 2� (a) 2� b) 1 + � c) 3 − 2�
II) �(�) = �� − �� + �(3� + �) (a) 3� b) 4 + � c) 3 − 5�
2. Determine as partes real e imaginária � e �, da função complexa 
 em termos
de � e �.
a) �(�) = 6� − 5 + 9
b) �(�) =�T − 2� + 6
c) �(�) =
#̅
#%U
d) �(�) = ��#%&
e) �(�) =−3� + 2�̅ − �
f) �(�) =
# �
), onde �
 = �
 + ��
;
"�� = "��(@A= �� + �="> ��), onde �� = �� + ���
5. Prove que:
a) +�, �� = �+�,ℎ �
b) -.+ �� = -.+ℎ �
Sugestão: Use a definição
+�, � =
:X;